Bài giảng Trường điện từ - Chương 5, Phần 1: Vật dẫn điện, điện môi, điện trở và điện dung - Châu Văn Bảo

1Chương 5. VẬT DẪN ĐIỆN, ĐIỆN MÔI, ĐIỆN TRỞ VÀ ĐIỆN DUNG n Trong chương này, chúng ta áp dụng những định luật và các phương pháp mà chúng ta đã học để xét một số vật liệu chủ yếu của vật liệu dẫn điện. l Định nghĩa dòng điện và mật độ dòng điện. l Xét một số vật liệu dẫn điện và trình bày Ohm định luật ở hai dạng điểm và dạng tích phân. l Tính điện trở của một số vật dẫn có dạng hình học đơn giản. l Tìm điều kiện biên ở bề mặt của các vật dẫn điện. l Giới thiệu phương pháp ảnh điện. 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 2= dQI dt (1) 1. Dòng điện I (A) Điện tích chuyển động tạo thành dòng điện. Nếu trong một thời gian vô cùng nhỏ dt, một điện tích rất nhỏ dQ đi qua một điểm quy chiếu, hoặc xuyên qua một mặt phẳng qui chiếu thì dòng điện được xác định là Dòng điện được định nghĩa là sự chuyển động của những điện tích dương, chạy trong các vật liệu dẫn điện xuyên qua sự chuyển động của những điện tử. Đơn vị của dòng điện là ampere (A), là dòng điện tạo ra khi điện tích bằng 1C đi qua điểm qui chiếu trong 1s. Chương 5. DÒNG ĐIỆN VÀ CÁC VẬT DẪN ĐIỆN 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 3l Xét một phân bố điện tích khối với mật độ khối ρv. · Mật độ dòng điện là một vectơ được ký hiệu là J (A/m2). Một thể tích Dv chứa một điện tích DQ = rvDv (Fig 5.1a). · Giả sử điện tích chuyển động với vận tốc là v. · Xét hình hộp có diện tích đáy là DS vuông góc với v. · Trong thời gian vô cùng nhỏ dt, DQ có một chiều dài vi phân dL, có độ lớn dL và vectơ chỉ phương aL. 2. Mật độ dòng điện J (A/m2) Figure 5.1 Chương 5. DÒNG ĐIỆN VÀ CÁC VẬT DẪN ĐIỆN 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 4v dQ dLI S S dt dt r rD D D   v Ta có sự chuyển động của điện tích dQ = rvDSdL xuyên qua mặt phẳng qui chiếu vuông góc với phương chuyển động trong thời gian dt; và kết quả dòng điện xuyên qua DS theo vectơ aL là (C1) Ở đây v = |v| là độ lớn của v · Mật độ dòng điện là một vectơ J được định nghĩa: u Độ lớn của J là: 2(A / m )IJ S D D  (C2) Chương 5. DÒNG ĐIỆN VÀ CÁC VẬT DẪN ĐIỆN 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 5u Chiều của J là chiều chuyển động của các điện tích dương, hoặc ngược chiều chuyển động của điện tích âm. Từ (C1) và (C2), ta có: | |= vJ vr (C3) và =J vvr (3) Vậy mật độ dòng điện J tại điểm P là tích của mật độ khối rv tại P và vận tốc v của DQ tại P. rv có thể dương hoặc âm (Fig C5.1). Biểu thức (3) là điện tích chuyển động tạo thành dòng điện. Dòng điện này là dòng đối lưu và mật độ dòng điện J gọi là mật độ dòng đối lưu. Figure C5.1 Chương 5. DÒNG ĐIỆN VÀ CÁC VẬT DẪN ĐIỆN 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 63. Biểu thức dòng tổng xuyên qua mặt phẳng S. a. Mật độ dòng điện đều. l Nếu J là đều vuông góc với S (Fig C5.2a), và nếu aN là vectơ chỉ phương của S, thì dòng xuyên qua S theo vectơ chỉ phương aN là: (A)I JS (C5) ! Nếu S là một vectơ có độ lớn S và vectơ chỉ phương aN, thì ta có dòng điện I là tích vô hướng I = J . S (C4) Figure C5.2a Chương 5. DÒNG ĐIỆN VÀ CÁC VẬT DẪN ĐIỆN 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 