DRILL PROBLEM 3.6. In free space, let
D = 8xyz4ax + 4x2z4ay + 16x2yz3az (pC/m2)
(a) Find the total electric flux passing through the rectangular
surface (z = 2, 0 < x < 2, 1 < y < 3), in the az direction.
(b) Find E at (P (2, –1, 3).
(c) Find an approximate value for the total charge contained in an
incremental sphere located at P (2, –1, 3) and having a volume
of 10–12 (m3).
ANSWERS
(a) 1365 (pC)
(b) –146.4ax + 146.4ay – 195.2az (V/m)
(c) –2.38 × 10–21 (C)
36 trang |
Chia sẻ: trungkhoi17 | Lượt xem: 613 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Trường điện từ - Chương 3: Mật độ điện thông, định luật Gauss, và định lý Divergence - Châu Văn Bảo, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
1Chương 3:
MẬT ĐỘ ĐIỆN THÔNG,
ĐỊNH LUẬT GAUSS,
VÀ ĐỊNH LÝ DIVERGENCE
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM
1. Định nghĩa: D (C/m2)
Mật độ điện thông D do điện tích Q tạo ra tại P là 1 vectơ có chiều
của điện trường E và có độ lớn bằng mật độ điện tích ρs tại P.
(2)
3.1. MẬT ĐỘ ĐIỆN THÔNG
D = eoE (C/m2)
2. Mật độ điện thông của điện tích
tại 1 điểm (Fig C3.1)
Trong hệ tọa độ cầu
24
= r
Q
rp
D a
(1)
Figure C3.1
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 2
3.1. MẬT ĐỘ ĐIỆN THÔNG
3. Mật độ điện thông của điện tích phân bố theo đường (Fig C3.2)
2
= L r
r
pr
D a (C1)
4. Mật độ điện thông xuyên qua mặt phẳng S (Fig C3.3)
TRong hệ tọa độ trụ (CCS) dọc theo trục z
ρL : là mật độ điện tích
rS :Là mật độ điện tích mặt
N2
= S
rD a (C2)
Figure C3.2
Figure C3.3
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 3
VD 3.1. Điện tích phân bố đều với mật độ ρL = 8nC/m dọc theo
trục z. Tìm E và D tại điểm P cách trục z khoảng 3m.
Giải. Điện trường E tại P (r, f, z) là
9
12
8 10 143.8 (V / m)
2 2 (8.854 10 )
-
-
´
= = =
´
L
o
r r r
r
pe r rp
E a a a
Tại r = 3m, E = 47.9 ar(V/m)
Thông qua E, ta tìm D
9 9
28 10 1.273 10 (C/ m )
2 2
- -´ ´
= = =L r r r
r
pr pr r
D a a a
Tại r = 3m thì D = 0.424ar (nC/m2)
3.1. MẬT ĐỘ ĐIỆN THÔNG
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 4
DRILL PROBLEM 3.1. Given a 90 mC point charge located at
the origin, find the total electric flux passing through:
(a) that portion of the sphere r = 26cm bounded by 0 < q < p/2 and
0 < f < p/2; (b) the closed surface defined by r = 26cm and
z = ±26cm; (c) the plane z = 26cm.
ANSWERS. (a) 7.5 (mC); (b) 60 (mC); (c) 30 (mC)
DRILL PROBLEM 3.2. Calculate D in rectangular coordinates
at point P (2, –3, 6) produced by: (a) a point charge QA = 55mC at
PA (–2, 3, –6); (b) a uniform line charge rSB = 20mC/m on the
x axis; (c) a uniform surface charge rSC = 120mC/m2 on the plane
z = –5m.
ANSWERS: (a) 6.38 ax – 9.57 ay + 19.14az (mC/m2);
(b) –212 ay + 424 az (mC/m2); (c) 60az (mC/m2)
3.1. Electric Flux Density
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 5
1. Mật độ điện thông Φ
a. D đều, S phẳng, D vuông góc với S
3.2. ĐỊNH LUẬT Gauss
Φ = DS (C3)
! Nếu S là vectơ có hướng aN, thì độ lớn:
Φ = D . S (C4)
Figure C3.4a
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 6
b. Nếu D đều, S phẳng, D có
hướng bất kỳ.
Φ = DN S
Φ = DS cosq
Φ = D . S
(C5)
!Φ > 0 nếu 0 £ q < p/2;
!Φ < 0 nếu p/2 < q £ p;
!Φ = 0 nếu q = p/2
3.2. ĐỊNH LUẬT Gauss
Figure C3.4b
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 7
l Chia S thành nhiều diện tích
vi phân dS
l aN là vectơ pháp tuyến của S
tại P.
l dS = dSaN là vectơ phần tử
mặt tại P của S.
c. D và S bất kỳ (Fig 3.2)
dΦ = DN dS = DdScosq = D . dSaN = D . dS (C6)
3.2. Gauss’s Law
Figure 3.2
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 8
1. Điện thông tổng xuyên qua S theo hướng an:
= òS dy D S× (C7)
2. Nếu S là mặt kín, vectơ an hướng ra ngoài:
.out encS
d Qy = =ò D sÑ
(5)
3.2. Gauss’s Law
=òout encS D S×
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 9
Gauss có thể viết
(6)
(C8)
(line charge)LL
Q dLr= ò (C9)
(surface charge)= ò SSQ dSr (C10)
(volume charge)vv
Q dvr= ò (C11)
·
·
·
·
1
(point charge)
n
k
k
Q Q
=
= å
3.2. Gauss’s Law
Điện tích Q được bỡi những công thức sau:
=×ò ò vS vd dvrD S
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 10
2 ;4
= =r r
Q d dS
ap
D a aS
Điện thông tổng thoát ra khỏi mặt cầu S
24
× =ò òS S
Qd dS
ap
D S
2 24 4
= = =òS
Q QdS S Q
a ap p
Φout = Qchay (Gauss’s Law)
3.2. Gauss’s Law
Định luật Gauss: Điện thông tổng thoát ra khỏi S bằng điện tích
tổng chứa trong S.
Chứng minh định luật Gauss
Figure 3.316/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 11
DRILL PROBLEM 3.4. Calculate the total electric flux leaving
the cubical surface formed by the six planes x, y, z = ±5, if the
charge distribution is:
(a) two point charges: 0.1 mC at (1, –2, 3) and 1/7mC at ( –1, 2, –2)
(b) a uniform line charge of p (mC/m) at x = –2, y = 3.
(c) a uniform surface charge of 0.1 (mC/m2) on the plane y = 3x
ANSWERS (a) 0.243 mC; (b) 31.4 mC; (c) 10.54 mC
DRILL PROBLEM 3.3. Given the Electric Flux Density
D = 0.3 r2ar (nC/m2) in free space:
(a) Find E at point P (r = 2, q = 25o, f = 90o)
(b) Find the total charge within the sphere r = 3
(c) Find the total elctric flux leaving the sphere r = 4
ANSWERS. (a) 135.5 ar (V/m); (b) 305nC; (c) 965nC
3.2. Gauss’s Law
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 12
Dùng dịnh luật Gauss để tìm D, rồi suy ra E
1. Chia S ra 2 phần
§ S┴ trên đó D vuông góc với S (D // dS), thì D.dS = D.Ds
§ S// trên đó D song song với S (D ┴ dS), thì D.dS = 0
2. Trên S┴ biên độ của D là: D = constant
Áp dụng định luật Gauss:
3.3. Áp dụng định luật Gauss:
^ ^
^× = × = = =ò ò òS S Sd d DdS DS QD DS S
Suy ra Nand
^ ^
= =
Q QD
S S
D a (C12)
aN là vectơ pháp đơn vị của S^
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 13
3.3. Application of Gauss’s Law
24
Q Q QD
S S rp^
= = =
24r r
QD
rp
= =D a a
24
= = r
o o
Q
re pe
DE a
VD 3.1. Cho điện tích Q trong tọa độ cầu (Fig C3.3). Dùng ĐL
Gauss tìm D và E tại P (r, q, f).
GIẢI.
Figure C3.3
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 14
D = Dr (r)ar
VD3.3. Dùng ĐL Gauss để tìm điện
trường đo điện tích phân bố đều với mật
độ ρL trên đường thẳng vô tận.
GIẢI. Chọn đường thẳng mang địện tích
là 2 trục z. Chọn mặt Gauss đặc biệt là
mặt trụ tròn xoay, bán kính ρ và chiều
cao L.
