Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Bài 6: Chuỗi Fourier - Nguyễn Xuân Thảo

PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo [email protected] PH NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY T CHU I BÀI 6 § 6 Chu i Fourier (TT) • Khai tri n hàm ch n, l • Khai tri n hàm tuàn hoàn chu kì b t kì 3. Khai tri n hàm ch n, l 3.1. Nu f( x ) là hàm s ch n ⇒ fx( )cos kx là hàm ch n, f( x )sin kx là hàm l π 2 ⇒ a= fx( )cos kxdx ; b =∀∈ 0, k » kπ ∫ k 0 π−x, 0 ≤ x ≤π Ví d 1. f( x ) =  tu n hoàn v i chu kì 2π , khai tri n hàm f( x ) thành π+x, −π≤ x < 0 chu i Fourier. +) f( − x) = fx( ) +) bk =0, ∀ k ∈ » π π 2  π 2() 2 () 2 x +) a0 =∫ fxdx = ∫ π − xdx =πx −  = π π π π 2  0 0 0 π π π 2 2 2π 2 sin kx  +) ak = fx() cos kxdx =()π − xcos kx dx =sin kx0 − xd   π ∫ π ∫ kπ ∫  k  0 0 0 π π  π 2x sin kx sin kx 2− cos kx 2 2 k = − − dx  = . =()1 − cos kπ =(1 −() − 1 ) ∫ 2 2 2 π k0 k  π k 0 π k π k 0  ∞ ∞ π 2 k π 4 +) f() x=+∑ ()1 −−() 1 cos kx = +∑ cos() 2n + 1 x 2 π k 2 2 2 k =1 n=0 π ()2n + 1 Ví d 2. Khai tri n thành chu i Fourier theo các hàm s cosin c a các hàm s sau π π ∞ cos() 2n− 1 x a) fx()=− 1 x ,0 ≤≤π x (1 − + ∑ ) 2 4 2 n=1 ()2n − 1 1 2∞  cos4()nx+ 1 cos4() nx + 3  c) fxx( )= ( π− x ), 0 < x <π ( +∑  −  ) 2 41n 43 n  π n =1 + +  π 1, 0 ≤x ≤ ∞  2 π 2 cos 2 nx b) f( x ) =  ( − ∑ ) π 6 n2 0, <x ≤ π n=1  2 3.2. Nu hàm f( x ) là hàm s l ⇒ fx( )cos kx là hàm s l còn f( x )sin kx là hàm ch n π 2 ⇒ a==0; b fx ( )sin kxdxk , ∀∈ » k k π ∫ 0 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo [email protected] Ví d 3. Cho hàm s fxx( )= , −π≤ x ≤π , tu n hoàn v i chu kì 2π, khai tri n hàm f( x ) thành chu i Fourier +) Hàm f( x ) l ∗ +) ak =0, ∀ k ∈ » π π π 2 2 2− cos kx  +) bk = fx() sin kxdx = xsin kx dx = xd   π ∫ π ∫ π ∫ k  0 0 0 π π  π  2x cos kx cos kx 2π cosk π sin kx 2 k +1 = − + dx  = − +  =() − 1 ∫ 2 π k0 k  π k k 0  k 0  ∞ k +1 2 +) f()() x=∑ − 1 sin kx k k =1 Ví d 4. Khai tri n thành chu i Fourier theo các hàm s sin c a các hàm s sau ∞ sin nx a) fx()=π− x ,0 < x <π (2∑ ) n n=1 4∞ 1 nπ c) fxx( )= ( π− x ), 0 < x <π ( ∑ sin2 sin nx ) π n 4 n=1  π 1, 0 <x ≤ ∞  2 8 sin() 2n− 1 x b) f( x ) =  ( ∑ ) π π ()3 0, <x ≤ π n=1 2n − 1  2 3.3 Nu f( x ) tu n hoàn v i chu kì 2l , ơ n iu t ng khúc và b ch n trên on π l  [−l; l ]. i bi n x' = x ⇒ fx( )= f x '  ≡ Fx ( ') tu n hoàn v i chu kì 2π l π  a0 π π  S d ng khai tri n Fourier cho hàm này có fx( )= +∑ an cos nxb + n cos nx  , 2 l l  l l 1 1 πx ó a= fxdx( ) , a= fx( )cos ndx , ∀ n ∈ » ; 0 l ∫ n l∫ l −l −l l 1 πx b= fx( )sin n dx , ∀ n ∈ » n l∫ l −l Ví d 5. Khai tri n hàm tu n hoàn v i chu kì 2, fxx()=2 ,1 −≤≤ x 1 thành chu i Fourier +) f( x ) ch n +) bk =0, k = 1,2, 1 1 3 2 x 2 +) a0 =∫ xdx = = 3−1 3 −1 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo [email protected] 1 1 2 2 +) an =∫ xcos nxdxπ = 2 ∫ x cos nxdx π −1 0 1 1 1  sin nπ x  x2 sin nπ x = 2∫ x2 d   =2 . sinnπ x − ∫ .2 xdx  n  n0 n  0 0  1 1 1  4 cosnxπ  4 cos nx π cos nx π =∫xd  = x. − ∫ dx  n nnn  0 n  0 0  1  4 cosnπ sin n π x n 4 = −  =−()1 2 2 nn n0  n ∞ 1n 4 +) fx() = +∑ () − 1 cos nxπ 3 n2 n=1 Ví d 6. Khai tri n thành chu i Fourier hàm s 0,− 3 ≤x ≤ 0  a) f( x ) =  x v i chu kì 2l = 6  , 0<x ≤ 3 3 n 11∞  2() 21n−π x() − 1 nx π  ( −∑  cos + sin  ) 4 2 3n 3  π n =1 π ()2n − 1  0,− 2 ≤x ≤ 0  b) f( x ) =  x v i chu kì 2l = 4  , 0<x ≤ 2 2 n 11 2() 21n−π x() − 1 nx π  ( − cos + sin  ) ∑  2  4π  π ()2n − 1 2n 2  3.4. Nu f( x ) ơ n iu t ng khúc và b ch n trên [a; b ], mu n khai tri n f( x ) thành chu i Fourier, ta xây d ng hàm s g( x ) tu n hoàn v i chu kì ≥(b − a ) sao cho gx( )= fx ( ), ∀ x ∈ [ ab ; ]. Khai tri n hàm g( x ) thành chu i Fourier thì t ng c a chu i b ng f( x ) t i ∀x ∈ [ a; b ] (tr ra có ch ng là các im gián on c a f( x ) ). Vì hàm g( x ) không duy nh t nên có nhi u chu i Fourier bi u di n hàm s f( x ) , nói riêng n u hàm s g( x ) ch n thì chu i Fourier c a nó ch g m nh ng hàm s cosin, còn n u hàm s g( x ) l thi chu i Fourier ca nó ch g m nh ng hàm s sin. x Ví d 7. Khai tri n hàm s f() x= ,0 < x < 2 thành chu i Fourier theo các hàm s 2 cosin và thành chu i Fourier theo các hàm s sin. x a) +) Xét hàm g() x=, −≤≤ 2 x 2 , tu n hoàn chu kì 4 2 +) g( x) ≡ f( x), 0 < x < 2 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo [email protected] +) Khai tri n Fourier hàm g( x ) có g( x ) ch n, do ó bk =0, k = 1, 2, 2 2 2 1 x2 a0 =∫ xdx = ∫ xdx == 2 2 2 0 −2 0 2 2 2 1 kxπ kx π 2 kπ x  ak = xcos dxx = cos dx = xd sin  2∫ 2 ∫ 2 ∫ kπ 2  −2 0 0 2 2 2 2 2kxπ 2 kx π 2  kπ x 4 k =xsin − sin dx =   cos =(() −1 − 1 ) ∫ 2 2 kπ20 k π 2 kπ  2 0 k π 0 ∞ 4 k kπ x +) g() x =+1∑ ()() −− 1 1cos k 2π 2 2 k =1 ∞ 8() 2n+ 1 π x =1 − ∑ cos ,x ≤ 2 2 2 2 n=0 ()2n + 1 π 8∞ 1() 21n+ π x +) f() x =−1∑ cos ,0 <<x 2 π 2 2 n=0 ()2n + 1 k +1 4∞ ()− 1 kπ x b) f() x=∑ sin , 0 < x < 2 π k 2 k =1 CH NG II. PH NG TRÌNH VI PHÂN §1. M U • t v n • Các quy lu t trong v tr u ưc vi t theo ngôn ng Toán h c • Môn i s gi i r t nhi u bài toán t nh • Tuy nhiên, h u h t các hi n t ưng t nhiên áng quan tâm l i liên quan t i s bi n i và th ưng ưc mô t b i các ph ươ ng trình có liên quan n s thay i v l ưng, ó là ph ươ ng trình vi phân. 1. Khái ni m c ơ b n ••• Ph ươ ng trình vi phân là ph ươ ng trình có d ng Fxyyy(,,,,,′ ′′  y (n ) )0= (1) trong ó x là bi n s c l p, y= y( x ) là hàm s ph i tìm, y′, y ′′ , , y (n ) là các o hàm c a nó. • Cp c a ph ươ ng trình vi phân. Là c p cao nh t c a o hàm c a y có m t trong ph ươ ng trình (1). PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo [email protected] • Ph ươ ng trình vi phân tuy n tính. Là ph ươ ng trình vi phân (1) khi F là b c nh t i vi yyy,′ , ′′ , , y (n ) . D ng t ng quát c a ph ươ ng trình vi phân tuy n tính c p n là (n ) ( n − 1) y+ axy1() ++ an− 1 () xyaxybx′ + n () = () trong ó ax1( ), , axn ( ) là nh ng hàm s cho tr ưc. • Nghi m c a ph ươ ng trình vi phân (1) là hàm s tho mãn (1) • Gi i ph ươ ng trình vi phân (1) là tìm t t c các nghi m c a nó. Ví d 1. Gi i ph ươ ng trình vi phân sau a) y′ = cos x b) y′ = ln x c) y′ = x5 e x d) y′ = x4 sin x 2. Mt s ng d ng a) Sinh tr ưng t nhiên và thoái hoá dP • S t ng dân s : =()β − δ x , β là t l sinh, δ là t l ch t dt dA b) Lãi lu ti n = rA , A là l ưng ô la trong qu ti t ki m t i th i im t, tính theo dt nm, r là t l lãi lu ti n tính theo n m. dN c) S phân rã phóng x = − kN , k ph thu c vào t ng lo i ng v phóng x dt dA d) Gi i c = − λA, λ là h ng s gi i c c a thu c dt dx e) Ph ươ ng trình t ng tr ưng t nhiên = kx dt Ví d 2. Theo s li u t i www.census.gov vào gi a n m 1999 s dân toàn th gi i t ti 6 t ng ưi và ang t ng thêm kho ng 212 ngàn ng ưi m i ngày. Gi s là m c t ng dân s t nhiên ti p t c v i t l này, h i r ng: (a) T l t ng k hàng n m là bao nhiêu? (b) Vào gi a th k 21, dân s toàn th gi i s là bao nhiêu? (c) Hi sau bao lâu s dân toàn th gi i s t ng g p 10 l n–ngh a là t t i 60 t mà các nhà nhân kh u h c tin là m c t i a mà hành tinh c a chúng ta có th cung c p y l ươ ng th c? (a) Ta tính dân s theo t và th i gian theo n m. L y t = 0 ng v i gi a n m 1999 , nên P0 = 6 . S ki n P t ng lên 212 ngàn hay là 0,000212 t ng ưi trong m t ngày t i t = 0 có ngh a là P’ (0) = (0,000212)(365,25) ≈ 0,07743 t m t n m. T ph ươ ng trình t ng dân s t nhiên P’ = kP v i t = 0 , ta nh n ưc P '(0) 0,07743 k = ≈ ≈ 0, 0129, P(0) 6 Nh ư v y, s dân th gi i ang t ng theo t l kho ng 1,29% m t n m vào n m 1999 . Vi giá tr k này, ta có hàm cho s dân th gi i là P(t) = 6 e0,0129 t. (b) V i t = 51 ta có d báo P(51) = 6 e(0,0129)(51) ≈ 11,58 (t ) s là s dân c a th gi i vào gi a n m 2050 (nh ư th k t n m 1999 mi qua m t n a th k , dân s th gi i ã t ng g n g p ôi). PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo [email protected] ln10 (c) Dân s th gi i s t t i 60 t khi mà 60 = 6e 0,0129 t; ngh a là khi t = ≈ 178; 0, 0129 tc là n m 2177 . dT f) Quá trình ngu i i và nóng lên =k() A − T , k là h ng s d ươ ng, A là nhi t dt ca môi tr ưng Ví d 3. Mt mi ng th t 4-lb có nhi t ban u là 50 0 F, ưc cho vào m t cái lò 375 0 F vào lúc 5 gi chi u. Sau 75 phút ng ưi ta th y nhi t mi ng th t là 125 0 F. H i t i khi nào mi ng th t t nhi t 150 0 F (v a chín t i)? Gi i. Ta tính th i gian theo phút và coi lúc 5 gi chi u là t = 0. Ta c ng gi thi t (có v không th c t ) r ng t i m i lúc, nhi t T(t) c a c mi ng th t là u nh ư nhau. Ta có T(t) < A = 375, T(0) = 50 và T(75) = 125 . Vì th dT dT =k(375 − T ) ; = kdt ; −ln(375 −=+T ) kt C ; 375−T = Be −kt . dt ∫375 − t ∫ Vì T(0) = 50 nên B = 325 , v y T = 375(1 − e−kt ). Ta l i th y T = 125 khi t = 75 . Thay các 1 250 giá tr ó vào ph ươ ng trình trên s ưc k = −ln( ) ≈ 0,0035. 