Bài giảng Trường điện từ - Chương 7: Trường từ dừng - Châu Văn Bảo

1CHƯƠNG 7: TRƯỜNG TỪ DỪNG 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 27.1. ĐỊNH LUẬT Biot – Savart 1. Từ trường do dòng dây tạo ra (Fig 8.1) l I là dòng điện chạy trong vòng kín C. l P’ là mộ điểm nguồn trên C. l aL là vectơ pháp đơn vị của C tại P’ l dL = dLaL là vectơ vi phân của C, có độ lớn dL và vectơ chỉ phương aL. l P là một điểm trường. l H là từ trường. l R là vectơ hướng từ P’ tới P. l R = |R| là độ lớn khoảng cách giữa P’ và P. Figure 7.1 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 3l IdL là dòng điện vi phân, có độ lớn IdL và vectơ chỉ phương aL. l aR = R/R là vectơ đơn vị hướng từ P’ tới P. l q là góc giữa aL và aR. l Định luật Biot-Savart Law, vectơ từ trường vi phân dH đặt tại điểm trường P do dòng IdL đặt tại điểm nguồn P’ được cho bỡi 7.1. ĐỊNH LUẬT Biot – Savart 24 ´ = L aH RIdd Rp ► Độ lớn dH là sin 24 = IdLdH R q p (1) (2) 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 4► Phương của dH là phương vuông góc với mặt phẳng tạo bỡi aL và aR, và chiều cho bỡi qui tắc đinh ốc thuận quay từ aL tới aR. · Tổng từ trường H sinh ra bỡi tất cả dòng IdL của dòng I chạy trong vòng kín C là: 24p R C Id R    L aH Ñ (3) 7.1. ĐỊNH LUẬT Biot – Savart · Đơn vị của H là (A/m). ! Định luật Biot-Savart làm ta nhớ lại định luật Coulomb: Điện trường vi phân dE cho bỡi 24 R o dQd Rpe  aE (C1) 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 52. Từ trường do dòng mặt tạo ra Dòng mặt được sinh ra do điện tích chuyển động trên một bờ mặt. Mật độ dòng mặt được kí hiệu là K (A/m). a. Trường hợp mật độ dòng mặt đều. = IK s (C2) Figure 7.2 · Nếu K đều và vuông góc với AB của chiều dài s, thì K là một vectơ có chiều là chiều của dòng I và độ lớn (Fig 7.2) 7.1. ĐỊNH LUẬT Biot – Savart 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 6l Nếu K đều và tạo một góc q với pháp vectơ đơn vị aN của đoạn thẳng AB (Fig C7.1) và nếu KN là thành phần pháp tuyến của K, thì dòng mặt xuyên qua AB theo hướng aN là: (C3) Figure C7.1 cos= = = ×K sNI K s Ks q Ở đây: s = saN là một vectơ có độ lớn s và hướng của aN. b. Trường hợp mật độ dòng mặt không đều (Fig C7.2) l S là một mặt phẳng bất kỳ, và K có độ lớn thay đổi và hướng từ điểm này sang điểm khác trên S. 7.1. ĐỊNH LUẬT Biot – Savart 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 7l C = là cung nằm trên S. l aN là pháp vectơ đơn vị nằm trên C và tiếp tuyến với S tại P. l ds là thành phần vi phân của C tại P. l ds = dsaN l Dòng điện vi phân xuyên qua C theo hướng aN là: (C3) ¼AB cos= = = × = ×NK K sNdI K ds Kds dsa dq n Tổng dòng điện xuyên qua C theo hướng aN là = ×ò K sCI d (4) Figure C7.2 7.1. ĐỊNH LUẬT Biot – Savart 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 83. Các dòng vi phân l Từ trường của dòng mặt là: (6) (7) (C4) (C5) (C6) 24 ´ = ò K aH R S dS Rp l Từ trường của dòng khối là: 24 ´ = ò J aH R v dv Rp 7.1. ĐỊNH LUẬT Biot – Savart 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 94. Từ trường do một dây điện thẳng dài vô tận tạo ra Gỉa sử dòng I chạy dọc trên toàn bộ trục z theo hướng az (Fig 7.3) n Từ trường H tại P(r, f, z). -H không phụ thuộc z và có hướng của aF. -Hr và Hz bằng không. - Chỉ có HF. Figure 7.3 7.1. ĐỊNH LUẬT Biot – Savart 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 10 2 = IHf pr 2 =H aI fpr l Độ lớn của H không phụ thuộc vào f hoặc z, và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ điểm trường đến dây điện. l Chiều của H được cho bỡi qui tắc đinh ốc thuận. (C7) (C8) 7.1. ĐỊNH LUẬT Biot – Savart 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 11 l Các đường dòng của H là các vòng tròn ở trong các mặt phẳng vuông góc với I và có tâm nằm trên I, và H được trình bày như Fig 7.4. l Chiều của H được xác định theo quy tắc bàn tay phải. Figure 7.4 7.1. ĐỊNH LUẬT Biot – Savart 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 12 5. Từ trường do một dây điện thẳng dài vô tận tạo ra không nằm trên trục z. Gỉa sử dòng I thẳng dài vô tận long dọc theo đường L theo hướng aL (Fig C7.3). Ta tìm H tại P(x, y, z), theo các bước sau: Step 2. Xác định R hướng từ P’ tới P Step 3. Xác định aR từ P’ tới P: aR = R/R Figure C7.3 Step 1. Tìm hình chiếu P’ của P trên L. 7.1. ĐỊNH LUẬT Biot – Savart 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 13 Step 4. Xác định vector aN = aL ´ aR Step 5. Tìm H tại P by Eq (C9) R2p I R H a (C8) (C9) 6. Từ trường do một dây điện thẳng dài vô tận tạo ra dọc theo trục z theo hướng az (Fig 7.5) 2 1(sin sin )4 f a a pr I  H a ! a1 và a2, là dương nếu A và B của đoạn dây ở phía trên điểm O; và âm trong trường hợp ngược lạiFigure 7.5 (9) 7.1. ĐỊNH LUẬT Biot – Savart 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 14 7. Từ trường do một dây điện thẳng dài vô tận tạo ra dọc theo theo L (Fig C7.4) l aL là vectơ đơn vị chỉ phương của I. l P là một điểm trường. l P’ là hình chiếu của P trên L. l A và B là điểm đầu và cuối of L. l R là vectơ hướng từ P’ tới P; và aR = R/R l aN = aL ´ aR N2 1(sin sin )4 a a p I R  H a ! In Fig C8.4, we have a1 0 (C10) Figure C7.4 7.1. ĐỊNH LUẬT Biot – Savart 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 15 EXAMPLE 8.1. In Fig 7.6, I = 8(A) chạy từ vô cực về gốc O dọc theo trục x, rồi chạy từ O ra vô cực dọc theo trục y. Tìm H tại P(0.4, 0.3, 0). l aLx = –ax l Rx = 0.3 (m) l aRx = ay l aNx = –ax ´ ay = –az SOLUTION Step 1. Tìm Hx tại P do dòng bán vô hạn chạy dọc trục x: Figure 7.6 7.1. ĐỊNH LUẬT Biot – Savart 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 16 l a1x = –90o and a2x = tan –1(0.4/0.3) = 53.1o. Thus: 8 12(sin 53.1 1)( ) (A/m) 4 (0.3)p px z z    H a a Step 2: Tìm Hy tại P do dòng bán vô hạn chạy dọc trục y: l aLy = ay; Ry = 0.4(m); aRy = ax; aNy = ay ´ ax = –az l a1y = –tan–1(0.3/0.4) = –36.9o; a2y = 90o. Thus: 8 8(1 sin 36.9 )( ) (A/m) 4 (0.4)p py z z     H a a Step 3: Từ trường tổng tại P là: 20 6.37 (A/m) px y z z    H H H a a 7.1. ĐỊNH LUẬT Biot – Savart 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 17 (a) P’(0, 0, 2); P(4, 2, 0); IdL = 2paz(mA.m) (b) P’(0, 2, 0); P(4, 2, 3); IdL = 2paz(mA.m) (c) P’(1, 2, 3); P(–3, –1, 2); IdL = 2p(–ax + ay + 2az) (mA.m) ANSWERS. (a) –8.51ax + 17.01ay(nA/m); (b) 16ay(nA/m) DRILL PROBLEM 7.1. Calculate dH at P due to the current element IdL located at P’ if: DRILL PROBLEM 7.2. A current filament carrying 15A in the az direction lies along the entire z axis. find H in rectangular coordinates at: (a) PA( 20, 0, 4); (b) PB(2, –4, 4). ANSWERS. (a) 0.534ay(A/m); (b) 0.239ay + 0.477ax(A/m) 7.1. ĐỊNH LUẬT Biot – Savart 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 18 7.2. ĐỊNH LUẬT AMPERE n Trong chương 2, ta dùng định luật Coulomb để tìm E do một phân bố điện tích tạo ra, ta thấy rằng các bài toán giải dễ dàng nhờ định luật Gauss với điều kiện chúng có một sự đối xứng nào đó. n Định luật Ampère để tìm H sẽ giúp ta giải dễ hơn. 1. Lưu số của H dọc theo một đường kín (Fig C7.5) l C là kín vòng kín bất kỳ, and H có biên độ thay đổi và hướng từ điểm này đếm khác trên C. Figure C7.5 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 19 l aL là vectơ tiếp tuyến đơn vị của C tại P. l dL = dLaL là khoảng cách vi phân, có độ lớn là dL và theo hướng aL. l Ht là thành phần tiếp tuyến of H. ! Lưu số C of H dọc theo C là tích phân đường kín of H dọc theo C: cosq C C Ct H dL H dL d      H LÑ Ñ ÑC (C11) n Qui trình tìm C, ta thực hiện các bước sau: Step 1. Tính các lưu số vi phân theo công thức sau: td H dLC (C12) 7.2. ĐỊNH LUẬT AMPERE 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 20 Step 2. Cộng tất cả các lưu số vi phân trong Step 1. Step 3. Lưu số của H dọc theo C được tính ở biểu thức C11. 2. Mặt hở và biên giới của nó (Fig C7.6) Figure C7.6 7.2. ĐỊNH LUẬT AMPERE 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 21 7.2. ĐỊNH LUẬT AMPERE l In Fig C8.6a, đường cong kín C là biên của mặt hở S bỡi biên C. l In Fig C8.6b, đường cong kín C có thể vẽ trên 1 mặt phẳng, và mặt hở S có biên là đường cong kín C. l Vectơ tiếp tuyến al tại 1 điểm bất kỳ của C và vectơ pháp tuyến đơn an tại 1 điểm bất kỳ của S được xác định theo qui tắc bàn tay phải: Nếu ngón tay cái chỉ chiều an thì 4 ngón kia chỉ chiều xoáy của al dọc theo C. 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 22 7.2. ĐỊNH LUẬT AMPERE 3. Ampère’s Law. Tích phân đường của từ trường H dọc theo một đường cong kín C bằng dòng tổng bao bỡi đường cong kín C C d I  H LÑ (10) ! Chúng ta xác định chiều dương của dòng điện theo chiều của ngón tay cái, khi 4 ngón kia chỉ chiều của dL. l In Fig C.8.7, Gauss’s law gives: Figure C8.7 1 2 3C d I I I    H LÑ 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 23 7.2. ĐỊNH LUẬT AMPERE n Bây giờ ta dùng Ampère’s Law để tìm H nếu biết dòng điện phân bố tạo ra. Giả sử ta tìm được 1 đường cong kín C thỏa hai điều kiện sau: a. C được chia làm 2 phần, C|| and C^. · C|| trên đó H cùng chiều với dL, thì H.dL = HdL · C^, H vuông góc với dL, thì H.dL = 0 b. Trên C||, biên độ của H là hằng số. Applying Ampere’s Law, we have: where L|| is the length of C||. || || ||.C C Cd d HdL HL I      H L H LÑ Ñ Ñ 4. Áp dụng Ampère’s Law tìm H 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 24 7.2. ĐỊNH LUẬT AMPERE || || L I Iand L L  H H aHence (C13) where aL is the tuyến tiếp đơn vị vector of C||. EXAMPLE C8.1 Tìm từ trường H do 1 dây điện thẳng dài vô tận tạo ra (Fig C8.8) SOLUTION. Dùng ĐL Biot-Savart, nếu dòng I chạy trên trục z theo hướng az thì H có hướng aΦ (Fig C8.8). Thus C|| ≡ C and from (C13), we have 2 2f fpr pr I Iand H H a (C14) Figure C8.81/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 25 7.2. Ampère’s Law EXAMPLE C8.2. Trong tọa độ trụ, xét 1 đường dây tải điện đồng trụ dài vô tận gồm hai dây dẫn (Fig 8.8). Dây dẫn trong mang dòng I theo hướng az) và dây dẫn ngoài mang dòng I theo hướng – az. Tìm H tại điểm P(r, f, z) Figure 8.8(a) (b) 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 26 7.2. Ampère’s Law SOLUTION. Dùng ĐL Ampere đối với đường kín C là một đường dòng có bán kính r (Fig 8.8b). Thus, from (13): 2 eI fpr H a where Ie là dòng tổng enclosed bao bỡi vòng tròn. Case 1. 0 < r £ a Case 2. a £ r £ b Case 3. b £ r £ c Case 4. c £ r 2 2 r eI I a   eI I  2 2 2 2 2 2 2 22 f r r pre c I cI I c b c b         H a (C15) (C16) (C17) 0 0eI I I     H 2 fpr I  H a 22 f r p I a  H a (C18) 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 27 7.2. Ampère’s Law EXAMPLE C8.3. Show the variation of the magnetic field intensity with radius for a coaxial cable in which b = 3a, c = 4a. SOLUTION. The results is shown in Fig 8.9. ! The magnetic field intensity H is continuous at all the conductor boundaries. The value of Hf shows no sudden jumps. ! The H-field outside the cable is zero. This is an exmple of “shielding”: such a coaxial cable carrying large currents would not produce any noticeable effect in an adjacent circuit. Figure 8.9 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 28 7.2. Ampère’s Law EXAMPLE C8.4. Một dòng mặt đều chạy theo chiều dương của y đặt trong mặt phẳng z = 0 với mật độ dòng mặt K = Kyay (Fig C8.9). Find H at P(x, y, z) Figure C8.9(a) (b) 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 29 7.2. Ampère’s Law SOLUTION. The Biot-Savart law từ trường H không phụ thuộc x or y; Hy = Hz = 0; H chỉ có thành phần Hx; and H phải nằm trong z. Áp dụng Ampère’s law để tính C = 12341 có bề rộng L and và chiều cao h, we have: 0 0 C x x y d H L H L K L      H LÑ Þ Above the sheet: Þ Below the sheet: 1 2x y H K 1 2x y H K Þ 1 ( 0) 2 1 ( 0) 2 y x y x K z K z    a H a (C19) 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 30 7.2. Ampère’s Law n Tổng quát, một mặt phẳng bất kỳ mang dòng mặt phân bố đều với mật độ mặt K theo hướng bất kỳ (Fig C8.10), we have 1 2 N  H K a (C11) ! H không phụ thuộc vào khoảng cách tấm dòng điện. where aN là vectơ pháp đơn vị thoát ra khỏi tấm dòng điện. Figure C8.10 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 31 7.2. Ampère’s Law EXAMPLE C8.5. Xét hai tấm dòng điện: tấm thứ nhất là mặt phẳng z = 0 mang dòng mặt K = Kyay, còn tấm thứ hai là mặt phẳng z = h mang dòng mặt –K chạy theo chiều ngược lại. Xác định H trong toàn không gian (Fig C8.11) Figure C8.11 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 32 7.2. Ampère’s Law SOLUTION. Ta tìm H tổng bằng nguyên lý xếp chồng trường. Gọi H+, H― là từ trường do dòng điện mang dòng mặt K, -K: l z > h: 1 , 2 y x K H a l z < 0: 1 1, 2 2y x y x K K  H a H a l 0< z < h: 1 , 2 y x K H a y x zK      H H H a K a ! Tổng quát, nếu aN là vectơ pháp đơn vị của tấm mang mật độ (+K) hướng đến tấm mang mật độ (–K), thì: 0 N  K a H (inside) (outside) (12) 1 0 2 y x K      H a H H H 1 2 y x K H a 0    H H H 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 33 7.2. Ampère’s Law DRILL PROBLEM 8.3. Express the value of H in rectangular coordinates at P (0, 