Bài giảng Toán Lớp 12 - Bài 5: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng, chùm mặt phẳng + bài tập

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮKLẮK TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG Tiết phân phối chương trình: 79 Giáo viên thực hiện: NGUYỄN NGỌC THẮNG §5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG + BÀI TẬP KIỂM TRA BÀI CŨ Hãy nêu định nghĩa về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng? Một mặt phẳng hoàn toàn xác định đựơc khi nào? Đn: Vectơ được gọi là một vectơ pháp tuyến của mp (P) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. 0n ¹ r r Một mặt phẳng hoàn toàn xác định được một điểm thuộc nó và vectơ pháp tuyến của nó ? §5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG I. Một số quy ước và kí hiệu 1. Hai bộ n số và được gọi là tỉ lệ với nhau nếu có số sao cho A1 = t A’1; A2 = t A’2;; An = t A’n hoặc có số sao cho A’1 = t’ A1; A’2 = t’ A2;; A’n = t’ An . Ví dụ. Hai bộ bốn số (1; 2; 0; -3) và (-3; -6; 0; 9) là tỉ lệ với nhau. Hai bộ n số (A1; A2; ; An) và (A’1; A’2; ; A’n) tỉ lệ với nhau ta kí hiệu: 0t ¹ ' 0t ¹ 1 2 1 2: : ... : ' : ' : ... : ' (a)n nA A A A A A= ( )1 2: : ... : nA A A ( )1 2' : ' : ... : 'nA A A Em hãy xét ính tỉ lệ của h i bộ bốn số (1; 2; 0; -3) và (-3; -6; 0; 9)? Nếu chúng tỉ lệ hãy cho biết giá trị của t và t’ ?? + Hai bộ bốn số (1; 2; 0; -3) và (-3; -6; 0; 9) là tỉ lệ với nhau. + Giá trị t trong trường hợp này là + Giá trị t’ trong trường hợp này là 1 3 t = - ' 3t = - Ngoài ra ta còn dùng kí hiệu sau: 1 2 ... (b) ' ' ' nA A A A A A = = = 1 2 n Ví dụ. 1: 2 : 0 : 3 3 : 6 : 0 : 9- = - - §5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG I. Một số quy ước và kí hiệu 1. Hai bộ n số và được gọi là tỉ lệ với nhau nếu có số sao cho A1 = t A’1; A2 = t A’2;; An = t A’n hoặc có số sao cho A’1 = t’ A1; A’2 = t’ A2;; A’n = t’ An . Ví dụ. Hai bộ bốn số (1; 2; 0; -3) và (-3; -6; 0; 9) là tỉ lệ với nhau. Hai bộ n số (A1; A2; ; An) và (A’1; A’2; ; A’n) tỉ lệ với nhau ta kí hiệu: 0t ¹ ' 0t ¹ 1 2 1 2: : ... : ' : ' : ... : ' (a)n nA A A A A A= ( )1 2: : ... : nA A A ( )1 2' : ' : ... : 'nA A A Ngoài ra ta còn dùng kí hiệu sau: 1 2 1 2 ... (b) ' ' ' n n A A A A A A = = = Ví dụ. 1: 2 : 0 : 3 3 : 6 : 0 : 9- = - - Lưu ý: Trong kí hiệu (b) có thể có một A’i nào đó bằng 0 (với i = 1, 2, , n), khi đó hiển nhiên Ai cũng bằng 0. 2. Nếu hai bộ số và không tỉ lệ, ta dùng kí hiệu:( )1 2: : ... : nA A A ( )1 2' : ' : ... : 'nA A A 1 2 1 2: : ... : ' : ' : ... : ' (c)n nA A A A A A¹ Nhận xét: Hai véc tơ và cùng phương khi và chỉ khi: : : ' : ' : 'a b c a b c= ( ); ;u a b c= r ( )' '; '; 'u a b c= ur Dùng kí hiệu trên, Em hãy cho biết hai véc tơ: và cùng phương khi nào? ( ); ;u a b c= r ( )' '; '; 'u a b c= ur §5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: ( II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng ) ( ) : 0 (1) ' : ' ' ' ' 0 (1') Ax By Cz D A x B y C z D a a + + + = + + + = Khi đó ( ; ; ), ' ( '; '; ')n A B C n A B C= =r ur lần lượt là vectơ pháp tuyến của ( )α và ( )'α Em hãy cho biết vectơ pháp tuyến của ( )α và ( )' ?α Em hãy cho biết các vị trí tương đối của hai mặt phẳng ( )α và ( )' ?