7l Nếu J là đều và tạo một góc q với aN (Fig C5.2b), và nếu JN là vectơ thành phần của J theo vectơ chỉ phương aN (hoặc vectơ pháp tuyến của J), thì dòng xuyên qua S theo vectơ chỉ phương aN là: I = JN S I = JScosq I = J . S Hoặc Hoặc (C6) ! I > 0 nếu 0 £ q < p/2; I < 0 nếu p/2 < q £ p; I = 0 nếu q = p/2 Figure C5.2b Chương 5. DÒNG ĐIỆN VÀ CÁC VẬT DẪN ĐIỆN 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 8b. Mật độ dòng điện không đều (Fig C5.3) l S là một mặt phẳng bất kỳ, và J có độ lớn và chiều tại P trên S. l aN là pháp vectơ của S tại điểm P. l dS là diện tích vi phân. l dS = dSaN là vectơ diện tích vi phân, có độ lớn dS và vectơ chỉ phương aN. l Dòng vi phân xuyên qua dS theo vectơ aN là dI = JNdS = JdScosq = J . dSaN = J . dS l Tổng dòng xuyên qua S theo vectơ aN là: (C7) S I d  J S (C8) Figure C5.2b Chương 5. DÒNG ĐIỆN VÀ CÁC VẬT DẪN ĐIỆN 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 9DRILL PROBLEM 5.1. Given the vector current density 2 2 210 4 cos (mA / m ) :zr r fr f J a a (a) Find the current density at P(r = 3, f = 30o, z = 2); (b) Determine the total current flowing outward through the circular band r = 3, 0 < f < 2p, 0 < z < 2.8. ANSWERS. (a) 100ar – 9af (mA/m2); (b) 3.26(A) DRILL PROBLEM 5.2. Given the vector current density: 6 1.5 210 (A / m ) (0 20 m); and 0( 20 m).z z r rm m    J a J (a) Find the total current crossing the surface z = 0.1(m) in the az direction. (b) If the charge velocity is 2 ´ 106 (m/s) at z = 0.1(m), find rv there. (c) If rv = –2000 (C/m3) at z = 0.15 (m); find the charge velocity there. ANSWERS. (a) –39.7 ( ); (b) –15 (mC/m3); (c) 29 (m/s)Am Chương 5. DÒNG ĐIỆN VÀ CÁC VẬT DẪN ĐIỆN 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 10 5.3. CÁC VẬT DẪN ĐIỆN Trong một vật dẫn điện, có chứa nhiều điện tử tự do chuyển động dễ dàng dưới tác động của một điện trường E (Fig C5.4). Lực nay làm điện tử âm chuyển động ngược chiều với E. và nó đạt được vận tốc trung bình không đổi là vd, gọi là vận tốc đạt. vd = – me E (6) F = – e E (C9) Ở đây me (m2/V.s) là độ linh động của điện tử và có giá trị dương. Lấy (6) thay vào (3) của mục 5.1, ta có: J = – re meE (7) Figure C5.4 Một điện tử mang điện tích Q = –e thì lực điện tác động lên nó: 1. Định luật Ohm dạng điểm 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 11 Ở đây re là mật độ điện tích khối của điện tử tự do, có giá trị âm. Nếu điện dẫn suất là s cuả vật liệu dẫn điện là: s = – reme (S/m) (9) Thì quan hệ giữa J và E trong vật dẫn điện là: Biểu thức (8) được gọi định luật dạng điểm Ohm. J = sE (8) 5.3. CÁC VẬT DẪN ĐIỆN 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 12 S I d JS   J S 2. Định luật Ohm. a. J và E đều. Xét một vật dẫn điện hình trụ như Fig 5.3, Ta có: (10) a a ab ab b b V d d      E L E L E L (11) V = EL (C10)Hoặc Suy ra . J I L V L L I S Ss s s    V = RI s lR S  (12) (13) Figure C5.3 Ở đây 5.3. CÁC VẬT DẪN ĐIỆN Hay 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 13 a a d dVV ab b bR I I d dab S Sa a s s               E L J L E S J S b. J và E không đều (Fig C5.5) l Sa và Sb là hai đẳng thế trong vật dẫn. l V = Va – Vb là hiệu điện thế giữa Sa và Sb (V > 0). l I = Iab