Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Bài 3: Phương trình vi phân cấp hai - Nguyễn Xuân Thảo
ặt vấn đề. Bài trước đã học xong phương trình vi phân cấp một và có ứng dụng thú vị sau:
• Phương trình logistic được đưa ra (vào khoảng năm 1840) bởi nhà toán học và nhân
chủng học người Bỉ P.F. Verhulst và nó trở thành một mô hình cho sự tăng trưởng dân số.
• Trong ví dụ sau đây chúng ta so sánh mô hình tăng trưởng tự nhiên và mô hình
logistic cho dữ liệu điều tra dân số ở Mỹ vào thế kỷ 19, sau đó đưa ra dự án so sánh
cho thế kỷ 20.
Ví dụ. Dân số nước Mỹ năm 1850 là 23.192 triệu. Nếu lấy P0 = 5,308.
• Thế các dữ liệu t = 50, P = 23,192 (với thời điểm 1850) và t = 100, P = 76212 (với thời
điểm 1900) vào phương trình logistic
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Bài 3: Phương trình vi phân cấp hai - Nguyễn Xuân Thảo, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY ẾT CHU ỖI
BÀI 8
§3. Ph ươ ng trình vi phân cấp hai
••• Đặt v ấn đề . Bài tr c ã h c xong ph ơ ng trình vi phân c p m t và có ng d ng thú v sau:
• Ph ơ ng trình logistic c a ra (vào kho ng n m 1840 ) b i nhà toán h c và nhân
ch ng h c ng i B P.F. Verhulst và nó tr thành m t mô hình cho s t ng tr ng dân s .
• Trong ví d sau ây chúng ta so sánh mô hình t ng tr ng t nhiên và mô hình
logistic cho d li u i u tra dân s M vào th k 19, sau ó a ra d án so sánh
cho th k 20.
Ví d ụ. Dân s n c M n m 1850 là 23.192 tri u. N u l y P0 = 5,308 .
• Th các d li u t = 50, P = 23,192 (v i th i i m 1850 ) và t = 100, P = 76212 (v i th i
i m 1900 ) vào ph ơ ng trình logistic dP =kP() M − P (1)
dt
(5,308) M
ta có h hai ph ơ ng trình = 23,192 ;
5,308+ (M − 5,308) e −50 kM
(5.308) M
= 76,212 .
5,308+ (M − 5,308) e −100 kM
• Gi i h này ta có M=188,121, k = 0,000167716 .
998,546
• Th vào (1) ta có P( t ) = (2)
5,308+ (182,813) e−(0,031551) t
Dân s th c Mô hình dân s Sai s Mô hình
N m Sai s logistic
c a n c M d ng m d ng m logistic
1800 5.308 5.308 0.000 5.308 0.000
1810 7.240 6.929 0.311 7.202 0.038
1820 9.638 9.044 0.594 9.735 -0.097
1830 12.861 11.805 1.056 13.095 -0.234
1840 17.064 15.409 1.655 17.501 -0.437
1850 23.192 20.113 3.079 23.192 0.000
1860 31.443 26.253 5.190 30.405 1.038
1870 38.558 34.268 4.290 39.326 -0.768
1880 50.189 44.730 5.459 50.034 0.155
1890 62.980 58.387 4.593 62.435 0.545
1900 76.212 76.212 0.000 76.213 -0.001
1910 92.228 99.479 -7.251 90.834 1.394
1920 106.022 129.849 -23.827 105.612 0.410
1930 123.203 169.492 -46.289 119.834 3.369
1940 132.165 221.237 -89.072 132.886 -0.721
1950 151.326 288.780 -137.454 144.354 6.972
1960 179.323 376.943 -197.620 154.052 25.271
1970 203.302 492.023 -288.721 161.990 41.312
1980 226.542 642.236 -415.694 168.316 58.226
1990 248.710 838.308 -589.598 173.252 76.458
2000 281.422 1094.240 -812.818 177.038 104.384
Hình 1.7.4. So sánh k t qu c a mô hình d ng m và mô hình logistic
v i dân s th c c a n c M (tính theo tri u)
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
• Nh ng d oán theo mô hình d ng m P( t )= (5,308) e (0,026643) t và theo mô hình d ng
logistic (2) i chi u v i k t qu th ng kê dân s th c c a M , ta th y
− C 2 mô hình u cho k t qu t t trong giai o n th k 19
− Mô hình d ng m cho s li u phân k ngay t th p niên u tiên c a th k 20, trong
khi mô hình logistic có k t qu t ơ ng i t t cho t i t n nh ng n m 1940.
