Bài giảng Xác suất (Bản hay)

NhNh ắắcc ll ạạii TT OÁOÁ NN XXáácc susu ấấtt 1 Dàn bài
Xác su ất là gì?
Bi ến ng ẫu nhiên
Các hàm th ể hi ện phân ph ối xác su ất
Kỳ vọng, ph ươ ng sai
Bi ến ng ẫu nhiên k ết h ợp
Độc l ập xác su ất, xác su ất có đ iều ki ện
Bi ến vector ng ẫu nhiên 2 Xác su ất là gì?
Một ‘th
c nghi m’ là một ti ến trình v ới các kt qu  ng u nhiên
Một s
ki n là tập c ủa nh ững k ết qu ả ng ẫu nhiên đ ó
Gọi S là tập t ất c ả các k ết qu ả có được, được gọi là s
ki n ch c ch n 3 Xác su ất là gì (tt)
Ví dụ: gieo m ột con xúc s ắc thì ◦ Tập các k ết qu ả ng ẫu nhiên có được là S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ◦ Tập s ự ki ện ‘ch ẵn’ là A = {2, 4, 6}
Ví dụ: chi ều cao c ủa con ng ười??? 4 Xác su ất là gì (tt)
Xác su ất c ủa m ột s ự ki ện được cho b ởi m ột s ố th ỏa mãn 3 tiên đ ◦ Không âm: P{A} ≥ 0 v ới m ọi A ◦ Bằng 1 cho s ự ki ện ch ắc ch ắn P{S} = 1 ◦ Tính c ộng c ủa các s ự ki ện không giao nhau A ∩ B = Ø
P{A ∪B} = P{A} + P{B}
Ví dụ: xúc s ắc v ới 2 s ự ki ện ch ẵn, l ẻ. 5 Dàn bài
Xác su ất là gì?
Bi ến ng ẫu nhiên
Các hàm th ể hi ện phân ph ối xác su ất
Kỳ vọng, ph ươ ng sai
Bi ến ng ẫu nhiên k ết h ợp
Độc l ập xác su ất, xác su ất có đ iều ki ện
Bi ến vector ng ẫu nhiên 6 Bi ến ng ẫu nhiên (random variable)
Một bi ến ng ẫu nhiên s ố là một hàm s ố nh ận một giá tr ị số tươ ng ứng v ới m ỗi k ết qu ả của một ‘th ực nghi ệm’ ng ẫu nhiên
Giá tr ị của mà bi ến ng ẫu nhiên nh ận được là ‘th ể hi ện’ của bi ến ng ẫu nhiên đó.
Có 2 lo ại bi ến ng ẫu nhiên được quan tâm ◦ Rời r ạc ◦ Liên t ục 7 Bi ến ng ẫu nhiên (tt)
Ví dụ: g ọi bi ến ng ẫu nhiên X là số đ iểm có được khi gieo m ột con xúc s ắc ◦ X có th ể nh ận các giá tr ị 1, 2, 3, 4, 5 ho ặc 6 ◦ Trong 1 l ần gieo xúc s ắc ta nh ận được m ặt 4 nút, khi đó X có ‘th ể hi ện’ là 4 ◦ P{1 < X < 5} = ?
Ví dụ: chi ều cao c ủa con ng ười??? 8 Dàn bài
Xác su ất là gì?
Bi ến ng ẫu nhiên
Các hàm th ể hi ện phân ph ối xác su ất
Kỳ vọng, ph ươ ng sai
Bi ến ng ẫu nhiên k ết h ợp
Độc l ập xác su ất, xác su ất có đ iều ki ện
Bi ến vector ng ẫu nhiên 9 Hàm m ật độ xác su ất (probability density function - pdf)
Hàm m ật độ xác su ất (pdf) c ủa m ột bi ến ng ẫu nhiên liên t c được định ngh ĩa b ởi P{ξ− d ξ < x < ξ } px ()limξ = ≥ 0 dξ →0 dξ
Nh ư vậy ξ P{η< x ≤ ξ }=∫ pxdxx () η 10 Hàm phân b ố tích l ũy (cumulative probability distribution function – cdf)
Hàm phân ph ối xác su ất c ủa m ột bi ến ng ẫu nhiên liên t c được định ngh ĩa b ởi ξ Px ()ξ= P {- ∞< x ≤ ξ }=∫ pxdxx () −∞
Vì (x< ∞) là sự ki ện ch ắc ch ắn nên ∞ P{-∞<<∞ x }=∫ pxdxx () = 1 −∞ 11 Hàm phân b ố tích l ũy (tt) 12 Phân ph ối đồng nh ất (uniform)
Một bi ến ng ẫu nhiên x có phân ph ối đồng nh ất trong [a,b] được ký hi ệu là x ~ U(a,b) 13 Phân ph ối đồng nh ất (tt)  1  ifx∈ [,] a b px()= Uxab (;,) = b− a  0 elsewhere 14 Phân ph ối đồng nh ất (tt)  0 x< a   x− a Px( ) = axb ≤ ≤ b− a  1 x> b 15 Phân ph ối Gauss
Bi ến ng ẫu nhiên x có phân ph ối Gauss được ký hi ệu là x ~ N( µ,σ2) 16 Phân ph ối Gauss (tt) (x−µ ) 2 − 1 2 pxNx()= (;,µ σ 2 ) = e 2σ 2πσ 17 Phân ph ối Gauss (tt) 18 Hàm xác su ất kh ối (probability mass function – pmf)
Hàm xác su ất kh ối c ủa m ột bi ến ng ẫu nhiên ri r c x nh ận giá tr ị trong t ập { ξi, i=1..n} được định ngh ĩ bởi µξxi()=P { x = ξµ ii } =
Tươ ng t ự như hàm m ật độ xác su ất ∑ µi = 1 i=1.. n 19 Hàm phân b ố tích l ũy kh ối (cumulative probability mass function – cpmf)
Hàm phân b ố tích l ũy kh ối được định ngh ĩ bởi n P{ x ≤ξ } =∑ µξξi 1( − i ) i=1 20 Phân ph ối đồng nh ất 21 Phân ph ối đồng nh ất (tt) 22 Dàn bài
Xác su ất là gì?
Bi ến ng ẫu nhiên
Các hàm th ể hi ện phân ph ối xác su ất
Kỳ vọng, ph ươ ng sai
Bi ến ng ẫu nhiên k ết h ợp
Độc l ập xác su ất, xác su ất có đ iều ki ện
Bi ến vector ng ẫu nhiên 23 Kỳ vọng
Kỳ vọng c ủa bi ến ng ẫu nhiên x được cho b ởi ∞ Ex[] = ∫ xpxdx( )
x −∞
Kỳ vọng c ủa m ột hàm đối v ới bi ến ng ẫu nhiên x được định ngh ĩa b ởi ∞ Efx[]()= ∫ fxpxdx ()() −∞ 24 Ph ươ ng sai
Ph ươ ng sai được định ngh ĩa b ởi ∞
2 2 222
vxar() Exx [(−=− )]∫ ( xxpxdxEx )() =− []() x σ x −∞
Bài t ập: tìm k ỳ vọng và phươ ng sai c ủa ◦ X ~ U(a,b) ◦ X ~ N(0,1) 25 Dàn bài
Xác su ất là gì?
Bi ến ng ẫu nhiên
Các hàm th ể hi ện phân ph ối xác su ất
Kỳ vọng, ph ươ ng sai
Bi ến ng ẫu nhiên k ết h ợp
Độc l ập xác su ất, xác su ất có đ iều ki ện
Bi ến vector ng ẫu nhiên 26 Hàm m ật độ kết h ợp (joint pdf)
Hàm m ật độ kết h ợp c ủa m ột s ự ki ện v ới m ột bi ến ng ẫu nhiên liên t ục được cho b ởi PA{ ,ξ− d ξ < x ≤ ξ } PA, x [ A ,ξ ]= lim dξ →0 dξ 27 Hàm m ật độ kết h ợp (tt)
Của 2 bi ến ng ẫu nhiên liên t ục Pdx{{ξξ− <≤∩ ξ } { ηη − dy <≤ η }} px, y (ξ , η )
lim dξ→0, d η → 0 dξ d η
Tính ch ất biên ∞ ∫ px, y(,)ξηη d= p x () ξ −∞ 28 Hàm phân b ố tích l ũy k ết h ợp (joint cdf)
Của 2 bi ến ng ẫu nhiên được cho b ởi ξ η Px, y (,){ξη= Px ≤ ξ , y ≤= η }∫ ∫ pxydxdyx, y (,) x=−∞ y =−∞ 29 Hi ệp ph ươ ng sai c ủa 2 bi ến ng ẫu nhiên
Hi ệp ph ươ ng sai c ủa 2 bi ến ng ẫu nhiên được cho b ởi cov(,xx12 )
Ex [( 1122− xx )( − x )] ∞ ∞ =(x − x )( x − xp ) (,) xxdxdx
σ 2 ∫ ∫ 1 12 2xx1 , 2 1212 xx1 2 −∞ −∞
Hệ số tươ ng quan c ủa 2 bi ến ng ẫu nhiên này được cho b ởi σ 2 ρ
x1 x 2 12 σ σ x1 x 2 30 Hệ số tươ ng quan (tt) 31 Dàn bài
Xác su ất là gì?
