1) Kỳ vọng của X không nhất thiết là một số nằm trong tập giá
trị của X. Thường là con số thuộc “khu vực” có phân phối xác
suất lớn.
2) Trong Định nghĩa trên, khi tổng hoặc tích phân không hội tụ
thì ta nói E(X) không tồn tại.
3) Kỳ vọng của X chỉ phụ thuộc vào phân phối xác suất của nó.
Như vậy, hai biến ngẫu nhiên có phân phối như nhau thì có kỳ
vọng bằng nhau.
Ví dụ 3.3 Trong một trò chơi cờ bạc, người ta tung ngẫu nhiên
ba đồng xu. Người chơi sẽ nhận được 5 USD nếu tất cả các đồng
xu đều sấp hoặc đều ngửa, người chơi sẽ mất 3 USD nếu ngược
lại. Người chơi hy vọng sẽ kiếm được bao nhiêu?
19 trang |
Chia sẻ: trungkhoi17 | Lượt xem: 692 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài giảng Xác suất thống kê - Tuần 5, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Slide Bài giảng Toán V
XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ
(Buổi 5)
Chương III
KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên một chiều và các
tính chất
Phương sai và covariance
3.1 KỲ VỌNG CỦA BNN VÀ TÍNH CHẤT
.
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên một chiều
KỲ VỌNG CỦA BNN VÀ TÍNH CHẤT
.
Định nghĩa: Giá trị trung bình hay Kỳ vọng (Expectation) của
biến ngẫu nhiên X là một con số được ký hiệu bởi E(X) hoặc μ
và được xác định như sau:
Ví dụ 3.1 Cho X là biến ngẫu nhiên với bảng phân phối xác suất
X -2 0 1 4
f(x) 0.1 0.4 0.3 0.2
Hãy tìm kỳ vọng của X.
KỲ VỌNG CỦA BNN VÀ TÍNH CHẤT
Chú ý
1) Kỳ vọng của X không nhất thiết là một số nằm trong tập giá
trị của X. Thường là con số thuộc “khu vực” có phân phối xác
suất lớn.
2) Trong Định nghĩa trên, khi tổng hoặc tích phân không hội tụ
thì ta nói E(X) không tồn tại.
3) Kỳ vọng của X chỉ phụ thuộc vào phân phối xác suất của nó.
Như vậy, hai biến ngẫu nhiên có phân phối như nhau thì có kỳ
vọng bằng nhau.
Ví dụ 3.2 Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ như
sau:
2x khi x (0;1)
f() x
0 khix (0;1)
Hãy tính μ?
KỲ VỌNG CỦA BNN VÀ TÍNH CHẤT
.
Ví dụ 3.3 Trong một trò chơi cờ bạc, người ta tung ngẫu nhiên
ba đồng xu. Người chơi sẽ nhận được 5 USD nếu tất cả các đồng
xu đều sấp hoặc đều ngửa, người chơi sẽ mất 3 USD nếu ngược
lại. Người chơi hy vọng sẽ kiếm được bao nhiêu?
KỲ VỌNG CỦA BNN VÀ TÍNH CHẤT
.
Kỳ vọng của hàm một biến ngẫu nhiên một chiều
Định lý: Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất là f(x).
Giá trị trung bình hay kỳ vọng của biến ngẫu nhiên u(X) là
KỲ VỌNG CỦA BNN VÀ TÍNH CHẤT
.
Ví dụ 3.5 Giả sử số lượng xe ôtô X đến cửa hàng rửa xe vào
khoảng thời gian từ 4 giờ chiều đến 5 giờ chiều của một ngày
thứ sáu khô ráo, là một biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất
như sau:
Đặt u(X) = 2X - 1 là số tiền (tính theo USD) mà người chủ cửa
hàng phải trả cho công nhân rửa xe. Người công nhân rửa xe hy
vọng sẽ kiếm được bao nhiêu tiền trong khoảng thời gian nói
trên?
Ví dụ 3.6 Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ là
x2
,khix ( 1;2),
f() x 3 Hãy tìm kỳ vọng của g(X) = 4X + 3.
0, khix ( 1;2) .
KỲ VỌNG CỦA BNN VÀ TÍNH CHẤT
.
Kỳ vọng của hàm hai biến ngẫu nhiên một chiều
Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất đồng thời
là f(x,y) và v = v(x,y) là hàm hai biến xác định trên tập giá trị của
(X,Y). Ta thiết lập được biến ngẫu nhiên một chiều v(X,Y).
Định lý: Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên với phân phối xác
suất đồng thời là f(x,y). Trung bình hay giá trị kỳ vọng của biến
ngẫu nhiên v(X,Y) là
KỲ VỌNG CỦA BNN VÀ TÍNH CHẤT
.
Ví dụ 3.7 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X với tập giá trị {1, 2, 3},
biến ngẫu nhiên Y với tập giá trị là {1, 2, 3, 4} và Bảng phân phối
xác suất đồng thời của X và Y như sau:
Y 1 2 3 4
X
1 0.1 0 0.1 0
2 0.3 0 0.1 0.2
3 0 0.2 0 0
Tìm kỳ vọng của X + Y, XY?
KỲ VỌNG CỦA BNN VÀ TÍNH CHẤT
.
Ví dụ 3.8 Chọn ngẫu nhiên một điểm (X, Y) trong hình vuông
[0; 1]×[0; 1] trên mặt phẳng toạ độ. Hàm mật độ đồng thời của
X và Y là
1 khi (x, y)[0;1][0;1]
f (x, y)
0 khi (x, y)[0;1][0;1]
Tìm kỳ vọng của X2 + Y2.
KỲ VỌNG CỦA BNN VÀ TÍNH CHẤT
. Các tính chất của kỳ vọng
Định lý: Cho a, b là hai số thực, X là biến ngẫu nhiên một chiều
và u(x), v(x) là các hàm một biến xác định trên tập giá trị của X.
Ta có:
1) E(aX + b) = aE(X) + b;
2) E[u(X) ± v(X)] = E[u(X)] ± E[v(X)]
Hệ quả
E(aX) = aE(X); E(b) = b.
Ví dụ 3.10 Nhu cầu hàng tuần về một loại đồ uống nào đó, tính theo
đơn vị 1000 lít, tại một loạt cửa hàng là một biến ngẫu nhiên liên tục
g(X) = X2 + X – 2, trong đó X có hàm mật độ là
2(x 1) x (1;2)
f() x
Hãy tìm giá trị trung bình cho nhu cầu hàng 0x (1;2)
tuần của loại đồ uống nói trên.
KỲ VỌNG CỦA BNN VÀ TÍNH CHẤT
.
Định lý: Kỳ vọng của tổng hoặc hiệu hai hay nhiều hàm của các
biến ngẫu nhiên bằng tổng hoặc hiệu của kỳ vọng các hàm. Tức
là,
Hệ quả: Cho g(X, Y) = X và h(X,Y) = Y, ta được
EXYEXEY( ) ( ) ( ).
Định lý: Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó
E( XY ) E ( X ) E ( Y ).
KỲ VỌNG CỦA BNN VÀ TÍNH CHẤT
.
Ví dụ 3.11 Tung một lúc hai con xúc sắc cân đối và đồng chất,
một con có màu xanh và con còn lại có màu đỏ. Gọi X là số chấm
xuất hiện trên con màu xanh và Y là số chấm xuất hiện trên con
màu đỏ.
Tính E(X + Y), E(XY).
3.2 PHƯƠNG SAI CỦA MỘT BNN VÀ COVARIANCE
. 3.2 A Phương sai của một biến ngẫu nhiên
Ví dụ 3.12 Gọi X là biến ngẫu nhiên biểu thị số xe ôtô được sử
dụng cho mục đích kinh doanh chính thức trong một ngày làm
việc nào đó. Phân phối xác suất của X tại công ty A là
x 1 2 3
f(x) 0,3 0,4 0,3
và tại công ty B là
x 0 1 2 3 4
f(x) 0,2 0,1 0,3 0,3 0,1
Tính kỳ vọng của mỗi biến ngẫu nhiên trên và so sánh hai giá trị
thu được?
PHƯƠNG SAI CỦA BNN
.
Định nghĩa: Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất
f(x) và trung bình μ. Phương sai của X là một con số được ký
2
hiệu là σ X và được xác định như sau:
• Số X – μ trong định nghĩa được gọi là độ lệch của X khỏi giá trị
trung bình và do đó nếu giá trị của X thường lấy giá trị xung
quanh giá trị trung bình thì phương sai nhỏ, trong trường hợp
ngược lại thì nó lớn, nên phương sai là số đo độ phân tán của X
quanh giá trị trung bình.
• Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn.
PHƯƠNG SAI CỦA BNN
.
Công thức tính
Ví dụ 13 Tính phương sai của mỗi biến ngẫu nhiên sau đây:
x 1 2 3
f(x) 0,3 0,4 0,3
x 0 1 2 3 4
f(x) 0,2 0,1 0,3 0,3 0,1
2(x 1), x (0;2)
Hàm mật độ: f() x
0,x (0;2)
PHƯƠNG SAI CỦA BNN
.
Định lý: Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất là f(x).
Phương sai của biến ngẫu nhiên u(X) là
2 2
u(X ) [u(xi ) u(X ) ] f (xi )
i
nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc;
2 2
u(X ) [u(x) u(X ) ] f (x)dx
nếu X là bnn liên tục.
PHƯƠNG SAI CỦA BNN
.
Ví dụ 3.15 Tính phương sai của biến ngẫu nhiên u(X) = 2X + 3,
trong đó X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất như sau
x 1 2 3
f(x) 0,3 0,4 0,3
CÁC Ý CHÍNH CỦA BUỔI 5
.
• Kỳ vọng biến ngẫu nhiên một chiều:
Định nghĩa về Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên một chiều;
Các định lý về
+ Kỳ vọng của hàm một biến ngẫu nhiên một chiều;
+ Kỳ vọng của hàm hai biến ngẫu nhiên một chiều;
+ Các tính chất.
• Phương sai của biến ngẫu nhiên một chiều, phương sai
của hàm một biến ngẫu nhiên một chiều.
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- bai_giang_xac_suat_thong_ke_tuan_5.pdf