0.2, 0) in the field of: (a) a current filament, 2.5 (A) in the az direction at x = 0.1, y = 0.3; (b) a coaxial cable, centered on the z axis, with a = 0.3, b = 0.5, c = 0.6, I = 2.5 (A) in the az direction in the center conductor; (c) three current sheets, 2.7 ax (A/m) at y = 0.1; -1.4ax (A/m) at y = 0.15; and -1.3ax (A/m) at y = 0.25. ANSWERS. (a) 1.989ax - 1.989ay(A/m); (b) -0.884ax(A/m) (c) 1.300az (A/m) ILLUSTRATION 1. Magnetic field streamlines ILLUSTRATION 2. Magnetic field streamlines 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 34 1/10 7.3. CURL l Gradient của trường vô hướngV cho biết tốc độ thay đổi của V trong không gian khi ta di chuyển theo 1 hướng nào đó. l Divergence của từ vectơ A cho biết mật độ thông lượng của A tại một điểm nào đó. l Bây giờ sẽ định nghĩa toán tử thứ 3 đó là curl của một trường vectơ A, cho biết độ xoáy của A quanh một trục tại một điểm nào đó.. In Fig 8.13: l P(x, y, z) is a field point. l J là mật độ dòng điện tại P. l DCz là chu vi của hình chữ nhật có hai cạnh là Dx và Dy. Figure 8.13 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 35 7.3. CURL l H là từ trường tại P. l DSz = DxDy là diện tích đường kín DCz. l DIz là dòng điện chạy trong đường kín DCz § Hoàn lưu (circulation) của H dọc theo DCz là: . D D D z y x z zC H Hd S x y            H LÑC Theo Ampère’s law, kết quả này bằng dòng điện DIz chạy trong đường DCz, hoặc là dòng điện xuyên qua mặt biên DCz: . D D D D D z y x z z z z zC H Hd S I J S x y             H LÑC or D D y xz z z H H J S x y        C 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 36 8.3. CURL Vì vậy 0 lim D D Dz y xz zS z H H J S x y        C (18) Tương tự 0 lim D D Dx yx z xS x HH J S y z       C (19) Và 0 lim D D Dy y x z yS y H H J S z x        C (20) ! Mật độ dòng điện J là giới hạn của hoàn lưu của H trên cho diện tích của đường kín khi diện tích này co lại và tiến dần về không. Giới hạn có tên là curl. 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 37 7.3. CURL 1. Định nghĩa. Nếu A là một trừơng vectơ, thì curl of A is a vector, viết là curlA và được xác định tại P theo các bước sau (Fig C8.12) l Step 3. Vẽ một đường cong kín nhỏ DCN nằm trong SN và diện tích của đường cong kín là DSN l Step 4. Tính hoàn lưu of A dọc theo DCN: . D D D N N N tC C d A dL  A LÑ ÑC l Step 1. Chọn vectơ đơn vị aN at P. l Step 2. Vẽ mặt phẳng SN vuông góc với aN at P. Figure C8.12 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 38 8.3. CURL l Step 5. Xác định, độ lớn của vectơ curlA theo phương của aN được cho bỡi: 0 0 . ( ) ( ). lim lim D D D D D D N N N CN N N S SN N d curl curl S S      A L A A a ÑC (21) ! Vì vậy, curl là hoàn lưu trên một đơn vị diện tích. 2. Biểu thức Curl in the RCS (vuông góc). Trong hệ tọa độ vuông góc, biểu thức (21) biểu diễn các thành phần x, y, và z của curlH được tính từ các (18), (19), và (20), và ta được (22) y yx xz z x y z H HH HH Hcurl y z z x x y                              H a a a (22) 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 39 7.3. CURL Kết quả này có thể viết dưới dạng định thức x y z x y z curl x y z H H H        a a a H (23) Hoặc gọn hơn, bằng cách dùng toán tử del curl  H H (24) 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 