Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Bài 5: Chuỗi lũy thừa (Tiếp theo) - Nguyễn Xuân Thảo

PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PH NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY T CHU I BÀI 5 § 5. Chu i lu th a (TT) • Khai tri ển m ột s ố hàm s ơ c ấp • Ứng d ụng 4. Khai tri n m t s hàm s s c p c b n 4.1. M t s khai tri n 1°°°/ f( x ) = e x • f (n ) (0)= 1 • fxee(n ) ()= ∞ xn ∞ xn • ex =∑ , ∀∈− xAAA() ;,0 > ⇒ ex =∑ , ∀ x ∈ » n! n! n=0 n=0 2°°° f( x )= cos x π (− 1)k ,n = 2 k π  ••• f(n ) (0)= cos n =  • fx(n ) ( )= cos xn +  ≤∀∈ 1, x » 2 0,n= 2 k + 1 2  x2 x 4 x 2 n • cos1x=−+−+− (1)n +  , x ∈ » 2! 4! (2)!n 3°°° f( x )= sin x x35 x x 21n− • sinx=−+−+− x  ( 1)n−1 +  , x ∈ » 3! 5! (2n − 1)! 4°°° f( x )= (1 + x )α , α∈ » α αα−( 1) αα−( 1) ( α−n + 1) • fx( )=++ 1 x x 2 +  +xn +−<<, 1 x 1 1! 2! n! 5°°° f( x )= ln(1 + x ) x2 x 3 x n • ln(1)+=−x x + −+− (1)n−1 +  ,1 −<<x 1 2 3 n 6°°° f( x )= arctan x x35 x x 21n− • arctanx=−+−+− x  ( 1)n−1 +  , x∈», −≤ 1 x ≤ 1 35 21n − Ví d 1. Khai tri ển thành chu ỗi Maclaurin a) fx()= ax ,0 < a ≠ 1 ∞ ln n a • ax= e xln a • exln a=∑ x n , x ∈ » n! n=0 b) f( x )= ln(2 + x ) x  x x • ln2()+=x ln21 +=+ ln2 ln1  + , −1 < < 1 2  2 2 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn n ∞ x ∞ n x  n−1 ( ) n−1 x • ln1+  =∑() − 1 2 =∑() − 1 2  n n n=1 n=1 n.2 ∞ n n−1 x • ln2()()+=+−x ln2 1 ,2 −<< x 2 ∑ n n=1 n.2 1∞ 2 2n− 1x 2 n c) sin 2 x ( − ∑ , x ∈ » ) 2 (2)!n n=0 1+ x ∞ x2n+ 1 d) f( x )= ln (2∑ ,1− <x < 1 ) 1− x 2n + 1 n=0 x ∞ n + 2 ()−1 x2n 1 e) fx( ) = e−t dt ( ∑ , x ∈» ) ∫ n!() 2 n + 1 0 n=0 ∞n ∞ 2 n n−1x n − 1 x f) fx()ln(1= ++ xxx2 + 3 ) ( ()−1 +−() 1 ,11 −≤≤x ) ∑n ∑ n n=1 n = 1 n ∞ ()x2 n π g) fx( )= ex sin x ( sin , x ∈» ) ∑ n! 4 n=0 ∞ x2n h) f( x )= cosh x ( ∑ , x ∈» ) ()2n ! n=0 x ∞ 2n+ 1 sin t n x i) fx( ) = dt ( ∑ ()−1 , x ∈ » ) ∫ t ()()2n+ 1!2 n + 1 0 n=0 x dt x5 1.3.5() 2 n − 1 k) f( x ) = ( x+++ x 4n+ 1 + , x < 1) ∫ 4 2.5 n!2n () 4 n + 1 0 1− t l) Vi ết rõ các h ệ s ố đế n x6 : fx() = ex sin x m) Vi ết rõ các h ệ s ố đế n x6 : fx() = ex cos x Ví d 2. Khai tri ển thành chu ỗi Taylor t ại lân c ận điểm t ươ ng ứng a) fx()= ln, xx = 1 ∞ n