Bài giảng Toán kinh tế - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính - Nguyễn Ngọc Lam

C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN2.1. Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính:1. Định nghĩa: Đó là một hệ phương trình đại số bậc nhất gồm m phương trình n ẩn có dạng: xj là biến, aij được gọi là hệ số (của ẩn)bi: được gọi là hệ số tự do10/2/20211Hệ phương trình tuyến tính1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN2. Ma trận các hệ số của phương trình: 3. Ma trận cột của ẩn và ma trận cột của hệ số tự do: Hệ phương trình (1) có thể viết: AX = B 10/2/20212Hệ phương trình tuyến tính1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN4. Ma trận bổ sung: 1.2. Nghiệm: Một nghiệm của hệ phương trình (1) là một bộ n số thực (c1,c2,cn) thoả hệ phương trình (1). Hệ phương trình (1) được gọi là tương thích nếu có ít nhất một nghiệm, và được gọi là không tương thích (hệ vô nghiệm) nếu nó không có nghiệm. Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương, nếu các tập hợp nghiệm của chúng là trùng nhau.10/2/20213Hệ phương trình tuyến tính1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN1.3. Điều kiện tồn tại nghiệm: Định lý (Định lý Kronecker – Capelli): Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bổ sung . .1.4. Ví dụ: Xác định tham số a để phương trình sau có nghiệm:10/2/20214Hệ phương trình tuyến tính2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME 2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn và định thức của ma trận hệ số khác không. 2.2. Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm duy nhất tính bằng công thức X = A-1B, tức là: Trong đó Aj là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ j bằng cột các phần tử tự do.10/2/20215Hệ phương trình tuyến tính2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME2.3. Ví dụ: Giải hệ phương trình: 10/2/20216Hệ phương trình tuyến tính3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS3.1. Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn khác nhau hoặc ma trận các hệ số bằng không. Ta thực hiện các phép toán trên hàng đối với ma trận bổ sung của hệ phương trình (1) và đưa ma trận này về dạng ma trận bậc thang. 10/2/20217Hệ phương trình tuyến tính3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS3.2.Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:3.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:3.3.1. Định nghĩa:10/2/20218Hệ phương trình tuyến tính3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS3.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:3.3.1. Định nghĩa:Hệ luôn có nghiệm tầm thường 10/2/20219Hệ phương trình tuyến tính3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS3.3.2. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:Trường hợp 1: Nếu rankA = n, hệ phương trình chỉ có nghiệm tầm thường. Trường hợp 2: Nếu rankA = k < n thì hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có vô số nghiệm, phụ thuộc n-k tham số. 3.3.3. Ví dụ:10/2/202110Hệ phương trình tuyến tính3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS10/2/202111Hệ phương trình tuyến tính3 PHƯƠNG PHÁP GAUSSRankA = 2, số ẩn là 4 nên hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số X1, X2.10/2/202112Hệ phương trình tuyến tính3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS3.3.4. Hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: Giả sử rankA = k < n. Ta có hệ có vô số nghiệm phụ thuộc n-k tham số. Giả sử n-k tham số đó là xk+1, xn.x1x2...xkxk+1xk+2xnc11c12c1k10...0c11c12c1k01...0............cn-k,1cn-k,2cn-k,k00...1Hệ này được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.10/2/202113Hệ phương trình tuyến tính3 PHƯƠNG PHÁP GAUSSÁp dụng: Sử dụng ví dụ trên ta tìm được hệ nghiệm cơ bản như sau:x1 = 8x3 – 7x4x2 = -6x3 + 5x4x3x48-610-750110/2/202114Hệ phương trình tuyến tính