Điểm P(r, f, z)
Figure 3.4
3.3. Application of Gauss’s Law
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 15
Here = S2, and SII = S1US3
Using (C12), we have:
2 2
L LQ LD D
S Lr
r r
pr pr^
= = = =
2
LDr r r
r
pr
= =D a a
2
= = L
o
E Er
r
pe r
2
= = L
o
Er r r
r
pe r
E a a
3.3. Application of Gauss’s Law: Some SCD
S^
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 16
( )
2
0 ( )
< <
=
L a b
a or b
r
r
r
pr
r r
a
D (C12)
where rL = 2parS là mật độ đường
GIẢI. Tương tự như VD 3.3:
VD 3.4. Xét một cáp đồng trục gồm hai mặt trụ đồng trục dài vô
tận bán kính a và b (0<a<b). Giả sử mặt trụ trong mang điện tích
mặt đều với mật độ mặt rS, còn mặt trụ ngoài mang điện tích bằng
nhưng trái dấu với mặt trụ trong. Tìm D và E.
Figure 3.5
3.3. Application of Gauss’s Law: Some SCD
ì
í
î
ïî
ï
í
ì
rpe
r
= r
0
a
2E 0
L
(a>ρ or ρ>b)
(a<ρ<b)
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 17
9
2
3
30 10 9.55( / )
2 2 (10 )(0.5)
a
Sa
Q C m
aL
r m
p p
-
-
´
= = =
9
2
3
30 10 2.39( / )
2 2 (4 10 )(0.5)
b
Sb
Q C m
bL
r m
p p
-
-
- ´
= = = -
´
· In the region 1 < r < 4mm, we have
29.55 1079( / ); ( / )= = = =Sa
o
DaD nC m E V mrr r
r
r r e r
·
·
EXAMPLE 3.2. Cho một cáp đồng trục L= 50cm, a = 1mm and
b = 4mm, Q = 30nC. Tìm rSa, rSb, D and E.
SOLUTION
· In the region r 4mm, D and E are zero
3.3. Application of Gauss’s Law: Some SCD
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 18
2mC/m2 at r = 1cm, and
–0.6mC/m2 at r = 1.8cm.
DRILL PROBLEM 3.5. A point charge of 0.25mC is located at
r = 0, and uniform surface charge densities are located as follows:
Calculate D at:
(a) r = 0.5cm; (b) r = 1.5cm; (c) r = 2.5cm
(d) What uniform surface charge density should be established at
r = 3cm to cause D = 0 at r = 3.5cm?
ANSWERS
(a) 796 ar (mC/m2) ; (b) 977 ar (m C/m2)
(c) 40.8 ar (mC/m2); (d) –28.3 (m C/m2)
3.3. Application of Gauss’s Law: Some SCD
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 19
3.4. ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT GAUSS:
l Cho điểm bất kỳ P (x, y, z).
l D = Dxoax + Dyoay + Dzoaz là mật độ điện
thông tại tại P.
l DS là 1 hộp chữ nhật nhỏ, có chiều dài
là Dx, Dy, và Dz.
l Dv = Dx Dy Dz là thể tích hộp chữ nhật
nhỏ.
l DS là mặt phẳng kín bao bọc Dv
l DQ là tổng điện tích chứa trong Dv
l rv là mật độ điện tích tại P
l DΦ là thông lượng thoát ra khỏi hình hộp
DS
In Fig 3.6:
Figure 3.6
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 20
3.4. ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT GAUSS:
D
¶æ ö¶ ¶
Dy = = D » + + Dç ÷¶ ¶ ¶è ø
×ò yx zS
DD Dd Q v
x y y
D S (7)
Áp dụng ĐL Gauss cho mặt kín DS bao quanh thể tích Dv và cho
kết quả gần đúng ở công thức (7):
(8)
Áp dụng dịnh luật Gauss (5), thông lượng thoát ra khỏi DS
bằng tổng điện tích chứa trong Dv
Điện tích trong thể tích yx z
DD Dv v
x y z
¶æ ö¶ ¶
D » + + ´ Dç ÷¶ ¶ ¶è ø
DQ
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 21
sin ; sin ; 2- -
¶¶ ¶
= - = =
¶ ¶ ¶
yx xx zDD De y e y
x y z
Tổng điện tích trong thể tích Dv tại P(x, y, z) là:
DQ = 2 Dv
Tại gốc tọa độ, nếu Dv = 10–9m2, thì chúng ta có DQ = 2nC.
3.4. ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT GAUSS:
EXAMPLE 3.3. Tìm tổng điện tích trong một thể tích 10–9m3, tại
gốc tọa độ, nếu cho:
D = e–x siny ax – e–x cosy ay + 2z az (C/m2)
SOLUTION. Trước tiên ta tìm 3 thành phần trong (8):
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 22
DRILL PROBLEM 3.6. In free space, let
D = 8xyz4ax + 4x2z4ay + 16x2yz3az (pC/m2)
(a) Find the total electric flux passing through the rectangular
surface (z = 2, 0 < x < 2, 1 < y < 3), in the az direction.
