Bài tập Lý thuyết tín hiệu

Giải: Tín hiệu với Vậy phổ là Phổ là 1 x(t) T t . . Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 53 b) Tín hiệu trung tâm của là Vậy Baøi 3.11: aX =0 2 nn n jba X − = nnn XXa −+= ; )( nnn XXjb −+= Tröôøng hôïp chaün: 0=nb Tröôøng hôïp leû: 0=na ∑= jwntneXtx )( Tw pi2 0 = Tín hieäu tuaàn hoaøn )2().(1 0 0 0 T wdtetx T X Tt t jnwt n pi == ∫ + − Tín hieäu khoâng tuaøn hoaøn (-L;L) T w pi2 =→ )(2)( 0ωωpiω ndXX n −= ∑ ∞ ∞− ∑ ∞ ∞− = tjnw n eXtX 0.)( a) T nX X Tn )( 0ω = Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 54 ∑ ∞ ∞− = tjnw n eXtX 0.)( ∏+= )(2sin)( T t T AtX pi TT w pipi == 2 2 0 2 .)( wTSaT T t →←∏ ∏ +−−→← TTwSa T T wSaj AT t TT tA ] 2 )2( 2 )2([ 2 2 sin).( pipipi            −= = − += − − ±≠= = +−−= +−−== 2: 4 2: 4 12:)4( 2.)1( 2;2:0 )] 2 ).2()] 2 ).2([ 4 )] 2 ).2( 2 ).2([ 42 )( 2 n Aj n Aj kn nj A nkn X nSanSaj AX T TT nSaT TT nSaj A T wX X k n n T n pi pipi pipipipi b) Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 55         += − − = ±= = ++−= = −+−= = =−+−↔ ↔ = = ∑ ∏ ∏ ∏ ∞ ∞− 12:)4( ..)1( 2:0 2: 4 ] 2 )2( 2 )2([ 4 .)( ] 2 )2( 2 )2([ 4 2 )( )(] 2 )2( 2 )2([ 2 )2cos(.)( ) 2 (.)( )().2cos(.)( 2 0 kn n nA kn n A X nSanSaAX eXtx T T wSaT T wSaAX T wX X wXT T wSaT T wSaATt TT tA wTSaT T t T w T t t T Atx k n n jwnt n n t n T pi pipi pipi pipipi pi pi Bai 3.12: a) Chu ki T’=2T w0= = t + A , 0 < t < T x(t)= Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 56 t + A , -T < t < 0 x(t)= Xn= = = ] = = • Voi n=2k ; k=±1, ±2 Suy ra Xn= 0 • Voi n=2k+1 ; k=0, ±1, ±2 Suy ra Xn= • Voi n= 0 Suy ra Xn= 0 , n=2k , k= ±1, ±2 , n=2k+1, k=0, ±1, ±2 Vaäy Xn= Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 57 , n=0 Baøi 3.12: b) Chu kì: T’ = 2T 0ω = ' 2 T pi = T2 2pi = T pi x(t) =      <<− <<−+ )0(. )0(. TtAt T A tTAt T A X(n) = ∫ − − T T tjn dtetx T .).( 2 1 0ω =             −+      + ∫∫ − − − T tjn T tjn dteAt T AdteAt T A T 0 0 ...... 2 1 00 ωω =       −++ ∫∫∫∫ −− − − − − T tjn T tjn T tjn T tjn dtedtet T dtedtet TT A 00 00 ... 1 ... 1 2 0000 ωωωω = 0 2 .. 2 ωn j T A = j. pin A ∗Với: n ≠ 0 X(n)= j. pin A ∗Với: n=0 X(n)=       −++∫ ∫ − dtA T AdtAt T A T T T ).()..( 2 1 0 0 =         −++ − T T t T t t T t T A 0 202 ) 2 () 2 ( 2 =0 ∗∗Vậy: X(n) =           ≠ = 0,. 0,0 n n Aj n pi Bai 3.13: a) Chu ki T’=2T Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 58 w0= = A , < t < 0 x(t)= -A , 0 < t < x(t)= Xn= = = - j - j + ] • Voi n=4k ; k=±1, ±2 Suy ra Xn= [ ] = 0 • Voi n=4k+2 ; k=0, ±1, ±2 Suy ra Xn= [ ] = = • Voi n= 2k+1 , k=0, ±1, ±2 Suy ra Xn= 0 , n=4k , k=0, ±1, ±2 Vay Xn= , n=4k+2, k=0, ±1, ±2 Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 59 , n=2k+1, k=0, ±1, ±2 b) w0= = x(t)= x(t)= A XT(w)= A + A XT(w)= 2Acos( Xn=XT(nw0)/(2T)= 0 n=2k+1 Xn= k n=2k Baøi 3.14 Khai trieån chuoãi thaønh fourier X(t)= a 0 + ∑ ∞ =1n (a n cos(nω t)+b n sin(nω t)) X(t)=A∏ ( τ22/ 4/ − − T Tt ) - A∏ ( τ22/ 4/ − + T Tt ) Ñaët b=T/2-2τ X T (ω )= AbSa 2 bω [ e 4/Tjω− - e 4/Tjω ] =AbSa 2 bω (-2j)sin 4 Tω ω 0 = T Π2 X n = T nX T )( 0ω = T jAb2− Sa T bnΠ sin 2 Πn X n = 0 n=0 X n = -2j T Ab (-1) k Sa( t bnΠ ) n=2k+1 Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 60 b n =2jX n keát quaû theo ñònh nghóa b n = T 2 ∫ T tdtntx 0 sin)( ω b n = Πn A2 [cosn 0ω T(1-(-1) n ] b n =0 n=2k b n = Πn A4 cos 0ω T n=2k+1 Chương 4 : Truyền tín hiệu qua mạch tuyến tính Bài 4.2: u 1 (t) = t.e-α|t| ,α= RL tìm U 1(ω ). Ta có e-α|t| ↔ 2α α2 +ω2 Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 61  t.e-α|t| = -j. 2α.2ω(α2 +ω2 )  U 1 (ω) = -j. 4αω(α2 +ω2 )2 Tìm K(ω ) U 2 =(- -2RR+jωL +1).U 1 = - R-jωL R+jωL.U 1 K(ω)= U 2(ω) U 1(ω) = - R-jωL R+jωL = (RL)-jω R L+jω = -(RL) 2 +ω2 (RL+jω) 2 = α2 +ω2 (α+jω)2  U 2 =K(ω).U 1(ω)= j 4αω(α2 +ω2 )(α+jω)2  Tìm U 2 (t)  Ta có U 2(ω) u 2 (t)   U 2(ω) = j 4αω(α2 +ω2 )(α+jω)2 = j 4αω(α2 +ω2 )(α2 -ω2 +j2αω) Ta có 1 α2 +ω2 + 1 (α-jω)2 = 2α2 +j2ω (α2 +ω2 )(α+jω)2 = 2α(α+jω) (α2 +ω2 )(α+jω)2 Mặt khác ta lại có j 4αω(α2 +ω2 )(α+jω)2 = 2α(α+jω)-2α(α-jω) (α2 +ω2 )(α+jω)2 = 2α(α+jω) (α2 +ω2 )(α+jω)2 - 2α (α+jω)3 Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 62 = 1 α2 +ω2 + 1 (α-jω)2 - 2α (α+jω)3 ⇒ u 2 (t) = 12α.e -α|t| + t e-αt .1(t) αt2 . e-αt .1(t) = 1 2α.e -α|t| +(t+αt2 ).e-αt .1(t) Bài 4.3: e(t)=ω.Saωt.cosnt u(t)= u 1(t)*k(t) k(t)= £-1 [K(ω)] k(ω)=pi ( ω2ω 0) Tìm k(t) , k(t)⇔k(ω) Tacó Sa ω 0t  ∏ ( ω2ω 0) k(t) = ω 0 pi Sa.ω 0t a, Ta lại có: u(t)=u 1(t)*k(t) =>u(ω)=I 1(ω) U(ω)K(ω) Mà i 1 (t) i 1 = e(t) R 1 = e(t)-cosSaω 0 t.cos pi t ⇒ I 1 (ω)= pi2[pi( ω-pi 2ω 0 ) + pi (ω+pi2ω 0 )] Vẽ I 1 (ω) Trường hợp 0 < Ω < ω 0 Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 63 Trường hợp ω 0 < Ω b, Tìm i 2 (t) ? u(t) = i 1(t)*k(t) i 2(t) = u(t)R 2 = u(t) k(t) = F-1 [K(ω)] K(ω) = ∏ ( ω2ω 0) Theo câu a ta ñược : I 1(ω)= pi2[pi( ω-pi 2ω 0 ) + pi (ω+pi2ω 0 )] Phổ của i 2(t) là : I 2 (ω) =U(ω) = K(ω).I(ω) Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 64 = pi 2 ∏( ω 2ω 0 )[∏( ω-pi2ω 0 )+∏ ( ω+pi 2ω 0 )] Vẽ I 2 (ω) Trường hơp 0<pi<ω Trường hợp ω 0 <pi <2ω 0 d, Tìm i 2(t) ? Ω = 3 2ω Dựa vào hình vẽ ( câu b, trường hợp ω ≤ Ω ≤ ω 0) suy ra phổ của i 2(t) là: Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 65 2 3 3 4 4( ) 1 12 2 2 o o o o I ω ω ω ωpi ω ω ω      − +     = Π + Π                Mà pi∏ ( ω1 2ω 0 ) ↔ 14ω 0Sa 1 2ω 0t ⇒ i 2(t) = 14ω 0Sa 1 4ω 0t.cos 3 4ω 0t Bài 4.4: Tín hiệu x(t) =14 Sa( t-2 4 ) có phổ X(ω) Ta có: 14Sa t 4 ⇔ pi.