− n cu i th k 20 mô hình d ng m cho k t qu v t quá xa dân s th c c a M ,
còn mô hình logistic l i cho s li u d oán th p h ơn s li u th c.
••• Sai s ố trung bình o m c cho phép c a mô hình h p lí v i d li u th c t : là
c n b c hai c a trung bình các bình ph ơ ng c a các sai s thành ph n.
• T b ng 1.7.4 trên c: mô hình d ng m có sai s trung bình là 3.162 , còn mô hình
logistic có sai s trung bình là 0.452 . Do ó mô hình logistic d oán t c t ng tr ng
dân s n c M su t th k 20 t t h ơn mô hình d ng m .
1. Đại c ươ ng
••• Định ngh ĩa. Fx(,, y y′ , y ′′ )= 0 (1) ho c y′′= fxyy(, , ′ ) (2)
Ví d ụ. a) yy′′+ y ′ 2 + xy = 0
b) y′=3 xy + y ′′ + 1
••• Định lí v ề s ự t ồn t ại và duy nh ất nghi ệm
∂f ∂f 3
N u f(, x y , y ′ ) , f(, x y , y ′ ) , f(, x y , y ′ ) liên t c trên D ⊂ » , (,xyy0 0 , 0′ ) ∈ D thì
∂y ∂y′
(2) có nghi m duy nh t trong Uε ( x 0 ) tho mãn yx()0= y 0 , yx′ () 0 = y 0′
••• V ề m ặt hình h ọc: nh lí trên kh ng nh n u (,xyy0 0 , 0′ ) ∈ D ⇒ trong Uε ( x0 , y 0 ) có
ng tích phân duy nh t c a ph ơ ng trình (2) i qua (x0 , y 0 ) và h s góc c a ti p
tuy n c a nó t i i m này b ng y0′ .
Định ngh ĩa. Hàm y= ϕ(( xCC ,1 , 2 ) là nghi m t ng quát c a (2) ⇔
+) ϕ(,x C1 , C 2 ) tho mãn (2) v i ∀C1, C 2
0 0 0 0
+) ∀(,xyy0 0 , 0′ ) ∈ D nêu trong nh lí tìm c c1, c 2 : y= ϕ(, xcc1 , 2 ) tho mãn
0 0 0 0
ϕ(,xcc , ) = y 0 , ϕ′(,xcc , ) = y 0 ′
1 2 x= x 0 1 2 x= x 0
0 0
Hàm ϕ(,x c1 , c 2 ) c g i là nghi m riêng
Định ngh ĩa. H th c φ(,,x y c1 , c 2 )= 0 xác nh nghi m t ng quát c a (2) d i d ng
0 0
n c g i là tích phân t ng quát. H th c φ(,,xyc1 , c 2 ) c g i là tích phân riêng
••• M ột s ố ứng d ụng
• Là mô hình toán h c c a nh ng h c ơ h c và m ch i n.
dx2 dx
• Ph ơng trình mô t dao ng t do c a ch t i m m+ c + kx = 0, ó ch t
dt 2 dt
i m có kh i l ng m, các h ng s d ơ ng k, c .
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
• Ph ơ ng trình mô t dao ng c ng b c c a ch t i m b i tác ng c a ngo i l c F( t )
dx2 dx
m+ c + kx = F( t ).
dt 2 dt
2. Ph ươ ng trình khuy ết
a) F(, x y ′′ )= 0
Cách gi ải. t y′ = p ⇒ ph ơ ng trình vi phân c p m t F(, x p ′ )= 0 ⇒ p= ϕ( x , c ) . Gi i
ph ơ ng trình vi phân c p m t y′ = ϕ( x , c )
2
Ví d ụ 1. 1°/ x=() y′′ + y ′′ + 1
2
• p= y ′ ⇒ x=() p′ + p ′ + 1
2
2 2 3 t
• t p′ = t ⇒ x= t + t + 1 và dp= tdx = t(2 t + 1) ⇒ p= t + + c 1
3 2
2
2 3 t
• T y′ = p ⇒ y= pdx = t ++ c1 (2 t + 1) dt
∫ ∫ 3 4
45 5 4 1 3 2
=t + t + t +++ ct1 ctc 1 2
15 12 6
• Tích phân t ng quát c a ph ơ ng trình ã cho là
2 45 5 4 1 3 2
x= t + t + 1, y= t + t + tctctc +++1 1 2
15 12 6
1
2°/ y′′ = ( y= x(ln xC +1 ) + C 2 )
x
x3
3°/ y′′ = x + sin x ( y= −sin xCxC +1 + 2 )
6
x2 3
4°/ y′′ = ln x ( y=ln x −++ CxC1 2 )
2 2
2
x− 1 x 2
5°/ y′′ = arctan x ( y=arctan x −+++ ln(1 xCxC ) 1 2 )
2 2
b) F(, xy′ , y ′′ )= 0
Cách gi ải. t p= y ′ ⇒ ph ơ ng trình vi phân c p m t F(,, x p p ′ )= 0 ⇒ p= ϕ( x , c ) ,
gi i ph ơ ng trình vi phân c p m t y′ = ϕ( x , c )
Ví d ụ 2. 1°/ (1−−=xyxy2 )′′ ′ 2, y (0) = 0, y ′ (0) = 0
x 2
• p= y ′ ⇒ (1−x2 ) p′ − xp = 2 ⇒ p′ − p =, x ≠± 1 là ph ơ ng trình vi
1−x2 1 − x 2
phân tuy n tính c p 1, có nghi m t ng quát
−x − x − x
−dx − dx dx
∫2 ∫ 22 ∫ 2
pce=1 1−x + e 1 − x e 1 − x dx
∫ 1 − x2
1 1 1
−−−−ln 1x2 ln 1 x 22 ln 1 − x 2 c 1 2
=ce2 + e 2 e 2 dx =1 + dx
1 ∫ 2 ∫
1 − x 1−x2 1 − x 2 1 − x 2
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
c 2
=1 + arcsin x
1−x2 1 − x 2
c1 2 2
y′ = + arcsin x ⇒ y=()arcsin xc +1 arcsin xc + 2
1−x2 1 − x 2
• y(0)= 0 ⇒ c2 = 0 y′(0)= 0 ⇒ c1 = 0
• Nghi m c n tìm : y= (arcsin x ) 2
2
x x
2°/ y′′= y ′ + x ( y= Ce1 + C 2 −− x )
2
y′ 1 3 2
3°/ y′′ = + x ( y= x + Cx1 + C 2 )
x 3
x
′ +1
y 2 C
4°/ xy′′= y ′ ln ( y=( CxCe1 − ) 1 + C 2 )
x 1
2 2 2
5°/ (1+x ) y′′ + y ′ += 1 0 ( y=+(1 C1 ) ln xC +−+1 CxC 1 2 )
2 2 2 2
6°/ x y′′= y ′ (CxCy1−=1 ln Cx 1 ++ 1 C 2 ;2 y =+ x CyC ; = )
2 2 2 3
7°/ 2xyy′ ′′= y ′ − 1 (9CyC1 (−= 1 ) 4( Cx1 + 1) ; yCx =± )
2 3
2 x2 x
8°/ y′′+ y ′ = xy ′′ ( yC=1 −+ CxCy 2 ; =+ C )
21 12
3
3 212 5 5 42 p
9°/ y′′+ xy ′′ = 2 y ′ ( xCp=+23 py ; = p + CpC 1 + += CyC 2 ; )
5 41 6
2 3 2
10 °/ 2(yy′ ′′+ 2) = xy ′′ (3();;Cy1=− xC 1 + CyCyC 2 = =− 2 x )
Ví d ụ 3
2
y′ 4 1
a). 1 °/ y′′+= xyy2 () ′,()() 1 = 2, y ′ 1 = 1 ( y=5 − (1 − 3ln x ) 3 )
x 2
2°/ (x++ 1) yxy′′ () ′2 = yy ′ ,(0) = 1, y ′ (0) = 2 ( y=++ln(1 x2 ) 2arctan x + 1 )
1 x4 x 33 x 2 1
b). y′′− yxx ′ =−( 1), y()() 2 = 1, y ′ 2 =− 1 ( y= − − ++3 x )
x − 1 862 3
x3 x 4 7
c). 2xy′′−+= 6 yx ′2 0, y( 1) = 0, y ′ ( 1) = 1 ( y = + − )
6 8 24
2 2 3
d). 1+()y′ = 2 xy ′ y ′′ ( y=( Cx1 − 1) + C 2 )
3C1
c) Fy(, y′ , y ′′ )= 0
dp dp dp
Cách gi i. t p= y ′ ⇒ = p ⇒ F y, p , p = 0 là ph ơ ng trình vi phân c p
dx dy dy
m t, gi i ra có p= ϕ( x , c ) , gi i ph ơ ng trình vi phân c p m t y′ = ϕ( x , c ) ta c
nghi m c n tìm.
