Bài giảng Trường điện từ - Chương 4: Năng lượng và điện thế - Châu Văn Bảo

1Chương 4: NĂNG LƯỢNG VÀ ĐIỆN THẾ l Trong chương 2 và 3, chúng ta có 2 phương pháp để tìm điện trường E: ĐL Coulomb và ĐL Gauss. l Dùng ĐL Coulomb giải được nhiều bài tóan khó, nhưng đòi hỏi tính tóan phức tạp và dài dòng bỡi E là một trường vectơ: tính 3 tích phân riêng biệt để xác định 3 thành phần của E. l Dùng định luật Gauss rất đơn giản, nhưng trong trường hợp điện tích phân bố đối xứng. l Trong chương này, sẽ trình bày phương pháp thứ 3 third để tìm điện trường E: „ Bước 1. Xác định 1 hàm vô hướng bằng phép tính tích phân gọi là trường điện thế. „ Step 2. Tìm E khi điện thế bằng phép tính đạo hàm. 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 2l E đều, L là đọan thẳng, E và L cùng phương (Fig C4.1) Vec tơ di chuyển L =lat Công của ngọai lực Fa 4.1. Công thực hiện để di chuyển điện tích điểm trong điện trường Mà Fa = - QE Figure C4.1 W = FaL (C1) W = Fa . L (C2) 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 3l E đều, L đọan thẳng, E không cùng phương L, (Fig C4.2) W = FtL W = FLcosq W = F . L ! W > 0 if 0 £ q < p/2; W < 0 if p/2 < q £ p; W = 0 if q = p/2 Figure C4.2 or or (C3) 4.1. Công thực hiện để di chuyển điện tích điểm trong điện trường 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 4u dL rất ngắn nên trên đọan dL ta xem như Fa đều dW = FtdL = FdLcosq = F . dL = - QE.dL l E không đếu, L không thẳng. dL là vectơ di chuyển vi phân của diện tích. dL = dLaL Figure C 4.3 (C4) 4.1. Công thực hiện để di chuyển điện tích điểm trong điện trường 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 5u Công tổng do ngọai lực Fa thực hiện để di chuyển Q từ B đến A theo L. (C5) E Q=F E (1) Figure C.4.4 4.1. Công thực hiện để di chuyển điện tích điểm trong điện trường A B W Q d= - ×ò E L 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 6DRILL PROBLEM 4.1. Given the electric field ( ) ( / ),2 22 1 8 4 4 V mz y zxyz x z x yz = + -E a a a ( ) ( ); ( ) ( ); ( ) ( ) 1 1a 6 3 2 b 6 3 2 7 7 1c 3 6 7 x y z x y z x y - + + - - + a a a a a a a a ANSWERS: (a) –149.3 (fJ); (b) 149.3 (fJ); (c) 0 find the differential amount of work done in moving a 6nC charge a distance of 2 mm, starting at P(2, –3, 3) and proceeding in the direction aL = : 4.1. Công thực hiện để di chuyển điện tích điểm trong điện trường 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 74.2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG dL = dxax + dyay + dzaz (R) dL = drar + rdfaf + dzaz (C) dL = drar + rdqaq + rsinqdfaz (S) 2. Trường hợp E đều. Nếu E thì W = –QE . LBA (Uniform E) Ở đây LBA = RBA là vectơ chỉ phương từ B tới A. ! W không phụ thuộc đường di từ B tới A. 1. Vectơ dL trong các hệ trục tọa độ Vectơ dL trong hệ RCS, CCS, và SCS tương ứng là: (4)or (6) (7) (8) A B W Q d= - ×ò E L (3) 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 8VD 4.1. Tìm công thực hiện mang điện tích Q = 2C từ B(1, 0, 1) tới A(0.8, 0.6, 1) dọc theo đường tròn x2 + y2 = 1, nằm trong mặt phẳng z = 1 trong điện trường E = yax + xay + 2az Figure C4.5 4.2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 9GIẢI. Dùng (3) và dL cho bỡi (6): 2 ( 2 ) ( ) A x y z x y zB y x dx dy dz      a a a a a a 0.8 0.6 1 1 0 1 2 2 4ydx xdy dz     0.8 0.62 2 1 0 2 1 2 1 0x dx y dy      0.8 0.6 2 1 2 1 1 11 sin 1 sinx x x y y y               = –(0.48 + 0.927 – 0 – 1.571) – (0.48 + 0.644 – 0 – 0) = – 0.96(J). 