Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Đại cương về xác suất

CHƯƠNG I. ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT§1:Biến cố và quan hệ giữa các biến cố 1. Phép thử và biến cố. 2. Phân loại biến cố : gồm 3 loạiBiến cố chắc chắn:Biến cố không thể có hay không thể xảy ra:Biến cố ngẫu nhiên: A, B, C 3. So sánh các biến cố.Định nghĩa 1.1: (A nằm trong B hay A kéo theo B) nếu A xảy ra thì B xảy ra.VậyKhoa Khoa Học và Máy Tính 1Xác Suất Thống Kê. Chương 1 @Copyright 2010 Định nghĩa 1.2: A được gọi là biến cố sơ cấp 4. Các phép toán trên biến cố (hình 1.1 và 1.2 ): xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B xảy ra. xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra. xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B không xảy ra. xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.Khoa Khoa Học và Máy Tính 2Xác Suất Thống Kê. Chương 1 @Copyright 2010 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1@Copyright 20103Hình 1.1 Hình 1.2Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1@Copyright 20104Các phép toán của biến cố có tính chất giống các phép toán của tập hợp, trong đó có các tính chất đối ngẫu:Ngôn ngữ biểu diễn: tổng = có ít nhất một ;tích = tất cả đều.(A = có ít nhất 1 phần tử có tính chất x) suy ra (không A = tất cả đều không có tính chất x).Ví dụ 1.1: (A = có ít nhất 1 người không bị lùn) suy ra( không A = tất cả đều lùn).Định nghĩa 1.3: biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu §2: Các định nghĩa xác suất.1. Định nghĩa cổ điển về xác suấtĐịnh nghĩa 2.1: giả sử trong mỗi phép thử các kết cục là đồng khả năng và có tất cả n kết cục như vậy. Kí hiệu m là số các kết cục thuận lợi cho biến cố A. Khi ấy xác suất của biến cố A là:Ví dụ 2.1: Trong 1 hộp có 6 bi trắng, 4 bi đen.Lấy ngẫu nhiên ra 5 bi. Tính xác suất để lấy được đúng 3 bi trắng.Giải ( phân phối siêu bội) Khoa Khoa Học và Máy Tính 5Xác Suất Thống Kê. Chương 1 @Copyright 2010 Chú ý: lấy 1 lúc 5 bi giống lấy lần lượt 5 bi không hoàn lạiVí dụ 2.2: Có 10 người lên ngẫu nhiên 5 toa tàu. Tính xác suất để toa thứ nhất không có người lên:2. Định nghĩa hình học về xác suất: Định nghĩa 2.2: Giả sử trong mỗi phép thử các kết cục là đồngkhả năng và được biểu diễn bằng các điểm hình học trên miền Kí hiệu D là miền biểu diễn các kết cục thuận lợi cho biến cố A. Khi ấy xác suất của biến cố A là: (độ đo là độ dài,diện tích hoặc thể tích)Khoa Khoa Học và Máy Tính 6Xác Suất Thống Kê. Chương 1 @Copyright 2010 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 @Copyright 2010 7Ví dụ 2.3: Chia đoạn AB cố định ngẫu nhiên thành 3 đoạn. Tính xác suất để 3 đoạn đó lập thành 3 cạnh của 1 tam giác.Giải: Gọi độ dài đoạn thứ 1,2 là x,y.Khi ấy đoạn thứ 3 là l-x-y HÌNH 2.1Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1@Copyright 20108Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 @Copyright 2010 9Ví dụ 2.4: Ném lên mặt phẳng có kẻ những đường thẳng songsong cách nhau 1 khoảng là 2a một cây kim có