(b) Find E at (P (2, –1, 3).
(c) Find an approximate value for the total charge contained in an
incremental sphere located at P (2, –1, 3) and having a volume
of 10–12 (m3).
ANSWERS
(a) 1365 (pC)
(b) –146.4ax + 146.4ay – 195.2az (V/m)
(c) –2.38 × 10–21 (C)
3.4. ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT GAUSS:
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 23
3.5. Divergence
Từ (7) có:
ψ D¶¶ ¶ D D+ + » = =
¶ ¶ ¶ D D D
×òyx Sz dDD D Q
x y z v v v
D S
0 0
ψlim lim
D ® D ®
¶¶ ¶ D D
+ + = = =
¶ ¶ ¶ D D
yx z
v
v v
DD D Q
x y z v v
r (9)
Chúng ta có thể viết (9) dưới dạng 2 phương sau:
0 0
ψlim lim D
D ® D ®
¶¶ ¶ D
+ + = =
¶ ¶ ¶ D D
×òyx Sz
v v
dDD D
x y z v v
D S
¶¶ ¶
+ + =
¶ ¶ ¶
yx z
v
DD D
x y z
r
·
·
(10)
or
(11)
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 24
1. Định nghĩa: Nếu A là một trường vectơ, thì divergence của
A tại điểm P được định nghĩa là:
0
lim D
D ®
F
= =
D
×ò S
v
d ddiv
v dv
A
A Ñ S (13)
Divergence của vectơ A bằng thông lượng thoát ra
khỏi một mặt kín nhỏ trên đơn vị thể tích khi thể
tích này co lại và tiến tới không.
divA trong hệ trục tọa độ vuông góc
yx zAA Adiv
x y z
¶¶ ¶
= + +
¶ ¶ ¶
A
!
3.5. Divergence
(C13)
(C14)
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 25
2. Divergence trong RCS, CCS, và SCS.
( )
¶¶ ¶
= + +
¶ ¶ ¶
yx zDD Ddiv R
x y z
D
1 1( ) ( )
¶¶ ¶
= + +
¶ ¶ ¶
zD Ddiv D C
z
f
rrr r r f
D
2
2
1 1 1( ) (sin ) ( )
sin sin
¶¶ ¶
= + +
¶ ¶ ¶r
D
div r D D S
r r rr
f
qqq q q f
D
(15)
· Nếu divD > 0 tại P thì P là điểm nguồn của D
· Nếu divD < 0 tại P thì P là điểm giếng của D
3.5. Divergence
(16)
(17)
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 26
VD 3.4. Tìm divD tại gốc tọa độ
D = e–xsinyax – e–x cosyay + 2zaz
GIẢI. Sử dụng công thức (15):
yx zDD Ddiv
x y z
¶¶ ¶
= + +
¶ ¶ ¶
D
= –e–xsiny + e–xsiny + 2
= 2
Giá trị của divD là hằng số 2. Nếu đơn vị của D là C/m2, thì đơn
vị của divD là C/m3. Đây là mật độ điện tích khối, khái niệm
này sẽ được học trong phần tới.
3.5. Divergence
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 27
(a) D = (2xyz – y2) ax + (x2z – 2xy) ay + x2yaz (C/m2)
at PA (2, 3, –1)
(b) D = 2rz2sin2f ar + rz2sin2f af + 2r2zsin2f az (C/m2)
at PB (r = 2, f = 110o, z = –1).
(c) D = 2rsinqcosfar + rcosqcos faq– rsinfaf (C/m2)
at PC (r = 1.5, q = 30o, f = 50o)
ANSWERS:
(a) –10.00 (C/m3); (b) 9.06 (C/m3); (c) 1.29 (C/m3)
3.5. Divergence
DRILL PROBLEM 3.7. In each of the following parts, find a
numerical value for divD at the point specified:
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 28
yx zDD Ddiv
x y z
¶¶ ¶
= + +
¶ ¶ ¶
D
0 0
lim lim D
D ® D ®
Dy
= =
D D
×ò S
v v
d
div
v v
D
D Ñ S
3.6. Phương Trình Maxwell Thứ Nhất (Trường điện tĩnh)
(18)
vdiv r=D
(19)
(20)
· (18) là định nghĩa của divergence.
· (19) là công thức để xác định divergence của một vectơ
· (20) là công thức (11) được viết là từ mới divD
Divergence được xác định:
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 29
Hoặc divD = rv
Công thức (20), ĐL Gauss có:
Chia 2 vế cho Dv
l Đây là Phương trình Maxwell thứ nhất trong 4 phương trình
Maxwell, và còn gọi là dạng điểm của ĐL Gauss.
l ĐL Gauss gọi là dạng tích phân của phương trình Maxwell.
Dy D
=
D D
Q
v v
Cho thể tích Dv tiến dần về 0
0 0
lim lim
D ® D ®
Dy D
=
D Dv v
Q
v v
3.6. Phương Trình Maxwell Thứ Nhất (Trường điện tĩnh)
Dy = DQ
(20)
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 30
D = Drar + Dqaq + Dfaf (C15)
Với
2 ;4r
QD
rp
= Dq = 0; Df = 0
Sử dụng (17) để tính divD tại điểm P(r, q, f):
( )22
1 1 1div ( sin )
sin sin
¶¶ ¶
= + +
¶ ¶ ¶r
D
r D D
r r rr
f
q qq q q f
D
2
1 0
4
d Q
drr p
æ ö= =ç ÷
è ø
(if r ¹ 0)
Vậy rv = 0 khắp mơi, ngoại trừ ở gốc O thì nó bằng vô cùng
VD C3.5. Kiểm tra phương trình Maxwell thứ nhất từ giá trị
divD do một điện tích Q đặt tại gốc O tạo ra.
GIẢI. Mật độ điện thông theo công thức (1), có thể viết:
Phương Trình Maxwell Thứ Nhất (Trường điện tĩnh)
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 31
2 2
2
4 2 2(a) = + -x y z
xy x x y
z z z
D a a a
(b) D = zsinfar + zcosfaf + rsinfaz
(c) D = sinqsinf ar + cosqsinf aq + cosfaf
ANSWERS.
2 2
3
4(a) ( )y x z
z
+ ; (b) 0; (c) 0
DRILL PROBLEM 3.8. In each of the following parts,
determine an expression for the volume charge density
associatet with the D field:
3.6. Maxwell’s First Equation (Electrostatics)
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 32
3.7. Toán tử vectơ Ñ và định lý Divergence
¶ ¶ ¶
= + +
¶ ¶ ¶x y zx y z
a a aÑ (21)
Khi làm toán với toán tử Ñ, cứ xem nó như một vectơ bình
thường với điều kiện thay toán nhân vô hướng bỡi các đạo hàm
riêng tương ứng.
( )¶ ¶ ¶æ ö= + + + +ç ÷¶ ¶ ¶è ø
× ×x y z x x y y z zD D Dx y z
D a a a a a aÑ
( ) ( ) ( )¶ ¶ ¶= + +
¶ ¶ ¶x y z
D D D
x y z
¶¶ ¶
= + +
¶ ¶ ¶
yx zDD D
x y z
div
¶¶ ¶
= = + +
¶ ¶ ¶
× yx z
DD D
x y z
D DÑVậy (16)
1. Toán tử Ñ:Ta định nghĩa toán tử del Ñ là toán tử vectơ
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 33
2. Định lý Divergence
Từ ĐL Gauss và phương trình Maxwell, ta có:
= = = ××ò ò òvS v vd Q dv dvrD DÑ S Ñ
(22)
Định lý Divergence
=× ×ò òS vd dvD DÑ S Ñ
3.7. Toán tử vectơ Ñ và định lý Divergence
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 34
3 2 3
0 0 0
2 4 12= = =×ò ò ò òS d ydydz dzDÑ S
3 2 1
0 0 0
2 2 12= = =ò ò ò ò òv vdv ydv ydxdydzDÑ ×
·
·
VD 3.5. Kiểm tra định lý divergence đối với trường vectơ
D = 2xyax + x2ay (C/m2), v là hình hộp xác định bỡi 6 mặt x = 0
và 1, y = 0 và 2, z = 0 và 3.
GIẢI
y2)x(
y
)xy2(
x
D. 2 =
¶
¶
+
¶
¶
=ÑVới
3.7. Toán tử vectơ Ñ và định lý Divergence
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 35
Chapter 3. Quizzes
DRILL PROBLEM 3.9
Given the field
D = 6rsin (f/2)ar +1.5rcos (f/2)af (C/m2),
evaluate both sides of the divergence theorem for the region
bounded by the five surfaces:
r = 2, f = 0, f = p, z = 0 and z = 5
ANSWERS: 225; 225
3.7. Toán tử vectơ Ñ và định lý Divergence
16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 36
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- bai_giang_truong_dien_tu_chuong_3_mat_do_dien_thong_dinh_lua.pdf