α? + cắt nhau theo một đường thẳng. + song song với nhau. + trùng nhau. ( )α và ( )'α( )α và ( )'α( )α và ( )'α Minh hoạ §5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: ( ) ( ) : 0 (1) ' : ' ' ' ' 0 (1') Ax By Cz D A x B y C z D a a + + + = + + + = ( ; ; ), ' ( '; '; ')n A B C n A B C= =r ur lần lượt là vectơ pháp tuyến của Khi đó ( )α và( )'α Vấn đề đặt ra cho chúng ta là hãy tìm điều kiện của các hệ số trong (1) và (1’) để: + cắt nhau theo một đường thẳng. + song song với nhau. + trùng nhau. ? ( )α và ( )'α( )α và ( )'α( )α và ( )'α §5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG ( II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: ) ( ) : 0 (1) ' : ' ' ' ' 0 (1') Ax By Cz D A x B y C z D a a + + + = + + + = ( ; ; ), ' ( '; '; ')n A B C n A B C= =r ur lần lượt là vectơ pháp tuyến của Khi đó ( )α và( )'α ? 1. ( )α cắt ( )'α Khi Em có nhận xét gì về phương của hai vectơ n r và '?n ur ( )α cắt ( )' .α + cắt nhau theo một đường thẳng khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến không cùng phương. ( )α và ( )'α n r và 'n ur Minh hoạ §5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG ( II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: ) ( ) : 0 (1) ' : ' ' ' ' 0 (1') Ax By Cz D A x B y C z D a a + + + = + + + = ( ; ; ), ' ( '; '; ')n A B C n A B C= =r ur lần lượt là vectơ pháp tuyến của Khi đó ( )α và( )'α ? 1. ( )α cắt ( )'α nr và 'nur Từ nhận xét trên, Em hãy tìm điều kiện của các hệ số để ( )α cắt ( )' ?α theo một đường thẳng khi và chỉ khi không cùng phương. Vậy: ( )α cắt ( )'α ⇔ ≠: : ' : ' : 'A B C A B C §5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: ( ) ( ) : 0 (1) ' : ' ' ' ' 0 (1') Ax By Cz D A x B y C z D a a + + + = + + + = Khi đó ( ; ; ), ' ( '; '; ')n A B C n A B C= =r ur lần lượt là vectơ pháp tuyến của ( )α và( )'α ? 1. ( )α cắt ( )'α nr và 'nur Em có nhận xét gì về phương của các vectơ ( )α trùng ( )' .α theo một đường thẳng khi và chỉ khi không cùng phương. Vậy: ( )α cắt ( )'α ⇔ ≠: : ' : ' : 'A B C A B C 2. ( )α trùng ( )'α n r và '?n ur + trùng nhau thì cùng phương.n r và 'n ur( )α và( )'α Minh hoạ §5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: ( ) ( ) : 0 (1) ' : ' ' ' ' 0 (1') Ax By Cz D A x B y C z D a a + + + = + + + = ( ; ; ), ' ( '; '; ')n A B C n A B C= =r ur lần lượt là vectơ pháp tuyến của Khi đó ( )α và( )'α ? 1. ( )α cắt ( )'α nr và 'nur Em hãy nêu điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng trùng nhau ? ( )α và ( )'α theo một đường thẳng khi và chỉ khi không cùng phương. Vậy: ( )α cắt ( )'α ⇔ ≠: : ' : ' : 'A B C A B C 2. ( )α trùng ( )'α + trùng nhau khi và chỉ khi cùng phương và hai mặt phẳng đó có chung điểm M0 = (x0; y0; z0). n r và 'n ur( )α và( )'α §5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: ( ) ( ) : 0 (1) ' : ' ' ' ' 0 (1') Ax By Cz D A x B y C z D a a + + + = + + + = ( ; ; ), ' ( '; '; ')n A B C n A B C= =r ur lần lượt là vectơ pháp tuyến của 1. ( ) Khi đó α cắt ( )'α nr và 'nurtheo một đường thẳng khi và chỉ khi không cùng phương. Vậy: ( )α cắt ( )'α ⇔ ≠: : ' : ' : 'A B C A B C 2. khi và chỉ khi cùng phương và hai mặt phẳng đó có chung điểm M0 = (x0; y0; z0). ( )α trùng ( )'α nr và 'nur Khi cùng phương. Em có nhận xét gì về bộ ba số (A; B; C) và (A’: B’; C’)? n r và 'n ur ( )α và( )'α ? : : ' : ' : 'A B C A B C= §5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: ( ) ( ) : 0 (1) ' : ' ' ' ' 0 (1') Ax By Cz D A x B y C z D a a + + + = + + + = ( ; ; ), ' ( '; '; ')n A B C n A B C= =r ur lần lượt là vectơ pháp tuyến của 1. ( ) Khi đó α cắt ( )'α nr và 'nurtheo một đường thẳng khi và chỉ khi không cùng phương. Vậy: ( )α cắt ( )'α ⇔ ≠: : ' : ' : 'A B C A B C 2. khi và chỉ khi cùng phương và hai mặt phẳng đó có chung điểm M0 = (x0; y0; z0). ( )α trùng ( )'α nr và 'nur ( )α và( )'α : : ' : ' : 'A B C A B C= ', ', 't A tA B tB C tCÞ $ = = = ( )0 0 0 0; ;M x y z là điểm chung của ( )α và ( )'α nên 0 0 0 0 0 00, ' ' ' ' 0Ax By Cz D A x B y C z D+ + + = + + + =? Em hãy biểu diễn D qua D’ ? Suy ra: ( ) ( )0 0 0 0 00 ' ' ' 'D Ax By Cz t A x B y C z tD= - + + = - - - = §5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG ( II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: ) ( ) : 0 (1) ' : ' ' ' ' 0 (1') Ax By Cz D A x B y C z D a a + + + = + + + = ( ; ; ), ' ( '; '; ')n A B C n A B C= =r ur lần lượt là vectơ pháp tuyến của 1. ( ) Khi đó α cắt ( )'α nr và 'nurtheo một đường thẳng khi và chỉ khi không cùng phương. Vậy: ( )α cắt ( )'α ⇔ ≠: : ' : ' : 'A B C A B C 2. khi và chỉ khi cùng phương và hai mặt phẳng đó có chung điểm M0 = (x0; y0; z0). ( )α trùng ( )'α nr và 'nur ( )α và( )'α Em hãy nêu điều kiện cần và đủ của các hệ số trong (1) và (1’) để ( )α trùng ( )' ?α? Vậy: ( )α trùng ( )'α ⇔ = = = ' ' ' D' A B C D A B C §5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG ( II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: ) ( ) : 0 (1) ' : ' ' ' ' 0 (1') Ax By Cz D A x B y C z D a a + + + = + + + = ( ; ; ), ' ( '; '; ')n A B C n A B C= =r ur lần lượt là vectơ pháp tuyến của 1. ( ) Khi đó α cắt ( )'α nr và 'nurtheo một đường thẳng khi và chỉ khi không cùng phương. Vậy: ( )α cắt ( )'α ⇔ ≠: : ' : ' : 'A B C A B C 2. khi và chỉ khi cùng phương và hai mặt phẳng đó có chung điểm M0 = (x0; y0; z0). ( )α trùng ( )'α nr và 'nur ( )α và( )'α ( )α song song ( )'α Vậy: ( )α trùng ( )'α ⇔ = = = ' ' ' D' A B C D A B C Khi nào?? 3. ( )α song song ( )'α khi và chỉ khi chúng không cắt nhau và không trùng nhau. §5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG ( II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: ) ( ) : 0 (1) ' : ' ' ' ' 0 (1') Ax By Cz D A x B y C z D a a + + + = + + + = ( ; ; ), ' ( '; '; ')n A B C n A B C= =r ur lần lượt là vectơ pháp tuyến của 1. ( ) Khi đó α cắt ( )'α nr và 'nurtheo một đường thẳng khi và chỉ khi không cùng phương. Vậy: ( )α cắt ( )'α ⇔ ≠: : ' : ' : 'A B C A B C 2. khi và chỉ khi cùng phương và hai mặt phẳng đó có chung điểm M0 = (x0; y0; z0). ( )α trùng ( )'α nr và 'nur ( )α và( )'α Vậy: ( )α trùng ( )'α ⇔ = = = ' ' ' D' A B C D A B C ? ( )3. α song song ( )'α khi và chỉ khi chúng không cắt nhau và không trùng nhau. Em hãy nêu điều kiện cần và đủ của các hệ số trong (1) và (1’) để ( )α song song ( )' ?α Vậy: ( ) ( )α α ⇔ = = ≠// ' ' ' ' D' A B C D A B C §5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Tóm lại: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: ( ) ( ) a a + + + = + + + = : 0 (1) ' : ' ' ' ' 0 (1') Ax By Cz D A x B y C z D1. ( )α cắt ( )'α ⇔ ≠: : ' : ' : 'A B C A B C 2. ( )α trùng ( )'α ⇔ = = = ' ' ' D' A B C D A B C 3. ( ) ( )α α ⇔ = = ≠// ' ' ' ' D' A B C D A B C TT Các cặp mặt phẳng Cắt nhau Trùng nhau Song song 1 2 3 4 5 và và và và và 2 5 0x y z+ - + = 2 3 7 4 0x y z+ - - = 2 3 0x y z- + + = 2 4 2 0x y z- + - = 1 0x y z+ + - = 2 2 2 3 0x y z+ - + = 3 2 3 5 0x y z- - + = 9 6 9 5 0x y z- - - = 2 4 0x y z- + - = 10 10 20 40 0x y z- + - = Bài tập 1. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau: 9 9 9 9 9 Vận dụng các kiến thức trên vào các bài tập sau đây: §5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Bài tập 3. Cho hai mặt phẳng: (P): 2x – my + 3z – 6 + m = 0 (Q): (m + 3)x – 2y + (5m + 1)z – 10 = 0. Với giá trị nào của m để hai mặt phẳng (P) và (Q): a). Song song với nhau ? b). Trùng nhau ? c). Cắt nhau ? Giải. a). (P) // (Q) Û ?2 3 63 2 5 1 10 m m m m - - += = ¹ + - + - 2 3 2 2 3 3 5 1 6 2 10 m m m m m m ì -ïï =ï + -ïïïïï =íï + +ïïï - - +ï ¹ïï - -ïî 1 4 1 1 m m m m ì é =ïï êï êï = -ëïïï =íïï ¹ïïïïïî . Vậy, không có giá trị nào của m để (P) song song với (Q). Dựa vào kết quả trên. Em hãy cho biết với giá trị nào của m thì (P) trùng với (Q) ? ? Û ? Û ? Û ?m Î Æ §5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Bài tập 3. Cho hai mặt phẳng: (P): 2x – my + 3z – 6 + m = 0 (Q): (m + 3)x – 2y + (5m + 1)z – 10 = 0. Với giá trị nào của m để hai mặt phẳng (P) và (Q): a). Song song với nhau ? b). Trùng nhau ? c). Cắt nhau ? Giải. a). (P) // (Q) Û 2 3 6 3 2 5 1 10 m m m m - - += = ¹ + - + - 2 3 2 2 3 3 5 1 6 2 10 m m m m m m ì -ïï =ï + -ïïïïï =íï + +ïïï - - +ï ¹ïï - -ïî 1 4 1 1 m m m m ì é =ïï êï êï = -ëïïï =íïï ¹ïïïïïî . Vậy, không có giá trị nào của m để (P) song song với (Q). Û Û Û m Î Æ b). (P) trùng với (Q) Û 2 3 6 3 2 5 1 10 m m m m - - += = = + - + - Û 1m = §5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Bài tập 3. Cho hai mặt phẳng: (P): 2x – my + 3z – 6 + m = 0 (Q): (m + 3)x – 2y + (5m + 1)z – 10 = 0. Với giá trị nào của m để hai mặt phẳng (P) và (Q): a). Song song với nhau? b). Trùng nhau? c). Cắt nhau? Giải. a). (P) // (Q) Û 2 3 6 3 2 5 1 10 m m m m - - += = ¹ + - + - 2 3 2 2 3 3 5 1 6 2 10 m m m m m m ì -ïï =ï + -ïïïïï =íï + +ïïï - - +ï ¹ïï - -ïî 1 4 1 1 m m m m ì é =ïï êï êï = -ëïïï =íïï ¹ïïïïïî . Vậy, không có giá trị nào của m để (P) song song với (Q). Û Û Û m Î Æ b). (P) trùng với (Q) Û 2 3 6 3 2 5 1 10 m m m m - - += = = + - + - Û 1m = Em hãy suy ra giá trị của m để (P) cắt (Q) ?? c). (P) trùng với (Q) 1mÛ ¹ §5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG CŨNG CỐ Hai mặt phẳng: ( )a + + + =: 0 (1)Ax By Cz D ( )1. α cắt ( )'α ⇔ ≠: : ' : ' : 'A B C A B C 2. ( )α trùng ( )'α ⇔ = = = ' ' ' D' A B C D A B C 3. ( ) ( )α α ⇔ = = ≠// ' ' ' ' D' A B C D A B C và ( )a + + + =' : ' ' ' ' 0 (1')A x B y C z D Qua tiết học này các em cần nắm những nội dung nào?? Theo em, đối với bài toán “biện luận vị trí tương đối của hai mặt phẳng theo tham số” Ta nên biện luận cho vị trí tương đối nào trước? vì sao? ? Lưu ý: Để giảm độ phức tạp của bài toán biện luận vị trí tương đối của hai mặt phẳng theo tham số, ta nên tìm tham số để các hai mặt phẳng: song song, trùng nhau; sau đó suy ra trường hợp còn lại. §5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG BÀI TẬP VỀ NHÀ 1. Xem lại bài tập 1 và bài tập 3 trang 87 sách giáo khoa hình học 12. 2. Vận dụng kiến thức đã học, làm bài tập 2 trang 87 sách giáo khoa hình học 12. 3. Xem trước nội dung “III. Chùm mặt phẳng và ví dụ” ở trang 85 – 86 sách giáo khoa hình học 12. §5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG TIẾT HỌC ĐẾN ĐÂY LÀ KẾT THÚC XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN QUÍ THẦY CÔ GIÁO VỀ DỰ GIỜ THĂM LỚP CHÚC CÁC EM HỌC TẬP TỐT