độ dài 2tn).Tính xác suất để tất cả các toa đều có người lênKhoa Khoa Học và Máy Tính 13Xác Suất Thống Kê. Chương 1 @Copyright 2010 HÌNH 3.1Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 @Copyright 2010 14Bài giảiA - tất cả các toa đều có người lên - có ít nhất 1 toa không có người lên. - toa thứ i không có người lên, i =1, 2,nVì các toa tàu có vai trò như nhau nên áp dụng công thức cộng xác suất ta có :Khoa Khoa Học và Máy Tính 15Xác Suất Thống Kê. Chương 1 @Copyright 2010 Ví dụ 3.2: Có n bức thư bỏ ngẫu nhiên vào n phong bì có đề sẵn địa chỉ. Tính xác suất để có ít nhất 1 bức thư đúng địa chỉ.Bài giải A - Có ít nhất 1 bức đúng. - Bức thứ i đúng Vì các bức thư có vai trò như nhau nên áp dụng công thức cộng xác suất ta có :Khoa Khoa Học và Máy Tính 16Xác Suất Thống Kê. Chương 1 @Copyright 2010 2. Định lý nhân xác suấtĐịnh nghĩa 3.2: Xác suất của biến cố B khi biết rằng biến cố A đã xảy ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A và kí hiệu là P(B/A).Chú ý: biến cố A có thể xảy ra trước, đồng thời hoặc sau BNgôn ngữ biểu diễn: P(B/A) = xác suất B biết (nếu)A hoặc Cho A tính xác suất B.Định lý 3.2: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B)Hệ quả: Khoa Khoa Học và Máy Tính 17Xác Suất Thống Kê. Chương 1 @Copyright 2010 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 @Copyright 2010 18Định nghĩa 3.3: Hai biến cố A,B được gọi là độc lập với nhau nếu xác suất của biến cố này không phụ thuộc vào việc biến cố kia đã xảy ra hay chưa trong 1 phép thử.Định nghĩa 3.4: Một hệ các biến cố được gọi là độc lập toàn phần nếu mỗi biến cố của hệ độc lập với 1 tổ hợp bất kỳ của các biến cố còn lại.Định lý 3.3: A, B độc lập khi và chỉ khi P(AB)=P(A).P(B)Định lý 3.4: Giả sử là độc lập toàn phần. Khi ấy ta có:Chú ý: Trong trường hợp độc lập không nên dùng công thức cộng xác suất mà nên dùng công thức nhân xác suất.Ví dụ 3.3: 1 mạng gồm n chi tiết mắc nối tiếp.Xác suất hỏng của chi tiết thứ i là . Tính xác suất để mạng hỏng.Giải: - biến cố chi tiết thứ i hỏng A - biến cố mạng hỏngVậy xác suất để mạng hỏng là: Khoa Khoa Học và Máy Tính 19Xác Suất Thống Kê. Chương 1 @Copyright 2010 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 @Copyright 2010 20Ví dụ 3.4: Tung 3 con xúc xắc cân đối,đồng chất. Tính xác suấtđể:Tổng số chấm bằng 9 biết có ít nhất 1 mặt 1 chấmCó ít nhất một mặt 1 chấm biết số chấm khác nhau từng đôi một.Giải:Gọi A là có ít nhất 1 mặt 1 chấm. B là tổng số chấm bằng 9 C là các số chấm khác nhau từng đôi mộtKhoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 @Copyright 2010 21Số cách để có ít nhất một mặt 1 chấm và tổng bằng 9:1+2+6 suy ra có 3! cách1+3+5 suy ra có 3! cách1+4+4 suy ra có 3 cáchSuy ra có 15 cách để có ít nhất một mặt 1 chấm và tổng bằng 92. 3. Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes:Định nghĩa 3.5: Hệ được gọi là hệ đầy đủ, nếu trong mỗi phép thử nhất định 1 và chỉ 1 trong các biến cố Hi xảy ra.