40 8.3. CURL 3. Biểu thức của Curl in the CCS (trụ) 1 f r r fr f r z zH HH H z z                         H a a ( )1 f rr r r f z H H         a (25) 4. Biểu thức của Curl in the SCS (cầu) ( sin )1 sin f qq q q f r H H r           H a ( ) ( )1 1 1 sin f q q fq f q r rrH rHH H r r r r                    a a (26) 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 41 8.3. CURL 4. Phương trình Maxwell thứ 3 của trường tĩnh. Kết hợp (18), (19), (20), (22), and (24): yz x HHcurl y z            H H a .yx xz y z HH HH z x x y                  a a J (27) Vậy ta có định luật Ampere dạng điểm: . H J (28) Đây là phương trình Maxwell thứ 3 của trường tĩnh hay chính là dạng điểm hay dạng vi phân của định luật Ampere. 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 42 7.3. CURL 5. Phương trình Maxwell thứ 2. ! The divergence of a curl is the zero scalar ; that is .( ) 0 A  (C20) for any vector field A. ( ) 0V   ! The curl of a gradient is the zero vector; that is (C21) for any scalar field V. l Phương trình Maxwell thứ 2 áp dụng cho trường điện tĩnh E và từ trường dừng, từ (C21) ta có: 0 E (29) 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 43 7.3. CURL DRILL PROBLEM 8.4. (a) Evaluate the closed line integral of H about the rectangular path P1(2, 3, 4) to P2(4, 3, 4) to P3(4, 3, 1) to P4(2, 3, 1), given H = 3z ax – 2 x2 az (A/m). (b) Determine the quotient of the closed line integral and the area enclosed by the path as an approximation to (Ñ ´ H)y. (c) Determine (Ñ ´ H)y at the center of the area. ANSWERS (a) 354 (A) ; (b) 59 (A/m2) ; (c) 57 (A/m2). DRILL PROBLEM 8.5. Calculate the value of the vector current density: (a) in the RCS at PA(2, 3, 4) if H = x2zay – y2xaz ; (b) in the CCS at PB(1.5, 90o, 0.5) if H = (2/r)cos0.2faf; (c) in the SCS at PC(2, 30o, 20o) if H = (1/sinq)aq. ANSWERS. (a) –16ax + 9ay + 16az (A/m2) ; (b) 0.05az (A/m2); (c) af (A/m2). 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 44 7.4. STOKES’ THEOREM n Xét một mặt hở S có biên là đường cong kín C. (Fig C8.13). Định lý Stokes phát biểu: Tích phân đường của một trường vectơ A dọc theo một đường cong kín C bằng tích phân mặt của thành phần pháp tuyến của vectơ curlA trên mặt hở S có biên là C. . ( ). C S d d  A L A SÑ  (30) ( )t NC S A dL dS   AÑ  (C22) n Áp dụng 1 của định lý Stokes, ta tính giá trị hoàn lưu của cường độ điện trường E: . ( ). 0 C S d d   E L E SÑ (C23) or Figure C8.13 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 45 7.4. STOKES’ THEOREM Áp dụng thứ 2 của định lý Stokes, ta tính giá tri hoàn lưu của cường độ từ trường H: . ( ). C S d d  H L H SÑ Sử dụng phương trình Maxwell thứ 3 (28), ta có . . C S d d I  H L J SÑ (10) ► Ampere’s Law (10) is the integral form of Maxwell’s Equation (28) ► (28) is the point form (or differential form) of (10) ► (C23) is the integral form of Maxwell’s Equation (29) ► (29) is the point form (or differential form) of (C23). 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 46 7.5. Mật độ từ thông và từ thông 1. Mật độ từ thông B (T) = (Wb/m2) a. Trong mục 3.1, ta định nghĩa mật độ điện thông D trong chân không (Fig C8.14a) 2(C/m )eoD E (C24) 910 / 36 (F/m)e po  (C25)where b. Bây giờ ta định nghĩa mật độ từ thông B Trong không gian (Fig C8.14b) 2(Wb/m ) (T)mo B H (32) where 74 10 (H/m)m po   (33) là độ từ thẩm tuyệt đốt của chân không. Figure C8.14 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 47 2. Từ thông F (Wb) a. Trong mục 3.2, ta định nghĩa điện thông xuyên qua một diện tích S như (Fig C8.15 a) . (C)y S d  D S (C26) b. Bây giờ ta định nghĩa từ thông xuyên qua một diện tích S như (Fig C8.15 b) . (Wb)F S d  B S (34) Figure C8.15 7.5. Mật độ từ thông và từ thông 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 48 3. Gauss’s Law a. Tron mục 3.2, Gauss’s Law cho điện trường tĩnh: Tổng điện thông thoát ra khỏi mặt kín S bằng tổng điện tích chứa trong mặt kín S: .y S d Q  D SÑ (C27) b. Đối với từ thông, Định luật Gauss cho từ trường dừng là . 0F S d  B SÑ (35) 7.5. Mật độ từ thông và từ thông 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 49 4. Phương trình Maxwell thứ 4. Áp dụng định lý divergence [Eq (22) của mục 3.7], (35) ta có: . . 0F S v d dv   B S BÑ  (C28) Đúng với mọi v, ta có . 0B (36) Eq (36) is phương trình của Maxwell thứ 4 áp dụng cho điện trường tĩnh và từ trường dừng. 7.5. Mật độ từ thông và từ thông 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 50 5. Tổng kết hệ phương trình Maxwell . 0 . 0 rv       D E H J B    (37.1) (37.2) (37.3) (37.4) ! Biểu thức quan hệ giữa D to E and B to H in free space e m o o   D E B H (38) (39) ! Biểu thức quan hệ E to V VE  (40) 7.5. Mật độ từ thông và từ thông 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 51 6. Hệ phương trình Maxwell ở dạng tích phân cho điện trường tĩnh và từ trường dừng S . . 0 . . ( ' ) ( ) ( . = 0 ère's ) ( ) rvS v C C S Gauss s Law Conservative Property Amp Law nonexistence of magnetic cha d dv Q d d d I d rge            D S E L H L J S B S Ñ Ñ Ñ Ñ ! Ta có thể dùng divergence và định lý Stokes cho (37) cho (41): (41.1) (41.2) (41.3) (41.4) l Divergence Theorem l Stokes’ Theorem . . S v d dv A S AÑ  (C29) (C30). ( ). C S d d  A L A SÑ  7.5. Mật độ từ thông và từ thông 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 52 EXAMPLE C8.6. Consider the coaxial line of Fig 8.8a.(vd7.11-tr303 Find the magnetic flux crossing the rectangle (a £ r £ b, 0 £ z £ d) lying on a radial half plane f = fo (Fig C8.16) SOLUTION. From Example C.8.2, Eq (C16): 2 I fpr H a (a £ r £ b) Therefore 2 oI f m pr B a (a £ r £ b) . . 2 F d b o S o a Id d dzf f m r pr    B S a a or ln 2 F o Id b a m p  (42) Figure C8.16 7.5. Magnetic Flux Density and Magnetic Flux 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM 53 DRILL PROBLEM 8.7. A solid conductor of circular cross section is made of homogeneous nonmagnetic material. If the radius a = 1 (mm), the conductor axis lies on the z axis, and the total current in the az direction is 20 (A), find: (a) Hf at r = 0.5 (mm) ; (b) Bf at r = 0.8 (mm) ; (c) The total magnetic flux per unit length inside the conductor. (d) The total magnetic flux for r < 0.5 (mm) (e) The total magnetic flux outside the conductor. ANSWERS. (a) 1592 (A/m) ; (b) 3.2 (mT); (c) 2 (mWb/m); (d) 0.5 (mWb); (e) ¥. Chapter 7. Quizzes. 7.5. Magnetic Flux Density and Magnetic Flux 1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM