Bài giảng Tự động hoá thiết kế tàu thuỷ A1

hoá SQL. Năm 1992 ANSI chính thức thông qua tiêu chuẩn cho SQL-92. SQL đang được dùng trong các phiên bản Sybase SQL Server, Microsoft SQL Server, IBM OS/2 Extended Edition Database Manager, DEC RDb/VMS và Oracle Server for OS/2 vv... Trong tài liệu này sẽ không đề cập đến ngôn ngữ này, người viết chỉ có thể hứa nhanh chóng hoàn tất bản thảo giới thiệu tài liệu về các ngôn ngữ này. Thế hệ thứ năm gắn liền với nhóm ngôn ngữ trí tuệ nhân tạo (AI-Artificial Intelligence). Đây là ngôn ngữ không - thủ tục (khác với khái niệm ngôn ngữ thủ tục vừa nêu trên), gắn liền với trạng thái của đối tượng trong vấn đề đang giải quyết, với quan hệ giữa các đối tượng. Một trong các ngôn ngữ đang dùng có kết quả PROLOG, đang được người Nhật chấp nhận, phát triển và hoàn thiện. Ngôn ngữ mang tên Nhật HIMIKO xuất phát từ PROLOG, đang là cơ sở cho nhóm ngôn ngữ thế hệ thứ năm này. Trong lĩnh vực quản lý dữ liệu, sự gắn bó giữa ngôn ngữ thế hệ thứ tư và thứ năm đã sinh ra DATALOG chuyên phục vụ công tác hệ thống dữ liệu. Ngôn ngữ LDL (Logic Data Language) đang chiếm vị trí xứng đáng trong lĩnh vực truyền dữ liệu. Cần nói thêm, ngôn ngữ LISP cũng thuộc nhóm ngôn ngữ trí tuệ nhân tạo, được phát triển từ những năm sáu mươi tại Mỹ, ngày nay đang đóng vai trò hết sức quan trọng trong công cuộc tự động hoá thiết kế. Tài liệu về LISP và AutoLISP đề nghị bạn đọc tìm hiểu thêm qua sách chuyên đề của cùng người viết. Chương 2 TỰ ĐỘNG HÓA TÍNH TOÁN CÁC YẾU TỐ THỦY TĨNH VÀ TÍNH CÂN BẰNG-ỔN ĐỊNH CỦA TÀU 2.1. PHƯƠNG PHÁP SỐ DÙNG TRONG TỰ ĐỘNG HOÁ TÍNH TOÁN CÁC YẾU TỐ THỦY TĨNH VÀ TÍNH CÂN BẰNG-ỔN ĐỊNH CỦA TÀU Chương này sẽ giới thiệu với bạn đọc việc sử dụng các phương pháp tính thông dụng khi xử lý những bài toán thường gặp trong tính toán các yếu tố tính nổi – thủy lực của tàu. Các phương pháp được đề cập ở trong phạm vi tài liệu này bao gồm: phương pháp tích phân gần đúng, phương pháp nội suy và phương pháp bình phương nhỏ nhất. 2.1.1. Đa thức nội suy Lagrange Trong thực tế nhiều khi người ta phải giải bài toán ngược sau đây: Người ta không biết chính xác hàm số f(x) mà chỉ biết một tập rời rạc hữu hạn của đồ thị biểu diễn nó và một vài nét hết sức khái quát của hàm f(x); người ta muốn dựng lại hàm số f(x) và dĩ nhiên không thể nào dựng đúng nguyên xi hàm f(x) (vì bản thân hàm số f(x) cũng chưa được biết) nhưng người ta hy vọng rằng sẽ dựng được một hàm số có các tính chất như hàm số f(x) và dĩ nhiên đồ thị biểu diễn hàm số được dựng nên ít ra thì cũng gần trùng với đồ thị của hàm f(x) tại tập hợp các điểm rời rạc đã cho trước ví dụ như từ số liệu thống kê các đặc trưng của một số đối tượng khảo sát bất kỳ nào đó; từ kết quả thí nghiệm tại phòng thí nghiệm; từ số liệu thử mô hình tàu thủy tại bể thử v.v…. Ví dụ ta muốn phục hồi một hàm số f(x) tại mọi giá trị của x X [ a, b] nào đó mà chỉ biết một số hữu hạn gồm (n +1) giá trị của hàm số đó tại các điểm rời rạc x0 , x1, …, xn X [a, b] . Các giá trị rời rạc này được cho dưới dạng bảng sau: x x0 x1 x2 … xi …. xn