Bài giảng Lý thuyết ước lượng

Ths. Nguyễnãã Côngââ Trí Copyright 2001 LÝÙ THUYẾÁT ƯỚÙC LƯỢÏNG 1. ƯỚÙC LƯỢÏNG KHÔNG CHÊ ÄÄCH VÀØ ƯỚÙC LƯỢÏNG CÓÙ HIỆÄU QUẢÛ (Xem) 2. ƯỚÙC LƯỢÏNG ĐIỂÅM VÀØ ƯỚÙC LƯỢÏNG KHOẢÛNG. ĐỘÄ TIN CẬÄY (Xem) 3. ƯỚÙC LƯỢÏNG KHOẢÛNG TIN CẬÄY CỦÛA CÁÙC THAM SỐÁ TỔÅNG THỂÅ (Xem) 4. ƯỚÙC LƯỢÏNG HỢÏP LÝÙ TỐÁI ĐA (Xem) 5. BÀØI TẬÄP (Xem) CHƯƠNG 6 Ths. Nguyễn Công Trí ƯỚÙC LƯỢÏNG KHÔNG CHÊ ÄÄCH VÀØ ƯỚÙC LƯỢÏNG CÓÙ HIỆÄU QUẢÛ q Mộät thốáng kêâ đượïc gọïi làø ướùc lượïng khôngâ chệäch củûa tham sốá tổång thểå nếáu trung bình hay kỳø vọïng củûa thốáng kêâ đóù bằèng vớùi tham sốá tổång thểå. Giáù trị tương ứùng củûa thốáng kêâ đượïc gọïi làø ướùc lượïng khôngâ chệäch củûa tham sốá tổång thểå. q VÍ DỤÏ 6.1. Trung bình vàø phương sai làø cáùc ướùc lượïng khôngâ chệäch củûa trung bình tổång thểå m vàø phương sai s2 nênâ cáùc giáù trị vàø đềàu làø cáùc ướùc lượïng khôngâ chệäch. Tuy nhiênâ , mớùi thựïc sựï làø ướùc lượïng chệäch củûa s vì tổång quáùt ta cóù X 2Sˆ Sˆ s¹)ˆ(SE x 2sˆ q Nếáu luậät phânâ phốái mẫuã củûa hai thốáng kêâ cóù cùøng trung bình thì thốáng kêâ nàøo ứùng vớùi phương sai nhỏû hơn thì thốáng kêâ đóù đượïc gọïi làø ướùc lượïng hiệäu quảû hơn. Trong thựïc hàønh ta mong muốán đượïc cảû hai tiêuâ chuẩån trênâ , nhưng điềàu đóù khóù cóù thểå xảûy ra. q VÍ DỤÏ 6.2. Vớùi mộät tổång thểå cóù phânâ phốái chuẩån, trung bình vàø trung vị mẫuã sẽõ cóù cùøng giáù trị làø trung bình, đượïc gọïi chung làø trung bình củûa tổång thểå. Tuy nhiênâ , phương sai củûa cáùc trung bình mẫuã thì nhỏû hơn phương sai củûa cáùc trung vị mẫuã nênâ trung bình cho ta mộät ướùc ướùc lượïng hiệäu quảû hơn trung vị. ƯỚÙC LƯỢÏNG KHÔNG CHÊ ÄÄCH VÀØ ƯỚÙC LƯỢÏNG CÓÙ HIỆÄU QUẢÛ q Mộät ướùc lượïng tham sốá củûa tổång thểå đượïc cho bởûi mộät con sốá thì đượïc gọïi làø ướùc lượïng điểåm củûa tham sốá đóù. Mộät ướùc lượïng tham sốá củûa tổång thểå đượïc cho bởûi hai con sốá màø tham sốá củûa tổång thểå cóù thểå nằèm giữã hai sốá đóù đượïc gọïi làø ướùc lượïng khoảûng củûa tham sốá. q VÍ DỤÏ 6.3. Nếáu ta nóùi khoảûng cáùch làø 1,60m thì ta nóùi vềà ướùc lượïng điểåm. Còøn nếáu ta nóùi khoảûng cáùch làø 1,60 ± 0,03 m, nghĩa làø khoảûng cáùch từø 1,57m đếán 1,63 m, thì ta đãõ nóùi vềà ướùc lượïng khoảûng. ƯỚÙC LƯỢÏNG ĐIỂÅM VÀØ ƯỚÙC LƯỢÏNG KHOẢÛNG q Gọïi ms vàø ss lầàn lượït làø trung bình vàø độä lệäch chuẩån (sai sốá chuẩån) củûa phânâ phốái thốáng kêâ mẫuã S. Nếáu phânâ phốái mẫuã S cóù thểå xấáp xỉ phânâ phốái chuẩån (điềàu nàøy cóù thểå đượïc nếáu kích thướùc mẫuã n ³ 30), ta cóù thểå hy vọïng tìm đượïc S nằèm trong khoảûng mS – sS đếán mS + sS; từø mS – 2sS đếán mS + 2sS; từø mS – 3sS đếán mS + 3sS độä khoảûng 68,27%, 95,45%, vàø 99,73%.q KHOẢÛNG TIN CẬÄY CỦÛA TỔÅNG THỂÅ q Mộät pháùt biểåu tương đương, ta tin rằèng cóù thểå tìm đượïc ms trong khoảûng S ± ksS (k = 1, 2, 3) đúùng đếán 68,27%, 95,45%, vàø 99,73%. Chính vì lýù do đóù, ta gọïi khoảûng trênâ làø khoảûng tin cậäy 68,27%, 95,45%, vàø 99,73% dùøng đểå ướùc lượïng ms (thốáng kêâ S làø ướùclượïng khôngâ chệäch). Cáùc sốá ksS (k = 1, 2, 3) đượïc gọïi làø độä chính xáùc củûa ướùc lượïng. q Tương tựï, S ± 1,96sS vàø S ± 2,58sS làø độä tin cậäy 95% vàø 99% củûa ms, kýù hiệäu độä tin cậäy1– a. Cáùc sốá 1,96, 2,58, ... đượïc gọïi làø cáùc giáù trị tớùi hạïn, kýù hiệäu za. Nếáu ta cóù độä tin cậäy, ta cóù thểå tìm đượïc giáù trị tớùi hạïn vàø ngượïc lạïi, nếáu ta cóù giáù trị tớùi hạïn, ta cóù thểå tìm đượïc độä tin cậäy. KHOẢÛNG TIN CẬÄY CỦÛA TỔÅNG THỂÅ Ng uy en C on g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com CHƯƠNG 6: LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG _____________________________________________________ Ths. Nguyễn Công Trí _______________________ q Trong Bảûng 6-1 ta cho cáùc giáù trị củûa tương ứùng vớùi cáùc độä tin cậäy kháùc nhau, đượïc sửû dụïng trong thựïc hàønh. Vớùi cáùc độä tin cậäy khôngâ cóù trong bảûng nàøy, cáùc giáù trị củûa za cóù thểå tra bảûng phânâ phốái chuẩåntrong Phụï lụïc II. Bảûng 6–1 q Trườøng hợïp thốáng kêâ cóù phânâ phốái mẫuã kháùc vớùi phânâ phốái chuẩån (phânâ phốái c2, t, F), ta cóù thểå sửûa đổåi cho phùø hợïp đểå tìm khoảûng tin cậäy củûa cáùc ướùc lượïng. 0,67451,281,6451,962,052,332,58za 50%80%90%95%96%98%99%Độä tin cậäy KHOẢÛNG TIN CẬÄY CỦÛA TỔÅNG THỂÅ 3.1. KHOẢÛNG TIN CẬÄY CỦÛA TRUNG BÌNH (Xem) 3.2. KHOẢÛNG TIN CẬÄY CỦÛA TỶÛ LỆÄ (Xem) 3.3. KHOẢÛNG TIN CẬÄY CỦÛA HIỆÄU VÀØ TỔÅNG (Xem) 3.4. KHOẢÛNG TIN CẬÄY CỦÛA PHƯƠNG SAI CÓÙ PHÂN PHÔ ÁÁI CHUẨÅN (Xem) 3.5. KHOẢÛNG TIN CẬÄY TỶÛ LỆÄ PHƯƠNG SAI (Xem) ƯỚÙC LƯỢÏNG KHOẢÛNG TIN CẬÄY CỦÛA CÁÙC THAM SỐÁ TỔÅNG THỂÅ 1. TRƯỜØNG HỢÏP MẪU LƠÃ ÙÙN (n ³ 30). Khoảûng tin cậäy trung bình củûa tổång thểå cóù 2 trườøng hợïp: q Chọïn mẫuã từø tổång thểå vôâ hạïn hay chọïn mẫuã cóù hoàøn lạïi từø tổång thểå hữũ hạïn, ta cóù (1) q Chọïn mẫuã khôngâ hoàøn lạïi từø tổång thểå hữũ hạïn cóù kích thướùc N, ta cóù (2) q Tổång quáùt, nếáu chưa biếát độä lệäch chuẩån củûa tổång thểå s, ta thay s bởûi S hay . KHOẢÛNG TIN CẬÄY CỦÛA TRUNG BÌNH a s ±X z n a s - ± -1 N nX z Nn Sˆ 2. TRƯỜØNG HỢÏP MẪU NHỖ ÛÛ (n < 30) VÀØ TỔÅNG THỂÅ CÓÙ PHÂN PHÔ ÁÁI CHUẨÅN. Khoảûng tin cậäy trung bình củûa tổång thểå (3) Trong đóù ta(n – 1) bậäc tựï do, tra từø bảûng III q So sáùnh hai biểåu thứùc (3) vàø (1) cho thấáy, đốái vớùi mẫuã nhỏû ta thay za bằèng ta. Vớùi mẫuã n ³ 30, za vàø ta bằèng nhau. q Chúù ýù, thuậän lợïi trong lýù thuyếát chọïn mẫuã nhỏû làø ta cóù thểå dùøng độä lệäch chuẩån mẫuã S thay cho s củûa tổång thểå thườøng chưa biếát. ˆ X t n S a± KHOẢÛNG TIN CẬÄY CỦÛA TRUNG BÌNH Vớùi mẫuã cóù kích thướùc n ³ 30 đượïc chọïn từø mộät tổång thểå cóù phânâ phốái nhị thứùc. Khoảûng tin cậäy P củûa tỷû lệä tổång thểå làø f ± zasf, trong đóù f làø tỷû lệä thàønh côngâ trong mẫuã . q Trườøng hợïp chọïn mẫuã từø tổång thểå vôâ hạïn hay chọïn mẫuã cóù hoàøn lạïi từø tổång thểå hữũ hạïn (4) q Trườøng hợïp chọïn mẫuã khôngâ hoàøn lạïi từø tổång thểå hữũ hạïn cóù kích thướùc N làø (5) KHOẢÛNG TIN CẬÄY CỦÛA TỶÛ LỆÄ (1 )f ff z na - ± (1 ) 1 f f N nf z n Na - - ± - Nếáu S1 vàø S2 làø hai thốáng kêâ mẫuã vớùi phânâphốái mẫuã xấáp xỉ phânâ phốái chuẩån, khoảûng tin cậäy củûa hiệäu hai tham sốá tổång thểå tương ứùng lầàn lượït vớùi vớùi S1 vàø S2 làø (6) Khoảûng tin cậäy củûa tổång hai tham sốá tổång thểå (7) điềàu kiệän làø cáùc mẫuã độäc lậäp. Ví dụï, khoảûng tin cậäy củûa hiệäu hai trung bình tổång thểå, trong trườøng hợïp cáùc tổång thểå vôâ hạïn vàø biếát độä lệäch chuẩån s1, s2 đượïc chobởûi biểåu thứùc (8) KHOẢÛNG TIN CẬÄY CỦÛA HIỆÄU VÀØ TỔÅNG 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2S S S SS S z S S za as s s-- ± = - ± + 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2S S S SS S z S S za as s s++ ± = + ± + Ng uy en C ng Tr i PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com CHƯƠNG 6: LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG _____________________________________________________ Ths. Nguyễn Công Trí _______________________ (8) trong đóù n1 vàø n2 lầàn lượït làø kích thướùc mẫuã củûa hai mẫuã đượïc chọïn từø hai tổång thểå. Tương tựï, khoảûng tin cậäy hiệäu củûa hai tỷû lệä tổång thểå, trong đóù cáùc tổång thểå đềàu vôâ hạïn, đượïc cho bởûi (9) trong đóù f1, f2 làø tỷû lệä vàø n1, n2 làø kích thướùc củûa hai mẫuã đượïc chọïn từø hai tổång thểå. 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 X XX X z X X z n na a s ss -- ± = - ± + 1 1 2 2 1 2 1 2 (1 ) (1 )f f f f f f z n na - - - ± + KHOẢÛNG TIN CẬÄY CỦÛA HIỆÄU VÀØ TỔÅNG Lưu ýù biểåu thứùc cóù phânâ phốái chi bình phương vớùi n–1 bậäc tựï do cho ta khoảûng tin cậäy củûa s2 hay s. vớùi a kháù béù ta cóù thểå tìm c2a/2(n–1) vàø c21-a/2(n–1) sao cho P(c21-a/2 < c2 < c2 a/2)=1 - a Ướùc lượïng cho s2 cóù thểå nằèm trong khoảûng hay (10) Ướùc lượïng cho s cóù thểå nằèm trong khoảûng hay (11) KHOẢÛNG TIN CẬÄY CỦÛA PHƯƠNG SAI CÓÙ PHÂN PHÔ ÁÁI CHUẨÅN 2 2 2 2ˆ/ ( 1) /nS n Ss s= - 2 2 2 2 2 / 2 1 / 2 ˆ ˆ( 1) ( 1)n S n S a a s c c - - - < < a a s c c - < < / 2 1 / 2 S n S n 2 2 2 2 2 / 2 1 / 2 nS nS a a s c c - < < /2 1 /2 ˆ ˆ 1S n S n a a s c c - - < < Lưu ýù rằèng nếáu hai mẫuã ngẫuã nhiênâ độäc lậäp cóù kích thướùc lầàn lượït làø m vàø n vàø phương sai làø S12 vàø S22 đượïc chọïn từø hai tổång thểå cóù phânâ phốái chuẩån vớùi phương sai lầàn lượït làø s12 vàø s22 thì đạïi lượïng ngẫuã nhiênâ cóù phânâ phốái F vớùi m-1, n-1 bậäc tựï do. vớùi a kháù béù ta cóù thểå tìm đượïc Fa(m–1)(n–1) vàø F1 - a(m–1)(n–1) sao cho P(Fa< F < F1-a)=1-a Tỷû lệä phương sai củûa hai tổång thểå đượïc cho bởûi (12) KHOẢÛNG TIN CẬÄY CỦÛA TỶÛ LỆÄ PHƯƠNG SAI 2 2 2 2 2 1 2 1 /ˆ /ˆ s s S S 2 2 1 1 12 2 2 2 ˆ / ˆ / SF F Sa a s s - £ £ 2 2 2 1 1 1 22 2 1 22 2 ˆ ˆ1 1 ˆ ˆ S S F FS Sa a s s- Û £ £ Giảû sửû mộät tổång thểå cóù cóù hàøm mậät độä f(x, q). Giảû sửû cóù n quan sáùt độäc lậäp Xl,..., Xn cóùhàøm mậät độä đồàng thờøi làø L = f(x1, q)f(x2, q)… f(xn, q) (13) hàøm nàøy đượïc gọïi làø hàøm hợïp lýù. Đểå tiệän lợïi, đầàu tiênâ lấáy logarit hai vếá, rồài lấáy đạïo hàøm theo q vàø cho đạïo hàøm bằèng khôngâ . (14) Giảûi phương trình, tìm q trong cáùc sốá hạïng củûa xk, gọïi làø ướùc lượïng hợïp lýù tốái đa củûa q. Phương pháùp nàøy cóù khảû năngê tổång quáùt hóùa cho trườøng hợïp cóù nhiềàu tham sốá. ƯỚÙC LƯỢÏNG HỢÏP LÝÙ TỐÁI ĐA 0 ),( ),( 1...),( ),( 1 1 1 = ¶ ¶ ++ ¶ ¶ q q qq q q n n xf xf xf xf Ths. Nguyễnãã Côngââ Trí Copyright 2001 1. ƯỚÙC LƯỢÏNG KHÔNG CHÊ ÄÄCH VÀØ ƯỚÙC LƯỢÏNG CÓÙ HIỆÄU QUẢÛ [1] [2] [3] [4] [29] [30] [31] 2. ƯỚÙC LƯỢÏNG KHOẢÛNG TIN CẬÄY CỦÛA TRUNG BÌNH (MẪU LƠÃ ÙÙN) [5] [6] [7] [8] [9] [32] [33] [34] [35] [36] 3. ƯỚÙC LƯỢÏNG KHOẢÛNG TIN CẬÄY CỦÛA TRUNG BÌNH (MẪU NHỖ ÛÛ) [10] [11] [12] [37] [38] [39] 3. ƯỚÙC LƯỢÏNG KHOẢÛNG TIN CẬÄY CỦÛA TỶÛ LỆÄ [13] [14*] [15] [40] [41] [42] BÀØI TẬÄP CHƯƠNG 6 Ths. Nguyễn Công Trí Ths. Nguyễnãã Côngââ Trí Copyright 2001 4. KHOẢÛNG TIN CẬÄY CỦÛA HIỆÄU VÀØ TỔÅNG [16] [17] [18] [43] [44] [45] 5. KHOẢÛNG TIN CẬÄY CỦÛA PHƯƠNG SAI [19] [20] [21] [22] [46] [47] [48] [49] [50] 6. KHOẢÛNG TIN CẬÄY CỦÛA TỶÛ LỆÄ PHƯƠNG SAI [23] [24] [51] [52] [53] [54] 7. ƯỚÙC LƯỢÏNG HỢÏP LÝÙ TỐÁI ĐA [25] [26] [55] [56] [57] 8. CÁÙC BÀØI TẬÄP TỔÅNG HỢÏP [27] [28] [58] [59] BÀØI TẬÄP CHƯƠNG 6 Ths. Nguyễn Công Trígu ye n C on g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com CHƯƠNG 6: LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG _____________________________________________________ Ths. Nguyễn Công Trí _______________________ LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG ƯỚC LƯỢNG KHÔNG CHỆCH VÀ ƯỚC LƯỢNG CÓ HIỆU QUẢ 6.1. Cho các ví dụ về ước lượng là (a) ước lượng không chệch và hiệu quả, (b) ước lượng không chệch và không hiệu quả, (c) ước lượng chệch và không hiệu quả. 6.2. Một mẫu gồm năm độ đo đường kính của một quả cầu do một nhà khoa học ghi nhận là 6,33; 6,37; 6,36; 6,32, và 6,37 cm. Hãy xác định ước lượng không chệch và hiệu quả của (a) trung bình thực, (b) phương sai thực. Giả sử đường kính đo được có phân phối chuẩn. Đs. (a) 6,35 cm; (b) 0,00055 cm2. 6.3. Giả sử chiều cao của 100 sinh viên nữ ở trường Đại học XYZ một mẫu ngẫu nhiên đại diện cho tất cả chiều cao của 1.546 sinh viên nữ ở trường đại học này. Hãy xác định ước lượng không chệch và có hiệu quả của (a) trung bình thực, (b) phương sai thực. Chiều cao (inches) Số sinh viên 60 – 62 63 – 65 66 – 68 69 – 71 72 – 74 5 18 42 27 8 Tổng số 100 Đs. (a) 67,45; (b) 8,6136. 6.4. Cho một ước lượng không chệch và không hiệu quả của đường kính (trung bình) thực của quả cầu trong bài tập 6.2. Đs. 6,36 cm ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG TIN CẬY CỦA TRUNG BÌNH (MẪU LỚN) 6.5. Hãy tìm khoảng tin cậy (a) 95%, (b) 99% ước lượng chiều cao trung bình của các sinh viên ở trường Đại học XYZ trong bài tập 6.3. Đs. (a) 66,88 <  < 68,02 inhches; (b) 66,69 <  < 68,21 inches. 6.6. Độ đo các đường kính của một mẫu ngẫu nhiên gồm 200 vòng bi do một máy sản xuất trong một tuần có đường kính trung bình là 0,824 inch và độ lệch chuẩn là 0,042 inch. Tìm khoảng tin cậy (a) 95% (b) 99% của ước lượng trung bình về đường kính của tất cả các vòng bi. Đs. (a) 0,824  0,006 inches ; (b) 0,824 0,008 inches. CHƯƠNG 6 CHƯƠNG 6: LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG _____________________________________________________ Ths. Nguyễn Công Trí _______________________ 6.7. Tìm khoảng tin cậy (a) 98%, (b) 90%,(c) 99.73% đường kính trung bình của các vòng bi trong bài tập 6.6. Đs. (a) 0,824  0,0069 inches ; (b) 0,824 0,0049 inches; (c) 0,824 0,0089 inches. 6.8. Trong đo lường thời gian phản ứng, một nhà tâm lý học cho rằng độ lệch chuẩn này là 0,05 giây. Nhà tâm lý học này phải chọn một mẫu gồm các đo lường thời gian phản ứng có kích thước là bao nhiêu để có (a) 95%, (b) 99% độ tin cậy mà sai số trong ước lượng khoảng thời gian phản ứng trung bình sẽ không vượt quá 0,01 giây? Đs. (a) ít nhất 97 ; (b) ít nhất 167. 6.9. Có 200 bài thi môn toán. Chọn ngẫu nhiên một mẫu gồm 50 bài thi, tính được điểm trung bình là 75 điểm và độ lệch chuẩn là10 điểm. (a) Tìm khoảng tin cậy 95% về điểm trung bình của 200 bài thi? (b) Tìm độ tin cậy mà ta có thể nói rằng điểm trung bình của tất cả 200 bài thi là 75 1? Đs. (a) 75  2,4 điểm ; (b) 58,2%. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG TIN CẬY CỦA TRUNG BÌNH (MẪU NHỎ) 6.10. 95% giá trị tới hạn (hai phía) của phân phối chuẩn là 1,96. Tìm giá trị tương ứng đối với phân phối t nếu bậc tự do là (a) = 9, (b)  = 20, (c)  = 30, (d)  = 60? Đs. (a)  2,26; (b)  2,09; (c)  2,04; (d)  2,00. 6.11. Một mẫu gồm 10 độ đo đường kính của một quả cầu có đường kính trung bình 4,38x  inches và độ lệch chuẩn s = 0,06 inch. Tìm khoảng tin cậy (a) 95%, (b) 99% của đường kính thực. Đs. (a) 4,38  0,037 inches ; (b) 4,38  0,065 inches. 6.12. (a) Làm lại bài tập 6.11, với phương pháp lý thuyết chọn mẫu có kích thước lớn. (b) Hãy so sánh các kết quả của hai phương pháp này. Đs. (a) 4,38  0,037 inches và 4,38  0,049 inches. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG TIN CẬY CỦA TỶ LỆ 6.13. Một mẫu thăm dò ý kiến của 100 cử tri được chọn ngẫu nhiên tại một quận cho thấy có 55% trong số này ủng hộ ứng cử viên A. Tìm khoảng tin cậy (a) 95%, (b) 99%, (c) 99.73% của tỷ lệ các cử tri ủng hộ ứng cử viên A. Đs. (a) 0,55  0,10; (b) 0,55  0,13; (c) 0,55  0,15. 6.14. Trong bài tập 6.13. Sẽ chọn ngẫu nhiên bao nhiêu cử tri để có độ tin cậy 95% ứng cử viên A đắc cử? Đs. n = 27. 6.15. Trong 40 lần tung một đồng xu, có 24 lần xuất hiện mặt ngửa. Tìm khoảng tin cậy (a) 95%, (b) 99.73% của tỷ lệ mặt ngửa xuất hiện trong phép thử với số lần tung đồng xu là vô hạn. Đs. (a) 0,6  0,15; (b) 0,6  0,23. KHOẢNG TIN CẬY CỦA HIỆU VÀ TỔNG 6.16. Một mẫu gồm 150 bóng đèn điện mang nhãn hiệu A có tuổi thọ trung bình là 1.400 giờ và độ lệch chuẩn là 120 giờ. Một mẫu gồm 200 bóng đèn điện mang nhãn hiệu B có tuổi thọ trung bình là 1.200 giờ và độ lệch chuẩn là 80 giờ. Tìm khoảng tin cậy (a) 95%, (b) 99% của hiệu tuổi thọ trung bình của hai tổng thể mang nhãn hiệu A và B. Đs. (a) 200  24,8 giờ; (b) 200  32,6 giờ. CHƯƠNG 6: LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG _____________________________________________________ Ths. Nguyễn Công Trí _______________________ 6.17. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 400 người lớn và 600 thiếu niên cùng xem một chương trình TV nào đó, trong đó có 100 người lớn và 300 thiếu niên cho biết họ thích chương trình TV trên. Hãy xây dựng khoảng tin cậy (a) 95%, (b) 99% về hiệu tỷ lệ của tất cả người lớn và thiếu niên đã xem và thích chương trình này. Đs. (a) 0,25  0,06; (b) 0,25  0,08. 6.18. Lực điện động (emf) của các bộ ắc quy do một công ty sản xuất có phân phối chuẩn, với trung bình 45,1 volts và độ lệch chuẩn 0,04 volt. Nếu bốn bộ ắc quy được mắc nối tiếp, tìm khoảng tin cậy (a) 95%, (b) 99%, (c) 99.73%, (d) 50% của tổng lực điện động. Đs. (a) 180,4  0,16; (b) 180,4  0,21; (c) 180,4  0,24; (d) 180,4  0,054 volt. KHOẢNG TIN CẬY CỦA PHƯƠNG SAI 6.19. Một mẫu gồm 200 bóng đèn điện do một nhà máy sản xuất, độ lệch chuẩn của tuổi thọ bóng đèn được tính là 100 giờ. Tìm khoảng tin cậy (a) 95%, (b) 99% về độ lệch chuẩn của toàn bộ bóng đèn do nhà máy này sản xuất. Đs. (a) 100  9,8 giờ; (b) 100  12,9 giờ. 6.20. Sẽ phải chọn một mẫu gồm bao nhiêu bóng đèn trong bài tập 6.19 để với độ tin cậy 99,73% thì độ lệch chuẩn của tổng thể không khác độ lệch chuẩn mẫu ít nhất (a) 5%, (b) 10%? Đs. (a) ít nhất 1.800 bóng; (b) ít nhất 450 bóng. 6.21. Một trường học có 1.000 sinh viên nam. Chọn ngẫu nhiên 16 sinh viên nam từ trường này thì tính được độ lệch chuẩn về chiều cao là 2,40 inches. Tìm khoảng tin cậy (a) 95%, (b) 99% về độ lệch chuẩn của tất cả các sinh viên nam tại trường này. Giả sử chiều cao có phân phối chuẩn. Đs. (a) 1,83 <  < 3,84 inches; (b) 1,68 <  < 4,49 inches. 6.22. Làm lại bài tập 6.19, sử dụng lý thuyết mẫu nhỏ hay mẫu chính xác. Đs. (a) 91,2 <  < 111,3 giờ; (b) 88,9 <  < 115,9 giờ. KHOẢNG TIN CẬY CỦA TỶ LỆ PHƯƠNG SAI 6.23. Hai mẫu ngẫu nhiên có kích thước lần lượt là 16 và 10, được chọn ngẫu nhiên từ hai tổng thể có phân phối chuẩn, phương sai của hai mẫu trên lần lượt là 24 và 18. Hãy tìm khoảng tin cậy (a) 98%, (b) 90% về tỷ lệ của các phương sai. Đs. (a) 2 1 2 2 0.283 4.90σ σ   ; (b) 2 1 2 2 0.4186 3.263σ σ   . 6.24. Tìm khoảng tin cậy (a) 98%, (b) 90% tỷ lệ của độ lệch chuẩn trong bài tập 6.23. Đs. (a) 10.53 2.21 2 σ σ   ; (b) 10.65 1.81 2 σ σ   . ƯỚC LƯỢNG HỢP LÝ TỐI ĐA 6.25. Giả sử ta có n quan sát, X1, … , Xn, được thực hiện từ tổng thể có phân phối chuẩn, trung bình chưa biết nhưng biết độ lêch chuẩn. Hãy ước lượng trung bình theo phương pháp ước lượng hợp lý tối đa. 6.26. Nếu trong bài tập 6.25, biết trung bình tổng thể nhưng phương sai chưa biết. Hãy ước lượng phương sai theo phương pháp hợp lý tối đa. CHƯƠNG 6: LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG _____________________________________________________ Ths. Nguyễn Công Trí _______________________