Bài giảng Xác suất thống kê

AAP A A A P A P PA A A             Ví dụ 12 : Hộp thứ nhất có 2 bi trắng và 10 bi đen. Hộp thứ 2 có 8 bi trắng và 4 bi đen. Từ mỗi hộp lấy ra 1 viên bi. Tìm xác suất để : a) Cả 2 viên bi đều là bi trắng b) 1 bi trắng và 1 bi đen 2.3.4. Công thức đầy đủ và Bayès a) Công thức xác suất đầy đủ : Giả sử 1 2, ,..., nA A A là nhóm các biến cố đầy đủ xung khắc từng đôi và B là biến cố bất kỳ có thể xảy ra trong phép thử. Khi đó :     1 n i ii BP B P A P A        (*) Lưu ý : Công thức (*) vẫn đúng nếu ta thay điều kiện 1 2 ... nA A A     bởi điều kiện 1 2 ... nB A A A    Ví dụ 13 : Xét một lô sản phẩm trong đó số sản phẩm do nhà máy I sản xuất chiếm 20%, nhà máy II sản xuất chiếm 30%, nhà máy III sản xuất chiếm 50%. Xác suất phế phẩm của nhà máy I là 0,001; nhà máy II là 0,005; nhà máy III là 0,006. Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên được đúng 1 phế phẩm. b) Công thức Bayes : 7 Giả sử 1 2, ,..., nA A A là nhóm các biến cố đầy đủ xung khắc từng đôi và B là biến cố bất kỳ có thể xảy ra trong phép thử. Khi đó :     1 .i ii n i ii BP A P AAP B BP A P A                   1,...,i n (**) Ví dụ 14 : Giả sử có 4 hộp như nhau cùng đựng một chi tiết máy, trong đó có 1 hộp 3 chi tiết xấu, 5 chi tiết tốt do máy 1 sản xuất; còn 3 hộp còn lại mỗi hộp đựng 4 chi tiết xấu, 6 chi tiết tốt do máy 2 sản xuất. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ hộp đó lấy ra 1 chi tiết máy. a) Tìm xác suất để chi tiết máy lấy ra là tốt b) Với chi tiết tốt ở câu a, tìm xác suất để nó được lấy ra từ hộp của máy I Khái niệm cây xác suất : Trong thực tế có nhiều phép thử chứa 1 dãy nhiều biến cố. Cây xác suất cung cấp cho ta 1 công cụ thuận lợi cho việc xác định cấu trúc các quan hệ bên trong các phép thử khi tính xác suất. Cấu trúc cây như sau : i) Vẽ biểu đồ của cây xác suất tương ứng với các kết quả của dãy phép thử ii) Gán mỗi xác suất với mỗi nhánh 2.3.5. Công thức Bernoulli a) Định nghĩa : Tiến hành n phép thử độc lập. Giả sử trong mỗi phép thử chỉ có thể xảy ra 1 trong 2 trường hợp : hoặc biến cố A xảy ra hoặc biến cố A không xảy ra. Xác suất để A xảy ra trong mỗi phép thử đều bằng p. Dãy phép thử thoả mãn các điều kiện trên được gọi là dãy phép thử Bernoulli. b) Công thức : Xác suất để A xuất hiện k lần trong n phép thử của dãy phép thử Bernoulli   k k n kn nP k C p q   1 ; 0,1,...,q p k n   Ví dụ 15 : Một bác sĩ có xác suất chữa khỏi bệnh là 0,8. Có người nói rằng cứ 10 người đến chữa thì chắc chắn có 8 người khỏi bệnh. Điều khẳng định đó có đúng không ? Ví dụ 16 : Bắn 5 viên đạn độc lập với nhau vào cùng một bia, xác suất trúng đích các lần bắn như nhau là 0,2. Muốn bắn hỏng bia phải có ít nhất 3 viên đạn bắn trúng đích. Tìm xác suất để bia bị hỏng. 8 3. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ PHÂN PHỐI THƯỜNG GẶP 3.1. Biến ngẫu nhiên 3.1.1. Định nghĩa Biến ngẫu nhiên là đại lượng biến đổi biểu thị giá trị kết quả của 1 phép thử ngẫu nhiên. Ta dùng các chữ in hoa X, Y, Z, … để kí hiệu cho các biến ngẫu nhiên Ví dụ 1 : Tung 1 con xúc xắc. gọi X là số chấm xuất hiện tren mặt con xúc xắc thì X là một biến ngẫu nhiên nhận các giá trị có thể là 1, 2, … , 6 3.1.2. Phân loại : có 2 loại Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu nó chỉ nhận 1 số hữu hạn hoặc 1 số vô hạn đếm được các giá trị Ta có thể liệt kê các giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc X. Xác suất để X nhận giá trị nx viết là :  nP X x Ví dụ 2 : Số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc, số học sinh vắng mặt trong 1 buổi học… là các biến ngẫu nhiên rời rạc. Biến ngẫu nhiên gọi là liên tục nếu các giá trị của nó lấp đầy 1 khoảng trên trục số. Ví dụ 3 : Nhiệt độ không khí ở mỗi thời điểm nào đó 3.2. Phân phối của biến ngẫu nhiên 3.2.1. Bảng phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc Bảng gồm 2 hàng : hàng thứ 1 liệt kê các giá trị có thể 1 2, ,..., nx x x của X và hàng thứ 2 liệt kê các xác suất tương ứng 1 2, ,..., np p p của các giá trị có thể đó. Ví dụ 4 : Tung 1 con xúc xắc đồng chất. Gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất là bảng sau : 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6 X P 3.2.2. Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X là hàm không âm  f x , xác định với mọi  ,x   thoả mãn     B P X B f x dx   , với mọi tập B  Lưu ý :    0, ,f x x     và :   1f x dx    3.2.3. Hàm phân phối Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu  F x , được xác định như sau :    F x P X x  9 Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị có thể 1 2, ,..., nx x x thì :     i i i i x x x x F x P X x p       Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất  f x thì :     x F x f x dx    Một số tính chất : i)  0 1,F x x   ii)  F x là hàm không giảm     1 2 1 2x x F x F x   iii)    lim 0, lim 1 x x F x F x     iv)    ' ,F x f x x  Ý nghĩa của hàm phân phối xác suất  F x Hàm  F x phản ánh mức độ tập trung xác suất về bên trái của điểm x Ví dụ 5 : Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất : 1 3 6 0,3 0,1 0,6 X P Tìm hàm phân phối xác suất của X và vẽ đồ thị của hàm này. Ví dụ 6 : Cho biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ :   4 0, 0 6 , 0 1 5 6 1 5 x f x x x x x           Tìm hàm phân phối xác suất  F x 3.3. Một số đặc trưng cơ bản 3.3.1. Kỳ vọng a) Định nghĩa : Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị 1 2, ,..., nx x x có xác suất tương ứng là 1 2, ,..., np p p . Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu  E X được xác định bởi :   1 n i i i E X x p   Giả sử X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất  f x . Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X được xác định bởi : 10    E X x f x dx     Ví dụ 7 : Tìm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau : 5 6 7 8 9 10 11 1 6 3 2 2 1 1 12 12 12 12 12 12 12 X P   1 2 3 2 2 1 1 315. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 7,75 12 12 12 12 12 12 12 4 E X          Ví dụ 8 : Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ :     22. , 0 2 0, 0,2 xe x f x x          2 0 4 . . 