4.2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG A B W Q d= - ×ò E L 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 10 y = –3(x – 1) và z = 1 0.8 0.6 1 1 0 1 2 2 4W ydx xdy dz     0.8 0.6 1 0 6 ( 1) 2 1 0 3 0.96(J) yx dx dy            Ta có ! So với VD trên, ta thấy công thực hiện không phụ thuộc đường đi VD 4.2. lấy lại VD 4.1, nhưng lần này dùng đường di chuyển thẳng BA. GIẢI. Phương trình đường BA là: 4.2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 11 VD C4.1 Tính công để di chuyển điện tích dương Q dọc theo vòng tròn C bán kính là r1 Có tâm nằm trên đường thẳng mang điện (Fig 4.2) GIẢI. Tại P(r1, f, z), E cho bỡi (20) ở chương 2, và dL theo (7): dL = r1dfaf. Công được tính: 1 12 r f r r f pe r L C o W Q d  a aÑ 2 0 0 2 p r f r f pe L o Q d   a a !Trường điện tĩnh không xoáy quanh trục z.Figure 4.2 4.2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 12 VD C4.2. Tính công mang 1 điện tích Q từ B(rB, fB, zB) đến A(rA, fA, zA) theo đường L bất kỳ. Trục z mang điện tích đều với mật độ ρL (Fig C4.6) GIẢI. A B W Q d  E L  2 A L zB o Q d d dzr r f r r r f pe r     a a a a 2 r r r r pe r A B L o dQ  or ln 2 r r rpe L B Ao QW  (C6) ! Nếu Q > 0 và rB > rA, ρL>0 thì W > 0: phải tốn công để mang Q đến gần đường thẳng.Figure C4.6 4.2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 13 4.2 The Line Integral DRILL PROBLEM 4.2. Calculate the work done in moving a 4C charge from B(1, 0, 0) to A(0, 2, 0) along the path y = 2 – 2x, z = 0 in the field E =: (a) 5ax (V/m); (b) 5xax (V/m); (c) 5xax + 5yay (V/m) ANSWERS. (a) 20(J); (b) 10(J); (c) –30J ANSWERS (a) –9(J); (b) 0 ! If E is time-varying, then W may be a function of the path used. DRILL PROBLEM 4.3. Calculate the work required to move a 3C charge in the field E = yax (V/m) from B(1, 3, 5) to A(2, 0, 3) along the straight - line segments joining: (a) B(1, 3, 5) to C(2, 3, 5) to D(2, 0, 5) to A(2, 0, 3) (b) B(1, 3, 5) to E(1, 3, 3) to F(1, 0, 3) to A(2, 0, 3). 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 14 4.3 Hiệu điện thế và điện thế 1. Hiệu điện thế Hiệu điện thế VAB giữa điểm A và B là công thực hiện (by an external source) để di chuyển một điện tích dương đơn vị từ B đến A trong điện trường: A AB B V d  E L (10) ! VAB > 0 nếu công mang điện tích dương từ B đến A. VD C4.3 Tìm VAB trong điện trường của 1điện tích đường với mật độ rL GIẢI. Từ (C6) của VD C4.2 với Q = 1C, ta có ln 2 r r rpe L B AB Ao WV Q   ! Nếu rL > 0 và rA 0. (11) 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 15 VD C4.4. Tìm VAB trong điện trường của một điện tích điểm Q đặt tại gốc O (Fig 4.3) GIẢI. Ta có 24 r r ro Q E rpe  E a a dL = drar + rdqaq + rsinqdfaf . A B A r AB rB r V d E dr  E L 24pe A B r r o Q dr r  1 1 4peAB o A B QV r r       or (12)Figure 4.3 4.3 Hiệu điện thế và điện thế 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 16 (C7) o o A A AP P V V d   E L l Ta có Ở đây VA và VB chọn cùng gốc điện thế Po VAB = VA – VB VPo = VPoPo = 0 2. Điện thế Để tính hiệu điện thế điểm A bất kỳ và P0. Nếu qui ước điện thế của Po là 0V. Thì điện thế của A, ký hiệu là VA là hiệu điện thế giữa A và P0 , ký hiệu VAPo (Fig C4.7) Figure C4.7 (13) (C8) 4.3 Hiệu điện thế và điện thế 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 17 E = 6x2ax + 6yay + 4az (V/m). Find: (a) VMN if points M and N are specified by M(2, 6, –1); N (–3, –3, 2). (b) VM if V = 0 at Q(4, –2, –35). (c) VN if V = 2 at P(1, 