Bài giảng Tín hiệu và hệ thống

Thường Dùng Tín hiệu nhảy bậc đơn vị và tín hiệu dốc Tín hiệu nhảy bậc đơn vị (liên tục), ký hiệu u(t), được định nghĩa như sau: u(t) =  0 (t < 0)1 (t ≥ 0) Tín hiệu dốc (liên tục) được định nghĩa như sau: r(t) =  0 (t < 0)t/t0 (0 ≤ t ≤ t0)1 (t ≥ t0) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 23 / 27 Một Số Dạng Tín Hiệu Thường Dùng Tín hiệu sin Một tín hiệu có dạng hàm sin giá trị thực thường được biểu diễn như sau: s(t) = A cos(ωt + φ) ở đó: A là biên độ, ω là tần số góc (rad/s) và φ là góc pha của tín hiệu. Chu kỳ của tín hiệu nói trên được tính bằng công thức T = 2pi/ω. Một cách biểu diễn khác của tín hiệu sin là biểu diễn theo hàm của tần số f = 1/T (Hz) như sau: s(t) = A cos(2pift + φ) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 24 / 27 Một Số Dạng Tín Hiệu Thường Dùng Tín hiệu dạng hàm mũ thực Một tín hiệu có dạng hàm mũ giá trị thực thường được biểu diễn như sau: f (t) = Aeαt ở đó, A và α là các giá trị thực. Nếu α > 0, ta có một hàm tăng; còn nếu α < 0, ta sẽ có một hàm suy giảm theo thời gian. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 25 / 27 Một Số Dạng Tín Hiệu Thường Dùng Tín hiệu dạng hàm mũ phức Một tín hiệu có dạng hàm mũ phức thường được biểu diễn như sau: f (t) = Ae(σ+jω)t Áp dụng công thức Euler cho ejωt , tín hiệu nói trên sẽ biểu diễn được dưới dạng sau đây: f (t) = Aeσt [cos(ωt) + j sin(ωt)] Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 26 / 27 Một Số Dạng Tín Hiệu Thường Dùng Tín hiệu dạng hàm mũ phức f (t) là một hàm có giá trị phức với phần thực và phần ảo được tính như sau (nếu A là giá trị thực): Re[f (t)] = Aeσt cos(ωt) Im[f (t)] = Aeσt sin(ωt)] f (t) còn được gọi là tín hiệu dạng sin phức với biên độ phức là Aeσt và tần số góc ω. Biên độ thực của f (t) là |A|eσt và góc pha là φ, ở đó: |A| = √ Re(A)2 + Im(A)2 và φ = arctan Im(A) Re(A) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 27 / 27 CHƯƠNG II HỆ THỐNG Lê Vũ Hà ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trường Đại học Công nghệ 2009 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 1 / 14 Hệ Thống và Các Thuộc Tính của Hệ Thống Hệ thống là gì? Một hệ thống là một thực thể hoạt động khi có tín hiệu đầu vào (kích thích) và sinh ra tín hiệu đầu ra (đáp ứng). Nói cách khác, một hệ thống được đặc trưng bởi mối quan hệ giữa tín hiệu đầu vào và tín hiệu đầu ra: y(t) = T[x(t)], ở đó x(t) là tín hiệu vào, y(t) là tín hiệu ra, và T là phép biến đổi đặc trưng cho hệ thống. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 2 / 14 Hệ Thống và Các Thuộc Tính của Hệ Thống Mô hình toán học của hệ thống Mối quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào của hệ thống, nói cách khác là hành vi của hệ thống, có thể được biểu diễn bằng một mô hình toán học. Mô hình toán học cho phép xác định hệ thống: xác định tín hiệu ra khi biết tín hiệu vào. Mô hình toán học được sử dụng trong việc phân tích và thiết kế hệ thống. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 3 / 14 Hệ Thống và Các Thuộc Tính của Hệ Thống Các thuộc tính của hệ thống Tính tuyến tính Tính bất biến Tính nhân quả Tính ổn định Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 4 / 14 Các Ví Dụ về Hệ Thống Hệ thống truyền thông tương tự Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 5 / 14 Các Ví Dụ về Hệ Thống Hệ thống truyền thông số Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 6 / 14 Các Ví Dụ về Hệ Thống Hệ thống điều khiển Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 7 / 14 Các Loại Hệ Thống và Tính Chất Hệ thống liên tục và hệ thống rời rạc Các hệ thống có tín hiệu vào, tín hiệu ra và các tín hiệu sử dụng trong hệ thống đều là các tín hiệu theo thời gian liên tục được gọi là các hệ thống liên tục. Các hệ thống có tín hiệu vào và tín hiệu ra là các tín hiệu theo thời gian rời rạc được gọi là các hệ thống rời rạc. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 8 / 14 Các Loại Hệ Thống và Tính Chất Hệ thống tĩnh và hệ thống động Các hệ thống tĩnh, còn được gọi là hệ thống không bộ nhớ, là những hệ thống trong đó giá trị của tín hiệu ra chỉ phụ thuộc giá trị của tín hiệu vào ở cùng thời điểm. Các hệ thống động, còn được gọi là hệ thống có bộ nhớ, là những hệ thống trong đó giá trị của tín hiệu ra phụ thuộc cả vào giá trị trong quá khứ của tín hiệu vào. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 9 / 14 Các Loại Hệ Thống và Tính Chất Hệ thống đơn biến và hệ thống đa biến Hệ thống SISO (Single-input single-output): một biến vào và một biến ra. Hệ thống SIMO (Single-input multiple-output): một biến vào và nhiều biến ra. Hệ thống MISO (Multiple-input single-output): nhiều biến vào và một biến ra. Hệ thống MIMO (Multiple-input multiple-output): nhiều biến vào và nhiều biến ra. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 10 / 14 Các Loại Hệ Thống và Tính Chất Hệ thống tuyến tính và hệ thống phi tuyến Một hệ thống đặc trưng bởi một phép biến đổi T được gọi là hệ thống tuyến tính khi điều kiện sau đây luôn được thỏa mãn: T[αx1(t) + βx2(t)] = αT[x1(t)] + βT[x1(t)] Các hệ thống không thỏa mãn điều kiện tuyến tính nói trên được gọi là hệ thống phi tuyến. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 11 / 14 Các Loại Hệ Thống và Tính Chất Hệ thống bất biến và hệ thống biến đổi theo thời gian Một hệ thống được gọi là bất biến theo thời gian khi mối quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào không bị phụ thuộc vào thời điểm bắt đầu, nghĩa là: y(t) = T[x(t)] ⇒ ∀t0 : y(t − t0) = T[x(t − t0)] Các hệ thống không thỏa mãn điều kiện bất biến nói trên được gọi là hệ thống biến đổi theo thời gian. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 12 / 14 Các Loại Hệ Thống và Tính Chất Hệ thống nhân quả và hệ thống phi nhân quả Một hệ thống được gọi là nhân quả nếu tín hiệu ra của hệ thống chỉ có thể phụ thuộc các giá trị của tín hiệu vào hiện tại và trong quá khứ chứ không thể phụ thuộc vào các giá trị tương lai của tín hiệu vào. Một hệ thống phi nhân quả là hệ thống mà tín hiệu ra có thể phụ thuộc vào cả các giá trị tương lai của tín hiệu vào. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 13 / 14 Các Loại Hệ Thống và Tính Chất Hệ thống ổn định và hệ thống không ổn định Một hệ thống được gọi là ổn định nếu tín hiệu ra luôn có giới hạn hữu hạn khi tín hiệu vào có giới hạn hữu hạn, nghĩa là: |x(t)| <∞→ |y(t)| = |T[x(t)]| <∞ Một hệ thống không thỏa mãn điều kiện nói trên là hệ thống không ổn định. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 14 / 14 CHƯƠNG III PHÂN TÍCH HỆ THỐNG TRONG MIỀN THỜI GIAN Lê Vũ Hà ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trường Đại học Công nghệ 2009 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 1 / 21 Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Biểu diễn hệ thống bằng phương trình vi phân Mô hình phương trình vi phân là loại mô hình toán học được sử dụng phổ biến nhất để biểu diễn các hệ thống trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Đối với các hệ thống vật lý, phương trình vi phân biểu diễn hệ thống được thiết lập từ các phương trình của các định luật vật lý mà hoạt động của hệ thống tuân theo. Các hệ thống tuyến tính bất biến được biểu diễn bởi các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 2 / 21 Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Ví dụ: phương trình vi phân của mạch RC CdVradt + Vra R = Vvào R Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 3 / 21 Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng Dạng tổng quát của các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng biểu diễn các hệ thống tuyến tính bất biến: N∑ i=0 ai d iy(t) dt i = M∑ j=0 bj d jx(t) dt j với x(t) là tín hiệu vào và y(t) là tín hiệu ra của hệ thống. Giải phương trình vi phân tuyến tính nói trên cho phép xác định tín hiệu ra y(t) theo tín hiệu vào x(t). Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 4 / 21 Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Giải phương trình vi phân tuyến tính Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng có dạng như sau: y(t) = y0(t) + ys(t) y0(t): đáp ứng khởi đầu, còn gọi là đáp ứng khi không có kích thích, là nghiệm của phương trình thuần nhất N∑ i=0 ai d iy(t) dt i = 0 (1) ys(t): đáp ứng ở trạng thái không, là nghiệm đặc biệt của phương trình đối với tín hiệu vào x(t). Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 5 / 21 Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Xác định đáp ứng khởi đầu y0(t) là đáp ứng của hệ thống đối với điều kiện của hệ thống tại thời điểm khởi đầu (t = 0), không xét tới tín hiệu vào x(t). Phương trình thuần nhất (1) có nghiệm dạng est với s là một biến phức, thay vào phương trình ta có: N∑ i=0 aisiest = 0 → s là nghiệm của phương trình đại số tuyến tính bậc N sau đây: N∑ i=0 aisi = 0 (2) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 6 / 21 Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Xác định đáp ứng khởi đầu Phương trình (2) được gọi là phương trình đặc trưng của hệ thống. Gọi các nghiệm của phương trình (2) là {sk |k = 1..N}, nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (1) sẽ có dạng như sau nếu các {sk} đều là nghiệm đơn: y0(t) = N∑ k=1 ckesk t Giá trị của các hệ số {ck} được xác định từ các điều kiện khởi đầu. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 7 / 21 Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Xác định đáp ứng khởi đầu Trong trường hợp phương trình (2) có nghiệm bội, nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (1) sẽ có dạng như sau: y0(t) = ∑ k ( ckesk t pk−1∑ i=0 t i ) trong đó pk số lần bội của nghiệm sk . Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 8 / 21 Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Xác định đáp ứng ở trạng thái không ys(t) là đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu vào x(t) khi các điều kiện khởi đầu đều bằng không. ys(t) còn được gọi là nghiệm đặc biệt của phương trình vi phân tuyến tính biểu diễn hệ thống. Để xác định ys(t), thông thường ta giả thiết ys(t) có dạng tương tự tín hiệu vào x(t) với một vài hệ số chưa biết, sau đó thay vào phương trình để xác định các hệ số. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 9 / 21 Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Xác định đáp ứng ở trạng thái không Chú ý khi giả thiết dạng của ys(t): ys(t) phải độc lập với tất cả các thành phần của y0(t). Ví dụ, nếu x(t) = eαt , ta có thể gặp một số trường hợp như sau: Nếu eαt không phải là một thành phần của y0(t), ta có thể giả thiết ys(t) có dạng ceαt . Nếu α là một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (2)→ eαt là một thành phần của y0(t)→ ys(t) phải có dạng cteαt . Nếu α là một nghiệm bội bậc p của phương trình đặc trưng (2)→ eαt , teαt ,...,tp−1eαt là các thành phần của y0(t)→ ys(t) phải có dạng ctpeαt . Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 10 / 21 Biểu Diễn Hệ Thống Bằng Đáp ứng Xung Định nghĩa tích chập của hai tín hiệu Tích chập của hai tín hiệu f (t) và g(t), ký hiệu f (t) ∗ g(t), được định nghĩa như sau: f (t) ∗ g(t) = ∫ +∞ −∞ f (τ)g(t − τ)dτ Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 11 / 21 Biểu Diễn Hệ Thống Bằng Đáp ứng Xung Các tính chất của tích chập Tính giao hoán: f (t) ∗ g(t) = g(t) ∗ f (t) Tính kết hợp: [f (t) ∗ g(t)] ∗ h(t) = f (t) ∗ [g(t) ∗ h(t)] Tính phân phối: [f (t) + g(t)] ∗ h(t) = f (t) ∗ h(t) + g(t) ∗ h(t) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 12 / 21 Biểu Diễn Hệ Thống Bằng Đáp ứng Xung Các tính chất của tích chập Dịch thời gian: nếu x(t) = f (t) ∗ g(t), ta có x(t − t0) = f (t − t0) ∗ g(t) = f (t) ∗ g(t − t0) Nhân chập với tín hiệu xung đơn vị: f (t) ∗ δ(t) = f (t) Tính nhân quả: nếu f (t) và g(t) là các tín hiệu nhân quả thì f (t) ∗ g(t) cũng là tín hiệu nhân quả. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 13 / 21 Biểu Diễn Hệ Thống Bằng Đáp ứng Xung Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến Cho một hệ thống tuyến tính bất biến được biểu diễn bằng mối quan hệ y(t) = T[x(t)], ta có thể biến đổi biểu diễn đó như sau: y(t) = T[x(t) ∗ δ(t)] = T [∫ ∞ −∞ x(τ)δ(t − τ)dτ ] = ∫ ∞ −∞ x(τ)T[δ(t − τ)]dτ = x(t) ∗ h(t) ở đó, h(t) = T[δ(t)] được gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến biểu diễn bởi T. Một hệ thống tuyến tính bất biến là xác định khi đáp ứng xung của hệ thống đó xác định. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 14 / 21 Biểu Diễn Hệ Thống Bằng Đáp ứng Xung Phân tích đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến Hệ thống tĩnh (hệ thống không bộ nhớ): đáp ứng xung chỉ có giá trị khác không tại t = 0. Hệ thống nhân quả: đáp ứng xung là tín hiệu nhân quả. Hệ thống ổn định: khi và chỉ khi điều kiện sau đây đối với đáp ứng xung được thỏa mãn∫ ∞ −∞ |h(t)|dt <∞ Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 15 / 21 Biểu Diễn Hệ Thống Bằng Đáp ứng Xung Đáp ứng xung của các hệ thống ghép nối Ghép nối tiếp hai hệ thống: Đáp ứng xung tổng hợp h(t) = h1(t) ∗ h2(t) Ghép song song hai hệ thống: Đáp ứng xung tổng hợp h(t) = h1(t) + h2(t) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 16 / 21 Mô Hình Biến Trạng Thái Biến trạng thái của hệ thống Trạng thái của một hệ thống được mô tả bằng một tập hợp các biến trạng thái. Mô hình biến trạng thái của một hệ thống tuyến tính bất biến là tập hợp các phương trình vi phân của các biến trạng thái, cho phép xác định trạng thái trong tương lai của hệ thống khi biết trạng thái hiện thời và tín hiệu vào→ hệ thống hoàn toàn xác định khi trạng thái khởi đầu của hệ thống là xác định. Mô hình biến trạng thái rất thuận tiên để biểu diễn hệ thống đa biến. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 17 / 21 Mô Hình Biến Trạng Thái Phương trình trạng thái Gọi {u1(t),u2(t)...} là các tín hiệu vào, {y1(t), y2(t)...} là các biến ra, và {q1(t),q2(t)...} là các biến trạng thái của một hệ thống tuyến tính bất biến. Phương trình trạng thái của hệ thống là các phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất: dqi(t) dt = ∑ j aijqj(t) + ∑ k bikuk(t) (i = 1,2, ...) Các tín hiệu ra được xác định từ biến trạng thái và các tín hiệu vào như sau: yi(t) = ∑ j cijqj(t) + ∑ k dikuk(t) (i = 1,2, ...) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 18 / 21 Mô Hình Biến Trạng Thái Phương trình trạng thái Mô hình tráng thái của một hệ thống tuyến tính bất biến thường được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau: dq(t) dt = Aq(t) + Bu(t) y(t) = Cq(t) + Du(t) ở đó, u(t), y(t) và q(t) là các vector cột với các phần tử lần lượt là các tín hiệu vào, tín hiệu ra và các biến trạng thái của hệ thống; A, B, C và D là các ma trận hệ số. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 19 / 21 Mô Hình Biến Trạng Thái Thiết lập phương trình trạng thái Thiết lập các phương trình trạng thái từ phương trình vi phân biểu diễn hệ thống tuyến tính bất biến sau đây: N∑ i=0 ai d iy(t) dt i = M∑ j=0 bj d jx(t) dt j Đặt uj(t) = d jx(t)/dt j (j = 0..M) là các tín hiệu vào của hệ thống và viết lại phương trình trên dưới dạng: N∑ i=0 ai d iy(t) dt i = M∑ j=0 bjuj(t) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 20 / 21 Mô Hình Biến Trạng Thái Thiết lập phương trình trạng thái Chọn các biến trạng thái như sau: q1(t) = y(t),q2(t) = dy(t) dt , ...,qN(t) = dN−1y(t) dtN−1 Các phương trình trạng thái: dq1(t) dt = q2(t), dq2(t) dt = q3(t), ... dqN−1(t) dt = qN(t) dqN(t) dt = 1 aN − N−1∑ 0 aiqi+1(t) + M∑ j=0 bjuj(t)  Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 21 / 21 CHƯƠNG IV BIỂU DIỄN TÍN HIỆU BẰNG CHUỖI FOURIER Lê Vũ Hà ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trường Đại học Công nghệ 2009 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 1 / 13 Tín Hiệu Dạng Sin và Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Đáp ứng của hệ thống tuyến tính bất biến với tín hiệu dạng sin Xem xét một hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng xung h(t) và tín hiệu vào x(t) = ejωt . Đáp ứng của hệ thống được tính như sau: y(t) = h(t) ∗ x(t) = ∫ ∞ −∞ h(τ)ejω(t−τ)dτ = ejωt ∫ ∞ −∞ h(τ)e−jωτdτ = H(ω)ejωt ở đó, H(ω) là đáp ứng tần số: H(ω) = ∫ ∞ −∞ h(τ)e−jωτdτ đặc trưng cho đáp ứng của hệ thống với tần số ω của tín hiệu vào dạng sin. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 2 / 13 Tín Hiệu Dạng Sin và Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Đáp ứng của hệ thống tuyến tính bất biến với tín hiệu dạng sin Tín hiệu ra có cùng tần số với tần số của tín hiệu vào dạng sin. Sự thay đổi về biên độ và pha của tín hiệu ra so với tín hiệu vào được đặc trưng bởi đáp ứng tần số H(ω) với hai thành phần sau đây: |H(ω)| = √ Re[H(ω)]2 + Im[H(ω)]2 được gọi là đáp ứng biên độ, và φ(ω) = arctan Im[H(ω)] Re[H(ω)] được gọi là đáp ứng pha của hệ thống. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 3 / 13 Tín Hiệu Dạng Sin và Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Đáp ứng của hệ thống tuyến tính bất biến với tín hiệu dạng sin Khi đó, ta có thể biểu diễn tín hiệu ra dưới dạng sau đây: y(t) = |H(ω)|ejφ(ω)ejωt = |H(ω)|ej[ωt+φ(ω)] nghĩa là, so với tín hiệu vào thì tín hiệu ra có biên độ lớn gấp |H(ω)| lần và lệch pha đi một góc là φ(ω). Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 4 / 13 Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn Một tín hiệu x(t) tuần hoàn với chu kỳ T có thể biểu diễn được một cách chính xác bởi chuỗi Fourier dưới đây: x(t) = ∞∑ k=−∞ ckejkω0t ở đó, ω0 = 2pi/T là tần số cơ bản của tín hiệu x(t). Nói cách khác, mọi tín hiệu tuần hoàn đều có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu dạng sin phức có tần số là một số nguyên lần tần số cơ bản. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 5 / 13 Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Điều kiện hội tụ Điều kiện để sai số bình phương trung bình giữa x(t) và biểu diễn chuỗi Fourier của x(t) bằng không là x(t) phải là tín hiệu công suất, nghĩa là: 1 T ∫ T 0 |x(t)|2dt <∞ Điều kiện hội tụ tại mọi điểm (điều kiện Dirichlet): x(t) bị chặn. Số điểm cực trị trong một chu kỳ của x(t) là hữu hạn. Số điểm không liên tục trong một chu kỳ của x(t) là hữu hạn. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 6 / 13 Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Biểu diễn đáp ứng của hệ thống tuyến tính bất biến Đáp ứng của một hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng tần số là H(ω) với mỗi thành phần ejkω0t là H(kω0)ejkω0t → đáp ứng của hệ thống đó với tín hiệu vào x(t) sẽ biểu diễn được như sau: y(t) = ∞∑ k=−∞ ckH(kω0)ejkω0t Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 7 / 13 Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Tính trực giao của các thành phần {ejkω0 t} Hai tín hiệu f (t) và g(t) tuần hoàn với cùng chu kỳ T được gọi là trực giao nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn:∫ T 0 f (t)g∗(t)dt = 0 Hai tín hiệu ejkω0t và ejlω0t với tần số cơ bản ω0 = 2pi/T trực giao nếu k 6= l : ∀k 6= l : ∫ T 0 ejkω0te−jlω0tdt = 0 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 8 / 13 Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Tính các hệ số của chuỗi Fourier Các hệ số của chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn x(t) được tính bằng cách sử dụng tính chất trực giao của các tín hiệu thành phần {ejkω0t} như sau:∫ T 0 x(t)e−jkω0tdt = ∫ T 0 ∞∑ l=−∞ clejlω0te−jkω0tdt = ∞∑ l=−∞ cl ∫ T 0 ejlω0te−jkω0tdt = ckT → ck = 1T ∫ T 0 x(t)e−jkω0tdt Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 9 / 13 Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Các tính chất của biểu diễn chuỗi Fourier Tính tuyến tính: x(t) = ∞∑ k=−∞ ckejkω0t và z(t) = ∞∑ k=−∞ dkejkω0t → αx(t) + βz(t) = ∞∑ k=−∞ (αck + βdk)ejkω0t Dịch thời gian: x(t) = ∞∑ k=−∞ ckejkω0t → x(t − t0) = ∞∑ k=−∞ ( cke−jkω0t0 ) ejkω0t Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 10 / 13 Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Các tính chất của biểu diễn chuỗi Fourier Đạo hàm: x(t) = ∞∑ k=−∞ ckejkω0t → dx(t)dt = ∞∑ k=−∞ (jkω0ck)ejkω0t Tích phân: x(t) = ∞∑ k=−∞ ckejkω0t → ∫ t −∞ x(τ)dτ = ∞∑ k=−∞ ck jkω0 ejkω0t Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 11 / 13 Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Các tính chất của biểu diễn chuỗi Fourier Công thức Parseval: 1 T ∫ T 0 |x(t)|2dt = ∞∑ k=−∞ |ck |2 Giá trị |ck |2 có thể coi như đại diện cho công suất của tín hiệu thành phần ejkω0t trong tín hiệu x(t)→ hàm biểu diễn giá trị |ck |2 theo tần số ωk = kω0 (k ∈ Z ) cho ta biết phân bố công suất của tín hiệu x(t) và được gọi là phổ mật độ công suất của x(t). Chú ý: phổ mật độ công suất của tín hiệu tuần hoàn là một hàm theo tần số rời rạc. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 12 / 13 Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Các tính chất của biểu diễn chuỗi Fourier Tính đối xứng: với tín hiệu tuần hoàn x(t) có biểu diễn chuỗi Fourier x(t) = ∞∑ k=−∞ ckejkω0t phổ mật độ công suất của x(t) là một hàm chẵn, nghĩa là: ∀k : |ck |2 = |c−k |2. Ngoài ra: Nếu x(t) là tín hiệu thực: ∀k : ck = c∗−k . Nếu x(t) là tín hiệu thực và chẵn: ∀k : ck = c−k . Nếu x(t) là tín hiệu thực và lẻ: ∀k : ck = −c−k . Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 13 / 13 CHƯƠNG V BIẾN ĐỔI FOURIER CỦA TÍN HIỆU Lê Vũ Hà ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trường Đại học Công nghệ 2009 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 1 / 12 Biến Đổi Fourier của Tín Hiệu Không Tuần Hoàn Mở rộng biểu diễn chuỗi Fourier Xem xét một tín hiệu liên tục không tuần hoàn x(t), ta có thể coi x(t) như một tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ T →∞ (hay ω0 → 0), khi đó x(t) có thể biểu diễn được bằng chuỗi Fourier như sau: x(t) = lim ω0→0 +∞∑ k=−∞ ckejkω0t ở đó: ck = lim ω0→0 1 T ∫ +T/2 −T/2 x(t)e−jkω0tdt = lim ω0→0 ω0 2pi ∫ +pi/ω0 −pi/ω0 x(t)e−jkω0tdt Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 2 / 12 Biến Đổi Fourier của Tín Hiệu Không Tuần Hoàn Mở rộng biểu diễn chuỗi Fourier Vì ω0 → 0 nên ω = kω0 là một biến liên tục, ta có thể viết lại các biểu thức ở trang trước như sau: x(t) = lim ω0→0 1 ω0 ∫ +∞ −∞ c(ω)ejωtdω = lim ω0→0 ∫ +∞ −∞ c(ω) ω0 ejωtdω ở đó, c(ω) là một hàm theo tần số liên tục và được xác định như sau: c(ω) = lim ω0→0 ω0 2pi ∫ +pi/ω0 −pi/ω0 x(t)e−jωtdt Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 3 / 12 Biến Đổi Fourier của Tín Hiệu Không Tuần Hoàn Biến đổi Fourier Đặt X (ω) = 2pic(ω)/ω0, chúng ta có được công thức của biến đổi Fourier của tín hiệu x(t): X (ω) = F [x(t)] = ∫ +∞ −∞ x(t)e−jωtdt và công thức của biến đổi Fourier nghịch: x(t) = F−1[X (ω)] = 1 2pi ∫ +∞ −∞ X (ω)ejωtdω Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 4 / 12 Biến Đổi Fourier của Tín Hiệu Không Tuần Hoàn Biến đổi Fourier Cách biểu diễn khác của biến đổi Fourier của tín hiệu x(t), với biến tần số f thay cho tần số góc ω: X (f ) = ∫ +∞ −∞ x(t)e−j2piftdt và công thức của biến đổi Fourier nghịch tương ứng: x(t) = ∫ +∞ −∞ X (f )ej2piftdf Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 5 / 12 Biến Đổi Fourier của Tín Hiệu Không Tuần Hoàn Biến đổi Fourier Hàm X (ω) được gọi là phổ (Fourier) của tín hiệu x(t) theo tần số. Hàm biểu diễn |X (ω)| = √ Re[X (ω)]2 + Im[X (ω)]2 được gọi là phổ biên độ của tín hiệu x(t) theo tần số. Hàm φ(ω) = arctan[Im[X (ω)]/Re[X (ω)]] được gọi là phổ pha của tín hiệu x(t) theo tần số. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 6 / 12 Biến Đổi Fourier của Tín Hiệu Không Tuần Hoàn Điều kiện hội tụ Điều kiện để các biến đổi Fourier thuận và nghịch của tín hiệu x(t) tồn tại là x(t) phải là tín hiệu năng lượng, nghĩa là:∫ +∞ −∞ |x(t)|2dt <∞ Điều kiện để tín hiệu khôi phục từ biến đổi Fourier của x(t) hội tụ về x(t) tại mọi điểm (ngoại trừ tại các điểm không liên tục) (điều kiện Dirichlet):∫ +∞ −∞ |x(t)|dt <∞. Số điểm cực trị của x(t) là hữu hạn. Số điểm không liên tục của x(t) là hữu hạn. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 7 / 12 Biến Đổi Fourier của Tín Hiệu Không Tuần Hoàn Các tính chất của biến đổi Fourier Tính tuyến tính: F [αx1(t) + βx2(t)] = αX1(ω) + βX2(ω) Dịch thời gian: F [x(t − t0)] = X (ω)e−jωt0 Dịch tần số: F [x(t)ejγt ] = X (ω − γ) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 8 / 12 Biến Đổi Fourier của Tín Hiệu Không Tuần Hoàn Các tính chất của biến đổi Fourier Co giãn trục thời gian: F [x(at)] = 1|a|X (ω a ) Đạo hàm: F [ dx(t) dt ] = jωX (ω) Tích phân: F [∫ t −∞ x(τ)dτ ] = X (ω) jω Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 9 / 12 Biến Đổi Fourier của Tín Hiệu Không Tuần Hoàn Các tính chất của biến đổi Fourier Biến đổi Fourier của tích chập: F [f (t) ∗ g(t)] = F (ω)G(ω) Biến đổi Fourier của tích thường (điều chế): F [f (t)g(t)] = 1 2pi F (ω) ∗G(ω) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 10 / 12 Biến Đổi Fourier của Tín Hiệu Không Tuần Hoàn Các tính chất của biến đổi Fourier Công thức Parseval:∫ +∞ −∞ |x(t)|2dt = 1 2pi ∫ +∞ −∞ |X (ω)|