2 3 x E X x f x dx x dx           b) Tính chất : i)   ,E C C C là hằng số;    .E cX c E X ii)      E X Y E X E Y   iii) Nếu X và Y là 2 đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì      . .E X Y E X E Y 3.3.2. Phương sai a) Định nghĩa : Phương sai (độ lệch bình phương trung bình) của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu  Var X hay  D X được tính bởi công thức :     2Var X E X E X     Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị 1 2, ,..., nx x x có xác suất tương ứng là 1 2, ,..., np p p thì :     2 1 n i i i Var X x E X p       Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất  f x thì :       2 Var X x E X f x dx        Trong thực tế, ta thường tính phương sai theo công thức :       22Var X E X E X     Ví dụ 9 : Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất sau : 11 1 3 5 0,1 0,4 0,5 X P . Tìm phương sai của X Ví dụ 10 : Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ     3. , 0 3 0, 0,3 c x x f x x      Tìm : Hằng số c, kỳ vọng và phương sai b) Tính chất : i)    0 :Var C C constant ii)    2.Var cX c Var X iii) Nếu X và Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập thì :      Var X Y Var X Var Y   3.3.3. Độ lệch tiêu chuẩn : Độ lệch tiêu chuẩn của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu :  X xác định bởi :    X Var X  dùng để đánh giá mức độ phân tán các giá trị của biến ngẫu nhiên X 3.3.3. Một số đặc trưng khác a) Mode (Mod) Định nghĩa :  Mod X là giá trị của biến ngẫu nhiên X có khả năng xuất hiện lớn nhất trong một lân cận nào đó của nó.  Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì  Mod X là giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất  Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì  Mod X là giá trị của X tại đó hàm mật độ đạt giá trị cực đại Ví dụ 11 : Nếu X là điểm trung bình môn Toán của Sinh viên lớp toán tin thì  Mod X là điểm mà nhiều sinh viên của lớp đạt được nhất b) Trung vị (Median) Định nghĩa : Trung vị của biến ngẫu nhiên X là giá trị của X chia phân phối xác suất thành 2 phần có xác suất giống nhau, kí hiệu :  Med X Ta có :       1 2 P X Med X P X Med X    Ví dụ 12 : Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối với hàm mật độ sau :   2 4 0, 0 , 0 2 x x f x x e x        Hãy tìm    ,Mod X Med X 12 c) Moment : Định nghĩa : Moment cấp k của đại lượng ngẫu nhiên X là số  kkm E X Moment qui tâm cấp k của đại lượng ngẫu nhiên X là số   kk E X E X      Nhận xét : i) Moment cấp 1 của X là kỳ vọng của X   1m E X ii) Moment qui tâm cấp 2 của X là phương sai của X   22 2 1m m Var X    iii) 33 3 2 1 13 2m m m m    3.4. Một số phân phối thường gặp 3.4.1. Nhị thức a) Định nghĩa : Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận 1 trong các giá trị 0, 1, 2,…, n với các xác suất tương ứng được tính theo công thức Bernoulli   x x n xx nP P X x C p q    gọi là có phân phối nhị thức với tham số n và p, kí hiệu :  ,X B n p (hay  ,X B n p ) b) Công thức : Với h nguyên dương và h n x  , ta có :   1 ...x x x hP x X x h P P P        Ví dụ 13 : Tỷ lệ phế phẩm trong lô sản phẩm là 3%. Lấy ngẫu nhiên 100 sản phẩm để kiểm tra. Tìm xác suất để trong đó có : a) 3 phế phẩm b) không quá 3 phế phẩm Chú ý : i) Khi n khá lớn và xác suất p không quá gần 0 và 1. Khi đó ta có thể áp dụng công thức xấp xỉ sau :  1x x n xx nP C p q f u npq   : gọi là công thức địa phương Laplace Trong đó :   2 21; 2 ux np u f u e npq     ii)      2 1P x X x h u u      trong đó : 1 2; x np x h np u u npq npq      : gọi là công thức tích phân Laplace Lưu ý : Nếu  ,X B n p thì ta có : 13 i)  E X np ii)  Var X npq iii)  np q Mod X np p    Ví dụ 14 : Một máy sản xuất được 200 sản phẩm trong một ngày. Xác suất để máy sản xuất ra phế phẩm là 0,05. Tìm số phế phẩm trung bình và số phế phẩm có khả năng tin chắc của máy đó trong một ngày 3.4.2. Poisson Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị 0, 1,…, n với các xác suất tương ứng được tính theo công thức :   ! k a k a P P X k e k    được gọi là có phân phối Poison với tham số a, kí hiệu :  X P a hay  ~X P a Chú ý : i)   1 ... ! k a k k k h k a P k X k h P P P P e k                 ii) Nếu  X P a thì      ; 1E X Var X a a Mod X a     Ví dụ 15 : Một máy dệt có 1000 ống sợi. Xác suất để 1 giờ máy hoạt động có 1 ống sợi bị đứt là 0,002. Tìm xác suất để trong 1 giờ máy hoạt động có không quá 2 ống sợi bị đứt 3.4.3. Đều : Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối đều trên đoạn  ,a b nếu hàm mật độ xác suất có dạng :       1 , , 0, , x a b b af x x a b       Nhận xét :  Nếu X có phân phối đều trên  ,a b thì hàm phân phối của X cho bởi : i)   0F x  nếu x a ii)     x x a dx x a F x f x dx b a b a        nếu a x b  iii)   1F x  nếu x b  Giả sử    , ,a b   . Xác suất để X rơi vào  ,  là :    P X f x dx b a             14 Ví dụ 16 : Lịch chạy của xe buýt tại 1 trạm xe buýt như sau : chiếc xe buýt đầu tiên trong ngày sẽ khởi hành từ trạm này vào lúc 7 giờ, cứ sau mỗi 15 phút sẽ có 1 xe khác đến trạm. Giả sử 1 hành khách đến trạm trong khoảng thời gian từ 7 giờ đến 7 giờ 30. Tìm xác suất để hành khách này chờ : a) Ít hơn 5 phút b) Ít nhất 12 phút 3.4.4. Mũ Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối mũ với tham số 0  nếu nó có hàm mật độ xác suất là :   , 0 0, 0 xe x f x x       Nếu X có phân phối mũ với tham số  thì hàm phân phối xác suất của X là :   0 1 x x xF x e dx e      với 0x  và :   0F x  với 0x  Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với tham số 0  thì : i) Kỳ vọng của X là :   0 0 0 1 . x x xE X x e dx xe e dx                ii) Phương sai của X là :   2 22 2 20 0 0 1 1 1 2x x xVar X x e dx x e xe dx                     Ví dụ 17 : Giả sử tuổi thọ (tính bằng năm) của một mạch điện tử trong máy tính là 1 biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với kì vọng là 6,25. Thời gian bảo hành của mạch điện tử này là 5 năm. Hỏi có bao nhiêu phần trăm mạch điện tử bán ra phải thay thế trong thời gian bảo hành ? 3.4.5. Chuẩn Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng  ,  được gọi là có phân phối chuẩn nếu hàm mật độ xác suất có dạng :    2 221 2 x f x e        trong đó : ,  là hằng số, 0, x      Kí hiệu :  2,X N   hay :  2~ ,X N   Chú ý : Nếu  2,X N   thì :  E X  và   2Var X  3.4.6. Một số phân phối khác (Sinh viên tự nghiên cứu) 15 4. LÝ THUYẾT MẪU 4.1. Đám đông và mẫu 4.1.1. Đám đông và mẫu a) Đám đông : Khi nghiên cứu về 1 vấn đề người ta thường khảo sát trên một dấu hiệu nào đó. Các dấu hiệu này thể hiện trên nhiều phần tử. Tập hợp các phần tử mang dấu hiệu đó được gọi là tổng thể hay đám đông (population) Ví dụ 1 : Số cử tri trong 1 cuộc bầu cử, thu nhập của các hộ gia đình ở Tp.HCM … b) Mẫu : Từ tổng thể lấy ra n phần tử và đo lường *X (dấu hiệu cần khảo sát)) trên chúng. Các phần tử này gọi là mẫu (sample). Số phần tử của mẫu được gọi là kích thước của mẫu. 4.1.2. Phân loại mẫu và phương pháp điều tra chọn mẫu a) Mẫu ngẫu nhiên : Một mẫu được chọn thỏa các điều kiện sau đây gọi là mẫu ngẫu nhiên  Các phần tử của mẫu lấy ngẫu nhiên từ M (M là tổng thể).  Các phần tử của M có cùng khả năng được lấy ra làm mẫu.  Các phần tử của mẫu được lấy một cách độc lập với nhau.  Tất cả những mẫu cỡ n cũng có cùng khả năng được chọn từ tổng thể M. b) Mẫu lý thuyết : Ký hiệu iX là giá trị quan sát X trên phần tử thứ i của mẫu. Khi đó ta có một bộ n biến ngẫu nhiên  1,..., nX X gọi là mẫu lý thuyết lấy từ M thoả :  Các iX có cùng phân phối như X.  Các iX độc lập với nhau c) Mẫu thực nghiệm : Khi đã lấy mẫu cụ thể xong ta có các số liệu  1,..., nx x gọi là mẫu thực nghiệm lấy từ X d) Phương pháp lấy mẫu ngẫu nhiên đơn giản : Đánh số các phần tử của M từ 1 đến N. Và lập các phiếu cũng đánh số như vậy.Trộn đều các phiếu, sau đó lấy lần lượt có hoàn lại n phiếu. Các phần tử của M có số thứ tự trong phiếu lấy ra sẽ được chọn làm mẫu. 4.1.3. Sắp xếp và trình bày số liệu theo bảng : a) Bảng thống kê đơn giản 1 2 3 1 1 2 3 ... 1 ... n n i n n X x x x x x  hoặc: 1 2 3 1... n nx x x x x Ví dụ 2 : Đo chiều cao của 10 sinh viên trong lớp Kết quả: 160 155 147 155 168 181 150 163 168 155 (ĐV: cm) b) Bảng tần số : 1 2 3 1 1 2 3 1 ... ... k k i k k X x x x x x n n n n n n   với : 1 2 ... kn n n n    Ví dụ 3 : Khảo sát lương của 50 công nhân trong một nhà máy. X = Lương tháng của công nhân. (ĐV : Triệu đ/tháng) Lương tháng 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 >4 16 Số công nhân 14 12 8 6 4 4 2 c) Bảng tần số chia khoảng :      1 1 2 2 1 2 , , ... , ... k k i k X a b a b a b n n n n với : 1 2 ... kn n n n    Chuyển 2 i i i a b x   , ta thu được : 1 2 3 1 1 2 3 1 ... ... k k i k k X x x x x x n n n n n n   4.1.4. Phân phối mẫu : Hàm phân phối mẫu (hay hàm phân phối thực nghiệm) là tỷ số m n , trong đó : n là kích thước mẫu, m là số giá trị mẫu ,iX x x  , kí hiệu :   ,n m F x x n   4.2. Các đặc trưng của mẫu 4.2.1. Trung bình mẫu a) Định nghĩa : Trung bình của mẫu ngẫu nhiên  1W ,...,X nX X là một thống kê, kí hiệu X , được xác định bởi : 1 1 n i i X X n    b) Tính chất : Nếu biến ngẫu nhiên gốc X có kì vọng  E X m và : phương sai   2Var X  thì  E X m và   2 Var X n   4.2.2. Phương sai mẫu a) Định nghĩa : Phương sai của mẫu ngẫu nhiên  1W ,...,X nX X là một thống kê, kí hiệu 2S , được xác định bởi :  22 1 1 n i i S X X n    b) Tính chất : Nếu   2Var X  thì  2 21nE S n    4.2.3. Tỷ lệ mẫu Giả sử tham số p là tỷ lệ các phần tử loại X trên tổng thể M. Xét mẫu  1,..., nX X , với 1iX  nếu phần tử thứ i của mẫu thuộc loại X, 0iX  nếu ngược lại. 17 Gọi m là số phần tử loại X trên mẫu, khi đó 1 ... nm X X   và m m p n  được gọi là tỷ lệ mẫu (tần suất) của các phần tử loại X (trên mẫu) 4.2.4. Phân phối của các đặc trưng mẫu Các phân phối thường gặp : phân phối chuẩn, phân phối Chi - bình phương, phân phối Student, phân phối Fisher - Snedecor a) Phân phối Chi - bình phương : Xét 1 2, ,..., nZ Z Z là n biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn hoá, tức là  0,1iZ N , với 1,...,i n và 1 2, ,..., nZ Z Z độc lập với nhau. Đặt : 2 2 2 1 1 ... n i n i Y Z Z Z      . Khi đó, đại lượng ngẫu nhiên Y gọi là có phân phối Chi - bình phương với n bậc tự do, kí hiệu :  2Y n b) Phân phối Student : Xét biến ngẫu nhiên  0,1X N và  2Y n , X và Y độc lập với nhau. đặt : X T Y n  thì đại lượng ngẫu nhiên T gọi là có phân phối Student với n bậc tự do, kí hiệu :  T t n 4.3. Ước lượng điểm 4.3.1. Khái niệm Giả sử cần ước lượng tham số  của biến ngẫu nhiên X. Từ X ta lập mẫu ngẫu nhiên  1 2W , ,...,X nX X X . chọn thống kê    1 2, ,..., nX X X  . Ta gọi  là hàm ước lượng của X. thực hiện phép thử ta được mẫu cụ thể  1w ,...,x nx x . Khi đó ước lượng điểm của  là giá trị   1,...,o nx x  . 4.3.2. Tiêu chuẩn a) Ước lượng không chệch : Định nghĩa : Thống kê    1 2, ,..., nX X X  được gọi là ước lượng không chệch của tham số  nếu  E   Ý nghĩa : Giả sử  là ước lượng không chệch của tham số  . Ta có :       0E E E           vậy ước lượng không chệch là ước lượng có sai số trung bình bằng 0 Nhận xét : Trung bình của mẫu ngẫu nhiên X là ước lượng không chệch của trung bình của tổng thể  E X m   vì  E X m 18 ví dụ 4 : Chiều cao của 50 cây lim được cho bởi : Khoảng chiều cao (mét) Số cây lim oix iu i in u 2 i in u  6,25 6,75  6,75 7,25  7,25 7,75  7,75 8,25  8,25 8,75  8,75 9,25  9,25 9,75  9,75 10,2 1 2 5 11 18 9 3 1 6,5 7,0 7,5 8 8,5 9 9,5 10 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -6 -10 -11 0 9 6 3 16 18 20 11 0 9 12 9 Tổng 50 -13 95 gọi X là chiều cao của cây lim a) Hãy chỉ ra ước lượng điểm cho chiều cao trung bình của các cây lim b) Hãy chỉ ra ước lượng điểm cho độ tản mát của các chiều cao cây lim so với chiều cao trung bình c) Gọi  7,75 8,75p P X   . Hãy chỉ ra ước lượng điểm cho p. b) Ước lượng hiệu quả Định nghĩa : Ước lượng không chệch  được gọi là ước lượng có hiệu quả của tham số  nếu  Var  nhỏ nhất trong các ước lượng của  Nhận xét : Nếu biến ngẫu nhiên gốc 2 ,X N n          thì trung bình mẫu X là ước lượng hiệu quả của kì vọng  E X  c) Ước lượng vững : Thống kê    1,..., nX X  được gọi là ước lượng vững của tham số  nếu 0  ta có  lim 1 n P        Điều kiện đủ của ước lượng vững Nếu  là ước lượng không chệch của  và  lim 0 n Var    thì  là ước lượng vững của  4.3.3. Phương pháp ước lượng hợp lý cực đại (Sinh viên tự nghiên cứu) 4.3.4. Một số kết quả 4.4. Ước lượng khoảng tin cậy 4.4.1. Khái niệm 19 Giả sử  1,..., nX X là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối  , ,f x U   Khoảng     1 1 2 1,..., , ,...,n nX X X X  được gọi là khoảng ước lượng của tham số  với độ tin cậy 1  nếu :    1 2 1P X X          Lưu ý :  Khoảng  1 2,  gọi là khoảng tin cậy  1  là độ tin cậy của ước lượng  2 1  là độ dài khoảng tin cậy 4.4.2. Khoảng tin cậy cho  Giả sử  1 2, ,..., nX X X là mẫu ngẫu nhiên từ phân phối chuẩn dạng  2,N   thì khoảng ước lượng của  với độ tin cậy 1  là : a) Trường hợp  đã biết : X x X x n n         b) Trường hợp  chưa biết :    * *n nt S X t S XX X n n      Chú ý : Nếu 30n  thì t tra ở bảng phân phối chuẩn  0,1N sao cho   1 2 t     (Phân vị chuẩn mức) Nếu 30n  thì t tra ở bảng phân phối Student với 1n  bậc tự do và mức ý nghĩa  (bảng tiêu chuẩn 2 phía) Ví dụ 5 : Kiểm tra 100 sản phẩm trong lô hàng thấy có 20 phế phẩm i) Hãy ước lượng tỉ lệ phế phẩm có độ tin cậy 99% ii) Nếu độ chính xác 0,04  thì độ tin cậy của ước lượng là bao nhiêu ? iii) Nếu muốn có độ tin cậy 99% và độ chính xác 0,04 thì phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm 4.4.3. Khoảng tin cậy cho 2 trong mẫu từ phân