∏(2ω) ⇒ 1 4 Sa( t-2 4 ) ⇔ pi . ∏ (2ω).e -j2ω Y(ω) = K( ω ).X( ω ) = 7 4 .pi.∏(2 ω ).e -j2ω + 1 4.pi.Λ(4ω ).e -j2ω ⇒ y(t) = 716Sa( t-2 4 ) + 1 32Sa 2(t-24 ) Năng lượng Ey : φy( ω ) = |Y( ω )|2 =[ 74.pi.∏(2ω) + 1 4.pi.Λ(4ω)] 2 Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 66 = 1 16.pi 2 .[7.∏(2ω) + Λ(4ω)]2 = 1 16.pi 2{49.∏(2ω) + [ Λ(4ω)]2 + 14Λ(4ω)} = 1 16.pi 2[49.∏(2ω) + 14Λ(4ω) + ( 16ω2 -8|ω| +1)∏ (2ω)] ⇒ Ey= ⌡ ⌠ -∞ ∞ φy( ω )dω = 1 2pi . 1 16.pi 2[49. 12 + 14. 1 4 + 2 ⌡ ⌠ 0 ¼ (16 ω2 -8ω +1)dω] = 1 2pi . 1 16.pi 2[49. 12 + 14. 1 4 + 1 6 - 1 2 + 1 2] = pi 32.[ 147 6 + 21 6 + 1 6] = 169 192pi Bài 4.5: ϕ x(τ) = e-|τ| K(ω) = ∏ (ω2) Ta có E x = ϕ x(0) = 1 ϕ x(τ) ⇔ Φ x(ω) ⇒ Φ x(ω) = 21+ω2 Φ y(ω) = | K(ω) |2 .Φ x(ω) = ∏ (ω2) . ( 2 1+ω2 ) E y = 1 2pi ⌡ ⌠ -∞ ∞ Φ y(ω) dω = 1 2pi ⌡ ⌠ -1 1 ( 21+ω2 )dω = 1 2pi 4 ⌡ ⌠ 0 1 dω 1+ω2 Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 67 E y = 2 pi [arctgω]    1 0 = 2 pi pi 4 = 1 2 Bài 4.6: K(ω) = A(ω).ejϕ(ω) a, x(t) = 2 ⇒ X(ω) = 4piδ (ω) Yω) = Kω).X(ω) = Kω).4piδ (ω) = K(0).4piδ (ω) = 0 P x = lim T → ∞ 1 2T ⌡ ⌠ -T T [x(t)]2 .dt = 4 P y = 0 b, x(t) = 2.1(t) X(ω) = 2pi δ (ω) + 2jω Y(ω) = K(ω).X(ω) ej(pi/2) 2 jω , ω >2 e-j(pi/2) 2 jω , ω <-2 Y(ω) = ω 2 e j(pi/2) 2 jω ,0 < ω < 2 ω 2e -j(pi/2) 2 jω , -2 < ω < 0 1 , | ω | < 2 Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 68 Y(ω) = 2 |ω| , | ω | >2 P x = lim T → ∞ 1 2T ⌡ ⌠ -T T [x(t)]2 .dt = lim T → ∞ 1 2T ⌡ ⌠ 0 T 4.dt = 2 1 , |ω| < 2 φ y (ω) = | Y(ω) |2 = 4 ω2 , |ω| >2 P y = 1 pi ⌡  ⌠ 0 ∞ φ y (ω).dω = 1 pi    ⌡  ⌠ 0 2 dω + ⌡  ⌠ 2 ∞ 4 ω2 dω    = 4 pi c, x(t) = 2cost X(ω) = 2pi [δ (ω - 1) + δ (ω +1)] Y(ω) = X(ω).K(ω) = 2pi 12 [e j(pi/2) δ (ω - 1) + e-j(pi/2) δ (ω +1)] = pi.[ej(pi/2) δ (ω - 1) + e-j(pi/2) δ (ω +1)] Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 69 P x = lim T → ∞ 1 2T ⌡ ⌠ -T T [x(t)]2 .dt = lim T → ∞ 1 2T ⌡ ⌠ -T T 4cos2 t.dt = 2 ϕ y(ω) = 2pi.[14δ (ω - 1) + 1 4δ (ω +1)] P y = 1 2pi⌡ ⌠ 0 ∞ ϕ y(ω) .dω = 14 + 1 4 = 1 2 d, x(t) = 2sint X(ω) = -12 2pij.[δ (ω - 1) - δ (ω +1)] Y(ω) = -12 2pij.[e j(pi/2) δ (ω - 1) - e-j(pi/2) δ (ω +1)] = pi.[δ (ω - 1) +δ (ω +1)] P x = lim T → ∞ 1 2T ⌡ ⌠ -T T 4sin2 t.dt = 2 ϕ y(ω) = 2pi.[14δ (ω - 1) + 1 4δ (ω +1)] P y = 1 2pi ⌡ ⌠ -∞ ∞ ϕ y(ω).dω = 12pi[ 1 4 + 1 4 ].2pi = 1 2 Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 70 e, x(t) = 2cos2 t + 4costcos2t = 1 + 2cost +cos2t + 2cost3t X(ω) = 2pi δ(ω) + 2pi [δ (ω - 1) + δ (ω +1)] + pi [δ (ω - 2) + δ ( ω + 2)] + 2pi [δ (ω - 3) + δ ( ω + 3)] Y(ω) = K(ω).X(ω) = piej(pi/2) [δ (ω - 1) + δ (ω - 2) + δ (ω - 3)] +pie-j(pi/2) [δ (ω +1) + δ ( ω + 2) + δ ( ω + 3)] P x = lim T → ∞ 1 2T ⌡ ⌠ -T T (1 + 2cost +cos2t + 2cost3t)2 = lim T → ∞ 1 2T ⌡ ⌠ 0 T [(1 + 2cos2t +cos2 2t) + 4( cos2 t + 2costcos3t + cos2 3t) + 4 (cost + cos3t + costcos2t + cos2cos3t)].dt = lim T → ∞ 1 2T⌡ ⌠ 0 T (4 + 1 + 12)dt = 5,5 ϕ y(ω) = 2pi[14 δ (ω - 1) + 1 4 δ (ω - 2) + δ (ω - 3)] +2pi[14 δ (ω +1) + 1 4 δ ( ω + 2) + δ ( ω + 3)] P y = 1 2pi ⌡ ⌠ -∞ ∞ ϕ y(ω).dω = 14 + 1 4 + 1 + 1 4 + 1 4 + 1 = 3 Bài 4.7: x(t)=A. tT .∏( t 2T ) a, Ta có ∏( t2T ) ⇔ 2TSaωT Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 71 A T ∏( t 2T ) ⇔ 2ASaωT t. A T ∏( t 2T ) ⇔ j.2A ( sinωT ωT ) ⇒ X( ω ) =j.2A. ( ωT2 cosωT - TsinωT). 1(ωT)2 = j. 2A ω ( CosωT - SaωT ) E x = ⌡ ⌠ -T T ( A. tT ) 2 .dt = 2A 2 T2 ⌡  ⌠ 0 T t2 dt = 2A 2 T .T3 3    T 0 = 2 3 AT 2 Xét 0 <= τ < T ϕ x(τ) = ⌡ ⌠ τ-T T A T t. A t ( t - τ )dt = A2 T2 ⌡  ⌠ τ-T T ( t2 - tτ )dt = A2 T2 [ T 3 6 - T 2 τ + 2 3T 3 ] Xét T < τ < 2T Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 72 ϕ x(τ) = ⌡ ⌠ τ-T T A T t. A t ( t - τ )dt = A2 T2 [ T 3 6 - T 2 τ + 2 3T 3 ] Xét 2T < τ : ϕ x(τ) = 0 Vậy ϕ x(τ) = A 2 T2 ( 16|T| 3 - T2 |τ| + 23T 3 ) ∏ ( τ4T ) b, y(t) = h(t)*x(t) = ⌡  ⌠ -∞ ∞ h(u).x(t-u)du = ⌡  ⌠ -∞ ∞ e-αu .1(t) (t - u) ∏ (t-u)2T du Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 73 Xét -T < t <T y(t) = ⌡  ⌠ o T+t e-αu A T(t - u)du y(t) = AT t ⌡ ⌠ o T+t e-αu du - AT ⌡ ⌠ o T+t u.e-αu du = A T t. e-αu -α    T+t 0 + A Tu. e-αu -α    T+t 0 + A T e-αu α2    T+t 0 = A( t - T + 2T e e -t T ) Xét t > T y(t) = ⌡  ⌠ t-T t+T e-αu A T(t - u)du = 2A e t.e -t T Xét t < -T y(t) = 0 Vậy A( t - T + 2T e e -t T ) , |t| < T y(t) = 2A e t.e -t T , t > T Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 74 0 , t <-T Ta có h(t) = e-αt .1(t) , α = 1T H(ω) = 1 α+jω = T 1+jωT | H(ω) | = T 1+(ωT)2 Y(ω) = H(ω).X(ω) = T 1+jωT. j 2A ω (cosωT - SaωT) φ y(ω) = | Y(ω) |2 = 4A2 T2 1+(ωT)2 (cosωT - SaωT2 ) . 1 ω2 Bài 4.8: a, x(t) = A ∏ ( tT 2 ) x(t) → X T(ω) ⇒ X T(ω) = AT2 Sa ( ωT 4 ) X n = X T(ω) T = A 2 Sa ( ωT 4 ) = A 2 Sa (n pi 2) X(ω) = 2pi Σ n = ∞ n = -∞ X n δ (ω - nω 0) = 2pi Σ n = ∞ n = -∞ A 2 Sa (n pi 2) δ (ω - n 2pi T ) = piA Σ n = ∞ n = -∞ Sa (n pi2) δ (ω - n 2pi T ) b, Y(ω) = K(ω).X(ω) Với n =0 ⇒ X(ω) =0 ⇒ Y(ω) = 0 Với n = ± 2; ± 4 ⇒ X(ω) =0 ⇒ Y(ω) = 0 Với n = ± 1; ± 3 Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 75 X(ω) = piA[ 1 pi 2 δ ( ω - 2piT ) + 1 pi 2 δ ( ω + 2piT ) - 1 3pi 2 δ ( ω - 6piT ) - 1 3pi 2 δ ( ω + 6piT )] Yω) = piA[ 1 pi 2 2 pi δ( ω - 2piT ) + 1 pi 2 2 pi δ( ω + 2piT ) - 1 3pi 2 3pi 2 δ( ω - 6pi T ) - 1 3pi 2 3pi 2 δ( ω + 6pi T )] ⇒ Yω) = piA[ δ( ω - 2piT ) + δ( ω + 