Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Bài 6: Chuỗi Fourier - Nguyễn Xuân Thảo

Ví dụ 2. Theo số liệu tại vào giữa năm 1999 số dân toàn thế giới đạt

tới 6 tỉ người và đang tăng thêm khoảng 212 ngàn người mỗi ngày. Giả sử là mức tăng

dân số tự nhiên tiếp tục với tỷ lệ này, hỏi rằng:

(a) Tỷ lệ tăng k hàng năm là bao nhiêu?

(b) Vào giữa thế kỉ 21, dân số toàn thế giới sẽ là bao nhiêu?

(c) Hỏi sau bao lâu số dân toàn thế giới sẽ tăng gấp 10 lần–nghĩa là đạt tới 60 tỉ

mà các nhà nhân khẩu học tin là mức tối đa mà hành tinh của chúng ta có thể

cung cấp đầy đủ lương thực?

pdf10 trang | Chia sẻ: trungkhoi17 | Lượt xem: 431 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Bài 6: Chuỗi Fourier - Nguyễn Xuân Thảo, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PH NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY T CHU I BÀI 6 § 6 Chu i Fourier (TT) • Khai tri n hàm ch n, l • Khai tri n hàm tuàn hoàn chu kì b t kì 3. Khai tri n hàm ch n, l 3.1. Nu f( x ) là hàm s ch n ⇒ fx( )cos kx là hàm ch n, f( x )sin kx là hàm l π 2 ⇒ a= fx( )cos kxdx ; b =∀∈ 0, k » kπ ∫ k 0 π−x, 0 ≤ x ≤π Ví d 1. f( x ) =  tu n hoàn v i chu kì 2π , khai tri n hàm f( x ) thành π+x, −π≤ x < 0 chu i Fourier. +) f( − x) = fx( ) +) bk =0, ∀ k ∈ » π π 2  π 2() 2 () 2 x +) a0 =∫ fxdx = ∫ π − xdx =πx −  = π π π π 2  0 0 0 π π π 2 2 2π 2 sin kx  +) ak = fx() cos kxdx =()π − xcos kx dx =sin kx0 − xd   π ∫ π ∫ kπ ∫  k  0 0 0 π π  π 2x sin kx sin kx 2− cos kx 2 2 k = − − dx  = . =()1 − cos kπ =(1 −() − 1 ) ∫ 2 2 2 π k0 k  π k 0 π k π k 0  ∞ ∞ π 2 k π 4 +) f() x=+∑ ()1 −−() 1 cos kx = +∑ cos() 2n + 1 x 2 π k 2 2 2 k =1 n=0 π ()2n + 1 Ví d 2. Khai tri n thành chu i Fourier theo các hàm s cosin c a các hàm s sau π π ∞ cos() 2n− 1 x a) fx()=− 1 x ,0 ≤≤π x (1 − + ∑ ) 2 4 2 n=1 ()2n − 1 1 2∞  cos4()nx+ 1 cos4() nx + 3  c) fxx( )= ( π− x ), 0 < x <π ( +∑  −  ) 2 41n 43 n  π n =1 + +  π 1, 0 ≤x ≤ ∞  2 π 2 cos 2 nx b) f( x ) =  ( − ∑ ) π 6 n2 0, <x ≤ π n=1  2 3.2. Nu hàm f( x ) là hàm s l ⇒ fx( )cos kx là hàm s l còn f( x )sin kx là hàm ch n π 2 ⇒ a==0; b fx ( )sin kxdxk , ∀∈ » k k π ∫ 0 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví d 3. Cho hàm s fxx( )= , −π≤ x ≤π , tu n hoàn v i chu kì 2π, khai tri n hàm f( x ) thành chu i Fourier +) Hàm f( x ) l ∗ +) ak =0, ∀ k ∈ » π π π 2 2 2− cos kx  +) bk = fx() sin kxdx = xsin kx dx = xd   π ∫ π ∫ π ∫ k  0 0 0 π π  π  2x cos kx cos kx 2π cosk π sin kx 2 k +1 = − + dx  = − +  =() − 1 ∫ 