75 325 Sau cùng, ta gi i ph ươ ng trình 150 = 375 – 325e (–0,0035) t, i v i t = –[ln(225/325)]/(0,0035) ≈ 105 (phút) là t t c th i gian n ưng th t theo yêu cu t ra. B i vì mi ng th t ưc t vào lò lúc 5 gi chi u, ta s l y nó ra kh i lò vào kho ng 6 gi 45 phút. dy g) Quy lu t Torricelli Ay() = − agy2 , ó, v là th tích n ưc trong thùng, A(y) là dt di n tích ti t di n th ng n m ngang c a bình cao y so v i áy, 2gy là t c nưc thoát ra kh i l h ng Ví d 4. Mt cái bát d ng bán c u có bán kính mi ng bát là 4ft ưc ch a y n ưc vào th i im t = 0. Vào th i im này, ng ưi ta m m t l tròn ưng kính 1in áy bát. H i sau bao lâu s không còn nưc trong bát? Gi i. Ta nh n th y trong hình, da vào tam giác 2 2 2 vuông có A(y) = πr = π[16–(4–y) ] = π(8y – y ), vi g = 32ft/s 2, ph ươ ng trình trên có Tháo n ước t ừ m ột bát bán c ầu dy 1 π(8y – y 2) = − π( )2 2.32 y ; dt 24 1 16 2 1 (8y1/2− y 3/2 ) dy = − dt ; y3/2− y 5/2 =− tC + . ∫ ∫ 72 3 5 72 16 2 448 Do y(0) = 4 , ta có C =⋅43/2 − 4 5/2 = . 3 5 15 448 Bình ht n ưc khi y = 0 , ngh a là khi t=72 ⋅ ≈ 2150 (); s tc là kho ng 35 phút 50 15 giây. Có th coi là sau gn 36 phút, bát s không còn nưc. PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo [email protected] Ví d 5. Mt a bay r ơi xu ng b m t M t tr ng v i vn t c 450 m/s. Tên l a hãm c a nó, khi cháy, s t o ra gia t c 2,5 m/s 2 (gia t c tr ng tr ưng trên m t tr ng ưc coi là bao gm trong gia t c ã cho). V i cao nào so v i b m t M t tr ng thì tên l a c n ưc kích ho t m b o "s ti p t nh nhàng", t c là v = 0 khi ch m t? a bay trong Ví d 5 • Ph ươ ng trình: v(t) = 2,5t − 450 . • áp s : x0 = 40,5 km. Do ó tên l a hãm nên ưc kích hot khi a bay cao 40,5 km so v i b m t M t tr ng, và nó s ti p t nh nhàng sau 3 phút gi m t c. Ví d 6. Bài toán ng ưi b ơi Bài toán v ng ưi b ơi dy v 2 Ph ươ ng trình vi phân cho qu o c a ng ưi b ơi qua sông là =0 1 − x ( 2 ) dx v s a 3. Các mô hình toán Quá trình mô hình toán. Ví d 1. Su t bi n i theo th i gian c a dân s P(t) trong nhi u tr ưng h p ơn gi n v i t dP l sinh, t không i th ưng t l v i s dân. Ngh a là: = kP (1) dt vi k là h ng s t l . Quy lu t thoát n ưc c a Torricelli . Ph ươ ng trình (1) mô t quá trình thoát n ưc kh i b ch a. PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo [email protected] Ví d 2. Quy lu t c a Torricelli nói r ng su t bin i theo th i gian c a kh i l ưng nưc V trong m t b ch a t l v i c n b c hai c a sâu y c a n ưc trong b : dV = − k y , vi k là m t h ng s . dt Nu b ch a là m t hình tr tròn xoay v i di n tích áy là A, thì V = Ay , và dV /dt = dy A.( dy /dt ). Khi ó ph ươ ng trình có d ng: = − h y , trong ó h = k/A là m t h ng s . dt Ví d 3. Quy lu t gi m nhi t c a Newton có th phát bi u nh ư sau: Su t bi n i i v i th i gian c a nhi t T(t) ca m t v t th t l v i hi u s gi a T và nhi t A ca môi dT tr ưng xung quanh. Ngh a là = −k( T − A ). (2) dt trong ó, k là m t h ng s d ươ ng. Nh n th y r ng n u T > A, thì dT/dt < 0 , do ó nhi t là m t hàm gi m theo t và v t th ngu i i. Nh ưng n u T 0, và T s tng lên. Quy lu t gi m nhi t c a Newton, Ph ươ ng trình (2) mô t m t hòn á nóng b ngu i i trong n ưc Vy, m t quy lu t v t lý ã ưc di n gi i thành m t ph ươ ng trình vi phân. N u ta ã bi t các giá tr c a k và A, thì ta có th tìm ưc m t công th c t ưng minh cho T(t), ri da vào công th c ó, ta có th d oán nhi t sau ó c a v t th § 2. Ph ươ ng trình vi phân c p m t • i c ươ ng v ph ươ ng trình vi phân c p 1 • Ph ươ ng trình vi phân khuy t ••• t v n 1. i c ươ ng v ph ươ ng trình vi phân c p 1 Dng t ng quát c a ph ươ ng trình vi phân c p 1 là F(,, x y y ′ )= 0 (1) ho c y′ = fxy( , ) (2) nh lí v s t n t i và duy nh t nghi m • f( x , y ) liên t c trên mi n D ⊂ »2 • (x0 ; y 0 ) ∈ D ⇒ trong lân c n Uε( x 0 ) nào ó c a x0 , t n t i ít nh t m t nghi m y= y( x ) c a ph ươ ng trình ∂f (2) tho mãn y( x ) = y . N u ngoài ra (x , y ) liên t c trên D thì nghi m trên là duy nh t 0 0 ∂y Chú ý - Vic vi phm iu kin ca nh lí có th s phá v tính duy nht PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo [email protected] dy • = 2 y dx 1 • fy () x, y = gián on t i (0 ; 0) y 2 • Có hai nghi m tho mãn: y1 = x ; y 2 = 0. - Vi ph m gi thi t nh lí có th làm bài toán vô nghi m dy • x= 2 y , y(0) = 1 dx dy d x • Nghi m: = 2 ⇒ ln|y| = 2ln|x| + ln| C| ⇒ y = Cx2 y x • y(0) = 1 , không có C nào ⇒ vô nghi m. - Có hay không ph ươ ng trình vi phân không tho mãn gi thi t và có duy nh t nghi m? - Bài toán Cauchy y′ = fxy(, ), yx (0 ) = y 0 - Nghi m t ng quát c a ph ươ ng trình vi phân (2) là hàm s y= ϕ ( x , C ) : • ϕ(x , C ) tho (2) v i m i C • ∀(;),xy ∈∃=ϕ DCC :(,) xC = y 00 0 0x= x 0 0 Khi ó ϕ(x , C 0 ) ưc g i là nghi m riêng - Nghi m kì d là nghi m không n m trong h nghi m t ng quát - Tích phân t ng quát là nghi m t ng quát d ưi d ng n φ(,x y , C ) = 0 - Khi cho tích phân t ng quát m t giá tr c th ta có tích phân riêng φ(,,x y C 0 ) = 0 2. Ph ươ ng trình vi phân khuy t a) F(, x y ′ )= 0 +) y′ = f( x ) ⇒ y= ∫ fxdx( ) +) x= f( y ′ ) , t y′ = t ⇒ x= f( t ) ; y= ∫ tf′( tdt ) Ví d 1. Gi i ph ươ ng trình sau x= y′2 − y ′ + 2 +) y′ = t +) x= t2 − t + 2 2 t 2 +) dy= tdx ⇒ y= tt()2 − 1 dt = t3 −+ C ∫ 3 2 2 t 2 +) Nghi m xtt=−+22, yt = 3 −+ C 3 2 b) F(, y y ′ )= 0 dy 1 +) y′ = f( y ) ⇒ dx = ⇒ x= dy f( y ) ∫ f( y ) f′( t ) +) y= f( y ′ ) , t y′ = t ⇒ y= f( t ) , x= dt ∫ t PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo [email protected] f′( t ) +) F(, y y ′ )= 0 , t y= f( t ) ⇒ y′ = g( t ) ⇒ x= dt ∫ g( t ) Ví d 2. Gi i ph ươ ng trình y2+ y ′ 2 = 4 +) y= 2 sin t ⇒ dy= 2 cos tdt = 2 cos t dx +) N u cost ≠ 0 ⇒ dt= dx ⇒ t= x + c ⇒ y=2 sin ( x + c ) là nghi m t ng quát π +) N u cost = 0 ⇒ t=()2 x + 1 ⇒ y = ± 1 (Nghi m kì d ) 2 HAVE A GOOD UNDERSTANDING!