là tổng dòng điện xuyên qua Sa đi vào vật dẫn ( từ Sa tới Sb) (I > 0). R là điện trở của vật dẫn là tỉ số giữa V và I: (14) Tích phân đường được tính giữa hai mặt đẳng thế ở hai đầu vật dẫn. Tích phân mặt được tính trên mặt đẳng thế có điện thế cao. Figure C5.5 5.3. CÁC VẬT DẪN ĐIỆN 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 14 VD 5.1 Cho một dây tải điện bằng đồng có đường kính 1,291 mm; chiều dài 1609 m, điện dẫn suất 5,8´107 (S/m); độ linh hoạt của điện tử âm là 0.0032 (m2/V.s), và mang dòng điện DC 10A. Tìm: (a) Điện trở; (b) Mật độ dòng; GIẢI. (a) d = 1.291´10–3 (m); S = pd2/4 = 1.308´10–6 (m2); L = 1609 (m); R = L/sS = 21.2 (W). (b) J = I/S = 7.65 (A/mm2) (c) V = RI = 212 (V). (d) E = J/s = 0.312 (V/m). (e) vd = meE = 0.000422 (m/s); (f) re = –s/me = –1.81´1010 (C/m3) (c) Hiệu điện thế giữa hai đầu dây; (d) Điện trong dây; (e) Vận tốc đạt của điện tử âm (f) Mật độ điện tích khối của điện tử âm tự do. 5.3. CÁC VẬT DẪN ĐIỆN 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 15 DRILL PROBLEM 5.3. Find the magnitude of the current density in a sample of silver for which s = 6.17´107 (S/m) and me = 0.0056 (m2/V.s) if: (a) the drift velocity is 1.5(mm/s); (b) the electric field intensity is 1(mV/m); (c) the sample is a cube 2.5 (mm) on a side having a voltage of 0.4 (mV) between opposite faces; (d) the sample is a cube 2.5 (mm) on a side carrying a total current of 0.5.(A) ANSWERS. (a) 16.5(kA/m2); (b) 61.7(kA/m2); (c) 9.9(MA/m2); (d) 80(kA/m2) 5.3. CÁC VẬT DẪN ĐIỆN 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 16 DRILL PROBLEM 5.4. A copper conductor has a diameter of 0.6 (in) and it is 1200(ft) long. Assume that it carries a total dc current of 50A. (a) Find the resistance of the conductor. (b) What current density exists in it ? (c) What is the dc voltage between the conductor ends ? (d) How much power is dissipated in the wire ? ANSWERS. (a) 0.035(W); (b) 2.74´105 (A/m2); (c) 1.73(V); (d) 86.4 (W) INTERACTIVE 1. The skin effect drop-off in a metal with s and f as parameters. ILLUSTRATION 1. Current in corners of inductors/bends and proximity effect in metal lines. 5.3. CÁC VẬT DẪN ĐIỆN 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 17 5.4. TÍNH CHẤT VẬT DẪN VÀ ĐIỀU KIỆN BIÊN 1. Các tính chất của vật dẫn trong trường điện tĩnh (Fig C5.6) 1. Mật độ khối của điện tích bên trong vật dẫn bằng không: rvi = 0. 2. Điện tích phân bố trên bề mặt S của vật dẫn với mật độ mặt rS. 3. Điện trường tĩnh bên trong vật dẫn bằng không: Ei = 0. 4. Điện trường tĩnh E trên bề mặt S của vật dẫn vuông góc với bề mặt này tại mọi điểm. 5. Bề mặt vật dẫn là một mặt đẳng thế. Figure C5.6 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 18 0D Et t  2. ĐK biên của E và D ở mặt mặt phân chia vật dẫn - chân không. (15) l Trên bề mặt S của vật dẫn, ở phía chân không E và D được phân tích thành tổng vectơ của thành phần tiếp tuyến và thành phần pháp tuyến (Fig C5.7) l Thành phần tiếp tuyến của E và D bằng zero: l Các điều kiện biên ở mặt phẳng phân chia vật dẫn – chân không trong trường điện tĩnh: N o N SD Ee r  (16) ! Nếu aN là vectơ pháp đơn vị của mặt phẳng phân chia, hướng ra khỏi vật