Bài giảng Lý thuyết xác suất - Chương 4: Vector ngẫu nhiên

 Chương 4. Vector ngẫu nhiên §1. Phân phối xác suất của vector ngẫu nhiên rời rạc §2. Phân phối xác suất của vector ngẫu nhiên liên tục §1. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA VECTOR NGẪU NHIÊN RỜI RẠC 1.1 Bảng phân phối xác suất đồng thời của (X, Y) 1.2. Phân phối xác suất thành phần (phân phối lề) 1.3. Phân phối xác suất có điều kiện  Chương 4. Vector ngẫu nhiên 1.1 Bảng phân phối xác suất đồng thời của (X, Y) Y y y yj y Tổng dòng X 1 2 n p x1 p11 p12 1j p1n p1• p x2 p21 p22 2j p2n p2• p xi pi1 pi2 ij pin pi• p xm pm1 pm2 mj pmn pm• p Tổng cột p•1 p•2 •j p•n 1  Chương 4. Vector ngẫu nhiên mn Trong đó P X xi; Y y j p ij và pij 1. ij11  Chương 4. Vector ngẫu nhiên 1.2. Phân phối xác suất thành phần (phân phối lề) • Bảng phân phối xác suất của X X x1 x2 xm P p1• p2• pm• Trong đó pi• p i 1 p i 2 p in (tổng dòng i của bảng phân phối xác suất đồng thời).  Chương 4. Vector ngẫu nhiên Kỳ vọng của X là EX x1 p 1• x 2 p 2• xmm p •.  Chương 4. Vector ngẫu nhiên • Bảng phân phối xác suất của Y Y y1 y2 yn P p•1 p•2 p•n Trong đó p•j p 1 j p 2 j p mj (tổng cột j của bảng phân phối xác suất đồng thời). Kỳ vọng của Y là EY y1 p •1 y 2 p •2 ynn p • .  Chương 4. Vector ngẫu nhiên VD 1. Phân phối xác suất đồng thời của vector ngẫu nhiên (,)XY cho bởi bảng: Y 1 2 3 X 6 0,10 0,05 0,15 7 0,05 0,15 0,10 8 0,10 0,20 0,10 1) Tính PX 6 và PXY7, 2 . 2) Lập bảng phân phối xs thành phần và tính EX , EY .  Chương 4. Vector ngẫu nhiên  Chương 4. Vector ngẫu nhiên  Chương 4. Vector ngẫu nhiên  Chương 4. Vector ngẫu nhiên EX 6.0,3 7.0,3 8.0,4 7,1. Bảng phân phối của Y là Y 1 2 3 P 0,25 0,40 0,35 EY 1.0,25 2.0,4 3.0,35 2,1.  Chương 4. Vector ngẫu nhiên 1.3. Phân phối xác suất có điều kiện P(X=xi, Yy= j ) pij P Xx= i Y =yj , im1, . P(Y yj ) p•j P(Xx= i, Yy= j ) pij P Y =yj Xx= i , jn1, . Pp(X xi ) i•  Chương 4. Vector ngẫu nhiên • Bảng phân phối xác suất của X với điều kiện Yyj : X x1 x2 x m p1j p2j pmj PxXy==i Y j p•j p•j p•j Kỳ vọng của X với điều kiện Yyj là: 1 EX( x1 p 1j x 2 p 2 j ... x m p mj ). p•j  Chương 4. Vector ngẫu nhiên • Bảng phân phối xác suất của Y với điều kiện Xxi : Y y1 y2 yn pi1 pi2 pin P Y== yji X x pi• pi• pi• Kỳ vọng của Y với điều kiện Xxi là: 1 EY( y1 pi 1 y 2 p i 2 ... y n p in ). pi•  Chương 4. Vector ngẫu nhiên VD 2. Cho bảng phân phối xs đồng thời của (,)XY : Y 1 2 3 X 6 0,10 0,05 0,15 7 0,05 0,15 0,10 8 0,20 0,10 0,10 1) Lập bảng phân phối xác suất của với điều kiện Y 2 và tính kỳ vọng của . 2) Lập bảng phân phối xác suất của Y với điều kiện X 8 và tính kỳ vọng của Y .  Chương 4. Vector ngẫu nhiên  Chương 4. Vector ngẫu nhiên  Chương 4. Vector ngẫu nhiên  Chương 4. Vector ngẫu nhiên  Chương 4. Vector ngẫu nhiên VD 3. Cho vector ngẫu nhiên rời rạc (,)XY có bảng phân phối xác suất đồng thời như sau: (,)XY (0; 0) (0; 1) (1; 0) (1; 1) (2; 0) (2; 1) 1 3 4 6 pij 18 18 18 18 1) Tính xác suất PXY 1 . 2) Tính xác suất PXY( 0 | 1). 3) Tính trung bình của X và Y . 4) Tính trung bình của Y khi X 1.  Chương 4. Vector ngẫu nhiên Giải. 1) Ta có: 4 1 5 PXYPP( 1) {(1,0)}+ {(2,1)} + . 18 18 18 2) PXYPXYPXY( 0 | =1) ( =1| =1) ( =2 | =1) PP{(1,1)} {(2,1)} 4 . PYPY( 1) ( 1) 7  Chương 4. Vector ngẫu nhiên 3) Bảng phân phối thành phần của X và Y là: X 0 1 2 Y 0 1 4 7 7 11 P P 18 18 18 18 4 7 7 21 7 Vậy EX 0. 1. 2. và EY . 18 18 18 18 18  Chương 4. Vector ngẫu nhiên 4) Bảng phân phối xác suất của Y khi X 1 là: Y 0 1 4 3 P( Y = y | X=1 ) j 7 7 3 Vậy EY . 7  Chương 4. Vector ngẫu nhiên VD 4. Chi phí quảng cáo X (triệu đồng) và doanh thu Y (triệu đồng) của một công ty có bảng phân phối xác suất đồng thời như sau: 500 700 900 (400 – 600) (600 – 800) (800 – 1000) 30 0,10 0, 05 0 50 0,15 0,20 0,05 80 0, 05 0, 05 0, 35 Nếu doanh thu là 700 triệu đồng thì chi phí quảng cáo trung bình là: A. 60,5 triệu đồng; B. 48,3333 triệu đồng; C. 51,6667 triệu đồng; D. 76,25 triệu đồng.  Chương 4. Vector ngẫu nhiên §2. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA VECTOR NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC 2.1. Hàm mật độ đồng thời của (X, Y) 2.2. Hàm mật độ thành phần 2.3. Hàm mật độ có điều kiện  Chương 4. Vector ngẫu nhiên 2.1. Hàm mật độ đồng thời của (X, Y) • Hàm hai biến f( x , y ) 0 xác định trên 2 được gọi là hàm mật độ của vector ngẫu nhiên (,)XY nếu: f( x , y ) dxdy f ( x , y ) dxdy 1. 2 • Xác suất của vector (,)XY trên tập D 2 là: P{( X , Y ) D } f ( x , y ) dxdy . D  Chương 4. Vector ngẫu nhiên 2.2. Hàm mật độ thành phần • Hàm mật độ của X là: fX ()(,).x f x y dy • Hàm mật độ của Y là: fY ()(,).y f x y dx  Chương 4. Vector ngẫu nhiên Chú ý Khi tìm hàm fxX (), ta lấy tích phân hàm f(,) x y theo biến y và điều kiện x phải độc lập đối với . Tìm hàm fyY (), ta làm tương tự.  Chương 4. Vector ngẫu nhiên Trung bình thành phần E fXXYY().(),().(). x x f x dx E f y y f y dy  Chương 4. Vector ngẫu nhiên 2.3. Hàm mật độ có điều kiện • Hàm mật độ có điều kiện của X khi biết Yy là: f(,) x y fxX y . fY ()y • Hàm mật độ có điều kiện của Y khi biết Xx là: f(,) x y fyY x . fX ()x  Chương 4. Vector ngẫu nhiên 10x2 y ,khi 0 y x 1, VD 1. Cho hàm f(,) x y 0, nôi khaùc. 1) Chứng tỏ vector (,)XY có hàm mật độ là f(,) x y . 1 2) Tính xác suất PYX . 2 3) Tìm hàm mật độ thành phần của X , Y . 4) Tìm hàm mật độ có điều kiện fX ( x | y ), fY ( y | x ). 1 1 5) Tính xác xuất PYX . 8 4  Chương 4. Vector ngẫu nhiên Giải 1) Đặt D( x , y )2 : 0 y x 1 . Chiếu D lên Ox , ta được: D0 x 1, 0 y x .  Chương 4. Vector ngẫu nhiên Suy ra: f(,)(,) x y dxdy f x y dxdy D 11x 5x24 dx 2 ydy 5 x dx 1■ 0 0 0  Chương 4. Vector ngẫu nhiên x 2) Đặt D( x , y ) : 0 y x 1, y . 2 Chiếu D lên Ox , ta được: x D0 x 1, y x . 2  Chương 4. Vector ngẫu nhiên 1 P Y X f(,) x y dxdy 2 D 1 x 3 52x2 dx ydy . 4 0 x 2  Chương 4. Vector ngẫu nhiên 3) Khi 01x , ta có: D0 x 1, 0 y x . Suy ra: x 24 fX ( x ) f ( x , y ) dy 10 x ydy 5 x . 0 5xx4 ,khi 0 1, Vậy f ()x X 0, nôi khaùc.  Chương 4. Vector ngẫu nhiên 10 y(1 y3) ,khi 0 y 1, Tương tự, fY ()y 3 0, nôi khaùc.  Chương 4. Vector ngẫu nhiên 4) Trên miền D( x , y )2 : 0 y x 1 , ta có: f( x , y ) 3 x 2 • f( x | y ) . X 3 fyY () 1 y f( x , y ) 2 y • f( y | x ) . Y 2 fxX () x  Chương 4. Vector ngẫu nhiên 3x 2 ,khi 0yx 1, 3 Vậy: fX ( x | y ) 1 y 0, nôi khaùc. 2y ,(,),khi x y D 2 fY ( y | x ) x 0, nôi khaùc.  Chương 4. Vector ngẫu nhiên 5) Từ câu 4, ta có: 1 1 32yy ,khi 0 , fY y x 4 4 0, nôi khaùc. 1 1 18 1 Vậy P Y X32 ydy . 8 44 0  Chương 4. Vector ngẫu nhiên VD 2. Cho hàm mật độ đồng thời của vector (,)XY là: 6x ,khi 0 x 1; 0 y 1 x , f(,) x y 0, nôi khaùc. 1) Tính trung bình thành phần của XY, . 2) Tính xác suất P X 0,3Y 0,5 .  Chương 4. Vector ngẫu nhiên  Chương 4. Vector ngẫu nhiên  Chương 4. Vector ngẫu nhiên  Chương 4. Vector ngẫu nhiên VD 3. Tuổi thọ X (năm) và thời gian chơi thể thao Y (giờ) có hàm mật độ đồng thời được cho như sau: 15 x(1 y2 ),khi 0 y x 1, f(,) x y 4 0, nôi khaùc. Thời gian chơi thể thao trung bình là: A. 0,3125 giờ; B. 0,5214 giờ; C. 0,1432 giờ; D. 0,4132 giờ.  Chương 4. Vector ngẫu nhiên