2pi T ) - δ( ω - 6pi T ) - δ( ω + 6pi T )] c, Ta có: Yω) = 2pi[ A2δ( ω - 2pi T ) + A 2δ( ω + 2pi T ) - A 2δ( ω - 6pi T ) - A 2 δ( ω + 6pi T )] Ψ y(ω) = 2pi[ A 2 4 δ( ω - 2pi T ) + A2 4 δ( ω + 2pi T ) - A2 4 δ( ω - 6pi T ) - A2 4 δ( ω + 6pi T )] = piA2 2 [ δ( ω - 2pi T ) + δ( ω + 2pi T ) - δ( ω - 6pi T ) - δ( ω + 6pi T )] P y = piA2 2pi.2 ( 1+ 1 + 1 + 1) = A 2 Bài 4.9: a, x(t) = z(t)*Sa4ω 0t mà z(t) = pi ∏ ( 2tT )* 1 T ||| ( t T ) , T= 2pi ω 0 Ta thấy z(t) là tín hiệu tuần hoàn với chu kì T z(t) = x 1(t)* 1T ||| ( t T ) Z(ω) = X 1(ω). 2piT Σ n = ∞ n = -∞ δ (ω - nω 0) Xét tín hiệu x 1(t) x 1(t) = pi ∏ ( tT 2 ) ⇒ X 1(ω) = piT2 Sa ( ωT 4 ) = piT 2 Sa (n pi 2) Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 76 ⇒ Z(ω) = pi Σ n = ∞ n = -∞ Sa (n pi2). δ (ω - nω 0) X(ω) = Z(ω). pi4ω 0 ∏ ( ω 8ω 0 ) = pi3 4ω 0 [ 1 pi 2 δ (ω - ω 0) + 1 pi 2 δ (ω + ω 0) + 1 -3pi 2 δ (ω - 3ω 0) + 1 -3pi 2 δ (ω + 3ω 0)] = pi2 2ω [δ (ω - ω 0) + δ (ω + ω 0) - 13 δ (ω - 3ω 0) - 13 δ (ω + 3ω 0)] = piT 4 [δ (ω - ω 0) + δ (ω + ω 0) - 13 δ (ω - 3ω 0) - 13 δ (ω + 3ω 0)] ⇒ X(ω) = 2pi [ T8 δ (ω - ω 0) + T8 δ (ω + ω 0) - T24 δ (ω - 3ω 0) - T24 δ (ω + 3ω 0)] Ψ x(ω) = 2piT 2 64 [ pi2 4 δ(ω) + δ (ω - ω 0) + δ (ω + ω 0) + 19 δ (ω - 3ω 0) + 19 δ (ω + 3ω 0)] P x = 1 2pi.2pi. T2 64 [ 1 + 1 + 1 9 + 1 9 + pi2 4 ] = 0,0347T 2 b, Y(ω) = K(ω).X(ω) Y(ω) = piT4 [ 1 3 δ (ω - ω 0) + 13 δ (ω + ω 0) - 13 δ (ω - 3ω 0) - 13 δ (ω + 3ω 0)] = 2pi [ T24 δ (ω - ω 0) + T24 δ (ω + ω 0) - T24 δ (ω - 3ω 0) - T24 δ (ω + 3ω 0)] Ψ y(ω) = 2pi T 2 576 [δ (ω - ω 0) + δ (ω + ω 0) + δ (ω - 3ω 0) + δ (ω + 3ω 0)] P y = 1 2pi.2pi. T2 576[ 1 + 1 + 1 + 1 ] = 0,0069T 2 = 0,1938P x c, Ta có: Y(ω) = piT12 [ δ (ω - ω 0) + δ (ω + ω 0) - δ (ω - 3ω 0) - δ (ω + 3ω 0)] ⇒ y(t) = T12 ( cosω 0t - cos3ω 0t ) Ψ y(ω) = T 2 288 [piδ (ω - ω 0) + piδ (ω + ω 0) + piδ (ω - 3ω 0) + piδ (ω + 3ω 0)] ⇒ ϕ y(t) = T 2 288 ( cosω 0t + cos3ω 0t ) Bài 4.10: x(t)=pi|sinω 0t| ta thấy x(t) là tín hiệu tuần hoàn của x 1(t) với chu kì pi2 Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 77 x 1(t)=pisinω 0t.pi ( tT 2 ) X 1(ω)= piTj4 [Sa (ω-ω 0)T 4 - Sa (ω+ω 0)T 4 ] => X(ω) = pi 2 j4 Σ i = ∞ i = n=-∞ (Sa (n-1)pi2 - Sa (n+1)pi 2 ) Y(ω)=K(ω).X(ω) Vẽ hình Y(ω)= pi 2 j4[ ( 1 pi 2 + 1 3pi 2 ) ] 45j. δ (ω- ω 0)+ ( 13pi 2 - 1 pi 2 ). 45(-j).δ (ω-ω 0) Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 78 CHƯƠNG 5 – TÍN HIỆU ðIỀU CHẾ Bài 5.1 Một máy phát làm việc trong hệ ñiều chế AM, có tần số của sóng mang f0=104kHz. Bề rộng phổ của tín hiệu tin tức là 300 Hz - 3.4kHz. Hỏi máy thu tín hiệu trên cần bề rộng dải thông là bao nhiêu và làm việc ở dải tần nào? Bài 5.2 Ở ñầu vào của mạch lọc thông thấp có ñặc tuyến tần số ( ) o K ωω ω   = Λ     ñược ñưa ñến tín hiệu [ ] 5( ) ( ) .cos2 10AM t A t ty x pi= + ; cho biết hệ số ñộ sâu ñiều chế 0.5m = và 1 1 2 o ωω = . Hãy tìm tín hiệu ở ñầu ra mạch lọc z(t), phổ ( )Z ω và công suất của tín hiệu. Bài 5.3 Tín hiệu AM có dạng [ ] 5( ) ( ) .cos2 10AM t A t ty x pi= + , trong ñó tín hiệu tin tức x(t) lá tín hiệu tuần hoàn ñược biểu diễn trên hình B5.1.Hãy tìm biên ñộ nhỏ nhất của sóng mang minA ,ñể tín hiệu ( )AM ty ñược tách sóng khong bị méo trong mạch tách sóng hình bao. Hãy vẽ tín hiệu AM tương ứng với biên ñộ tìm ñược và tín hiệu AM-SC, 5( ) ( ).cos2 10SCAM t t ty x pi− = Bài 5.4 Tín hiệu AM ñược tạo trong mạch ñiều chế như trên hình B.5.4. ở ñầu vào hệ thống ñược ñưa tới tín hiệu tin tức ( ) 315.cos10t tx = và ( ) 65.cos10t ty = .Hãy tính hệ số ñộ sâu ñiều chế của tín hiệu ( )AM ty ở ñầu ra của mạch ñiều chế. Cho biết ñặc tuyến của mạch phi tuyến là 2w 10 2 0.02z z= + + ; còn ñặc tuyến tần số của mạch lọc là: ( ) 6 6 3 3 10 10 3.10 3.10 K ω ωω    − + = Π + Π        Bài 5.5 Cho tín hiệu ñiều biên ( ) (1 cos ).cosAM t U m t tu ω= + Ω . Hãy ñưa ra công thức tính hệ số ñộ sâu ñiều chế m , với m ≤ 1, theo các thông số của tín hiệu: a) Giá trị cực ñại m axU và giá trị cực tiểu minU của hình bao ( )AMu t . b) Hệ số sóng hài m AM Ph P = , trong ñó AMP là công suất trung bình của tín hiệu và mP là công suất trung bình khi lọc bỏ sóng mang. Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 79 Bài 5.6 Áp dụng kết quả bài 5.5, ñể tìm các hệ số sâu ñiều chế của tín hiệu AM sau ñây: ( ) (1 0.3cos 0.4cos2 ).cosAM t U t t tu ω ω= + + Ω Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 80 Bài 5.7 Ở ñầu vào của một mạch lọc có ñặc tuyến tần số ( )K ω , ñược ñưa ñến tín hiệu ñiều biên có dạng: ( ) ( )1 cosvx t A x t t= + Ω   Tín hiệu ở ñầu ra của mạch cũng là tín hiệu ñiều biên: ( ) ( )1 cosrx t B y t t= + Ω   a)Hãy vẽ phổ của tín hiệu ñầu ra mạch lọc. b)Tìm quá trình y(t) và năng lượng của nó. Cho biết: 2A = ; 10 /rd sΩ = ; ( ) 2x t Sa t= ; 10 10( ) 4 4 K ω ωω − +   = Λ + Λ        Bài 5.8 Sóng mang sin 2 otω bị ñiều chế bởi tín hiệu oSa tω trong hệ AM, ở ñầu ra của mạch ñiều chế nhận ñược ( )( ) 1 sin 2AM o oy t Sa t tω ω= + . Tín hiệu ( )AMy t ñược ñưa ñến mạch phi tuyến có ñặc tuyến z y= (hình 5.8),và sau ñó cho qua mạch lọc thông dải có ñặc tuyến tần số: 4 4( ) 2 2 o o o o K ω ω ω ωω ω ω    − + = Π + Π        Hãy tìm tín hiệu w( )t và công suầt trung bình của nó. Bài 5.9 Một ñài phát làm việc với song mang có bước sóng 300mλ = , sóng mang bị ñiều chế bởi tín hiệu ( ) 3cos 2 10x t a tpi= trong hệ AM. ðiện áp của tín hiệu ñiều biên AM ñược ñưa ñến mạch cộng hưởng với tần số sóng mang (hình 5.9). Hãy tìm hệ số phẩm chất nhỏ nhất cần có của mạch cộng hưởng, ñể tỉ số giữa biên ñộ dải bên với biên ñộ sóng mang của dòng iAM(t) suy giảm không lớn hơn 3dB so với tỷ số giữa biên ñộ sóng bên với biên ñộ sóng mang của tín hiệu uAM(t). Bài 5.10 Ở ñầu vào mạch cộng hưởng nối tiếp trên hình 5.9, ñược ñưa ñến tín hiệu ñiều biên: ( ) ( ) ( )4 6100 50 cos10 cos10AMu t t t V= + Mạch ñược ñiều chỉnh cộng hưởng ở tần số sóng mang. a) Hãy tính hệ số phẩm chất,nếu biết rằng, ñường bao của tín hiệu dòng ñiện iAM(t) bị dịch chuyển so với ñường bao của tín hiệu ñiện áp uAM(t) một góc 3 pi . Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 81 b) Tìm các thông số L, R của mạch, cũng như hệ số ñộ sâu ñiều chế dòng ñiện mi, nếu 2C nF= Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 82 BÀI GIẢI Bài 5.1 Tần số sóng mang: 104of kHz= Bề rộng phổ của tín hiệu tin tức: 300 Hz – 400 kHz ( min maxf f− ) Bề rộng dải thông: max max2 2.2 2 .2.3, 4 2 .6,8AMB fω pi pi pi= = = = (rad/s) Dải tần làm việc của máy thu tín hiệu: min max' 104 3, 4 100,6of f f= − = − = kHz max max' 104 3,4 107,4of f f= + = + = kHz Bài 5.2 1( ) (1 os ) os 4AM oy t mc t c t pi ω ω = + +    ( ) (1 0.5 os ) os 2 4 o AM oy t c t c t ω pi ω = + +    os 0.5cos .cos 4 2 4 o o oc t t t ωpi pi ω ω   = + + +        1 3 os cos cos 4 4 2 4 2 4 o o oc t t t ωpi pi pi ω ω       = + + + + +            Phổ của tín hiệu ( )AMy t là: ( ) ( ) ( )( ) 4 41 1 1 3 3 4 2 2 2 2 j AM o o j o o o o Y e e pi ω pi ω ω pi δ ω ω δ ω ω pi δ ω ω δ ω ω δ ω ω δ ω ω = − + +          + − + + + − + +                  ðặt: ( ) ( ) ( )( )' 1 1 1 3 3 4 2 2 2 2 AM o o o o o o Y ω pi δ ω ω δ ω ω pi δ ω ω δ ω ω δ ω ω δ ω ω = − + +          + − + + + − + +                  Ở ñầu vào mạch lọc thông thấp có ñặc tuyến tần số: ( ) 0 K ωω ω   = Λ     Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 83 Phổ của tín hiệu ở ñầu ra mạch lọc: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 41 1 1. ' . . 8 2 2 j j AM AM o oZ Y K Y K e e pi pi ω ω ω ω ω ω pi δ ω ω δ ω ω    = = = − + +          Tín hiệu ở ñầu ra mạch lọc: 1 1( ) cos 8 2 4o z t t pi ω = +    Công suất của tín hiệu z(t): 21 18 2 128z P       = = Kết luận: *Tín hiệu ở ñầu ra mạch lọc: 1 1( ) cos 8 2 4o z t t pi ω   = +    *Phổ của tín hiệu: ( ) 41 1 1 8 2 2 j o oZ e pi ω ω pi δ ω ω δ ω ω    = − + +          *Công suất của tín hiệu: 1 128z P = Bài 5.3 [ ] 5( ) ( ) .cos 2 10AMy t A x t tpi= + Biên ñộ nhỏ nhất của sóng mang min A ñể tín hiệu ( )AMy t ñược tách sóng không bị méo trong mạch tách sóng hình bao { }max ( ) : ( ) 0A x t x t≥ min 1A = Tín hiệu AM tương ứng với biên ñộ A=1 Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 84 Tín hiệu AM-SC: 5( ) ( ) cos 2 10AM SCy t x t tpi− = Bài 5.4 Ta có: 3 6( ) ( ) ( ) 15cos10 5cos10z t x t y t t t= + = + Mà 2w 10 2 0.02z z= + + => 3 6 2 3 2 6 3 6 9 1 w(t) 10 30cos10 10cos10 cos 10 cos 10 3cos10 .cos10 2 2 t t t t t t= + + + + + 3 6 3 6 3 69 9 1 110 30cos10 10cos10 cos 2.10 cos 2.10 3cos10 .cos10 4 4 4 4 t t t t t t= + + + + + + + ( )3 6 3 6 3 6 6 325 9 1 330cos10 10cos10 cos 2.10 cos 2.10 cos(10 10 ) cos(10 10 )2 4 4 2t t t t t t= + + + + + − + + Phổ của tín hiệu w(t): 3 3 6 6W( ) 25 ( ) 30 ( 10 ) ( 10 ) 10 ( 10 ) ( 10 )ω piδ ω pi δ ω δ ω pi δ ω δ ω   = + − + + + − + +    3 3 6 69 1( 2.10 ) ( 2.10 ) ( 2.10 ) ( 2.10 ) 4 4 pi δ ω δ ω pi δ ω δ ω   + − + + + − + +    3 6 3 6 3 6 3 63 ( (10 10 )) ( (10 10 )) ( (10 10 )) ( (10 10 )) 2 pi δ ω δ ω δ ω δ ω + − − + + − + − + + + +  ðặc tuyến của mạch lọc: ( ) 6 6 3 3 10 10 3.10 3.10 K ω ωω    − += Π + Π        Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 85 Phổ của tín hiệu ra sau khi qua mạch lọc: ( )( ) W( ).AMY Kω ω ω= 6 6 3 6 3 6310 ( 10 ) ( 10 ) ( (10 10 )) ( (10 10 )) 2 pi δ ω δ ω pi δ ω δ ω   = − + + + − − + + −    3 6 3 63 ( (10 10 )) ( (10 10 )) 2 pi δ ω δ ω + − + + + +  Tín hiệu ñầu ra mạch lọc: ( ) ( )6 3 6 3 63 3( ) 10cos10 cos 10 10 cos 10 102 2AMy t t t t= + − + + 6 3 610cos10 3cos10 cos10t t t= + Vậy hệ số ñộ sâu ñiều chế của tín hiệu ( )AM ty : 3 0.3 10 m = = Bài 5.5 a) ( ) (1 cos ).cosAM t U m t tu ω= + Ω ðặt cosx tω= ( [ ]1;1x ∈ − ) ( ) (1 )f x U mx= + ( )U mU f x U mU=> − ≤ ≤ + ax ax ( )m mU f x U mU= = + min min ( )U f x U mU= = − => ax min 2mU U mU− = , ax min 2mU U U+ = ax min ax min m m U U m U U − => = + b) m AM Ph P = ( ) (1 cos ).cosAM t U m t tu ω= + Ω cos cos cosU t mU t tω= Ω + Ω ( ) ( )1cos cos cos 2 U t mU t tω ω= Ω + + Ω + − Ω   Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 86 21 1 . ( ) 2 2m P mU= , 2 21 1 1. ( ) 2 2 2AM P U mU= + 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 m AM mUPh P U mU = = + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 21 1 1 m h m m h h m m h h + ⇔ = = + ⇔ = ⇔ = − − Bài 5.6 a) ( ) (1 0.3cos 0.4cos2 ).cosAM t U t t tu ω ω= + + Ω 2(0.6 0.3cos 0.8cos ).cosU t t tω ω= + + Ω ðặt cos t xω = với [ ]1;1x ∈ − 2( ) 0,6 0,3 0,8f x x x= + + '( ) 0,3 1,6f x x= + 3 '( ) 0 16 f x x −= = Bảng biến thiên: x -1 3 16 − 1 '( )f x - 0 + ( )f x 1,1 1,7 0,57 => max ( ) 1,7f x = , min ( ) 0,57f x = ax ax. 1.7m mU U f U= = in min. 0.57mU U f U= = ax in ax in 1,7 0,57 1,13 0.498 1,7 0,57 2,27 m m m m U U U U m U U U U − − = = = ≈ − + b) ( ) (1 0.3cos 0.4cos2 ).cosAM t U t t tu ω ω= + + Ω cos 0