dẫn, thì o S Ne r D E a (C11) Figure C5.7 5.4. TÍNH CHẤT VẬT DẪN VÀ ĐIỀU KIỆN BIÊN 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 19 EXAMPLE 5.2 Trong hệ tọa độ vuông góc cho điện thế: V(x, y, z) = 100(x2 – y2) (x ³ 0) tại điểm P(2, –1, 3) nằm trên bề mặt vật dẫn và miền có chứa gốc O là chân không (Fig 5.5). Tìm: (a) VP và PT của bề mặt vật dẫn; (b) EP; (c) DP; and (d) rS, P. SOLUTION (a). Điện thế tại P là VP = 100[22 – (–1)2] = 300(V)Figure C5.5 5.4. TÍNH CHẤT VẬT DẪN VÀ ĐIỀU KIỆN BIÊN 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 20 Vì bề mặt vật dẫn là một mặt đẳng thế, nên điện thế tại mọi điểm của bề mặt S phải là 300V. Hơn nữa, nếu vật dẫn là một khối, thì bên trong vật dẫn E = 0 và toàn bộ vật dẫn có điện thế 300V. PT quĩ tích của các điểm có điện thế 300V là 100(x2 – y2) = 300 x2 – y2 = 3 (C12) Đây là PT bề mặt vật dẫn S: nó là 1 mặt trụ hyperbolic. Mà hình chiếu lên mặt phẳng z = 3 là 1 hyperbola x2 – y2 = 3 (x ³ 0). (Fig 5.5). Vật dẫn điện ở phía phải, còn chân không ở phía trái hyperbola. (b) Điện trường E tại điểm P(x, y, z) xác định bỡi: or 5.4. TÍNH CHẤT VẬT DẪN VÀ ĐIỀU KIỆN BIÊN 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 21 V V V V x y zx y z           E a a a 200 200x yx y a a At point P(2, –1, 3), EP = – 400ax – 200ay (V/m) (c) Since D = eoE, we have 12 2 P P8.854 10 3.54 1.771 (nC / m )x y    D E a a (d) EP and DP at P vuông góc với mặt đẳng thế tại P và hướng về phía chân không. rS,P = DN = |DP| = 3.96 (nC/m2) ! Nếu ta lấy miền ở bên trái của S là vật dẫn, thì E and D vẫn như trên nhưng vectơ pháp đơn vị an đổi chiều. Lúc đó rS = –3.96(nC/m2) 5.4. TÍNH CHẤT VẬT DẪN VÀ ĐIỀU KIỆN BIÊN 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 22 EXAMPLE 5.3. Determine the equation of the streamline (of E and D) passing through P in Fig 5.5 (Example 5.2) SOLUTION. Using the differential equation of the streamlines (23) in Section 2.6, we have: 200 200 y x Edy y y dx E x x     1 20 ln ln dy dx y x C xy C y x        This is the equations of the family of streamlines. The streamline passing through P is obtain when C2 = (2)(–1) = –2. Thus, this streamline is the projection (or the trace) on the plane z = 3 of another hyperbolic cylinder (Fig 5.5) xy = –2 5.4. TÍNH CHẤT VẬT DẪN VÀ ĐIỀU KIỆN BIÊN 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 23 DRILL PROBLEM 5.5 Given the potential field in free space: V(x, y, z) = 100sinh5xsin5y (V), and a point P(0.1, 0.2, 0.3) lying on a conductor surface; find the following quantities at P: (a) The potential V (b) The electric field intensity E (c) The magnitude |E| of E (d) The absolute value |rS| of the surface charge density rS ANSWERS. (a) 48.3 (V); (b) –474ax – 140.8ay(V/m); (c) 495 (V/m); (d) 4.38(nC/m2) 5.4. Conductor Properties and Boundary Conditions 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 24 5.4. phương pháp ảnh l Lưỡng cực điện trong mục 4.7 có một đặc tính quang trọng: hai điện tích +Q and –Q, ta thấy mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng nối hai điện tích có điện thế bằng 0 (Fig 5.6a). Figure 5.6 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 25 Ta có thể biểu diễn mặt