2, –4). ANSWERS (a) –139(V); (b) –120(V); (c) 19(V) ILLUSTRATION 1. Potential difference and work. DRILL PROBLEM 4.4. An electric field is expressed in rectangular coordinates by 4.3 Hiệu điện thế và điện thế 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 18 4.4 Trường điện thế của một điện tích điểm 1 1 4peAB o A B QV r r       (12) l Nếu chọn điểm vô cực làm gốc điện thế (Po = ¥), P bất kỳ, cách Q một khoảng r, thì điện thế V do Q tạo ra tại P là: ( ) 4 oo QV P rpe   l Nếu chọn Po(ro, qo, fo) cách Q một khoảng r0 làm gốc điện thế, thì 1 1 4peoPP o o QV V r r        Từ (12) của C4.4, ta có (15) (16) Figure C4.8 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 19 DRILL PROBLEM 4.5. A 15nC point charge is at the origin. Calculate V1 if point P1 is located at P1(–2, 3, –1) and: (a)V = 0 at (6, 5, 4); (b) V = 0 at infinity; (c) V = 5(V) at P2(2, 0, 4) (a)ANSWERS. (a) 20.67 (V); (b) 36.0 (V); (c) 10.89 (V) 4.4 Trường điện thế của một điện tích điểm 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 20 4.5. Trường điện thế của một phân bố điện tích và Tính chất bảo toàn a. Trường điện thế của 1 điện tích Q tại O (Fig C4.9) Nếu chọn điểm vô cực làm gốc điện thế Po = ¥, thì điện thế tại P cách Q một khoảng r là: 1. Trường điện thế của một phân bố điện tích điểm tạo ra ( ) 4 | | 4pe peo o Q QV r  r r (C9) b. Trường điện thế của điện tích Q tại P’ (Fig C4.10) ( ) 4 | ' | 4pe peo o Q QV R    r r r (C10) Figure C4.9 Figure C4.101/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 21 c. Trường điện thế của một hệ thống có n điện tích điểm 1 2 1 2 ( ) 4 | | 4 | |pe peo o Q QV     r r r r r 1 2 1 24 4pe peo o Q Q R R   1 1 ( ) 4 | | 4pe pe n n k k o k o kk k Q QV R     r r r (17) Trong hình C4.11, điện thế của hai điện tích điểm, Q1 tại r1 và Q2 tại r2 là tổng điện thế giữa Q1 và Q2: Figure C4.11 Tổng quát, điện thế của hệ thống có n điện tích điểm là: 4.5. Trường điện thế của một phân bố điện tích và Tính chất bảo toàn 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 22 ! V(r) là điện thế tại P, chọn điểm ¥ làm điện thế gốc. ! V(r) là công mang một đơn vị điện tích dương từ ∞ tới điểm trường P(r). l R là khoảng cách từ điểm nguồn P’(r’) đến điểm trường P(r). l Từ (C10), mỗi một điện tích dQ = rv (r’) dv’ trong dv’ có một điện thế dV tại P, được cho bỡi: ( ') ( ) 4 | | 4 dv dvv vdV Ro o r r pe pe       r r r r Điện thế tổng tại P là: ( ) ( ) 4 r pe r dvvV v Ro    r (18) d. Trường điện thế của 1 điện tích có mật độ khối rv (Fig C4.12) Figure C4.12 4.5. Trường điện thế của một phân bố điện tích và Tính chất bảo toàn 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 23 e. Trường điện thế của một điện tích có mật độ đường rL ( ) ( )( ) 4 | | 4 L L L Lo o dL dLV R r r pe pe         r rr r r f. Trường điện thế của một điện tích có mật độ mặt rS ( ) ( )( ) 4 | | 4 S S S So o dS dSV R r r pe pe         r rr r r (20) ! Các biểu thức (17), (18), (19) và (20) cho điện thế V(r) có thể so sánh, tương ứng với những công thức (14), (18), (C10) và (C14) cho mật độ điện trường E(r) trong chương 2 (19) 4.5. Trường điện thế của một phân bố điện tích và Tính chất bảo toàn 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 24 2 2| ' | R a z   r r 2 2 2 (0, 0, ) 4 L o o adV z a z p r f pe     2 22 L o a a z r e   ! Tọa độ trụ của điểm nguồn P’ là (a, f’, 0); và tọa độ vuông gốc của điển trường P là (0, 0, z) VD C4.6. Tìm V trên trục z cho một điện tích phân bố đều