y y0 y1 y2 … yi … yn Khi đó ta đặt vấn đề là tìm một đa thức bậc n : Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn, an ≠ 0 với a0, a1, …., an X R sao cho Pn(x) trùng với f(x) tại các nút xi , nghĩa là Pn(xi) = f(xi) = yi. Đa thức Pn(x) tìm được đó được gọi là đa thức nội suy. Ta chọn đa thức nội suy hàm số f(x) vì đa thức là loại hàm số đơn giản nhất và dễ xác định nhất. Như vậy ta sẽ có định lý sau: Nếu tồn tại đa thức nội suy Pn(x) của hàm số f(x) thì đa thức đó là duy nhất. CM: Thật vậy nếu có hai đa thức Pn(x) và Qn(x) cùng là đa thức nội suy của hàm f(x). Lúc đó theo định nghĩa ta có: Pn(xi) = yi ; Qn (xi) = yi. Vậy hiệu số Pn(xi) – Qn(xi) cũng là môt đa thức có bậc không vượt quá n và bị triệt tiêu tại n + 1 giá trị khác nhau xi, (Vì Pn(xi) – Qn(xi) = yi – yi = 0, ). Do vậy đa thức hiệu Pn(x) – Qn(x) phải đồng nhất bằng không, nghĩa là Pn(xi) ≡ Qn(xi). Có thể tồn tại nhiều đa thức nôi suy nhưng do tính duy nhất nên chúng có thể đều được quy về nhau được. Dưới đây chúng ta sẽ xây dựng đa thức nội suy theo kiểu Lagrange, gọi là đa thức nội suy Lagrange và được ký hiệu là Ln(x). Đa thức nội suy Lagrange được viết dưới dạng: f(x) = Pn(x) + Rn(x) (2.1) hoặc dạng đầy đủ: (2.2) trong đó (2.3) Cụ thể như sau: , Hiển nhiên Li(x) là đa thức bậc n và (2.4) Li(x) được gọi là đa thức Lagrange cơ sở. Đa thức mang tên gọi đa thức Lagrange, còn số hạng thứ hai của vế phải công thức (2.2) gọi là hàm sai số. Đa thức Pn(x) được hiểu là đa thức bậc n và được khai triển dưới dạng: Pn(x) = a0 (x - x1)(x - x2)... (x - xn) + + a1(x - x0)(x - x2)... (x - xn) + + a2(x - x0)(x - x1) (x – x3) ... (x - xn) + ... + ai(x - x0)(x - x1)... (x - xi-1)(x - xi+1)... (x - xn) ... an(x - x0)(x - x1)... (x - xn-2)(x - xn-1) (2.5) Các hệ số a0, a1, a2, ... được xác định từ quan hệ: Pn(xi) = f(xi) = yi; i = 0, 1, 2, ... (2.6) Lần lượt thay x = x0, x = x1, ... vào công thức (2.5) ta có thể xác định được công thức tính các hệ số ai . Ví dụ, từ Pn(x0) = f(x0) = y0 = a0(x0 - x1)(x0 - x2)... (x0 - xn) sẽ nhận được: = tương tự ta có thể viết: Hệ số thứ i có dạng tổng quát: (2.7) Thay các biểu thức vừa xác định vào vị trí a0, a1, ..., an sẽ nhận được công thức nội suy hay còn gọi đa thức Lagrange: (2.8) hoặc dưới dạng tổng quát ta có: , với Những trường hợp riêng của hàm nội suy Lagrange: Với n = 1: x x0 x1 y y0 y1 Đa thức nội suy có dạng (2.9) Hàm P1(x) là đoạn thẳng qua hai điểm (x0, y0) và (x1, y1), có tên gọi công thức nội suy tuyến tính. Thí dụ: Cho bảng số: x 1 2 y 17 27,5 Hãy lập đa thức nội suy tương ứng. Lời giải: Ở đây n = 1 nên đa thức nội suy sẽ có dạng đa thức bậc nhất. Như vậy đa thức được viết như sau: P1 (x) = Rút gọn biểu thức ta có: P1(x)= 6,5+ 10,5x Với n = 2: x x0 x1 x2 y y0 y1 y2 Đa thức nội suy có dạng (2.10) Hàm thứ hai là đường parabol bậc hai qua ba điểm cho trước, gọi là nội suy bậc hai. Thí dụ: Cho bảng số: x 1 2 3 y 17 27,5 76 Hãy lập đa thức nội suy tương ứng. Lời giải: Ở đây n = 2 nên đa thức nội suy sẽ có dạng đa thức bậc 2. Như vậy đa thức được viết như sau: P2(x) = Rút