Bài giảng Toán Lớp 12 - Chương 2: Mặt cầu, mặt nón trụ, mặt nón - Bài 1: Mặt cầu, khối cầu

Giaùo vieân: Ñaëng Phöôùc Taán Lôùp daïy : 12C1 Ngaøy daïy: 12/11/2009 TIEÁÁT DAÏÏY MOÂN : Toa ùùn TRÖÔØØNG THPT PHAN BOÄÄI CHAÂU §1. MẶT CẦU, KHỐI CẦU I- ĐỊNH NGHĨA MẶT CẦU: 1. Định nghĩa: (SGK) S(O ; R) = { M / OM = R} Các thuật ngữ: Cho mặt cầu S(O;R) và một điểm A nào đó : ⇔a)OA =R ⇔b)OA <R A nằm trong mặt cầu A nằm ngoài mặt cầu d) Khối cầu hoặc hình cầu S(O;R) = { M / OM ≤ R} ⇔c)OA >R ∈A S(O;R) CHƯƠNG II: MẶT CẦU, MẶT NÓTRỤ, MẶT NÓN Cho hai điểm A, B cố định. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M sao cho là mặt cầu đường kính AB. uuur uuur MA.MB = 0 Ví dụ 1: Gọi I là trung điểm đoạn AB, ta có: = ⇔uuur uuurMA.MB 0 ( ) ( )+ + =uur uur uur uurMI IA MI IB 0 ( ) ( )⇔ + − =uur uur uur uurMI IA MI IA 0⇔ MI2 − IA2 = 0 Mà IA không đổi, I cố định Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm I bán kính IA tức là đường kính AB. Giải: ⇔ MI = IA . I . .A B// // Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 2a2 Ví dụ 2: Giải: 3 . 3 a Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tập hợp các điểm M sao cho: MA2 + MB2 + MC2 = 2a2 là đường tròn tâm G (G là trọng tâm tam giác ABC), bán kính Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD Ta có: 2a2 = MA2 + MB2 + MC2 + MD2 ( ) ( ) ( ) ( )= + + + + + + +uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 2 2 2MG GA MG GB MG GC MG GD ( )= + + + + + + + +uuur uuur uuur uuur uuur2 2 2 2 24MG GA GB GC GD 2MG GA GB GC GD Vì G là trọng tâm tứ diện nên + + + =uuur uuur uuur uuur rGA GB GC GD 0 và GA = GB = GC = GD = 3 a 2. 4 3 Từ đó suy ra: MG2 = 2a 8 Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ aS G; 2 2 ⇔ = aMG 2 2 = a 6 4 H B C D A a G II- VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Cho mặt cầu S(O;R) và mp(P), gọi d là khoảng cách từ O đến (P), H là hình chiếu của O lên (P). Khi đó: * Nếu d < R thì 2 2R - d * Nếu d = R thì * Nếu d > R thì (P) cắt S(O;R) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P) có tâm H và bán kính r = Chú ý: Khi (P) qua O, (P) gọi là mp kính; giao tuyến của (P) và S(O;R) là đường tròn có bán kính R, gọi là đường tròn lớn của mặt cầu. (P) cắt S(O;R) tại một điểm duy nhất H. Khi đó (P) gọi là tiếp diện, H là tiếp điểm. (P) không cắt S(O;R). P .O ..H.M r R P O HM R . . P O HM R . .. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B cạnh AB = a, SA = a và SA⊥(ABC). Chứng minh S, A, B, C cùng nằm trên một mặt cầu. Tìm tâm và bán kính mặt cầu đó. Giải: S C a A B a a // \\Ⅲ BC SB (1) Ta có: BCAB BCSA Ⅲ Mặt khác: SA(ABC) AC ⅢSAAC (2) Từ (1) và (2) Ⅲ A và B cùng nhìn đoạn SC dưới một góc vuông nên S, A, B, C cùng nằm trên mặt cầu đường kính SC. Tâm của mặt cầu là trung điểm I của SC và bán kính R = BC(SAB) SB .I/ / .2 2 2 21 1 1 a 3SC= AC +SA = a +2a = 2 2 2 2 Caâu hoûi traéc nghieäm: 1. Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu và biết rằng tam giác ABC vuông tại C.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng: A. AB là một đường kính của mặt cầu đã cho. B. Luôn luôn có một đường tròn thuộc mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC. C. AB là đường kính của một đường tròn lớn nhất trên mặt cầu. 2. Mệnh đề sau đúng hay sai: Điều kiện cần và đủ để (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại H ? P O HM R . . (Đ) .H. . . A C B .O Moät soá vaán ñeà caàn chuù yù qua baøi hoïc: * Baøi toaùn 2: Tìm taäp hôïp T ( quó tích ) nhöõng ñieåm M thoaû maõn ñieàu kieän cho tröôùc maø keát quûa T laømoät maët caàu: 1) Chöùng minh chuùng cuøng caùch ñeàu moät ñieåm coá ñònh( theo ñònh nghóa). 2) Chöùng minh chuùng cuøng nhìn moät ñoaïn thaúng coá ñònh döôùi moät goùc vuoâng ( theo ví duï 1). * Baøi toaùn 1: Phöông phaùp chöùng minh caùc ñieåm cuøng thuoäc moät maët caàu: 1) M caùch ñieåm O coá ñònh moät ñoaïn khoâng ñoåi R thì T = S(O;R). 2) M nhìn ñoaïn AB coá ñònh döôùi moät goùc vuoâng thì T laø maët caàu ñöôøng kính AB. Về nhà giải các bài tập 1, 2, 3, 4, 5 trang 45 SGK h1) Coù bao nhieâu maët caàu ñi qua 3 ñieåm A,B,C cho tröôùc? Taâm O cuûa nhöõng maët caàu naøy naèm ôû ñaâu? h2) Luoân luoân coù maët caàu ñi qua 4 ñænh cuûa moät töù dieän. Ñuùng hay sai, vì sao? h3)Moät töù dieän ñeàu ABCD coù caùc ñænh naèm treân moät maët caàu S(O;R), haõy xaùc ñònh O. h4) Luoân luoân coù maët caàu ñi qua caùc ñænh cuûa moät hình choùp ñeàu. Ñuùng hay sai, vì sao? ----------W X----------