2 π k0 k  π k k 0  k 0  ∞ k +1 2 +) f()() x=∑ − 1 sin kx k k =1 Ví d 4. Khai tri n thành chu i Fourier theo các hàm s sin c a các hàm s sau ∞ sin nx a) fx()=π− x ,0 < x <π (2∑ ) n n=1 4∞ 1 nπ c) fxx( )= ( π− x ), 0 < x <π ( ∑ sin2 sin nx ) π n 4 n=1  π 1, 0 <x ≤ ∞  2 8 sin() 2n− 1 x b) f( x ) =  ( ∑ ) π π ()3 0, <x ≤ π n=1 2n − 1  2 3.3 Nu f( x ) tu n hoàn v i chu kì 2l , ơ n iu t ng khúc và b ch n trên on π l  [−l; l ]. i bi n x' = x ⇒ fx( )= f x '  ≡ Fx ( ') tu n hoàn v i chu kì 2π l π  a0 π π  S d ng khai tri n Fourier cho hàm này có fx( )= +∑ an cos nxb + n cos nx  , 2 l l  l l 1 1 πx ó a= fxdx( ) , a= fx( )cos ndx , ∀ n ∈ » ; 0 l ∫ n l∫ l −l −l l 1 πx b= fx( )sin n dx , ∀ n ∈ » n l∫ l −l Ví d 5. Khai tri n hàm tu n hoàn v i chu kì 2, fxx()=2 ,1 −≤≤ x 1 thành chu i Fourier +) f( x ) ch n +) bk =0, k = 1,2, 1 1 3 2 x 2 +) a0 =∫ xdx = = 3−1 3 −1 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 1 1 2 2 +) an =∫ xcos nxdxπ = 2 ∫ x cos nxdx π −1 0 1 1 1  sin nπ x  x2 sin nπ x = 2∫ x2 d   =2 . sinnπ x − ∫ .2 xdx  n  n0 n  0 0  1 1 1  4 cosnxπ  4 cos nx π cos nx π =∫xd  = x. − ∫ dx  n nnn  0 n  0 0  1  4 cosnπ sin n π x n 4 = −  =−()1 2 2 nn n0  n ∞ 1n 4 +) fx() = +∑ () − 1 cos nxπ 3 n2 n=1 Ví d 6. Khai tri n thành chu i Fourier hàm s 0,− 3 ≤x ≤ 0  a) f( x ) =  x v i chu kì 2l = 6  , 0<x ≤ 3 3 n 11∞  2() 21n−π x() − 1 nx π  ( −∑  cos + sin  ) 4 2 3n 3  π n =1 π ()2n − 1  0,− 2 ≤x ≤ 0  b) f( x ) =  x v i chu kì 2l = 4  , 0<x ≤ 2 2 n 11 2() 21n−π x() − 1 nx π  ( − cos + sin  ) ∑  2  4π  π ()2n − 1 2n 2  3.4. Nu f( x ) ơ n iu t ng khúc và b ch n trên [a; b ], mu n khai tri n f( x ) thành chu i Fourier, ta xây d ng hàm s g( x ) tu n hoàn v i chu kì ≥(b − a ) sao cho gx( )= fx ( ), ∀ x ∈ [ ab ; ]. Khai tri n hàm g( x ) thành chu i Fourier thì t ng c a chu i b ng f( x ) t i ∀x ∈ [ a; b ] (tr ra có ch ng là các im gián on c a f( x ) ). Vì hàm g( x ) không duy nh t nên có nhi u chu i Fourier bi u di n hàm s f( x ) , nói riêng n u hàm s g( x ) ch n thì chu i Fourier c a nó ch g m nh ng hàm s cosin, còn n u hàm s g( x ) l thi chu i Fourier ca nó ch g m nh ng hàm s sin. x Ví d 7. Khai tri n hàm s f() x= ,0 < x < 2 thành chu i Fourier theo các hàm s 2 cosin và thành chu i Fourier theo các hàm s sin. x a) +) Xét hàm g() x=, −≤≤ 2 x 2 , tu n hoàn chu kì 4 2 +) g( x) ≡ f( x), 0 < x < 2 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn +) Khai tri n Fourier hàm g( x ) có g( x ) ch n, do ó bk =0, k = 1, 2, 2 2 2 1 x2 a0 =∫ xdx = ∫ xdx == 2 2 2 0 −2 0 2 2 2 1 kxπ kx π 2 kπ x  ak = xcos dxx = cos dx = xd sin  2∫ 2 ∫ 2 ∫ kπ 2  −2 0 0 2 2 2 2 2kxπ 2 kx π 2  kπ x 4 k =xsin − sin dx =   cos =(() −1 − 1 ) ∫ 2 2 kπ20 k π 2 kπ  2 0 k π 0 ∞ 4 k kπ x +) g() x =+1∑ ()() −− 1 1cos k 2π 2 2 k =1 ∞ 8() 2n+ 1 π x =1 − ∑ cos ,x ≤ 2 2 2 2 n=0 ()2n + 1 π 8∞ 1() 21n+ π x +) f() x =−1∑ cos ,0 <<x 2 π 2 2 n=0 ()2n + 1 k +1 4∞ ()− 1 kπ x b) f() x=∑ sin , 0 < x < 2 π k 2 k =1 CH NG II. PH NG TRÌNH VI PHÂN §1. M U • t v n • Các quy lu t trong v tr u ưc vi t theo ngôn ng Toán h c • Môn i s gi i r t nhi u bài toán t nh • Tuy nhiên, h u h t các hi n t ưng t nhiên áng quan tâm l i liên quan t i s bi n i và th ưng ưc mô t b i các ph ươ ng trình có liên quan n s thay i v l ưng, ó là ph ươ ng trình vi phân. 1. Khái ni m c ơ b n ••• Ph ươ ng trình vi phân là ph ươ ng trình có d ng Fxyyy(,,,,,′ ′′  y (n ) )0= (1) trong ó x là bi n s c l p, y= y( x ) là hàm s ph i tìm, y′, y ′′ , , y (n ) là các o hàm c a nó. • Cp c a ph ươ ng trình vi phân. Là c p cao nh t c a o hàm c a y có m t trong ph ươ ng trình (1). PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn • Ph ươ ng trình vi phân tuy n tính. Là ph ươ ng trình vi phân (1) khi F là b c nh t i vi yyy,′ , ′′ , , y (n ) . D ng t ng quát c a ph ươ ng trình vi phân tuy n tính c p n là (n ) ( n − 1) y+ axy1() ++ an− 1 () xyaxybx′ + n () = () trong ó ax1( ), , axn ( ) là nh ng hàm s cho tr ưc. • Nghi m c a ph ươ ng trình vi phân (1) là hàm s tho mãn (1) • Gi i ph ươ ng trình vi phân (1) là tìm t t c các nghi m c a nó. Ví d 1. Gi i ph ươ ng trình vi phân sau a) y′ = cos x b) y′ = ln x c) y′ = x5 e x d) y′ = x4 sin x 2. Mt s ng d ng a) Sinh tr ưng t nhiên và thoái hoá dP • S t ng dân s : =()β − δ x , β là t l sinh, δ là t l ch t dt dA b) Lãi lu ti n = rA , A là l ưng ô la trong qu ti t ki m t i th i im t, tính theo dt nm, r là t l lãi lu ti n tính theo n m. dN c) S phân rã phóng x = − kN , k ph thu c vào t ng lo i ng v phóng x dt dA d) Gi i c = − λA, λ là h ng s gi i c c a thu c dt dx e) Ph ươ ng trình t ng tr ưng t nhiên = kx dt Ví d 2. Theo s li u t i www.census.gov vào gi a n m 1999 s dân toàn th gi i t ti 6 t ng ưi và ang t ng thêm kho ng 212 ngàn ng ưi m i ngày. Gi s là m c t ng dân s t nhiên ti p t c v i t l này, h i r ng: (a) T l t ng k hàng n m là bao nhiêu? (b) Vào gi a th k 21, dân s toàn th gi i s là bao nhiêu? (c) Hi sau bao lâu s dân toàn th gi i s t ng g p 10 l n–ngh a là t t i 60 t mà các nhà nhân kh u