Ví dụ 2. Theo số liệu tại vào giữa năm 1999 số dân toàn thế giới đạt
tới 6 tỉ người và đang tăng thêm khoảng 212 ngàn người mỗi ngày. Giả sử là mức tăng
dân số tự nhiên tiếp tục với tỷ lệ này, hỏi rằng:
(a) Tỷ lệ tăng k hàng năm là bao nhiêu?
(b) Vào giữa thế kỉ 21, dân số toàn thế giới sẽ là bao nhiêu?
(c) Hỏi sau bao lâu số dân toàn thế giới sẽ tăng gấp 10 lần–nghĩa là đạt tới 60 tỉ
mà các nhà nhân khẩu học tin là mức tối đa mà hành tinh của chúng ta có thể
cung cấp đầy đủ lương thực?
10 trang |
Chia sẻ: trungkhoi17 | Lượt xem: 431 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Bài 6: Chuỗi Fourier - Nguyễn Xuân Thảo, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
PH NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY T CHU I
BÀI 6
§ 6 Chu i Fourier (TT)
• Khai tri n hàm ch n, l • Khai tri n hàm tuàn hoàn chu kì b t kì
3. Khai tri n hàm ch n, l
3.1. N u f( x ) là hàm s ch n ⇒ fx( )cos kx là hàm ch n, f( x )sin kx là hàm l
π
2
⇒ a= fx( )cos kxdx ; b =∀∈ 0, k »
kπ ∫ k
0
π−x, 0 ≤ x ≤π
Ví d 1. f( x ) = tu n hoàn v i chu kì 2π , khai tri n hàm f( x ) thành
π+x, −π≤ x < 0
chu i Fourier.
+) f( − x) = fx( )
+) bk =0, ∀ k ∈ »
π π
2 π
2() 2 () 2 x
+) a0 =∫ fxdx = ∫ π − xdx =πx − = π
π π π 2 0
0 0
π π π
2 2 2π 2 sin kx
+) ak = fx() cos kxdx =()π − xcos kx dx =sin kx0 − xd
π ∫ π ∫ kπ ∫ k
0 0 0
π π π
2x sin kx sin kx 2− cos kx 2 2 k
= − − dx = . =()1 − cos kπ =(1 −() − 1 )
∫ 2 2 2
π k0 k π k 0 π k π k
0
∞ ∞
π 2 k π 4
+) f() x=+∑ ()1 −−() 1 cos kx = +∑ cos() 2n + 1 x
2 π k 2 2 2
k =1 n=0 π ()2n + 1
Ví d 2. Khai tri n thành chu i Fourier theo các hàm s cosin c a các hàm s sau
π π ∞ cos() 2n− 1 x
a) fx()=− 1 x ,0 ≤≤π x (1 − + ∑ )
2 4 2
n=1 ()2n − 1
1 2∞ cos4()nx+ 1 cos4() nx + 3
c) fxx( )= ( π− x ), 0 < x <π ( +∑ − )
2 41n 43 n
π n =1 + +
π
1, 0 ≤x ≤ ∞
2 π 2 cos 2 nx
b) f( x ) = ( − ∑ )
π 6 n2
0, <x ≤ π n=1
2
3.2. N u hàm f( x ) là hàm s l ⇒ fx( )cos kx là hàm s l còn f( x )sin kx là hàm ch n
π
2
⇒ a==0; b fx ( )sin kxdxk , ∀∈ »
k k π ∫
0
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
Ví d 3. Cho hàm s fxx( )= , −π≤ x ≤π , tu n hoàn v i chu kì 2π, khai tri n hàm f( x )
thành chu i Fourier
+) Hàm f( x ) l
∗
+) ak =0, ∀ k ∈ »
π π π
2 2 2− cos kx
+) bk = fx() sin kxdx = xsin kx dx = xd
π ∫ π ∫ π ∫ k
0 0 0
π π π