n ()x −1 • lnx= ln1( + x − 1 ) • ln1()()+−x 1 = − 1 ∑ n n=1 1 b) f() x= ,4 x = x2 +3 x + 2 1 1 • f() x = − x+1 x + 2 () n 1 1  • fn ()() x= −1 n ! − n+1 n + 1  ()x+1() x + 2  PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn () n • fn()()4= − 1!5 n ( −− n1 − 6 −− n 1 ) ∞ n n • f()() x=−∑ 15()−−n1 − 6 −− n 1 () x − 4 n=0 x x c) f( x ) = , theo chu ỗi lu ỹ th ừa c ủa 1+ x 1+ x 2 3 n x1 x  1.3  x  1.3() 2n− 3  x  (f() x =+  +   +  +  + ) 1+ x 21 + x 2.41  + x  2.4() 2n− 2 1 + x  x π  d) f( x )= cos , theo chu ỗi lu ỹ th ừa c ủa x −  2 2  −  π π2 π n 1  2 ()x−() x −() x − ( 1−2 − 2 −− 2 +  )  2n− 1  2 1!2 2!2 (n − 1)!2  ∞ 2n− 1 π  n ()3n + π e) f( x )= sin3 x , theo chu ỗi lu ỹ th ừa c ủa x +  (∑()−1 ) 3  ()2n − 1 ! n=1 1 f) f() x = theo lu ỹ th ừa c ủa (x − 3) x2 −3 x + 2 1 g) f() x = theo lu ỹ th ừa c ủa (x − 2) x2 +3 x + 2 4.2. ng d ng c a chu i lu th a 1°°°/ Tính g n úng Ví d 3. Áp d ụng chu ỗi lu ỹ th ừa, tính g ần đúng a) sin18 ° v ới độ chính xác 10 −5 n−1 ∞ ()−1 • sin x= ∑ x 2n− 1 ()2n − 1 ! n=1 n−1 π∞ () −1 π 2n− 1 • sin18° = sin = ∑ 10() 2n − 1! 2n− 1 n=1 10 2n+ 1 π −5 • Rn < ≤ 10 ()2n + 1!10 2n+ 1 • n ≥ 3 1 2 b) ∫e−x dx v ới độ chính xác 10 −3 0 ∞ n ∞ 2n x 2 n x • ex = ∑ • e−x =∑ () − 1 n! n! n=0 n=0 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 1 ∞2n+ 1 ∞ nx n 1 • I =−()1 =−() 1 ∑nn!21()+ ∑ nn !21() + n=00 n = 0 1 • R≤ ≤ 10−3 ⇒ n ≥ 4 n ()n+1!2() n + 3 c) Tính g ần đúng s ố e v ới độ chính xác 0,00001 (2,71828 ) 1 2 d) Tính g ần đúng ∫ e−x dx v ới độ chính xác 0,0001 (0,747 ) 0 ∞ dx e) v ới độ chính xác 10 −3 (0,118 ) ∫ 1+ x3 0 2°°°/ Tính gi i h n. x3 x 5 x 7 sin x−+ x − + Ví d 4. lim 3! 5! 7! x→0 x9 x3 x 5 x 7 x 9 • sin xx=− + − + + ox()9 3! 5! 7! 9! x9 + o() x 9 1 • A =lim 9! = x→0 x9 9! § 6 Chu i FOURIER • Chu ỗi l ượng giác, chu ỗi Fourier • Khai tri ển hàm s ố thành chu ỗi Fourier ••• t v n 1. Chu i l ưng giác, chu i Fourier a) Chu i l ưng giác nh ngh a. Chu ỗi l ượng giác là chu ỗi hàm s ố có d ạng ∞ » a0 +∑( an cos nxb + n sin nxab ), nn , ∈ (1.1) n=1 Nh n xét. ∞ ∞ » 1°°°/ Nếu ∑an, ∑ b n h ội t ụ ⇒ chu ỗi (1.1) h ội t ụ tuy ệt đố i trên n=1 n = 1 ∞ ∞ 2°°°/ Tuy nhiên, ∑an, ∑ b n h ội t ụ không ph ải là điều ki ện c ần để chu ỗi (1.1) h ội t ụ. n=1 n = 1 b) Chu i Fourier PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn B . Với ∀p, k ∈ », ta có π π 1°/ ∫ sinkxdx = 0 2°/ ∫ coskx dx= 0, k ≠ 0 −π −π π π 0, k≠ p 3°/ coskx sin pxdx = 0 4°/ coskx cos px dx =  ∫ ∫ π,k = p ≠ 0 −π −π π 0, k≠ p 5°/ sinkx sin px dx =  ∫ π,k = p ≠ 0 −π • Gi ả s ử f( x ) tu ần hoàn v ới chu kì 2π và có ∞ a0 fx()= +∑ (cos an nxb + n sin) nx (1.2) 2 n=1 Sử dụng b ổ đề trên và tính toán ta có π π 1 1 a= fxdx( ) ; a= fx( )cos nxdxn , = 1,2, 0 π ∫ n π ∫ −π −π π 1 b= fx( )sin nxdxn , = 1,2, (1.3) n π ∫ −π ∞ a0 nh ngh a. Chu ỗi l ượng giác +∑(an cos nxb + n sin nx ) với các h ệ s ố a0 , an, b n xác 2 n=1 định trong (1.3) được g ọi là chu ỗi Fourier c ủa hàm f( x ) . 2. iu ki n hàm s khai tri n ưc thành chu i Fourier nh ngha. Chu ỗi Fourier c ủa hàm f( x ) h ội t ụ v ề hàm f( x ) thì ta b ảo hàm f( x ) được khai tri ển thành chu ỗi Fourier. nh lí Dirichlet. Cho f( x ) tu ần hoàn v ới chu kì 2π, đơ n điệu t ừng khúc và b ị ch ặn trên [−π; π ] ⇒ chu ỗi Fourier c ủa nó h ội t ụ t ại m ọi điểm trên đoạn [−π; π ] và có Sx()= fx () , t ại điểm liên t ục c ủa f( x ) . fc(+ 0) + fc ( − 0) Còn t ại điểm gián đoạn x= c có S( c ) = . 2 Ví d 1. Khai tri ển thành chu ỗi Fourier hàm s ố f( x ) tu ần hoàn v ới chu kì 2π , xác định nh ư sau 1, 0 ≤x ≤ π a) f( x ) =  −1, −π≤x < 0 π 1 1 +) a= fxdx() =π−π=() 0 0 π∫ π −π PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn π 0 π 1 1 1 +) a= fx()cos nxdx =−()cosnxdx + cos nxdx = 0 n π ∫ π∫ π ∫ −π −π 0 π 0 π 1 1 1 +) b= fx()sin nxdx =() −sinnxdx + sin nxdx n π ∫ π∫ π ∫ −π −π 0 nπ 2 2 n =()1 − cos n π =1 −() − 1  nπ nπ 4 1 1  +) fx() =sin x + sin3 x + sin5 x +   π 3 5  x, 0 ≤ x ≤ π π4∞ cos2()m + 1 x b) f( x ) =  (f() x = − ∑ ) −x, −π≤ x < 0 2 π 2  m=0 ()2m + 1 c) fxx( )=2 , −π< x <π π 1 2 π2 +) a= xdx2 = 0 π ∫ 3 −π π 1 +) b= x2 sin nxdx = 0 n π ∫ −π π 1 2 4()n 4 +) an = xcos nxdx =cosn π=− 1 π ∫ n2 n 2 −π π2 cosx cos2 x cos3 x cos4 x  f() x =−4 − + − +  3 1 4 9 16  1,−π≤x < 0 d) f( x ) =  0, 0 ≤x < π ∞ ∞ π2 cos() 2mx + 1n+1 sin nx (f() x =−+∑ +− ∑ ()1 ) 4 π 2 n m=0()2m + 1 n = 1 HAVE A GOOD UNDERSTANDING!