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
Ví d ụ 4. 1°/ 2yy′′= y ′ 2 + 1
dp dp
• p= y ′ ⇒ y′′ = p , thay vào có 2yp= p 2 + 1
dy dy
2p dy
• dp=, y ≠ 0
1 + p2 y
2 2
⇔ lny= ln(1 + p ) + ln c 1 hay y= c1(1 + p )
dy x
• T p= y ′ ⇒ dx= =2 cdpp1 , ≠ 0 ⇒ p= + c 2
p 2c1
2 2
x (x+ 2 c1 c 2 )
• Nghi m t ng quát y= c11 + + c 2 =c1 +
2c2 4c1
b 2
• t 2cc1 2= − ac , 2 1 = b ⇒ 2by− = ( xa − ) là parabol ph thu c 2 tham s và
2
có ng chu n là tr c Ox .
2 3 2
2°/ y′+2 yy ′′ = 0 ( y= CxC1( + 2 ) , y = C )
2
3°/ yy′′+1 = y ′ (Cy1= ±sin( CxC 1 + 2 ) )
y− C 1
4°/ y′′= 2 yy ′ ( yC=112tan( CxC + );ln =+−== 2 CyCyx 12 ;()1; yC )
y+ C 1
2 3
5°/ yy′′= y ′ − y ′ ( yC+1ln y =+ xCy 2 , = C )
2 2
6°/ 2yy′′= y + y ′ ( yC=1(1 ± ch( xC + 2 )) )
2 −y y 3
7°/ y′′+ y ′ = 2 e (e+ C1 =( xC + 2 )
2 2 3
8°/ y′=(3 y − 2 yy ′ ) ′′ ( x=3 Cp1 + ln Cpy 2 ; = 2 Cp 1 += py ; C )
2 y− C 2
9°/ y′(1+ y ′ ) = ay ′′ ( x− C1 = a ln sin )
a
C x
10 °/ yy′′= y ′(1 + y ′ ) (Cy1−=1 Ce 2 1 ; y =− Cxy ,0 = )
2 2 2
11 °/ yy′′+ y ′ = 1 ( y= x + Cx1 + C 2 )
Ví d ụ 5. (Bài toán v n t c v tr c p 2). Xác nh v n t c nh nh t phóng m t v t
th ng ng vào v tr sao cho v t không tr l i trái t, gi thi t s c c n không khí
không áng k .
• Kh i l ng trái t là M , v t phóng là m, kho ng cách gi a tâm trái t và tâm v t
Mm
phóng là r , theo nh lu t h p d n c a Newton, l c hút tác d ng lên v t là f= k , k
r 2
là h ng s h p d n.
d2 r Mm
• Ph ơ ng trình chuy n ng c a v t là m=− k, r (0) = Rr ,′ (0) = v 0 , ó R
dt2 r 2
là bán kính trái t, v0 là v n t c lúc phóng.
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
dv dv M kM v 2 1
• t v= r ′ ⇒ r′′ = v ⇒ v= − k ⇒ vdv= − dr ⇒ =kM + c 1
dr dr r 2 r 2 2 r
2 2 2
v0 kM v Mv0 kM
• T v(0)= 0 có v( R ) = v 0 ⇒ c1 = − ⇒ =+ − ≥ 0
2 R2 2r 2 R
3
2kM −11 m 5
Cho r → ∞ ⇒ v0 ≥ ≈ 11,2 km/s (do k = 6, 68.10 , R = 63.10 m.
R kg. s 2
• V n t c v tr c p hai là 11,2 km/s
Ví d ụ 6
1
a). yy′′−= y ′2 y 4 , y( 0) = 1, y ′ ( 0) = 1 ( y = )
1 − x
x2 + 1
b) . 1. 2yyy′′−= ′2 1, y( 1) = 1, y ′ ( 1) = 1 ( y = )
2
2. yy′′+= y ′2 1, y( 0) = 1, y ′ ( 0) = 1 ( y= x + 1)
x2 + 1
c). 2yyy′′−−= ′2 1 0, y( 1) = 1, y ′ ( 1) = 1 ( y = )
2
2 2 2
d). 1+()y′ = 2 yy ′′ (CxC1 (+2 ) = 4( Cy 1 − 1) )
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
Các file đính kèm theo tài liệu này:
bai_giang_phuong_trinh_vi_phan_va_li_thuyet_chuoi_bai_3_phuo.pdf