2x cos kx cos kx 2π cosk π sin kx 2 k +1
= − + dx = − + =() − 1
∫ 2
π k0 k π k k 0 k
0
∞
k +1 2
+) f()() x=∑ − 1 sin kx
k
k =1
Ví d 4. Khai tri n thành chu i Fourier theo các hàm s sin c a các hàm s sau
∞ sin nx
a) fx()=π− x ,0 < x <π (2∑ )
n
n=1
4∞ 1 nπ
c) fxx( )= ( π− x ), 0 < x <π ( ∑ sin2 sin nx )
π n 4
n=1
π
1, 0 <x ≤ ∞
2 8 sin() 2n− 1 x
b) f( x ) = ( ∑ )
π π ()3
0, <x ≤ π n=1 2n − 1
2
3.3 N u f( x ) tu n hoàn v i chu kì 2l , ơ n i u t ng khúc và b ch n trên o n
π l
[−l; l ]. i bi n x' = x ⇒ fx( )= f x ' ≡ Fx ( ') tu n hoàn v i chu kì 2π
l π
a0 π π
S d ng khai tri n Fourier cho hàm này có fx( )= +∑ an cos nxb + n cos nx ,
2 l l
l l
1 1 πx
ó a= fxdx( ) , a= fx( )cos ndx , ∀ n ∈ » ;
0 l ∫ n l∫ l
−l −l
l
1 πx
b= fx( )sin n dx , ∀ n ∈ »
n l∫ l
−l
Ví d 5. Khai tri n hàm tu n hoàn v i chu kì 2, fxx()=2 ,1 −≤≤ x 1 thành chu i Fourier
+) f( x ) ch n
+) bk =0, k = 1,2,
1 1
3
2 x 2
+) a0 =∫ xdx = =
3−1 3
−1
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
1 1
2 2
+) an =∫ xcos nxdxπ = 2 ∫ x cos nxdx π
−1 0
1 1 1
sin nπ x x2 sin nπ x
= 2∫ x2 d =2 . sinnπ x − ∫ .2 xdx
n n0 n
0 0
1 1 1
4 cosnxπ 4 cos nx π cos nx π
=∫xd = x. − ∫ dx
n nnn 0 n
0 0
1
4 cosnπ sin n π x n 4
= − =−()1
2 2
nn n0 n
∞
1n 4
+) fx() = +∑ () − 1 cos nxπ
3 n2
n=1
Ví d 6. Khai tri n thành chu i Fourier hàm s
0,− 3 ≤x ≤ 0
a) f( x ) = x v i chu kì 2l = 6
, 0<x ≤ 3
3
n
11∞ 2() 21n−π x() − 1 nx π
( −∑ cos + sin )
4 2 3n 3
π n =1 π ()2n − 1
0,− 2 ≤x ≤ 0
b) f( x ) = x v i chu kì 2l = 4
, 0<x ≤ 2
2
n
11 2() 21n−π x() − 1 nx π
( − cos + sin )
∑ 2
4π π ()2n − 1 2n 2
3.4. N u f( x ) ơ n i u t ng khúc và b ch n trên [a; b ], mu n khai tri n f( x ) thành
chu i Fourier, ta xây d ng hàm s g( x ) tu n hoàn v i chu kì ≥(b − a ) sao cho
gx( )= fx ( ), ∀ x ∈ [ ab ; ].
Khai tri n hàm g( x ) thành chu i Fourier thì t ng c a chu i b ng f( x ) t i ∀x ∈ [ a; b ]
(tr ra có ch ng là các i m gián o n c a f( x ) ). Vì hàm g( x ) không duy nh t nên có
nhi u chu i Fourier bi u di n hàm s f( x ) , nói riêng n u hàm s g( x ) ch n thì chu i
Fourier c a nó ch g m nh ng hàm s cosin, còn n u hàm s g( x ) l thi chu i Fourier
c a nó ch g m nh ng hàm s sin.
x
Ví d 7. Khai tri n hàm s f() x= ,0 < x < 2 thành chu i Fourier theo các hàm s
2
cosin và thành chu i Fourier theo các hàm s sin.