phối chuẩn Khoảng ước lượng của phương sai 2 với độ tin cậy 1  là :        *2 *22 2 1 1 1n nn S X n S X t t      20 với 1 2,t t được tra trong bảng phân phối 2 với 1n  bậc tự do sao cho 2 2 1 21 ,2 2 P t P t               và :     2*2 1 1 1 n n i i S X X X n      4.4.4. Khoảng tin cậy cho xác suất p trong phân phối nhị thức Xét xác suất 1 k P p n            thì khoảng ước lượng của p với độ tin cậy 1  là :    1 1p p p pp x p p x n n        với kp n  4.5. Xác định kích thước mẫu 4.5.1. Vấn đề và cách giải quyết Nếu muốn độ tin cậy 1  và độ chính xác  đạt ở mức cho trước thì ta cần xác định kích thước n của mẫu. 4.5.2. Kích thước mẫu cho  Trường hợp  đã biết : 2 t n          Trường hợp  chưa biết : 2 t S n         4.5.3. Kích thước mẫu cho p (tự nghiên cứu) 21 5. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ 5.1. Vấn đề và cách giải quyết 5.1.1. Khái niệm kiểm định và các loại sai lầm a) Khái niệm kiểm định : Khi nghiên cứu về một vấn đề nào đó trong thực tế ta thường đưa ra các giả thuyết khác nhau về các đối tượng quan tâm. những giả thuyết này có thể đúng hoặc sai. việc xác định tính đúng sai của một giả thuyết được gọi là kiểm định. b) Các loại sai lầm : có 2 loại  Sai lầm loại 1 : là sai lầm mắc phải khi ta bác bỏ một giả thuyết đúng Xác suất :  P W    Sai lầm loại 2 : là sai lầm mắc phải khi ta thừa nhận một giả thuyết sai Xác suất :  P W  5.1.2. Các bước kiểm định Giả sử cần nghiên cứu tham số  của biến ngẫu nhiên X, người ta đưa ra giả thuyết cần kiểm định : : oH   . Gọi H là giả thuyết đối của H thì : : oH   B1 : Từ mẫu ngẫu nhiên  1W ,...,X nX X ta chọn thống kê    1,..., nX X  sao cho nếu H đúng thì  có phân phối xác suất hoàn toàn xác định và với mẫu cụ thể thì giá trị của  sẽ tính được.  được gọi là tiêu chuẩn kiểm định giả thuyết H. B2 : Với  bé tuỳ ý cho trước   0,01;0,05  ta tìm được miền W sao cho  P W   B3 : Thực hiện phép thử đối với mẫu ngẫu nhiên  1W ,...,X nX X ta được mẫu cụ thể  1w ,...,x nx x . Tính giá trị của  tại  1w ,...,x nx x ta được   1,...,o nx x  ( o gọi là giá trị quan sát) B4 : Kết luận Nếu o W  thì bác bỏ giả thuyết H và thừa nhận giả thuyết đối H nếu o W  thì chấp nhận giả thuyết H 5.2. Kiểm định giả thuyết về trung bình Biến ngẫu nhiên X có trung bình  E X m chưa biết. người ta đưa ra giả thuyết :  : :o oH m m H m m  Trường hợp 1 :   2Var X  đã biết 22 30n  hoặc ( 30n  và X có phân phối chuẩn) Chọn thống kê :  oX m n U    . Nếu oH đúng thì  0,1U N Với mức ý nghĩa  cho trước, xác định phân vị chuẩn 1 2 u   . Ta tìm được miền bác bỏ : 1 1 1 2 2 2 W : ; ;u u u u u                               và giá trị quan sát : o o x m u n    Nếu 1 2 ou u     ou W thì bác bỏ H và chấp nhận H Nếu 1 2 ou u     ou W thì chấp nhận oH Ví dụ 1 : Một tín hiệu của giá trị m được gửi từ địa điểm A và được nhận ở địa điểm B có phân phối chuẩn với trung bình m và độ lệch tiêu chuẩn 2  . Tin rằng giá trị của tín hiệu 8m  được gửi mỗi ngày. người ta tiến hành kiểm tra giả thuyết này bằng cách gửi 5 tín hiệu 1 cách độc lập trong ngày thì thấy giá trị trung bình nhận được tại địa điểm B là 9,5X  . Với độ tin cậy 95%, hãy kiểm tra giả thuyết 8m  đúng hay không ? Trường hợp 2 :   2Var X  chưa biết 30n  Chọn thống kê như TH1, trong đó độ lệch chuẩn  được thay