phẳng đó bỡi một mặt phẳng dẫn điện cực mỏng rộng vô tận. Mặt phẳng dẫn điện này là một mặt đẳng thế V = 0, và điện trường E vuông góc với nó tại mọi điểm. l Nếu ta thay lưỡng cực điện trong Fig 5.6a bỡi một điện tích +Q và một mặt phẳng dẫn điện ở Fig 5.6b, điện thế và điện trường của nửa không gian trên của 2 hình là như nhau. Dĩ nhiên trong nửa dưới của Fig 5.6b, tất cả các trường bằng không. l Ngược lại, nếu ta bắt đầu một điện tích +Q và một mặt phẳng dẫn điện trên (Fig 5.6b), ta thêm một điện tích –Q đối xứng với +Q qua mặt phẳng rồi bỏ mặt phẳng này đi. Điện tích (–Q) này được gọi ảnh của +Q. 5.4. phương pháp ảnh 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 26 l Ta lặp lại cách này với 1 điện tích tiếp theo và do đó bất cứ phân bố điện tích nào ở phía trên 1 mặt phẳng dẫn điện vô tận cũng có thể được thay bỡi phân bố đó thêm vào ảnh của nó, và không có mặt phẳng dẫn điện (Fig 5.7b). Trong trường hợp này, điện thế của hệ thống mới dễ tìm hơn vì hệ thống không còn chứa mặt phẳng dẫn điện với phân bố điện tích mặt chưa biết. Đây là cốt lõi của phương pháp ảnh. Figure 5.7 5.4. phương pháp ảnh 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 27 EXAMPLE C5.1 Một điện tích đường vô hạn có rL = 30(nC/m) mằn trên đường thẳng x = 0, z = 3, and the plane z = 0 là mặt phẳng dẵn điện (Fig 5.8a). Find (a) E; (b) D; and (c) rS at the point P(2, 5, 0) trên mặt phẳng dẫn điện. Figure 5.8 5.4. phương pháp ảnh 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 28 5.4. phương pháp ảnh SOLUTION (a) Sử dụng method of images, ta thêm một điện tích đều –rL = –30(nC/m) trên đường thẳng x = 0, z = –3 (Fig 5.8b). Điện trường E – tại P do mỗi điện tích đường tạo ra gồm: E+ do + rL and E– do –rL. Các điện trường được xác đinh theo phương pháp trong ví dụ C2.1 của mục 2.4: Step 1. Tìm hình chiếu của P+ and P– of P lên điện tích đường, lần lượt có tọa độ: P+(0, 5, 3) and P–(0, 5, –3) Step 2. Xác định vectors khỏang cách từ điện tích đường tới P: R+ = 2ax – 3az and R– = 2ax + 3az 2 3 ; 13 x z R   a aa and 2 3 13 x z R   a aa Step 3. Xác định vectors đơn vị khỏang cách: 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 29 5.4. phương pháp ảnh Step 4. Find E+ and E– by using (20), với r được thay thế bỡi R 9 2 330 10 ; 2 2 13 13 x zL o oR r pe pe        R a aE a 9 2 330 10 2 2 13 13 x zL o oR r pe pe          R a aE a Step 5. Use the principle of superposition: 9180 10 249 (V / m). 2 (13) z zope         E E E a a Đây là điện trường E tại P trong cả hai phân bố of Fig 5.8. Rõ ràng E vuông góc với mặt phẳng dẫn điện. (b) D = eoE = 8,854´10–12E = –2.20az (nC/m2). (c) Vectơ D hướng vào mặt phẳng dẫn điện trong Fig 5.8a, mật độ điện tích tại P âm và có giá trị rS = –2.20(nC/m2) 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 30 5.5. The Method of Images DRILL PROBLEM 5.6 A perfectly conducting plane is located in free space at x = 4, and a uniform infinite line charge of 40 (nC/m) lies along the line (x = 6, y = 3). Let V = 0 at the conducting plane. At P(7, –1, 5) find: (a) V; (b) E ANSWERS: (a) 317 (V); (b) –45.3ax –99.2ay (V/m) Chapter 5.1 Quizzes 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM