Bài tập Giải tích hàm ôn thi cao học

Câu II. Cho X là một không gian định chuẩn.

1) Giả sứ f € x*,f / 0. Chứng tỏ rằng tồn tại không gian con một chiều E sao cho X = E & Ker f.

2) Cho M là một tập con của X và .ro € X. Chứng tó rằng .ro € (Af) khi và chỉ khi với mọi .r* € X* thỏa điều kiện T*(A/) = {0} thì .r*(.ro) = 0.

Câu III. Cho X.Y là hai không gian định chuẩn.

1) Giả sử /1 : X —* Y là một ánh xạ thỏa mãn điều kiện -4(r 4- y) = Ax 4- Ay, với mọi x.y € X và sup ||Ar|| < 4-OO. Chứng minh A là một ánh xạ tuyến tính liên tục.

2) Cho B : X —* Y là một ánh xạ tuyến tính. Gọi GB là đồ thị của B. Chứng minh rằng B(X) là tập đóng trong Y khi và chỉ khi tập GB 4- (X X {0}) là tập đóng trong X X Y.