rL trên đường tròn tâm O, bán kính r = a của mặt phẳng z = 0, như Fig 4.4. Figure 4.4 GIẢI. Từ (19), ta có dL’ = adf’ r = zaz; r’ = aar 4.5. Trường điện thế của một phân bố điện tích và Tính chất bảo toàn 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 25 l Nếu chọn gốc điện thế ở vô cực, thì điện thế V tại P bằng công thực hiệnđể mang một điện tích dương đơn vị từ vô cực đến P dọc theo một đường bất kỳ: A AV d  E L (C11) và A AB A B B V V V d    E L (C12) Không phụ thuộc vào ¥ và A hoặc B và A ! Công thực hiện khi mang một điện tích đơn vị đi hết một đường kín C bằng không: l Công thức (21) chỉ đúng với trường tĩnh và không đúng khi trường biến thiên theo thời gian. 0 C d  E LÑ (21) 4.5. Trường điện thế của một phân bố điện tích và Tính chất bảo toàn 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 26 DRILL PROBLEM 4.6. If we take the zero reference for potential at infinity, find the potential at P(0, 0, 2) caused by this charge configuration in free space: (a) 12(nC/m) on the line r = 2.5(m), z = 0; (b) point charge of 18(nC) at P’(1, 2, –1); (c) 12(nC/m) on the line y = 2.5, z = 0. ANSWERS. (a) 529(V); (b) 43.2(V); (c) 67.4(V) 4.5. Trường điện thế của một phân bố điện tích và Tính chất bảo toàn 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 27 4.6. Gradient l VP = V(x, y, z) là điện thế tại P(x, y, z) l VQ = V(x + Dx, y + Dy, z + Dz) là điện thế tại Q(x + Dx, y + Dy, z + Dz) l DV = VQ – VP: hiệu điện thế giữa Q và P. l E = E(x, y, z) là điện trường tại P. l DL = DLaL = LPQ là đoạn nhất nhỏ of của P đến Q. l aL là vectơ chỉ phương của DL. Ta có Q P V V V VPQ QPD d     E L (22) Hoặc Figure C4.13 DV » –E . DL DV » –E DL cosq Chúng ta tìm E từ V. trong Fig C4.13: Hoặc 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 28 4.6. Gradient Nếu di chuyển một đoạn dL the hướng aL tạo với E một góc θ thì V thay đổi một lượng dV cho bỡi: cosdV E dL q (C14) Khi q = 180o, thì DL cùng phương với (–E), Và: max dV E dL  ! Biên độ của E là tỉ số cực đại của điện thế với đoạn thẳng. (C15) 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 29 4.6. Gradient Hình 4.7 trình bày mặt đẳng thế của một trường điện thế. Bắt đầu tại P, chúng ta tăng một đoạn rất nhỏ DL. Nếu aN là pháp vectơ đơn vị của mặt đẳng thế So qua P và hướng về bên điện thế cao hơi tăng lên. Tại P, xuất hiện E hướng bên phải hơi giảm xuống.Figure 4.7 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 30 4.6. Gradient Nếu aN là pháp vectơ đơn vị của mặt đẳng thế So qua P và hướng về bên điện thế cao, thì max N dV dL E a (24) hoặc N dV dN E a n Gradient của một trường vô hướng V tại P được định nghĩa là: Gradient của V = grad V = N dT dN a (25) (27) E = –grad V (26) grad V là một vectơ có biện độ dT/dN và vectơ chỉ phương aN 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 31 4.6. Gradient Vi phân toàn của V là: V V V dV dx dy dz x y z          Nhưng , , V V V E E Ex y zx y z          (C16) V V V x y zx y z               E a a a V V V grad V x y zx y z          a a a Dùng toán tử Ñ Ta có và (28) (29)    (C17) x y zx y z          a a a ÑV = gradV (C18) (30) dV = –E.dL = –Exdx – Eydy – Ezdz E = –ÑV 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 32 4.6. Gradient n ÑV trong RCS, CCS, và SCS x y z V V VV x y z           a a a (R) 1 z V V VV zr fr r f           a a a (C) 1 1 sinr V V VV r r rq fq q f           a a a (S) dL = dxax + dyay + dzaz (R) dL = drar + rdfaf + dzaz (C) dL = drar + rdqaq + rsinqdaf (S) (31) (32) (33) (6) (7) (8) Các biểu thức cho dL trong RCS, CCS, và SCS: 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 33 4.6. Gradient VD 4.3. Cho trường điện thế V = 2x2y – 5z, và điểm P(–4, 3, 6). Tìm đại lượng sau tại P: (a) Điện thế V; (b) Điện trường E; (c) Vectơ đơn vị chỉ hướng E; (d) Mật độ điện thông D; (e) Mật độ điện tích khối rv. GIẢI: (a) VP = 2(–4)2(3) – 5 (6) = 66(V) (b) E = –ÑV = –4xyax – 2x2ay + 5az (V/m) Þ EP = 48ax – 32ay + 5az (V/m) (c) Vectơ đơn vị chỉ hướng E tại P cho bỡi: aE,P = (48ax – 32ay + 5az)/57.9 = 0.829ax – 0.553ay + 0.086az (d) DP = eoEP = –35.4xyax – 17.71x2ay + 44.3az (pC/m2) Þ DP = 424.8 ax – 159.4ay + 44.3az (pC/m2) (e) rv = Ñ.D = –35.4yax (pC/m3) Þ rv, P = –106.2 (pC/m3) 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 34 4.6. Gradient DRILL PROBLEM 4.7 A portion of a two - dimensional (Ez = 0) potential field is shown in Fig 4.8. The grid lines are 1mm apart in the actual field. Determine approximate values for E in rectangular coordinates at: (a) a; (b) b; (c) c. ANSWERS (a) –1075ay (V/m) (b) –600ax – 700ay (V/m) (c) –500ax – 650ay (V/m) Figure 4.8 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 35 4.6. Gradient DRILL PROBLEM 4.8. Given the potential field in cylindrical coordinates 2 cos( , , ) 100 1 V z z r f r f   (V), and point P(r = 3m, f = 60o, z = 2m), find values at P for: (a) V; (b) E; (c) E; (d) dV/dN; (e) aN; (f)rv in free space. ANSWERS (a) 30V; (b) –10ar + 17.3af + 24az (V/m) (c) 31.2 (V/m) (d) 31.2 (V/m) (e) 0.32 ar – 0.55af – 0.77az; (f) –234 (pC/m3) ! INTERACTIVE 2. Potential Gradient and the Electric Field ! INTERACTIVE 3. Gradient of Scalar Fields 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 36 4.7 LƯỠNG CỰC ĐIỆN Một lưỡng cực điện, gồm hai điện tích có độ lớn bằng nhau nhưng trái dấu +Q và –Q cách nhau một khoảng nhỏ d so với khoảng cách đến điểm P(r, q, f) tại đó ta muốn tính E và V. Điện tích dương +Q và điện tích âm –Q đặt tương ứng tại A(0, 0, d/2) và B(0, 0, – d/2). Điện tổng tại P là: (C19) 2 1 1 2 1 2 1 1 4 4o o R RQ QV R R R Rpe pe        Figure 4.9 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 37 Mặt phẳng z = 0 là một đẳng thế có V = 0. Ở điểm P khá xa, thì R2 – R2 » dcosq, và ta có: 2 cos 4 o QdV r q pe  (34) Chú ý: mặt phẳng z = 0 (q = 90o), V = 0 dùng grad trong tọa độ cầu (33). 1 1 sin V V V V rr r rq fq q f                E a a a nhìn (Fig C4.14)  2cos sin34 Qd r ro qq q pe  E a a (36) Figure C4.14 4.7 LƯỠNG CỰC ĐIỆN 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 38 24 r o V rpe   p a (37) (38) 4.7 LƯỠNG CỰC ĐIỆN Định nghĩa mômen lưỡng cực điện p là một vectơ có biện độ p = Qd và có hướng từ –Q tới +Q: p = Qd (C.m) Trong đó d là vectơ chỉ hướng độ dài từ –Q tới +Q; thì p.ar = Qdcosq, trường điện thế lưỡng cực, biểu thức (34) có thể viết 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 39 An electric dipole located at the origin in frec space has a moment p = 3ax – 2ay + az (nC.m). (a) Find V at P1(2, 3, 4) (b) Find V at P2(r = 2.5, q = 30o, f = 40o). ANSWERS (a) 0.23(V); (b) 1.97(V) DRILL PROBLEM 4.10 A dipole of moment p = 6az (nC.m) is located at the origin in free space. (a) Find V a P(r = 4, q = 20o, f = 0o) (b) Find E at P. ANSWERS (a) 3.17(V); (b) 1.58ar + 0.29aq(V/m). DRILL PROBLEM 4.9. 4.7 LƯỠNG CỰC ĐIỆN 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 40 4.8. Năng lượng trong trường tĩnh điện Xét một điện tích dương cố định Q1 tại P1 (Fig C4.15). Chúng ta giả sử rằngdùng một ngoại lực để mang một điện tích điểm dương Q2 từ vô cực về điểm P2 và giữ yên Q2 ở đó.Figure C4.15 Năng lượng phải bảo toàn, và năng lượngmà ngoại lựcđã tốn để mang Q2 đến vị trí P2 đã biến thành thế năng, vì nếu ngoại lực thả Q2, nó sẽ hướng ra xa Q1, tích lũy động năng và có khả năng thực hiện công. Như vậy muốn tìm thế năng trong một hệ thống có nhiều điện tích, chúng ta phải tìm công tổng đã thực hiện bỡi ngoại lực để mang điện tích tới các vị trí đang xét. 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 41 l Qk đặt tại Pk( k = 1, 2,..., n) l Vk là điện thế tổng tại Pk do tất cả điện tích trừ Qk. Ví dụ V1 = V12 + V13 + ... + V1n trong đó V1k là điện thế tại P1 do Qk l Thế năng tích trữ trong trường tĩnh điện của n điện tích điểm là: 1. Thế năng của một hệ thống có n điện tích điểm (Fig C4.16) 1 1 2 n E k k k W Q V    (42) 2. Năng lượng tích trữ trong một thể tích v có điện tích phân bố liên tục với mật độ khối ρv (Fig C4.17) Figure C4.17 Figure C4.16 4.8. Năng lượng trong trường tĩnh điện 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 42 l dQ = rvdv là điện tích vi phân đặt tại P. l V là tổng điện thế tại P do tất cả các điện tích trong v 1 2E vv W Vdvr  (43a) 3. Năng lượng tích trữ trong một mặt S có điện tích phân bố liên tục với mật độ mặt ρs 1 2E SS W VdSr  4. Năng lượng tích trữ trên một đường L có điện tích phân bố liên tục với mật độ đường ρL 1 2E LL W VdLr  ! Để tính WE từ (43) ta có tính theo E và D 21 1 2 2W WE o W dv E dve   D E (43b) (45) (43c) 4.8. Năng lượng trong trường tĩnh điện 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 43 n Mật độ năng lượng, WE, (J/m3) 31 (J / m ) 2 E E dWW dv   D E (46) Nếu ta lấy tích phân của WE trong toàn bộ thể tích có chứa điện trường, ta sẽ được năng lượng tổng tích trữ trong trường. VD C4.7. Tính năng lượng tích lũy trong trường tĩnh điện của một đoạn cáp đồng trục có chiều dài L (Xem VD C3.4 của mục 3.3). GIẢI. Chúng ta đã tính được D và E trong VD C3.4 của mục 3.3: Sa r r r D a and S o a r r e r E a (a < r < b) Từ (45), năng lượng của một điện trường hoặc một điện tích phân bố đều có sự tích trữ chính nó trong trường, với mật độ năng lượng: 4.8. Năng lượng trong trường tĩnh điện 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 44 Ở đây rS là mật độ điện tích mặt trên mặt trụ dẫn điện, bán kính là a. Dùng (45), ta có: 2 2 2 22 2 20 0 1 ln 2 L b S S E oa oo a La bW d d dz a p r p r e r r f ee r    WE cũng có thể tính từ công thức (43b). Ở hình 3.5 của mục 3.3, ta chọn vật dẫn ngoài bằng không làm điện thế gốc: Điện thế VSa của mặt trụ dẫn điện trong là: 0. b oS PV V  lnSSa o a bV a r e  (C20) Mặt khác 1 1 1 2 2 2E S Sa Sa a Sb Sb bS Sa Sb W VdS V dS V dSr r r     Hoặc 2 2 ln( / )1 ln 2 S S E S aSa o o a a b abW dS L a r r r p e e    4.8. Năng lượng trong trường tĩnh điện 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM 45 ! Tổng điện tích của vật dẫn trong là Q = 2paLrS và V = VSa, ta có 1 2E W QV (C21) Đây là công thức quen thuộc của năng lượng tích trữ trong tụ điện. DRILL PROBLEMS 4.11. Find the energy stored in free space for the region v: 2mm < r < 3mm, 0 <q < 90o, 0 < f < 90o, given the potential field. V = : (a) (200/r) (V); (b) (300cosq/r2) (V) ANSWERS: (a) 46.4 (mJ); (b) 36.7 (J) Chapter 4. Quizzes 6/64.8. Năng lượng trong trường tĩnh điện 1/16/2013 Châu Văn Bảo-ĐHCN TP.HCM