Bi ến ng ẫu nhiên
Các hàm th ể hi ện phân ph ối xác su ất
Kỳ vọng, ph ươ ng sai
Bi ến ng ẫu nhiên k ết h ợp
Độc l ập xác su ất, xác su ất có đ iều ki ện
Bi ến vector ng ẫu nhiên 32 Độc l ập xác su ất
2 s ự ki ện A và B được g ọi là độc l ập xác su ất nếu và ch ỉ nếu P{A ∩B} = P{A}P{B}
Mở rộng cho m ột t ập s ự ki ện đôi m ột độc l ập nhau n  n { } PI Ai  = ∏ PA i i=1  i=1
Đối v ới n bi ến ng ẫu nhiên độc l ập xác su ất n (,..., ) () px1 xn= ∏ px i i=1 33 Xác su ất có đ iều ki ện
Xác su ất để xảy ra s ự ki ện A trong tr ường h ợp sự ki ện B đã xảy ra được g ọi là xác su ất có điều ki ện P{A|B} = P{AB} / P{B}
Nh ư vậy, n ếu A và B độc l ập xác su ất thì P{A|B} = P{A}
Tươ ng t ự với 2 bi ến ng ẫu nhiên px, y ( x , y ) px ( x | y ) = px ( y ) 34 Xác su ất có đ iều ki ện (tt)
Một s ố tính ch ất ∞ ∞ ◦ px()=∫ pxydy (,) = ∫ pxypydy (|)() −∞ −∞ ◦ Gọi Γ = {B i, i=1..} là một phân ho ạch c ủa không gian kết qu ả, khi đó px()=∑ pxB (,)i = ∑ pxBPB (|)() i i Bi∈Γ B i ∈Γ 35 Xác su ất có đ iều ki ện (tt)
Định lý Bayes py( | x ) px () p( x y ) = p( y ) pxBPB(|)()ii pxBPB (|)() ii P( Bi x ) = = px()∑ pxB (|)i Bi ∈Γ
Bài t ập??? 36 Dàn bài
Xác su ất là gì?
Bi ến ng ẫu nhiên
Các hàm th ể hi ện phân ph ối xác su ất
Kỳ vọng, ph ươ ng sai
Bi ến ng ẫu nhiên k ết h ợp
Độc l ập xác su ất, xác su ất có đ iều ki ện
Bi ến vector ng ẫu nhiên 37 Bi ến vector ng ẫu nhiên
Một bi ến vector ng ẫu nhiên x = [x 1,,x n]’ có các thành ph ần x i là các bi ến ng ẫu nhiên s ố
Hàm m ật độ xác su ất c ủa x là hàm m ật độ xác su ất c ủa h ợp n thành ph ần bi ến ng ẫu nhiên s ố n  PI{}ξi− d ξ < x i < ξ i  i=1  px ()ξ = p x,..., x (,...,ξ 1 ζ n ) = lim 1 n dξ →0, i = 1.. n i dξ1... d ξ n 38 Bi ến vector ng ẫu nhiên (tt)
Kỳ vọng c ủa bi ến ng ẫu nhiên vector x là một vector nx1 ∞ ∞ x xx
x E[]= ∫ ... ∫ p () dx1 ... dx n x1 =−∞ x n =−∞
Hi ệp ph ươ ng sai là một matr ận nxn x
xxxx xxxx xx
cov()E [(− )( − )'] =∫ ( − )( − )'() pdP xx
Ma tr ận P xx có thành ph ần (i,j) chính là cov(x i,x j) 39