h c tin là m c t i a mà hành tinh c a chúng ta có th cung c p y l ươ ng th c? (a) Ta tính dân s theo t và th i gian theo n m. L y t = 0 ng v i gi a n m 1999 , nên P0 = 6 . S ki n P t ng lên 212 ngàn hay là 0,000212 t ng ưi trong m t ngày t i t = 0 có ngh a là P’ (0) = (0,000212)(365,25) ≈ 0,07743 t m t n m. T ph ươ ng trình t ng dân s t nhiên P’ = kP v i t = 0 , ta nh n ưc P '(0) 0,07743 k = ≈ ≈ 0, 0129, P(0) 6 Nh ư v y, s dân th gi i ang t ng theo t l kho ng 1,29% m t n m vào n m 1999 . Vi giá tr k này, ta có hàm cho s dân th gi i là P(t) = 6 e0,0129 t. (b) V i t = 51 ta có d báo P(51) = 6 e(0,0129)(51) ≈ 11,58 (t ) s là s dân c a th gi i vào gi a n m 2050 (nh ư th k t n m 1999 mi qua m t n a th k , dân s th gi i ã t ng g n g p ôi). PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ln10 (c) Dân s th gi i s t t i 60 t khi mà 60 = 6e 0,0129 t; ngh a là khi t = ≈ 178; 0, 0129 tc là n m 2177 . dT f) Quá trình ngu i i và nóng lên =k() A − T , k là h ng s d ươ ng, A là nhi t dt ca môi tr ưng Ví d 3. Mt mi ng th t 4-lb có nhi t ban u là 50 0 F, ưc cho vào m t cái lò 375 0 F vào lúc 5 gi chi u. Sau 75 phút ng ưi ta th y nhi t mi ng th t là 125 0 F. H i t i khi nào mi ng th t t nhi t 150 0 F (v a chín t i)? Gi i. Ta tính th i gian theo phút và coi lúc 5 gi chi u là t = 0. Ta c ng gi thi t (có v không th c t ) r ng t i m i lúc, nhi t T(t) c a c mi ng th t là u nh ư nhau. Ta có T(t) < A = 375, T(0) = 50 và T(75) = 125 . Vì th dT dT =k(375 − T ) ; = kdt ; −ln(375 −=+T ) kt C ; 375−T = Be −kt . dt ∫375 − t ∫ Vì T(0) = 50 nên B = 325 , v y T = 375(1 − e−kt ). Ta l i th y T = 125 khi t = 75 . Thay các 1 250 giá tr ó vào ph ươ ng trình trên s ưc k = −ln( ) ≈ 0,0035. 75 325 Sau cùng, ta gi i ph ươ ng trình 150 = 375 – 325e (–0,0035) t, i v i t = –[ln(225/325)]/(0,0035) ≈ 105 (phút) là t t c th i gian n ưng th t theo yêu cu t ra. B i vì mi ng th t ưc t vào lò lúc 5 gi chi u, ta s l y nó ra kh i lò vào kho ng 6 gi 45 phút. dy g) Quy lu t Torricelli Ay() = − agy2 , ó, v là th tích n ưc trong thùng, A(y) là dt di n tích ti t di n th ng n m ngang c a bình cao y so v i áy, 2gy là t c nưc thoát ra kh i l h ng Ví d 4. Mt cái bát d ng bán c u có bán kính mi ng bát là 4ft ưc ch a y n ưc vào th i im t = 0. Vào th i im này, ng ưi ta m m t l tròn ưng kính 1in áy bát. H i sau bao lâu s không còn nưc trong bát? Gi i. Ta nh n th y trong hình, da vào tam giác 2 2 2 vuông có A(y) = πr = π[16–(4–y) ] = π(8y – y ), vi g = 32ft/s 2, ph ươ ng trình trên có Tháo n ước t ừ m ột bát bán c ầu dy 1 π(8y – y 2) = − π( )2 2.32 y ; dt 24 1 16 2 1 (8y1/2− y 3/2 ) dy = − dt ; y3/2− y 5/2 =− tC + . ∫ ∫ 72 3 5 72 16 2 448 Do y(0) = 4 , ta có C =⋅43/2 − 4 5/2 = . 3 5 15 448 Bình ht n ưc khi y = 0 , ngh a là khi t=72 ⋅ ≈ 2150 (); s tc là kho ng 35 phút 50 15 giây. Có th coi là sau gn 36 phút, bát s không còn nưc. PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví d 5. Mt a bay r ơi xu ng b m t M t tr ng v i vn t c 450 m/s. Tên l a hãm c a nó, khi cháy, s t o ra gia t c 2,5 m/s 2 (gia t c tr ng tr ưng trên m t tr ng ưc coi là bao gm trong gia t c ã cho). V i cao nào so v i b m t M t tr ng thì tên l a c n ưc kích ho t m b o "s ti p t nh nhàng", t c là v = 0 khi ch m t? a bay trong Ví d 5 • Ph ươ ng trình: v(t) = 2,5t − 450 . • áp s : x0 = 40,5 km. Do ó tên l a hãm nên ưc kích hot khi a bay cao 40,5 km so v i b m t M t tr ng, và nó s ti p t nh nhàng sau 3 phút gi m t c. Ví d 6. Bài toán ng ưi b ơi Bài toán v ng ưi b ơi dy v 2 Ph ươ ng trình vi phân cho qu o c a ng ưi b ơi qua sông là =0 1 − x ( 2 ) dx v s a 3. Các mô hình toán Quá trình mô hình toán. Ví d 1. Su t bi n i theo th i gian c a dân s P(t) trong nhi u tr ưng h p ơn gi n v i t dP l sinh, t không i th ưng t l v i s dân. Ngh a là: = kP (1) dt vi k là h ng s t l . Quy lu t thoát n ưc c a Torricelli . Ph ươ ng trình (1) mô t quá trình thoát n ưc kh i b ch a. PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví d 2. Quy lu t c a Torricelli nói r ng su t bin i theo th i gian c a kh i l ưng nưc V trong m t b ch a t l v i c n b c hai c a sâu y c a n ưc trong b : dV = − k y , vi k là m t h ng s . dt Nu b ch a là m t hình tr tròn xoay v i di n tích áy là A, thì V = Ay , và dV /dt = dy A.( dy /dt ). Khi ó ph ươ ng trình có d ng: = − h y , trong ó h = k/A là m t h ng s . dt Ví d 3. Quy lu t gi m nhi t c a Newton có th phát bi u nh ư sau: Su t bi n i i v i th i gian c a nhi t T(t) ca m t v t th t l v i hi u s gi a T và nhi t A ca môi dT tr ưng xung quanh. Ngh a là = −k( T − A ). (2) dt trong ó, k là m t h ng s d ươ ng. Nh n th y r ng n u T > A, thì dT/dt < 0 , do ó nhi t là m t hàm gi m theo t và v t th ngu i i. Nh ưng n u T 0, và T s tng lên. Quy lu t gi m nhi t c a Newton, Ph ươ ng trình (2) mô t m t hòn á nóng b ngu i i trong n ưc Vy, m t quy lu t v t lý ã ưc di n gi i thành m t ph ươ ng trình vi phân. N u ta ã bi t các giá tr c a k và A, thì ta có th tìm ưc m t công th c t ưng minh cho T(t), ri da vào công th c ó, ta có th d oán nhi t sau ó c a v t th § 2. Ph ươ ng trình vi phân c p m t • i c ươ ng v ph ươ ng trình vi phân c p 1 • Ph ươ ng trình vi phân khuy t ••• t v n 1. i c ươ ng v ph ươ ng trình vi phân c p 1 Dng t ng quát c a ph ươ ng trình vi phân c p 1 là F(,, x y y ′ )= 0 (1) ho c y′ = fxy( , ) (2) nh lí v s t n t i và duy nh t nghi m • f( x , y ) liên t c trên mi n D ⊂ »2 • (x0 ; y 0 ) ∈ D ⇒ trong lân c n Uε( x 0 ) nào ó c a x0 , t n t i ít nh t m t nghi m y= y( x ) c a ph ươ ng trình ∂f (2) tho mãn y( x ) = y . N u ngoài ra (x , y ) liên t c trên D thì nghi m trên là duy nh t 0 0 ∂y Chú ý - Vic vi phm iu kin ca nh lí có th s phá v tính duy nht PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn dy • = 2 y dx 1 • fy () x, y = gián on t i (0 ; 0) y 2 • Có hai nghi m tho mãn: y1 = x ; y 2 = 0. - Vi ph m gi thi t nh lí có th làm bài toán vô nghi m dy • x= 2 y , y(0) = 1 dx dy d x • Nghi m: = 2 ⇒ ln|y| = 2ln|x| + ln| C| ⇒ y = Cx2 y x • y(0) = 1 , không có C nào ⇒ vô nghi m. - Có hay không ph ươ ng trình vi phân không tho mãn gi thi t và có duy nh t nghi m? - Bài toán Cauchy y′ = fxy(, ), yx (0 ) = y 0 - Nghi m t ng quát c a ph ươ ng trình vi phân (2) là hàm s y= ϕ ( x , C ) : • ϕ(x , C ) tho (2) v i m i C • ∀(;),xy ∈∃=ϕ DCC :(,) xC = y 00 0 0x= x 0 0 Khi ó ϕ(x , C 0 ) ưc g i là nghi m riêng - Nghi m kì d là nghi m không n m trong h nghi m t ng quát - Tích phân t ng quát là nghi m t ng quát d ưi d ng n φ(,x y , C ) = 0 - Khi cho tích phân t ng quát m t giá tr c th ta có tích phân riêng φ(,,x y C 0 ) = 0 2. Ph ươ ng trình vi phân khuy t a) F(, x y ′ )= 0 +) y′ = f( x ) ⇒ y= ∫ fxdx( ) +) x= f( y ′ ) , t y′ = t ⇒ x= f( t ) ; y= ∫ tf′( tdt ) Ví d 1. Gi i ph ươ ng trình sau x= y′2 − y ′ + 2 +) y′ = t +) x= t2 − t + 2 2 t 2 +) dy= tdx ⇒ y= tt()2 − 1 dt = t3 −+ C ∫ 3 2 2 t 2 +) Nghi m xtt=−+22, yt = 3 −+ C 3 2 b) F(, y y ′ )= 0 dy 1 +) y′ = f( y ) ⇒ dx = ⇒ x= dy f( y ) ∫ f( y ) f′( t ) +) y= f( y ′ ) , t y′ = t ⇒ y= f( t ) , x= dt ∫ t PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn f′( t ) +) F(, y y ′ )= 0 , t y= f( t ) ⇒ y′ = g( t ) ⇒ x= dt ∫ g( t ) Ví d 2. Gi i ph ươ ng trình y2+ y ′ 2 = 4 +) y= 2 sin t ⇒ dy= 2 cos tdt = 2 cos t dx +) N u cost ≠ 0 ⇒ dt= dx ⇒ t= x + c ⇒ y=2 sin ( x + c ) là nghi m t ng quát π +) N u cost = 0 ⇒ t=()2 x + 1 ⇒ y = ± 1 (Nghi m kì d ) 2 HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdfbai_giang_phuong_trinh_vi_phan_va_li_thuyet_chuoi_bai_6_chuo.pdf
Tài liệu liên quan