Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Chương 3, Bài 1: Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược - Nguyễn Xuân Thảo
Chú ý
• Hai hàm liên tục từng khúc, là bậc mũ và bằng nhau qua phép biến đổi Laplace chỉ có
thể khác nhau tại những điểm gián đoạn cô lập. Điều này không quan trọng trong hầu hết
các ứng dụng thực tế.
• Phép biến đổi Laplace có một lịch sử khá thú vị: Xuất hiện đầu tiên trong nghiên cứu
của Euler, mang tên nhà toán học Pháp Laplace (1749-1827) - người đã dùng tích phân
trong lý thuyết xác xuất của mình, nhưng việc vận dụng phương pháp biến đổi Laplace
để giải phương trình vi phân lại không thuộc về Laplace mà thuộc về kĩ sư người Anh
Oliver Heaviside (1850-1925).
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Chương 3, Bài 1: Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược - Nguyễn Xuân Thảo, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY ẾT CHU ỖI
BÀI 12
CH ƯƠ NG 3. PH ƯƠ NG PHÁP TOÁN T Ử LAPLACE
§1. Phép bi ến đổ i Laplace và phép bi ến đổ i ng ược
• Phép bi n i Laplace
• Tính ch t c a phép bi n i Laplace
• Phép bi n i Laplace ng c
1. Đặt v ấn đề
• Th ng g p trong th c t các ph ơ ng trình vi phân
1
mx′′+ cx ′ + kx = F( t ) ; LI′′+ RI ′ + I = Et ′ ( )
C
t ơ ng ng v i h th ng gi m sóc và chu i m ch RLC, F( t ) và E′( t ) nói chung là gián o n,
khi ó ph ơ ng pháp nh ã bi t khá b t ti n. Có hay không ph ơ ng pháp ti n l i h ơn?
• Phép bi n i Laplace: L {ft( )}( s) = Fs( ) bi n ph ơ ng trình vi phân v i n hàm f( t )
thành m t ph ơ ng trình i s v i n hàm F( s ) - có l i gi i c tìm ra d h ơn nhi u.
Ch ng h n nh i v i ph ơ ng trình vi phân c p cao
(n) ( n −1)
y+ ay1 + ayayfxn− 1 ′ += n (),
v i i u ki n ban u nh n c công th c nghi m t ng minh bi u di n qua tích ch p Laplace.
• Gi i m t l p ph ơ ng trình vi phân c p cao v i h s hàm s ( i u này không th làm
c v i các ph ơ ng pháp ã bi t), ch ng h n xy′′−+(4 x 1) y ′ + 221( x +=) y 0
• Gi i h ph ơ ng trình vi phân tuy n tính c p cao
n
()n ()
y1=∑ ayfx 1k k + 1
k =1
n
()n ()
yn=∑ ayfx nkk + n
k= n
• Gi i m t l p h ph ơ ng trình vi phân tuy n tính c p cao v i h s hàm s .
2. Phép bi ến đổ i Laplace
∞
• Định ngh ĩa: Fs()()=L {} ft() s = ∫ eftdt−st ( ) , ó s, f( t ) ∈ »
0
• Nh ận xét. Phép bi n i Laplace xác nh v i s, f( t ) ∈ ». Nh ng trong ch ơ ng này ta
ch c n s d ng s, f( t ) ∈ »
Ví d ụ 1. Tính L {1}(s)
∞ ∞
−st1 − st 1 − bs 1 1
• =edt =− e =−lim e + = , s > 0
∫ sb→∞ s s s
0 0
• Không t n t i L {1}(s) khi s ≤ 0.
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
Ví d ụ 2. ft() = eat , t ≥ 0 . Tính L (eat ), a ∈ » .
∞ ∞ b
e()s− a t
• L {}eat() s= eedt− stat = e −( sat − ) dt =−lim
∫ ∫ b→∞ s− a
0 0 0
1 1
=lim( 1 − e−()s − a b ) = , n u s> a
b→∞ s− a s− a
• Phân kì khi s≤ a
Ví d ụ 3. Cho ft() = ta, a > − 1 . Tính L {f( t )} và L {tn}, n ∈ »
∞
• L {}ta() s= ∫ e− sta tdt .
0
∞
u du 1Γ (a + 1)
• t u= st⇒ t = , dt = có {}ta= eudu− u a =, s > 0 (2.1)
L a+1∫ a + 1
s s s s
0
n!
• L {}tn =, s > 0
sn+1
3. Tính ch ất c ủa phép bi ến đổ i Laplace
Định lý 1. Tính tuy ến tính c ủa phép bi ến đổ i Laplace
Cho α, β là h ng s và ∃ L {f( t)}( s ) và L {g( t)}( s ) , khi ó
L {αft( ) + β gt( )}( s ) =αL{fts( )}( ) + β L { gts( )}( ), ∀ s
Ch ứng minh.
∞
+) L {}αβf+ gs()()() =∫ e−st () αβ ft + gtdt
0
b
+) =lim e−st ()α ft()() + β gtdt
b→∞ ∫
0
b b
+) =lime−stα ftdt()() + lim e − st β gtdt
b→∞∫ b →∞ ∫
0 0
∞ ∞
+) =α∫e−st ftdt()() + β ∫ e − st gtdt
0 0
+) =αL{f} + β L { g }.
3
Ví d ụ 4. Tính L {3t2 + 4 t 2 }
1
• Ta có Γ = π
2
5 3 33 3 1 31 13
• Γ= Γ +1 = Γ =Γ +=1 . . Γ = π
2 2 22 22 22 24
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
3 3
• L34tt2+2 = 3 L{} t 2 + 4 L { t 2 }
S d ng (2.1) ta có
Γ (3) 2!
• L {}t2 = =, s > 0
s3 s 3
5
3 Γ
3 π
• {}t 2 =2 =
L 5 5
s24. s 2
5
3 Γ
2! 6 π
• 3t2 + 4 t 2 = 3. + 4 2 = + 3
L 3 5 3 5
s s s
s 2
Ví d ụ 5. Tính L{coshkt} , L{ sinh kt} , L{ cos kt} , L { sin kt }
ekt+ e − kt 1
• L{}cosh kt = L =(L{}{}ekt + L e − kt )
2 2
1 1 1 s
• Theo ví d 2 có L {}cosh kt = + =,s > k > 0
2 s− k s + k s2− k 2
k
• T ơ ng t L {}sinh kt = , s> k > 0
s2− k 2
∞ ∞
e−st s
• L {}()coskts= e−st cos ktdt =()ksin kt − s cos kt =
∫ s2+ k 2 s2+ k 2
0 0
eikt+ e − ikt 1 1 1 s
(ho cL{}cos kt = L = + =,s > 0 )
2 2 s− ik s + ik s2+ k 2
k
• T ơ ng t L {}sinkt= , s > 0
s2+ k 2
Ví d ụ 6. Tính L {3e2t + 2sin 2 3 t }
• L {3e2t + 2sin 2 3 t } =L {3e2t + 1 − cos6 t }
• =3L{e2t } + L{} 1 − L {} cos6 t
3 1 s
• = + −
s− 2 s s2 + 36
3s3 + 144 s − 72
• =,s > 2
s( s− 2)( s 2 + 36)
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
4. Phép bi ến đổ i Laplace ng ược
Định ngh ĩa. N u Fs( ) = L { ft( )}( s ) thì ta g i f( t ) là bi n i Laplace ng c c a F( s )
và vi t ft()()= L−1{ Fs }
s s
Ví d ụ 7 a. L −1 =coskt , s > 0 ; b.L −1 =cosh,kt s > k > 0
s2+ k 2 s2− k 2
f( t ) F( s )
1
1 ( s > 0)
s
1
t ( s > 0)
s2
n!
tn () n ≥ 0 ( s > 0)
sn+1
∞
Γ (a + 1)
( s > 0), Γ()s = ts−1 edt − t
ta ( a > − 1) sa+1 ∫
0
( Res > 0 )
1
eat (s> a )
s− a
s
cos kt (s > 0)
s2+ k 2
k
sin kt (s > 0)
s2+ k 2
s
cosh kt (s> k )
s2− k 2
k
sinh kt (s> k )
s2− k 2
e−as
u( t− a ) ( s > 0)
s
Bảng 4. 1. 2. B ng các phép bi n i Laplace
4 2 1
c. L −1= 4. e 5 t d. L −1 = t 3
{s − 5} s4 3
Nh ận xét. Phép bi n i ng c Laplace có tính ch t tuy n tính.
Th t v y, ta có
+) αβαFG+ =L{ f} + β L { g } =L {αf + β g }
+) =L{α L−1{}F + β L − 1 {} G }
+) T ó và t nh ngh a có L−1{αβαFG+} = L − 1{} F + β L − 1 {} G .
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
Định ngh ĩa. Hàm s f( t ) c g i là liên t c t ng khúc trên [a; b ]n u nh
• f( t ) liên t c trên m i kho ng nh ( ó [a; b ] c chia thành h u h n kho ng nh )
• f( t ) có gi i h n h u h n khi t ti n t i hai i m biên c a m i o n này.
Hình 4.1.3. th c a hàm liên t c t ng khúc.
Các d u ch m ch ra các giá tr mà hàm s gián o n
Hình 4.1.4. th c a hàm ơ n v b c thang
0 t< a
Ví d ụ 8. Tính L {ua ( t)}, a > 0 , ua ()() t= ut − a =
1t≥ a .
b
∞ ∞ −st
−st − st e
• L {}uta() = e utdt a ( ) = e dt =− lim
∫ ∫ b→∞ s
0 a t= a
1
• =. lim ()e−sa − e − sb
s b→∞
e−as
• =,s > 0, a > 0
s
Định ngh ĩa. Hàm f c g i là b c m khi t → +∞ n u t n t i các h ng s không âm
M, c , T sao cho ft() ≤ Mect , ∀ t ≥ T
Định lý 2. S ự t ồn t ại c ủa phép bi ến đổ i Laplace
N u hàm f liên t c t ng khúc v i t ≥ 0 và là b c m khi t → +∞ thì t n t i
L {ft( )}( s), ∀ sc > .
Ch ứng minh. +) T gi thi t f là b c m khi t → ∞ ⇒ ft() ≤ Mect , ∀ t ≥ 0
b b b b
M
+) Ta có e−st f() t dt =e−st ftdt() ≤ e − st. Medt ct =Me−()s − c t dt ≤, sc > .
∫ ∫ ∫ ∫ s− c
0 0 0 0
∞
M
+) Cho b → +∞ có Fs() ≤ e−st ftdt() ≤
∫ s− c
0
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
Cho s → +∞ ⇒ ∃Fs( ), s > c , và có
Hệ qu ả. N u f( t ) th a mãn gi thi t c a nh lý 2 thì limF ( s )= 0
s→+∞
Chú ý.
• M t hàm h u t (b c t nh h ơn b c m u) là nh c a phép bi n i Laplace
• nh lí 2 không là i u ki n c n, ví d :
1
Hàm f( t ) = không liên t c t ng khúc t i t = 0 , nh ng ví d 3 có
t
1
1 Γ
− 2 π
L {}t 2 = = ,
1 s
s 2
Định lý 3. S ự duy nh ất c ủa bi ến đổ i Laplace ngh ịch đả o
Gi s r ng các hàm ft( ), gt( ) th a mãn gi thi t c a nh lý 2 t n t i
Fs( ) = L { ft( )}( s ), Gs( ) = L { gt( )}( s ) . N u Fs( ) = Gs( ) , ∀s > c thì có ft( ) = gt( ) t i t
mà c hai hàm liên t c.
Ví d ụ 9. Dùng b ng tính bi n i Laplace c a các hàm s sau
a) f( t )= cos 2 t b) ft( )= sin2 t cos3 t c) f( t )= cosh2 3 t
d) f() t= (2 + t ) 2 e) ft( ) = te t f) ft( )= t + 2 e 3t
Ví d ụ 10. Dùng b ng tính bi n i Laplace ng c c a các hàm s sau
2 2 4− 2 s
a) F( s ) = b) F( s ) = c) F( s ) =
s3 s − 3 s2 + 4
5s − 2
d) F( s ) = e) Fs( )= 3 se−1 − 5 s
9 − s2
Chú ý
• Hai hàm liên t c t ng khúc, là b c m và b ng nhau qua phép bi n i Laplace ch có
th khác nhau t i nh ng i m gián o n cô l p. i u này không quan tr ng trong h u h t
các ng d ng th c t .
• Phép bi n i Laplace có m t l ch s khá thú v : Xu t hi n u tiên trong nghiên c u
c a Euler, mang tên nhà toán h c Pháp Laplace (1749-1827) - ng i ã dùng tích phân
trong lý thuy t xác xu t c a mình, nh ng vi c v n d ng ph ơ ng pháp bi n i Laplace
gi i ph ơ ng trình vi phân l i không thu c v Laplace mà thu c v k s ng i Anh
Oliver Heaviside (1850-1925).
HAVE A GOOD UNDERUNDERSTANDING!STANDING!
Các file đính kèm theo tài liệu này:
bai_giang_phuong_trinh_vi_phan_va_li_thuyet_chuoi_chuong_3_b.pdf