Định lý 3.4: Giả sử là hệ đầy đủ. Ta có: (công thức đầy đủ). (công thức Bayess)Khoa Khoa Học và Máy Tính 22Xác Suất Thống Kê. Chương 1 @Copyright 2010 Chú ý:1.2.Với: Khoa Khoa Học và Máy Tính 23Xác Suất Thống Kê. Chương 1 @Copyright 2010 Ví dụ 3.5: Có 2 hộp bi cùng cỡ, hộp 1 chứa 4 bi trắng và 6 bi xanh, hộp 2 chứa 5 bi trắng và 7 bi xanh.Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ hộp đó lấy ngẫu nhiên1 bi thì được bi trắng. Tìm xác suất để viên bi tiếp theo, cũng lấy từ hộp trên ra là bi trắng. Giải: Hộp 1: 4t + 6x .Lấy ngẫu nhiên 1 hộp:H1 lấy được hộp 1 Hộp 2: 5t + 7x H2 lấy được hộp 2A- biến cố lấy được bi trắng ở lần 1B- biến cố lấy được bi trắng ở lần 2Khoa Khoa Học và Máy Tính 24Xác Suất Thống Kê. Chương 1@Copyright 2010Cách 1:Khoa Khoa Học và Máy Tính 25Xác Suất Thống Kê. Chương 1@Copyright 2010 Cách 2:Khoa Khoa Học và Máy Tính 26Xác Suất Thống Kê. Chương 1@Copyright 2010Chú ýNếu sau lần 1 đã lấy được bi trắng ta trả bi vào hộp rồi mới lấy tiếp lần 2 thì lời giải thay đổi như sau:P(B)=P(A), trong cả 2 bài toán. Nếu câu hỏi là :Giả sử lần 1 đã lấy được bi trắng tính xác suất để bi đó lấy được ở hộp 1, thì đáp số là: Khoa Khoa Học và Máy Tính 27Xác Suất Thống Kê. Chương 1 @Copyright 2010 4. Công thức BernoulliĐịnh lý 3.5: Giả sử trong mỗi phép thử 1 biến cố A có thể xuất hiện với xác suất p (khi A xuất hiện ta quy ước là thành công). Thực hiện n phép thử giống nhau như vậy. Khi ấy xác suất để có đúng k lần thành công là : (Phân phối nhị thức)Chú ý : từ nay trở đi ta ký hiệu q=1-pĐịnh nghĩa 3.6: Kí hiệu k0 là số sao cho: Khi ấy k0 được gọi là số lần thành công có nhiều khả năng xuất hiện nhất(tức là ứng với xác suất lớn nhất)Khoa Khoa Học và Máy Tính 28Xác Suất Thống Kê. Chương 1 @Copyright 2010 Định lý 3.6: hoặcChú ý: Ví dụ 3.6: Tung cùng lúc 20 con xúc xắc.Tính xác suất để có đúng 4 mặt lục xuất hiện.Tính số mặt lục có nhiều khả năng xuất hiện nhất.Giải: Khoa Khoa Học và Máy Tính 29Xác Suất Thống Kê. Chương 1 @Copyright 2010 Ví dụ 3.7:Trong 1 hộp có N bi trong đó có M bi trắng còn lại là đen. Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng bi có hoàn lại ra n bi. Khi ấy xác suất để lấy được đúng k bi trắng được tính bằng công thức Bernoulli nói trên với p = M/NVí dụ 3.8:Trong 1 hộp có N bi trong đó có M bi trắng còn lại là đen. Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng bi không hoàn lại ra n bi. Khi ấy xác suất để lấy được đúng k bi trắng là Chú ý: Lấy bi : + Không hoàn lại là siêu bội + Có hoàn lại là nhị thức.Khoa Khoa Học và Máy Tính 30Xác Suất Thống Kê. Chương 1@Copyright 2010Ví dụ 3.9: Có 1 tin tức điện báo tạo thành từ các tín hiệu(.)và (-). Qua thống kê cho biết là do tạp âm, bình quân 2/5 tín hiệu(.) và 1/3 tín hiệu(-) bị méo. Biết rằng tỉ số các tín hiệu chấm và vạch trong tin truyền đi là 5:3. Tính xác suất sao cho nhận đúng tín hiệu truyền đi nếu đã nhận được chấm.Giải : Gọi A là biến cố nhận được chấm, H1 là biến cố truyền đi chấm, H2 là biến cố truyền đi vạch.Khoa Khoa Học và Máy Tính 32Xác Suất Thống Kê. Chương 1@Copyright 2010