x
a) +) Xét hàm g() x=, −≤≤ 2 x 2 , tu n hoàn chu kì 4
2
+) g( x) ≡ f( x), 0 < x < 2
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
+) Khai tri n Fourier hàm g( x ) có g( x ) ch n, do ó
bk =0, k = 1, 2,
2 2 2
1 x2
a0 =∫ xdx = ∫ xdx == 2
2 2 0
−2 0
2 2 2
1 kxπ kx π 2 kπ x
ak = xcos dxx = cos dx = xd sin
2∫ 2 ∫ 2 ∫ kπ 2
−2 0 0
2 2 2 2
2kxπ 2 kx π 2 kπ x 4 k
=xsin − sin dx = cos =(() −1 − 1 )
∫ 2 2
kπ20 k π 2 kπ 2 0 k π
0
∞
4 k kπ x
+) g() x =+1∑ ()() −− 1 1cos
k 2π 2 2
k =1
∞ 8() 2n+ 1 π x
=1 − ∑ cos ,x ≤ 2
2 2 2
n=0 ()2n + 1 π
8∞ 1() 21n+ π x
+) f() x =−1∑ cos ,0 <<x 2
π 2 2
n=0 ()2n + 1
k +1
4∞ ()− 1 kπ x
b) f() x=∑ sin , 0 < x < 2
π k 2
k =1
CH NG II. PH NG TRÌNH VI PHÂN
§1. M U
• t v n
• Các quy lu t trong v tr u ư c vi t theo ngôn ng Toán h c
• Môn i s gi i r t nhi u bài toán t nh
• Tuy nhiên, h u h t các hi n t ư ng t nhiên áng quan tâm l i liên quan t i s bi n
i và th ư ng ư c mô t b i các ph ươ ng trình có liên quan n s thay i v l ư ng, ó
là ph ươ ng trình vi phân.
1. Khái ni m c ơ b n
••• Ph ươ ng trình vi phân là ph ươ ng trình có d ng Fxyyy(,,,,,′ ′′ y (n ) )0= (1)
trong ó x là bi n s c l p, y= y( x ) là hàm s ph i tìm, y′, y ′′ , , y (n ) là các o
hàm c a nó.
• C p c a ph ươ ng trình vi phân. Là c p cao nh t c a o hàm c a y có m t trong
ph ươ ng trình (1).
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
• Ph ươ ng trình vi phân tuy n tính. Là ph ươ ng trình vi phân (1) khi F là b c nh t i
v i yyy,′ , ′′ , , y (n ) . D ng t ng quát c a ph ươ ng trình vi phân tuy n tính c p n là
(n ) ( n − 1)
y+ axy1() ++ an− 1 () xyaxybx′ + n () = ()
trong ó ax1( ), , axn ( ) là nh ng hàm s cho tr ư c.
• Nghi m c a ph ươ ng trình vi phân (1) là hàm s tho mãn (1)
• Gi i ph ươ ng trình vi phân (1) là tìm t t c các nghi m c a nó.
Ví d 1. Gi i ph ươ ng trình vi phân sau
a) y′ = cos x b) y′ = ln x c) y′ = x5 e x d) y′ = x4 sin x
2. M t s ng d ng
a) Sinh tr ư ng t nhiên và thoái hoá
dP
• S t ng dân s : =()β − δ x , β là t l sinh, δ là t l ch t
dt
dA
b) Lãi lu ti n = rA , A là l ư ng ô la trong qu ti t ki m t i th i i m t, tính theo
dt
n m, r là t l lãi lu ti n tính theo n m.
dN
c) S phân rã phóng x = − kN , k ph thu c vào t ng lo i ng v phóng x
dt
dA
d) Gi i c = − λA, λ là h ng s gi i c c a thu c
dt
dx
e) Ph ươ ng trình t ng tr ư ng t nhiên = kx
dt
Ví d 2. Theo s li u t i www.census.gov vào gi a n m 1999 s dân toàn th gi i t
t i 6 t ng ư i và ang t ng thêm kho ng 212 ngàn ng ư i m i ngày. Gi s là m c t ng
dân s t nhiên ti p t c v i t l này, h i r ng:
(a) T l t ng k hàng n m là bao nhiêu?
(b) Vào gi a th k 21, dân s toàn th gi i s là bao nhiêu?
(c) H i sau bao lâu s dân toàn th gi i s t ng g p 10 l n–ngh a là t t i 60 t
mà các nhà nhân kh u h c tin là m c t i a mà hành tinh c a chúng ta có th
cung c p y l ươ ng th c?
(a) Ta tính dân s theo t và th i gian theo n m. L y t = 0 ng v i gi a n m 1999 , nên
P0 = 6 . S ki n P t ng lên 212 ngàn hay là 0,000212 t ng ư i trong m t ngày t i t = 0 có
ngh a là P’ (0) = (0,000212)(365,25) ≈ 0,07743 t m t n m.
T ph ươ ng trình t ng dân s t nhiên P’ = kP v i t = 0 , ta nh n ư c
P '(0) 0,07743
k = ≈ ≈ 0, 0129,
P(0) 6
Nh ư v y, s dân th gi i ang t ng theo t l kho ng 1,29% m t n m vào n m 1999 .
V i giá tr k này, ta có hàm cho s dân th gi i là P(t) = 6 e0,0129 t.
(b) V i t = 51 ta có d báo P(51) = 6 e(0,0129)(51) ≈ 11,58 (t )
s là s dân c a th gi i vào gi a n m 2050 (nh ư th k t n m 1999 m i qua m t n a
th k , dân s th gi i ã t ng g n g p ôi).
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
ln10
(c) Dân s th gi i s t t i 60 t khi mà 60 = 6e 0,0129 t; ngh a là khi t = ≈ 178;
0, 0129
t c là n m 2177 .
dT
f) Quá trình ngu i i và nóng lên =k() A − T , k là h ng s d ươ ng, A là nhi t
dt
c a môi tr ư ng
Ví d 3. M t mi ng th t 4-lb có nhi t ban u là 50 0 F, ư c cho vào m t cái lò 375 0 F
vào lúc 5 gi chi u. Sau 75 phút ng ư i ta th y nhi t mi ng th t là 125 0 F. H i t i khi
nào mi ng th t t nhi t 150 0 F (v a chín t i)?
Gi i. Ta tính th i gian theo phút và coi lúc 5 gi chi u là t = 0. Ta c ng gi thi t (có v
không th c t ) r ng t i m i lúc, nhi t T(t) c a c mi ng th t là u nh ư nhau. Ta có
T(t) < A = 375, T(0) = 50 và T(75) = 125 . Vì th
dT dT
=k(375 − T ) ; = kdt ; −ln(375 −=+T ) kt C ; 375−T = Be −kt .
dt ∫375 − t ∫
Vì T(0) = 50 nên B = 325 , v y T = 375(1 − e−kt ). Ta l i th y T = 125 khi t = 75 . Thay các
1 250
giá tr ó vào ph ươ ng trình trên s ư c k = −ln( ) ≈ 0,0035.
75 325
Sau cùng, ta gi i ph ươ ng trình 150 = 375 – 325e (–0,0035) t,
i v i t = –[ln(225/325)]/(0,0035) ≈ 105 (phút) là t t c th i gian n ư ng th t theo yêu
c u t ra. B i vì mi ng th t ư c t vào lò lúc 5 gi chi u, ta s l y nó ra kh i lò vào
kho ng 6 gi 45 phút.
dy
g) Quy lu t Torricelli Ay() = − agy2 , ó, v là th tích n ư c trong thùng, A(y) là
dt
di n tích ti t di n th ng n m ngang c a bình cao y so v i áy, 2gy là t c
nư c thoát ra kh i l h ng
Ví d 4. M t cái bát d ng bán c u có bán kính mi ng
bát là 4ft ư c ch a y n ư c vào th i i m t = 0.
Vào th i i m này, ng ư i ta m m t l tròn ư ng
kính 1in áy bát. H i sau bao lâu s không còn
nư c trong bát?
Gi i. Ta nh n th y trong hình, d a vào tam giác
2 2 2
vuông có A(y) = πr = π[16–(4–y) ] = π(8y – y ),
v i g = 32ft/s 2, ph ươ ng trình trên có Tháo n ước t ừ m ột bát bán c ầu
dy 1
π(8y – y 2) = − π( )2 2.32 y ;
dt 24
1 16 2 1
(8y1/2− y 3/2 ) dy = − dt ; y3/2− y 5/2 =− tC + .
∫ ∫ 72 3 5 72
16 2 448
Do y(0) = 4 , ta có C =⋅43/2 − 4 5/2 = .
3 5 15
448
Bình h t n ư c khi y = 0 , ngh a là khi t=72 ⋅ ≈ 2150 (); s t c là kho ng 35 phút 50
15
giây. Có th coi là sau g n 36 phút, bát s không còn nư c.
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
Ví d 5. M t a bay r ơi xu ng b m t M t tr ng v i v n t c
450 m/s. Tên l a hãm c a nó, khi cháy, s t o ra gia t c
2,5 m/s 2 (gia t c tr ng tr ư ng trên m t tr ng ư c coi là bao
g m trong gia t c ã cho). V i cao nào so v i b m t M t
tr ng thì tên l a c n ư c kích ho t m b o "s ti p t
nh nhàng", t c là v = 0 khi ch m t? a bay trong Ví d 5
• Ph ươ ng trình: v(t) = 2,5t − 450 .
• áp s : x0 = 40,5 km.
Do ó tên l a hãm nên ư c kích ho t khi a bay cao 40,5 km so v i b m t M t
tr ng, và nó s ti p t nh nhàng sau 3 phút gi m t c.
Ví d 6. Bài toán ng ư i b ơi
Bài toán v ng ư i b ơi
dy v 2
Ph ươ ng trình vi phân cho qu o c a ng ư i b ơi qua sông là =0 1 − x
( 2 )
dx v s a
3. Các mô hình toán
Quá trình mô hình toán.
Ví d 1. Su t bi n i theo th i gian c a dân s P(t) trong nhi u tr ư ng h p ơn gi n v i t
dP
l sinh, t không i th ư ng t l v i s dân. Ngh a là: = kP (1)
dt
v i k là h ng s t l .
Quy lu t thoát n ư c c a Torricelli .
Ph ươ ng trình (1) mô t quá trình thoát n ư c kh i b ch a.
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
Ví d 2. Quy lu t c a Torricelli nói r ng su t bi n i theo th i gian c a kh i l ư ng
nư c V trong m t b ch a t l v i c n b c hai c a sâu y c a n ư c trong b :
dV
= − k y , v i k là m t h ng s .
dt
N u b ch a là m t hình tr tròn xoay v i di n tích áy là A, thì V = Ay , và dV /dt =
dy
A.( dy /dt ). Khi ó ph ươ ng trình có d ng: = − h y , trong ó h = k/A là m t h ng s .
dt
Ví d 3. Quy lu t gi m nhi t c a Newton có th phát bi u nh ư sau: Su t bi n i i v i
th i gian c a nhi t T(t) c a m t v t th t l v i hi u s gi a T và nhi t A c a môi
dT
tr ư ng xung quanh. Ngh a là = −k( T − A ). (2)
dt
trong ó, k là m t h ng s d ươ ng. Nh n th y r ng n u T > A, thì dT/dt < 0 , do ó nhi t
là m t hàm gi m theo t và v t th ngu i i. Nh ưng n u T 0, và T s
t ng lên.
Quy lu t gi m nhi t c a Newton,
Ph ươ ng trình (2) mô t m t hòn á nóng b ngu i i trong n ư c
V y, m t quy lu t v t lý ã ư c di n gi i thành m t ph ươ ng trình vi phân. N u ta ã
bi t các giá tr c a k và A, thì ta có th tìm ư c m t công th c t ư ng minh cho T(t), r i
d a vào công th c ó, ta có th d oán nhi t sau ó c a v t th
§ 2. Ph ươ ng trình vi phân c p m t
• i c ươ ng v ph ươ ng trình vi phân c p 1
• Ph ươ ng trình vi phân khuy t
••• t v n
1. i c ươ ng v ph ươ ng trình vi phân c p 1
D ng t ng quát c a ph ươ ng trình vi phân c p 1 là F(,, x y y ′ )= 0 (1) ho c y′ = fxy( , ) (2)
nh lí v s t n t i và duy nh t nghi m
• f( x , y ) liên t c trên mi n D ⊂ »2
• (x0 ; y 0 ) ∈ D
⇒ trong lân c n Uε( x 0 ) nào ó c a x0 , t n t i ít nh t m t nghi m y= y( x ) c a ph ươ ng trình
∂f
(2) tho mãn y( x ) = y . N u ngoài ra (x , y ) liên t c trên D thì nghi m trên là duy nh t
0 0 ∂y
Chú ý
- Vi c vi ph m i u ki n c a nh lí có th s phá v tính duy nh t
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
dy
• = 2 y
dx
1
• fy () x, y = gián o n t i (0 ; 0)
y
2
• Có hai nghi m tho mãn: y1 = x ; y 2 = 0.
- Vi ph m gi thi t nh lí có th làm bài toán vô nghi m
dy
• x= 2 y , y(0) = 1
dx
dy d x
• Nghi m: = 2 ⇒ ln|y| = 2ln|x| + ln| C| ⇒ y = Cx2
y x
• y(0) = 1 , không có C nào ⇒ vô nghi m.
- Có hay không ph ươ ng trình vi phân không tho mãn gi thi t và có duy nh t nghi m?
- Bài toán Cauchy y′ = fxy(, ), yx (0 ) = y 0
- Nghi m t ng quát c a ph ươ ng trình vi phân (2) là hàm s y= ϕ ( x , C ) :
• ϕ(x , C ) tho (2) v i m i C
• ∀(;),xy ∈∃=ϕ DCC :(,) xC = y
00 0 0x= x 0 0
Khi ó ϕ(x , C 0 ) ư c g i là nghi m riêng
- Nghi m kì d là nghi m không n m trong h nghi m t ng quát
- Tích phân t ng quát là nghi m t ng quát d ư i d ng n φ(,x y , C ) = 0
- Khi cho tích phân t ng quát m t giá tr c th ta có tích phân riêng φ(,,x y C 0 ) = 0
2. Ph ươ ng trình vi phân khuy t
a) F(, x y ′ )= 0
+) y′ = f( x ) ⇒ y= ∫ fxdx( )
+) x= f( y ′ ) , t y′ = t ⇒ x= f( t ) ; y= ∫ tf′( tdt )
Ví d 1. Gi i ph ươ ng trình sau x= y′2 − y ′ + 2
+) y′ = t
+) x= t2 − t + 2
2 t 2
+) dy= tdx ⇒ y= tt()2 − 1 dt = t3 −+ C
∫ 3 2
2 t 2
+) Nghi m xtt=−+22, yt = 3 −+ C
3 2
b) F(, y y ′ )= 0
dy 1
+) y′ = f( y ) ⇒ dx = ⇒ x= dy
f( y ) ∫ f( y )
f′( t )
+) y= f( y ′ ) , t y′ = t ⇒ y= f( t ) , x= dt
∫ t
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
f′( t )
+) F(, y y ′ )= 0 , t y= f( t ) ⇒ y′ = g( t ) ⇒ x= dt
∫ g( t )
Ví d 2. Gi i ph ươ ng trình y2+ y ′ 2 = 4
+) y= 2 sin t ⇒ dy= 2 cos tdt = 2 cos t dx
+) N u cost ≠ 0 ⇒ dt= dx ⇒ t= x + c ⇒ y=2 sin ( x + c ) là nghi m t ng quát
π
+) N u cost = 0 ⇒ t=()2 x + 1 ⇒ y = ± 1 (Nghi m kì d )
2
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- bai_giang_phuong_trinh_vi_phan_va_li_thuyet_chuoi_bai_6_chuo.pdf