gọn biểu thức ta có: P2(x)= 19x2 – 46,5x + 44,5 Với n =3 Thí dụ: Cho bảng số: x 1 2 3 4 y 17 27,5 76 210,5 Hãy lập đa thức nội suy tương ứng. Lời giải: Ở đây n = 3 nên đa thức nội suy sẽ có dạng đa thức bậc 3. Như vậy đa thức được viết như sau: (2.11) P3 (x) = Rút gọn biểu thức ta có: P3(x)= -3,5+ 41,5x - 29x2 + 8x3 2.1.2. Phương pháp bình phương nhỏ nhất 2.1.2.1. Đặt bài toán Giả sử có hai đại lượng (vật lý, hóa học, kỹ thuật …) x và y có mối liên hệ phụ thuộc nhau theo một số qui luật đã biết nào đó ví dụ như: y = a + bx y = a + bx + cx2 y = a+ b cosx + csinx y = aebx y = axb nhưng chưa biết các giá trị cụ thể của các tham số a, b,c. Muốn xác định chúng người ta cần thực hiện các thí nghiệm, các đo đạc v.v…. một số cặp giá trị tương ứng (xi, yi), với i =1,2,…, n theo bảng sau: x x1 x2 … xn y y1 y2 … yn rồi áp dụng phương pháp bình phương bé nhất để xác định các tham số a, b, c. 2.1.2.2. Xét trường hợp y = a + bx Giả sử y phụ thuộc x dạng bậc nhất y = a + bx và khi đó ta có yi - a - bxi = ei , i = 1,2, …, n là các sai số tại xi , do đó ta có (2.12) là tổng các bình phương của các sai số. S phụ thuộc vào tham số a và b còn xi và yi đã biết. Như vậy mục đích của phương pháp bình phương bé nhất là xác định các tham số a và b sao cho S bé nhất. Muốn vậy a và b phải là nghiệm của hệ phương trình sau: (2.13) tức là: (2.14) Từ bảng 2.1.2 ta sẽ tính được các tổng , thay vào hệ phương trình (2.14) rồi giải hệ đó ta sẽ nhận được a và b. Hệ (2.14) gọi là hệ chính tắc của phương pháp bình phương nhỏ nhất được viết cho dạng y = a + bx. 2.1.2.3. Thí dụ Cho biết sự phụ thuộc giữa hai đại lượng x và y có dạng y = a + bx và được cho ở bảng 2.1 Bảng 2.1 x - 1,1 2,1 3,2 4,4 5,2 y 0,78 7,3 9,2 11,9 13,3 Hãy xác định các tham số a và b bằng phương pháp bình phương bé nhất. Lời giải: Bước 1. Lập bảng số như sau (Bảng 2.1.1): Bảng 2.1.1 xi yi xi yi n = 5 - 1,1 0,78 1,21 - 0,858 2,1 7,3 4,41 15,33 3,2 9,2 10,24 29,44 4,4 11,9 19,36 52,36 5,2 13,3 27,24 69,16 S = 13,8 = 42,48 = 62,26 = 165,432 Bước 2. Lập hệ phương trình sau: 5a + 13,8 b = 42,48 13,8a + 62,26 b = 165,432 Giải hệ phương trình này bằng một trong những pbhuwowng pháp đã biết chúng ta sẽ xác định được tham số : a = 2,9939036 y3 và b = 1,9935131y 2. Vậy ta viết được phương trình cuối cùng như sau: y = 3 + 2 x (2.15) Bây giờ chúng ta thử tính các giá trị mới của y tại các xi theo phương trình (2.15) và so sánh chúng với các giá trị yi đã cho bởi bảng 2.1. (Xem bảng 2.1.2) Bảng 2.1.2 x - 1,1 2,1 3,2 4,4 5,2 y (cũ) 0,78 7,3 9,2 11,9 13,3 y (mới) 0,8 7,2 9,4 11,8 13,4 Như vậy quan hệ (2.13) xấp xỉ khá tốt với các số liệu đưa ra ở bảng 2.1.3 2.1.2.4. Các dạng quan hệ khác Các dạng quan hệ (2), (3) được giới thiệu ở mục 2.1.2.1. là các mối quan hệ tuyến tính đối với các tham số a, b và c nên cũng có thể giải quyết một cách tương tự. Chẳng hạn, nếu : y = a + bx + cx2 thí các tham số a, b và c là nghiệm của hệ phương trình chính tắc sau: (2.16) Trường hợp các mối quan hệ (4) và (5) ta phải biến đổi đôi chút vì đó là những mối quan hệ phi tuyến đối với các tham số a và b. Giả sử y = a ebx , với a > 0 Lấy lô-ga-rít thập phân hai vế ta được : lg y = lg a + bx lge. Đặt lg y = Y, lg a = A, blge = B , x = X Y Y = A + BX Đây chính là mối quan hệ y = a + bx mà ta đã xét ở trên. Từ bảng số liệu về mối quan hệ giữa y và x ta suy ra bảng số liệu về X và Y với chú ý: X = x ; Y = lg y Sau đó áp dụng cách làm ở trên và sẽ thu được A và B rồi từ đó suy ra a và b 2.1.2.5. Sơ đồ thuật toán của phương pháp bình phương nhỏ nhất a) Cho mối quan hệ y = a + bx 1. Tính các tổng 2. Giải hệ chính tắc : tìm a và b 3. Kết luận: Viết ra phương trình cuối cùng b) Cho mối quan hệ y = a ebx 1. Lấy lô-ga-rít hai vế của y = aebx 2. Chuyển bảng số giữa x và y thành bảng số X và Y 3. Tính các tổng 4. Giải hệ chính tắc để tìm A và B 5. Tính : a = aA, b = B/lge 6. Kết luận. 2.2. Các phương pháp tính gần đúng tích phân xác định 2.2.1. Đặt bài toán Xét tích phân xác định : Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có nguyên hàm là F(x) thì công thức Niu-tơn - Lép-nít cho: = F(b) – F(a) (2.17) Nhưng nếu không tìm được nguyên hàm của f(x) ở dạng sơ cấp hoặc nguyên hàm đó quá phức tạp thì tích phân I phải tính gần đúng. Sau đây sẽ trình bày hai công thức tính gần đúng tích phân I dựa trên tư tưởng thay hàm f(x) bằng một đa thức nội suy. 2.2.2. Công thức hình thang Ta chia [a, b] thành n đoạn con bằng nhau bởi các điểm chia xi : a = x0 < x1 < ….< xn-1 = b xi = a + i h, , với i = 0, 1, …, n Đặt yi = f(xi) Ta có = + +…+ (2.18) Để tính mỗi tích phân ở vế phải ta thay hàm f(x) bằng một đa thức nội suy bậc nhất P1(x). Với tích phân thứ nhất ta có: Đổi biến x = x0 + ht thì dx = hdt, ứng với x0 là t0 = 0 , ứng với x1 là t = 1, nên ta có . Vậy ta có : Về mặt hình học điều đó có nghĩa là: Thay diện tích hình thang cong x0M0M1x1 bởi diện tích hình thang thường x0M0M1x1 (Hình 2.1) x0 x1 M0 M1 Hình 2.1 Đối với tích phân thứ i + 1 ta có: Vậy công thức (2.18) được viết lại như sau: Nghĩa là (2.19) với và Công thức này gọi là công thức hình thang. 2.2.3. Đánh giá sai số Người ta đã chứng minh được rằng: (2.20) 2.2.4. Thí dụ Hãy tính gần đúng : Lời giải: Ta đã biết giá trị đúng của tích phân này là p/4. Do đó nếu biết số p thì ta có: I = 0,78539816 … Bây giờ ta tính gần đúng I bằng công thức hình thang rồi so sánh kết quả. Công việc được tiến hành như sau: Chia đoạn [0, 1] thành 10 khoảng (n =10) con bằng nhau với h = 0,1. Lập bảng trị số như sau ( bảng 2.2) Bảng 2.2 x f(x) = 1/(1 + x2) 0 1,000000 = y0 0,1 0,9900990 = y1 0,2 0,9615385 = y2 0,3 0,9174312 = y3 0,4 0,8620690 = y4 0,5 0,800000 = y5 0,6 0,7352941 = y6 0,7 0,6711409 = y7 0,8 0,6097561 = y8 0,9 0,5524862 = y9 1,0 0,500000 = y10 Áp dụng công thức hình thang (2.15) ta nhận được I y0,7849815 với sai số tương đối 0,054 %. 2.2.5. Sơ đồ tóm tắt công thức hình thang Phương án 1: Cho trước số khoảng chia n Xét tích phân ; Ấn định số khoảng chia n; Chia [a, b] thành n phần bằng nhau và tính ; xi = a + i h , i = 0, 1,…,n.; yi = f (xi) , i = 0, 1, …, n. Tính ; Kết quả: I y IT Phương án 2: Cho trước sai số Xét tích phân ; Ấn định sai số cho phép e; Dùng công thức (2.16) để xác định khoảng chia n sao cho sai số bé hơn sai số cho phép; 4) Tính ; xi = a + i h , i = 0, 1,…,n.; yi = f (xi) , i = 0, 1, …, n. 5) Tính 6) Kết quả : I yIT Với sai số 2.2.6. Công thức Simson Ta chia [a, b] thành 2n đoạn con bằng nhau bởi các điểm chia xi: a = x0 < x1 < …< x2n = b xi = a + ih, , i = 0, 1, …, 2n Giả sử yi = f(xi) . Ta có: (2.21) Để tính mỗi tích phân ở vế phải ta thay f(x) bằng đa thức nội suy bậc hai P2(x). Với tích phân thứ nhất ta có : Đổi biến x = x0 + h t thì dx = h dt, ứng với t = 0, ứng với x2 là t = 2. Do đó: = . Vậy ta có: . Đối với các tích phân sau ta cũng tiến hành tương tự và nhận được: Thay vào công thức (2.17) ta được . Vậy ta có: với (2.22) trong đó Công thức (2.22) được gọi là công thức Simson. 2.2.7. Đánh giá sai số Người ta đã chứng minh được 2.2.8. Thí dụ Xét tích phân . Với bảng trị số (Bảng 2.2) đã cho ở trên ta có thể áp dụng công thức Simson vì 10 = 2 *5. Ta được I y 0,78539815 với sai số tương đối 0,000002% Đối chiếu với kết quả được xác định bởi công thức hình thang ta nhận thấy kết quả tính theo công thức Simson chính xác hơn nhiều. 2.2.9. Sơ đồ tóm tắt công thức Simson Phương án 1: cho trước số khoảng chia 2n Xét tích phân ; Xác định số khoảng chia 2n; Chia [a, b] thành 2n phần bằng nhau và tính ; xi = a + ih, với i= 0,1,…,2n; yi = f(xi ), i= 0,1,…, 2n Tính Kết quả I yIS Phương án 2: Cho trước sai số Xét tích phân ; Ấn định sai số phép tính e; Dùng công thức (2.19) để xác định số khoảng chia 2n sao cho sai số < sai số cho phép; Chia [a, b] thành 2n phần bằng nhau và tính ; xi = a + ih, với i= 0,1,…,2n; yi = f(xi ), i= 0,1,…, 2n; Tính ; Kết quả : I y IS với sai số . BÀI TẬP Cho hàm số y = lg x với các giá trị tương ứng của x và y cho trong bảng sau: x 50 55 60 65 y 1,6990 1,7404 1,7782 1,8129 Hãy tính đạo hàm của y tại x = 50 và so sánh với kết quả tính trực tiếp . Cho tích phân: Hãy chia đoạn con [0, 1] thành 10 đoạn con bằng nhau ( n=10) rồi tính gần đúng I và đánh giá sai số bằng : Công thức hình thang; b) Công thức Simson. Cho tích phân Hỏi phải chia đoạn [0,1] thành mấy (n = ?) đoạn con bằng nhau để khi tính I bằng công thức hình thang bảo đảm được sai số tuyệt đối < 3*10-4; Với n ấy khi tính bằng công thức Simson thì sai số là bao nhiêu? Hãy tính I với n đã chọn ở trên bằng công thức hình thang và công thức Simson đến 6 chữ số lẻ thập phân. 2.3. ỨNG DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ĐỂ TÍNH TOÁN CÁC YẾU TỐ TÍNH NỔI THỦY LỰC VÀ CÂN BẰNG-ỔN ĐỊNH CHO TÀU THỦY 2.3.1. Phương pháp hình thang Cho đường cong y = f(x) được thể hiện trên hình 2.2. Tọa độ các tung độ có khoảng cách DL bằng nhau. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong trong khoảng từ a đến b với trục hoành ox sẽ được xác định như sau: (2.23) trong đó: Ki = 1, 2, 2, ... , 2, 1 - hệ số tính toán của phương pháp hình thang. yi – giá trị tung độ tại vị trí thứ điểm thứ i trên trục ox. f(x) x y DL DL DL y0 y1 y2 y3 a b Hình 2.2 – Phương pháp hình thang 2.3.2. Phương pháp Simpson 2.3.2.1. Qui tắc thứ nhất của Simpson (Simpson I) Qui tắc này được áp dụng cho nhóm 3 tọa độ có khoảng cách bằng nhau .Cho đường cong y = f(x) biểu thị trên hình 2.3. Giả sử đây là đường cong bậc 2 và có phương trình biểu diễn như sau : y = a0 + a1x + a2x2. (2.24) Khi thay x = 0; x = DL và x = 2DL vào phương trình (2.24) ta thu được y0 = a0 ; y1= a0 + a1 DL + a2 DL2 y2 = a0 + 2a1DL + 4a2DL2 Suy ra a0 = y0; ; . Diện tích hình phẳng bao hàm dưới đường cong trong khoảng từ a đến b được xác định như sau: . (2.25) y = a0 + a1 x +a2 x2 x y DL DL y0 y1 y2 a b Hình 2.3 – Phương pháp Simpson I Thay các giá trị a0, a1, a2 vào (2.25) ta có : F = (1y0 + 4y1+ 1y2) DL/3. (2.26) Trong trường hợp chung có n khoảng chia đều nhau (với n là số chẵn) qui tắc thứ nhất của phương pháp Simpson cho nhóm 3 tọa độ kế tiếp nhau các hệ số tính toán được chọn như sau: 1 4 1 1 4 1 ... 1 4 1 1 4 1 + Ki: 1 4 2 4 2 ... 2 4 2 4 1 Hình 2.4. Sơ đồ xác định hệ số qui tắc Simpson I. Như vậy công thức tổng quát để tính diện tích được chắn bởi đường cong (2.24) trong khoảng a đến b áp dụng chi nhóm 3 tọa độ đều nhau được viết như sau : (2.27) trong đó: ; Ki = 1, 4, 2, 4, 2, ... ,4, 2, 4, 1 (theo hình 2.4) 2.3.2.2. Qui tắc thứ hai của Simpson (Simpson II) Qui tắc này được áp dụng cho nhóm 4 tọa độ có khoảng cách bằng nhau . Cho đường cong y = f(x) biểu thị trên hình 2.4. Giả sử đây là đường cong bậc 3 và có phương trình biểu diễn như sau : y = a0 + a1x + a2x2 +a3x3 (2.28) Khi thay x = 0; x = DL; x = 2DL và x = 3 DL vào phương trình (2.28) ta thu được y0 = a0; y1= a0 + a1 DL + a2 DL2 + a3DL3; y2 = a0 + 2a1DL + 4a2DL2 + 8a3DL3; y3 = a0 + 3a1DL + 9a2DL2 + 27a3DL3. Suy ra a0 = y0; ;; . Diện tích hình phẳng bao hàm dưới đường cong trong khoảng từ a đến b được xác định như sau: . (2.29) x a y = a0 + a1 x +a2 x2 + a3x3 y DL DL y0 y1 y2 b DL y3 . Hình 2.5 Phương pháp Simpson II Thay các giá trị a0, a1, a2 và a3 vào (2.29) ta có : F = (1y0 + 3y1+ 3y2 + 1y3) 3DL/8. (2.30) Trong trường hợp chung có n khoảng chia đều nhau (với n là bội số của 3) qui tắc thứ hai của phương pháp Simpson cho nhóm 4 tọa độ kế tiếp nhau, các hệ số tính toán được chọn như sau: Hình 2.6 Sơ đồ xác định hệ số Simpson II Như vậy công thức tổng quát để tính diện tích được chắn bởi đường cong (2.28) trong khoảng a đến b áp dụng chi nhóm 4 tọa độ đều nhau được viết như sau : (2.31) trong đó: ; Ki = 1, 3, 3,2, 3, 3, 2, ... ,2, 3, 3, 2, 3, 3, 1 (theo hình 2.6) Trong trường hợp số khoảng chia đều nhau với n là một số lẻ bất kỳ không phải là bội số của 3, ta có thể kết hợp áp dụng đồng thời cả hai qui tắc của phương pháp Simson. Ví dụ khi n = 5 ta có thể xác định các hệ số tính toán như sau (Hình 2.7): 1 4 1 1 3 3 1 + 1 4 2 3 3 1 Hình 2.7 Sơ đồ xác định hệ số khi n = 5 Trong cùng một khoảng tính toán, nếu có khoảng chia không đều nhau giữa các nhóm tọa độ thì hệ số Simson sẽ được điều chỉnh tỷ lệ thuận với tỷ số giữa các khoảng chia đó. 2.3.3. Phương pháp Tre-bư-sev Giả sử ta có đường cong được biểu diễn trên hình 2.8. Diện tích hình phẳng được chắn bởi đường cong y = f(x) trong khoảng từ - L/2 đến + L/2 được xác định như sau: . (2.32) Trong công thức (2.32) khoảng cách giữa các tung độ không bằng nhau, vị trí các tung độ thay đổi tùy theo số đường thẳng góc dùng trong tính toán n và đối xứng với nhau qua trục oy. Vị trí các tung độ được cho trong bảng 2.3. y x4 x3 x2 x1 L x6 x7 x8 x9 y1 y2 y3 y4 y6 y7 y8 y9 x Hình 2.8 Chia tọa độ theo phương pháp Tre-bư-sev Vị trí các đường thẳng góc xác định theo phương pháp Tre-bư-sev Bảng 2.3 Số đường thẳng góc Vị trí đường thẳng góc (khoảng cách tính tới diểm giữa của đường đáy tính theo nửa chiều dài diện tích) Bậc của phương trình 2 0,5773 2 3 0 0,7071 3 4 0,1870 0,7947 4 5 0 0,3745 0,8325 5 6 0,2666 0,4225 0,8662 6 7 0 0,3239 0,5297 0,8839 7 8 0,1026 0,4062 0,5938 0,8974 8 9 0 0,1679 0,5288 0,6010 0,9116 9 10 0,0838 0,3227 0,5000 0,6873 0,9162 10 2.4. TÍNH NỔI - THUỶ LỰC TÀU THUỶ 2.4.1. Tính các đại lượng hình học vỏ tàu Từ đường hình lý thuyết tiến hành tính các giá trị đặc trưng hình học vỏ tàu. Thứ tự tính toán chia làm hai giai đoạn: Các đại lượng đặc trưng của mặt đường nước; Các đại lượng đặc trưng của mặt đường sườn tàu. Sau hai phần tính vừa nêu tiến hành tính toán các yêu tố tính nổi và thủy lực (gọi tắt là các yếu tố thủy tĩnh) cho toàn tàu. Hình 2.9. Hệ tọa độ chuẩn 2.4.1.1. Đại lượng hình học của mặt đường nước Biểu diễn đường nước bất kỳ của tàu (hình 2.9) dạng đường cong y = f(x), các phép tính đại lượng hình học của mặt đường nước được đưa về dạng sau. Diện tích mặt đường nước A w (2.33) trong đó: Ki = 1, 2, 2, ..., 2, 1; DL = L/n ( n =10 hoặc 20). Hình 2.10. Mặt đường nước Momen tĩnh diện tích so với trục 0y (2.34) trong đó: i – hệ số cánh tay đòn momen tĩnh, sau 0y mang dấu trừ, trước 0y mang dấu cộng. Hoành độ trọng tâm mặt đường nước (2.35) Momen quán tính mặtđường nước so với trục 0y (2.36) Momen quán tính mặt đường nước so với trục 0'y' (song song với trục Oy và đi qua trọng tâm mặt đường nước) và cách trục Oy một đoạn Xf tính theo công thức trên sẽ là: I'L = IL – Xf 2.A w = 2 (2.37) Momen quán tính diện tích mặt đường nước đối với trục dọc tàu 0x được gọi là momen quán tính ngang tính theo công thức: (2.38) Trong các biểu thức trên y mang giá trị 1/2 chiều rộng tàu tại vị trí đang xét. 2.4.1.2. Đại lượng hình học của mặt sườn (Mặt cắt ngang thân tàu) Các đại lượng hình học đặc trưng cho mặt sườn thân tàu (hình 2.11) bao gồm: Hình 2.11. Mặt cắt ngang Diện tích mặt sườn SZ tính đến mớn nước Z. . (2.39) Momen tĩnh diện tích mặt sườn moy so với trục 0y: . (2.40) Trọng tâm diện tích mặt sườn thuộc phần chìm đến mớn nước Z tính theo công thức: . (2.41) 2.4.2. Bonjean Với mỗi sườn tàu, từ kết quả tính diện tích phần chìm và momen tĩnh phần chìm so với đáy, có thể vẽ hai họ đường cong miêu tả biến thiên của hai giá trị trên theo chiều chìm Z. Tập hợp toàn bộ các đường cong kiểu này, lập cho tất cả sườn tính toán sẽ được đồ thị có tên gọi tỉ lệ Bonjean (hình 2. 22). Họ đường cong trên đồ thị mang tên tỉ lệ Bonjean là cơ sở tính thể tích phần chìm giả định, tâm nổi theo chiều dọc, chiều cao ứng với các đường nước chúi bất kỳ để tính toán các đại lượng cần thiết có liên quan trước khi hạ thuỷ tàu, đồng thời là cơ sở tính chống chìm, phân khoang tàu. 2.4.3. Thể tích phần chìm và các đại lượng liên quan đển thể tích Tính thể tich phần chìm được tiến hành theo một trong hai cách: Tính từ dưới lên trên với cơ sở dữ liệu là diện tích của tất cả các mặt đường nước; Hoặc tính theo chiều dọc tàu với cơ sở dữ liệu là diện tích các mặt sườn. Trên hình 2.12a trình bày sơ đồ tính theo cách thứ nhất, còn hình 2.12b tính theo cách thứ hai. Hình 2.12 a Hình 2.12 b Thể tích phần chìm tính đến mớn nước Z: , (2.42) trong đó: VZ - thể tích phần chìm ứng với chiều chìm z; Awj - diện tích đường nước thứ j. Nếu sử dụng tỉ lệ Bonjean khi tính thể tích phần chìm có công thức tính như sau: (2.43) Momen thể tích phần chìm so với mặt phẳng 0xy (chứa đáy tàu): (2.44) Hình 2.10 Hình 2.13 Họ đường cong các yếu tố tính nổi – thủy lực Toạ độ tâm nổi phần chìm tính theo công thức: Cao độ tâm nổi: (2.45) Hoành độ tâm nổi: (2.46) Các đường cong thủy tĩnh Kết quả tính các đặc trưng hình học vỏ tàu được tập họp một bản vẽ chung mang tên gọi các đưòng cong thủy tĩnh của tàu (Hình 2.13). Thuật ngữ chuyên ngành để chỉ đồ thị dạng này không giống nhau ở nhiều nước, trong đó có nước ta. Trong tài liệu chính thức của IMO, họ đường cong này mang tên gọi bằng tiếng Anh hydrostatic curves, có nghĩa các đường cong thuỷ tĩnh của tàu. Trong tài liệu này sẽ sử dụng tất cả cách gọi chưa thống nhất trên đây. 2.4.4. Biện pháp nâng cao độ chính xác của các phương pháp tích phân gần đúng 2.4.4.1. Tính chính xác của các phương pháp tích phân gần đúng Độ chính xác của các phương pháp tích phân gần đúng phụ thuộc chủ yếu vào số lượng các đường thẳng góc được dựng để tính toán diện tích. Số lượng càng nhiều mức độ chính xác càng cao. Nguyên tắc cơ bản để nâng cao độ chính xác của phương pháp tính là phải xác định số đường thẳng góc (số lượng các tung độ tính toán) như thế nào đó để các cung của đường cong dần biến thành các dây cung. Trong thực tế tính toán các yếu tố của đường nước của tàu thường ta sử dụng 21 tọa độ có khoảng cách đều nhau. Ở đây độ chính xác sẽ còn phụ thuộc vào việc hiệu chỉnh giá trị tung độ ở hai đầu mút đường cong. Khi dùng hai mươi mốt đường thẳng góc để tính toán, độ chính xác đạt được xấp xỉ 0,5%. Qui tắc thứ nhất của Símson khi sử dụng 21 đường thẳng góc sai số gặp phải xấp xỉ 0,1%. Thông thường có thể sử dụng 11 đường thẳng góc và ở hai đầu đường cong ta thêm các đường thẳng góc phụ nằm giữa các khoảng chia cũng đảm bảo được độ chính xác cần thiết. Phương pháp Tre-bư-sev cũng được sử dụng khá phổ biến và rất thích hợp với tích phân hướng dọc. Khi dùng 9 tọa độ để tính toán diện tích theo phương pháp này sai số gặp phải xấp xỉ 0,3%, còn momen quán tính và hoành độ tâm đường nước gặp sai số xấp xỉ 2,7%. Nhìn chung các phương pháp tích phân gần đúng đều có những ưu điểm và nhược điểm riêng vì vậy trong tính toán ta cần căn cứ vào các điều kiện