Bài giảng Thống kê trong kinh doanh và kinh tế - Chương 4, Phần 2: Xác suất của biến cố - Chế Ngọc Hà

31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 1 Chương 4 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ (Probability of Events) Nội dung 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 2  Không gian mẫu và biến cố  Định nghĩa xác suất  Xác suất có điều kiện  Công thức nhân xác suất  Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes • Phép thử (trial) là một khái niệm cơ bản không định nghĩa. Ta hiểu phép thử là một thí nghiệm hay quan sát nào đó. • Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà kết quả của nó không dự đoán chắc chắn được. Trong thực tế, các hiện tượng được chia thành 2 loại: hiện tượng tất nhiên và hiện tượng ngẫu nhiên. Không gian mẫu và biến cố 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 3 Không gian mẫu và biến cố 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 4 • Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử ngẫu nhiên được gọi là không gian mẫu của phép thử đó. Ký hiệu: . • Mỗi tập con của được gọi là biến cố. Ký hiệu: A, B, C,  • Phần tử còn được gọi là biến cố sơ cấp.  Không gian mẫu và biến cố 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 5 Ví dụ 3: Gieo một con súc sắc một lần. Xác định không gian mẫu. Ví dụ 1: Gieo một đồng tiền xu gồm hai mặt số, hình 1 lần. Xác định không gian mẫu. Ví dụ 2: Gieo một đồng tiền xu 2 lần. Xác định không gian mẫu. Ví dụ 4: Gieo một con súc sắc liên tiếp hai lần. Xác định không gian mẫu. Không gian mẫu và biến cố 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 6 Ví dụ 5: Từ một lớp học có 100 sinh viên, ta chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên. Hãy xác định không gian mẫu. Không gian mẫu và biến cố 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 7 • Khi sự xảy ra của một biến cố không thể được dự đoán chính xác thì ta gọi biến cố tương ứng là biến cố ngẫu nhiên. • Cho phép thử có không gian mẫu và biến cố A. Biến cố A được gọi là xảy ra nếu có một kết quả nào đó của A xảy ra.  •Biến cố chắc chắn là biến cố bao giờ cũng xảy ra khi thực hiện phép thử. Ký hiệu: . Không gian mẫu và biến cố 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 8 •Biến cố rỗng là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử. Ký hiệu:  Ví dụ 6: Một nhóm có 6 nam, 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 người. Gọi A: “Chọn được ít nhất 1 nam”, B: “Chọn được 5 nữ”, C: “Chọn được 3 nam”. Biến cố nào là biến cố ngẫu nhiên; là biến cố rỗng; là biến cố chắc chắn? Không gian mẫu và biến cố 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 9 • Quan hệ kéo theo: A B • Quan hệ tương đương:      A B A B B A A B• Tổng: A B • Xung khắc:  A \ A,• Đối lập: A B A B, A B A B A B, AB• Tích: Không gian mẫu và biến cố 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 10 Không gian mẫu và biến cố 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 11 Ví dụ 7: Một hộp có 10 bi gồm: 6 bi đỏ, 4 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp. Gọi các biến cố A: “Lấy được ít nhất 1 bi đỏ”, B: “Lấy được 3 bi đỏ”, C: “Lấy được tối đa 2 bi đỏ”. Xác định quan hệ của A và B; của A và C. Không gian mẫu và biến cố 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 12 Ví dụ 8: Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp học. Gọi A: “Sinh viên được chọn giỏi Tiếng Anh”, B: “Sinh viên được chọn giỏi Toán”. Hãy diễn ta các biến cố: AUB; AB. Định nghĩa cổ điển của xác suất 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 13 trong đó các biến cố sơ cấp là đồng khả năng xuất hiện.      1 2 n, , , , Xét một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu gồm hữu hạn biến cố sơ cấp, Cho biến cố A có n(A) biến cố sơ cấp. Khi đó, xác suất của A được ký hiệu và cho bởi công thức         n A P A . n Định nghĩa cổ điển của xác suất 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 14 Ví dụ 9: Gieo con súc sắc cân đối và đồng chất 1 lần. Tính xác suất để mặt trên con súc sắc có số chấm chẵn xuất hiện. ĐS: 0,5. Định nghĩa cổ điển của xác suất 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 15 Ví dụ 10: Một hộp chứa 25 sản phẩm, trong đó có 20 chính phẩm và 5 phế phẩm. 1. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp. Tính xác suất lấy được 2 phế phẩm. 2. Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại lần lượt từng sản phẩm ra 2 sản phẩm. Tính xác suất lấy được 2 phế phẩm. ĐS: 1) 0,0334; 2) 0,04. Định nghĩa thống kê của xác suất 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 16 Giả sử khi ta thực hiện n lần một phép thử, biến cố A xuất hiện k lần. Ta gọi tỷ số là tần suất xuất hiện của biến cố A. • Với n đủ lớn, ta coi: n k f (A) n  nP(A) f (A) Định nghĩa thống kê của xác suất 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 17 Ví dụ 11: Liên quan đến bài toán xác định xác suất nhận được mặt ngửa khi thảy một đồng xu cân đối đồng chất, một số nhà khoa học đã tiến hành thực nghiệm như sau: Người thực hiện Số lần thảy Số lần mặt ngửa Tần suất Buffon 4040 2048 0,5069 Pearson 12000 6019 0,5016 Pearson 24000 12012 0,5005 và khi đó, ta nói xác suất nhận được mặt ngửa  0,5. Các tính chất của xác suất 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 18     P( ) 0, P 1.1. 2.    0 P(A) 1, A . 3.    A B P A P B .   Công thức cộng xác suất 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 19 Cho A, B là hai biến cố tùy ý liên quan đến một phép thử ngẫu nhiên. Ta có   P(A B) P(A) P(B) P(A B). (1) Hệ quả 1: Nếu A và B xung khắc, thì   xungkhac P(A B) P(A) P(B). (2)     P A 1 P A Hệ quả 2: Với A là biến cố bất kỳ, ta có (3) Công thức cộng xác suất 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 20 Ví dụ 12: Một lớp có 100 sinh viên (SV) trong đó có 50 SV thích xem bóng đá, 20 SV thích nghe nhạc, 10 SV thích xem bóng đá và nghe nhạc. Chọn ngẫu nhiên 1 SV của lớp. Tính xác suất SV này thích xem bóng đá hay thích nghe nhạc. ĐS: 0,6. Công thức cộng xác suất 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 21 Ví dụ 13: Một hộp đựng 20 bi, trong đó có 10 bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 8 bi từ hộp. Tính xác suất có ít nhất 2 bi đỏ trong 8 bi được chọn. ĐS: 0,9901. Xác suất có điều kiện 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 22 Giả sử A và B là hai biến cố và Xác suất để A xảy ra khi biết B đã xảy ra được ký hiệu và cho bởi công thức: P(B) 0.    P(A B) P A | B . P(B) Xác suất có điều kiện 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 23 Ví dụ 14: Rút ngẫu nhiên 1 lá bài từ một bộ bài gồm 52 lá. Tính xác suất để rút được con “át”, biết rằng lá bài rút ra có màu đen. ĐS: 0,0769. Xác suất có điều kiện 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 24 Ví dụ 15: Một hộp chứa 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Từ hộp này, lấy ngẫu nhiên lần lượt ra 2 bi, mỗi lần lấy 1 bi và lấy không hoàn lại. Tính xác suất để nhận được bi xanh ở lần lấy thứ hai, biết rằng lần thứ nhất đã lấy được bi đỏ. ĐS: 0,4286. Xác suất có điều kiện 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 25  Tính chất   1) 0 P A B 1.     3) P A B 1 P A B .   2) P B B 1. Công thức nhân xác suất 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 26 • Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có     P(AB) P(A) P(B | A) P B P A |B    1 2 n 1 2 1 n 1 n 1P(A A ...A ) P(A )P A | A ...P A | A ...A • Cho n biến cố . Khi đó, ta có 1 2 nA ,A ,...,A Công thức nhân xác suất 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 27 Ví dụ 16: Một hộp có 10 sản phẩm, gồm 8 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm. Một người lấy ngẫu nhiên từng sản phẩm cho tới khi gặp phế phẩm thì dừng. Tính xác suất để việc lấy sản phẩm của người này dừng lại ở lần lấy thứ ba. ĐS: 0,1556. Nói khác đi, hai biến cố là độc lập nhau nếu biến cố này xảy ra hay không xảy ra thì cũng không ảnh hưởng đến cơ may xảy ra của biến cố còn lại. 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 28 • Ta nói hai biến cố A và B là độc lập nếu P(A |B) P(A). Công thức nhân xác suất Ví dụ 17: Tung 2 đồng xu. Gọi các biến cố: A : “đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt số”, B : “đồng xu thứ hai xuất hiện mặt hình”, C : “có ít nhất một mặt số xuất hiện”. Hỏi A và B có độc lập? A và C có độc lập? Công thức nhân xác suất 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 29 Công thức nhân xác suất 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 30 Mệnh đề: Hai biến cố A, B độc lập khi và chỉ khi      P AB P A .P B A, B độc lập A,B độc lập A,B độc lập A,B độc lập. Mệnh đề:    Công thức nhân xác suất 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 31 Ví dụ 18: Có hai hộp bi. Hộp bi thứ nhất có 30 bi trong đó có 17 bi đỏ, 13 bi đen; Hộp bi thứ hai có 35 bi trong đó có 16 bi đỏ, 19 bi đen. Ta chọn ra một bi từ mỗi hộp. Tính xác suất để: 1. nhận được 2 bi đỏ. 2. nhận được 1 bi đỏ. ĐS: 1) 0,259; 2) 0,506. Công thức nhân xác suất 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 32 Định nghĩa: Các biến cố được gọi là độc lập nếu: mỗi biến cố bất kỳ trong họ độc lập với tất cả các tích hữu hạn của những biến cố còn lại. 1 2 nA ,A ,...,A Mệnh đề: Nếu các biến cố độc lập thì        1 2 n 1 2 nP A A ...A P A P A ...P A 1 2 nA ,A ,...,A Công thức nhân xác suất 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 33 Ví dụ 19: Một phân xưởng có ba máy hoạt động độc lập nhau. Xác suất để các máy bị hỏng trong một ngày làm việc lần lượt là 0,02; 0,01; 0,015. Tính xác suất để có nhiều nhất một máy hỏng trong ngày. ĐS: 9,41.10-4. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 34 • Hệ các biến cố được gọi là đầy đủ nếu có duy nhất một biến cố trong hệ xảy ra khi thực hiện phép thử.  1 2 nA ,A ,...,A Nói khác đi, hệ là đầy đủ nếu  i i 1,...,nA         1 2 n i j A A ... A , A A , i j.     n k k k 1 P A P(A ).P(A | A ) (1) Cho hệ đầy đủ các biến cố và A là một biến cố bất kỳ trong phép thử. Khi đó   k k 1,...,n A        k kk P A .P A | A P(A | A) , k. P A (2) (1): công thức XS đầy đủ; (2): công thức Bayes. 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 35 Công thức xác suất đầy đủ và Bayes Công thức xác suất đầy đủ và Bayes 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 36 1A 2A n 1 A nA 1A B 2A B n 1A B nA B B Ví dụ 20: Một nhà máy sản xuất bóng đèn có hai phân xưởng A và B. Phân xưởng A sản xuất gấp 2 lần phân xưởng B. Tỷ lệ bóng hư của phân xưởng A là 1,5%, của phân xưởng B là 1%. Mua một bóng đèn do nhà máy sản xuất. 1) Tính xác suất để mua được bóng đèn tốt. 2) Biết rằng đã mua được bóng đèn tốt, tính xác suất để bóng đèn này do phân xưởng A sản xuất. ĐS: 1) 0,987; 2) 0,665. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 37 Ví dụ 21: Có hai chuồng thỏ. Chuồng thứ nhất có 10 thỏ trắng và 5 thỏ đen. Chuồng thứ hai có 3 thỏ trắng và 7 thỏ đen. Từ chuồng thứ hai, người ta bắt ngẫu nhiên một con thỏ cho vào chuồng thứ nhất. Sau đó lại bắt ngẫu nhiên một con thỏ ở chuồng thứ nhất ra ngoài. Tính xác suất để con thỏ được bắt ra ở chuồng thứ nhất là con thỏ trắng. ĐS: 0,64375. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 38 Ví dụ 22: Một thùng phiếu đựng 10 phiếu trong đó có 2 phiếu trúng thưởng. Có 2 người lần lượt rút thăm không hoàn lại, mỗi người rút 1 phiếu. Tính xác suất rút được phiếu trúng thưởng của người thứ hai. ĐS: 0,2. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes 31/5/2016 C01136 - Chuong 4 Xac suat cua bien co 39