Bài tập phương pháp toán lý

Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 1 Ngày 21-02-2012 Bài tập PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ Phương trình truyền sóng 1. Vẽ dạng của dây vô hạn dao động tự do nếu vận tốc ban đầu bằng không, còn độ lệch ban đầu được cho bởi: ( )        > ≤<− ≤<− ≤ = 3 0 32 3 21 1 1 0 0, xkhi xkhix xkhix xkhi xu tại các thời điểm 00 =t , 2 1 1 =t , 12 =t , 5,23 =t . Xét dao động tại các điểm 0=x , 2=x , 1=x , 1−=x ( khi nào bắt đầu dao động, khi nào thôi ), biết vận tốc truyền sóng 2=a . 2. Vẽ dạng của dây nửa vô hạn, gắn chặt ở đầu mút, dao động tự do, biết rằng vận tốc ban đầu bằng không, độ lệch ban đầu được cho bởi: ( )        +∞≤≤ ≤≤− ≤≤ = x lxl lx xu l2 0 2 xsin 0 0 0, nÕu nÕu l nÕu pi tại các thời điểm t bằng a l 4 , a l , a l 4 5 , a l 2 3 , a l 4 7 , a l 4 9 . 3. Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút 0=x , lx = , biết độ lệch ban đầu được cho bởi: ( ) ( )240, l xlx xu − = ( lx ≤≤0 ), còn vận tốc ban đầu bằng không. Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ) l atn l xn n txu n pipi pi 12 cos 12 sin 12 132 , 0 33 ++ + = ∑ ∞ = . 4. Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút 0=x , lx = , biết độ lệch ban đầu bằng không, và vận tốc ban đầu được cho bởi: ( ) ( )       > < = ∂ ∂ 2 c-x 0 2 c-x c-xcos0, 0 pi pi nÕu nÕuv t xu , Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 2 Ngày 21-02-2012 trong đó 0v là hằng số dương và 22 pipi −<< lc . Đáp số: ( ) l atk l xk l kk l k l ck a v txu k pipi pi pipi pi sinsin 1 2 cossin4 , 1 2 22 2 0 ∑ ∞ =       − = . 5. Xác định dao động dọc của một thanh đồng chất nếu một mút gắn chặt, còn một mút tự do, biết các điều kiện ban đầu: ( )xfu t = =0 , ( )xFt u t = ∂ ∂ =0 . Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ) l xn l atnb l atn atxu n nn 2 12 sin 2 12 sin 2 12 cos, 1 pipipi +     + + + =∑ ∞ = với ( ) ( ) dx l xn xf l a l n ∫ + = 0 2 12 sin2 pi , ( ) ( ) ( ) dx l xn xF xn b l n ∫ + + = 0 2 12 sin 12 4 pi pi . 6. Cũng như bài 5. , nhưng cả hai mút đều tự do. Đáp số: ( ) ( ) ( )[ ] l xn l atnb l atn adxxtFxf l txu n nn l pipipi cossincos1, 10 ∑∫ ∞ =       +++= với ( ) dx l xn xf l a l n ∫= 0 cos 2 pi , ( ) dx l xn xF an b l n ∫= 0 cos 2 pi pi . 7. Một thanh đồng chất có độ dài 2l bị nén nên độ dài của nó còn lại là 2l(1 - ε). Lúc t = 0, người ta buông ra. Chứng minh rằng độ lệch u của thiết diện có hoành độ x ở thời điểm t được cho bởi: ( ) ( )( ) ( ) ( ) l atn l xn n l txu n n 2 12 cos 2 12 sin 12 18 , 0 2 1 2 pipi pi ε ++ + − = ∑ ∞ = + , nếu gốc toạ độ đặt ở tâm của thanh. Hướng dẫn: Các điều kiện biên và điều kiện ban đầu là: ( ) 0, = ∂ −∂ x tlu , ( ) 0, = ∂ ∂ x tlu , ( ) xxu ε−=0, , ( ) 00. = ∂ ∂ t xu . 8. Xét dao động tự do của một dây gắn chặt ở các mút 0=x , lx = trong một môi trường có sức cản tỷ lệ với vận tốc, biết các điều kiện ban đầu: Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 3 Ngày 21-02-2012 ( )xfu t = =0 , ( )xFt u t = ∂ ∂ =0 . Đáp số: ( ) ( ) l xn tqbtqatxu n nnnn pi sinsincos, 1 ∑ ∞ = += 2 2 222 h l anqn −= pi , ( ) dx l xn xf l a l n ∫= 0 sin2 pi , ( ) dx l xn xF lq a q hb l n n n n ∫+= 0 sin2 pi . Hướng dẫn: Phương trình dao động là: 2 2 2 2 2 2 x u a t uh t u ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ . 9. Xác định dao động của một dây gắn chặt ở mút 0=x , còn mút lx = chuyển động theo quy luật tA ωsin , biết rằng độ lệch và vận tốc ban đầu bằng không. Đáp số: ( ) ( ) l xn l atn l anl aA l a tx a A txu n n pipi pi ω ω ω ω ω sinsin12 sin sinsin , 1 2 2 1 ∑ ∞ = −       − − += . Hướng dẫn: Tìm u dưới dạng u = v +w, trong đó w thoả mãn phương trình dao động của dây với các điều kiện ( ) 0,0 =tw , ( ) tAtlw ωsin, = , còn v cũng thoả mãn phương trình đó với các điều kiện ( ) 0,0 =tv , ( ) 0, =tlv , ( ) ( )0,0, xwxv −= , ( ) ( ) t xw t xv ∂ ∂ −= ∂ ∂ 0,0, . 10. Tìm dao động dọc của một thanh đồng chất có một mút cố định, còn mút kia chịu tác dụng của lực Q (lên một đơn vị diện tích) dọc theo thanh, biết rằng độ lệch và vận tốc ban đầu bằng không. Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∞ = + ++ − −= 0 22 12 2 12 sin 2 12 cos18 , n n n l xn l atn E Ql x E Q txu pipi pi . 14. Một màng hình vuông đồng chất lúc 0=t có độ lệch được xác định bởi ( ) ( )( )ybxbAxyyxu −−=0,, , trong đó bx ≤≤0 , by ≤≤0 , dao động với vận tốc ban đầu bằng không, mép gắn chặt. Hãy xác định dao động của màng. Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 4 Ngày 21-02-2012 Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b at mn mn b ym b xn Ab tyxu n pi pipi pi 22 0 226 4 1212cos 1212 12 sin12sin64 ,, +++ ++ ++ = ∑ ∞ = 15. Một màng hình chữ nhật lx ≤≤0 , my ≤≤0 , gắn chặt ở mép, lúc 0=t bị một xung lượng tập trung tại tâm của màng, sao cho: ∫∫ =→ εσ ε Adxdyv00lim , trong đó A là hằng số, v0 là vận tốc ban đầu, εσ là lân cận của tâm của màng. Hãy xác định dao động của màng. Đáp số: ( ) ( )∑ ∞ = Ψ      Ψ = 1, sin,2 , 24 ,, nk knkn kn kn atyx ml mla A tyxu piµ µpi , với ( ) m yn l xkyxkn pipi sinsin, =Ψ , 22       +      = m n l k knµ . Phương trình truyền nhiệt 1. Tìm nghiệm của phương trình: 2 2 2 x u a t u ∂ ∂ = ∂ ∂ ( lx t ) thoả mãn các điều kiện : ( ) 0,0 =tu , ( ) 0, =tlu ( 0>t ), ( )       ≤< ≤< = lxll l xx xu 2 x - 2 0 0, nÕu nÕu . Đáp số: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ∑ ∞ = +       + − + − = 0 2 222 22 12 sin12exp 12 14 , n n l xn l tan n l txu pipi pi 2. Một thanh đồng chất có độ dài l , hai mút được giữ ở nhiệt độ không, nhiệt độ ban đầu trong thanh được cho bởi: ( ) 20 l xlcx u t − = = , Hãy xác định phân bố nhiệt độ trong thanh tại thời điểm t > 0. Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 5 Ngày 21-02-2012 Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∞ = +       + − + = 0 2 222 33 12 sin12exp 12 18 , n l xn l tan n c txu pipi pi 3. Một thanh đồng chất có độ dài l , mút x = 0 được giữ ở nhiệt độ không, còn tại mút x = l có sự trao đổi nhiệt với môi trường ngoài giữ ở nhiệt độ không. Tìm phân bố nhiệt độ trong thanh ở thời điểm t > 0 biết rằng nhiệt độ ban đầu trong thanh được cho bởi ( )xu t ϕ= =0 . Đáp số: ( ) ( ) ( ) dxl x x l x l ta pp p l txu n l n nn n n µϕµµ µ µ sinsinexp 1 2 , 01 2 22 2 22 ∫∑ ∞ =         − ++ + = trong đó 1µ , 2µ , ... là những nghiệm dương của phương trình ptg µµ = , 0>= hlp . 4. Một thanh đồng chất có một mút cách nhiệt, còn một mút giữ ở nhiệt độ không đổi u0 . Tìm phân bố nhiệt độ trong thanh biết nhiệt độ ban đầu ( ) ( )xxu ϕ=0, . Đáp số: ( ) ( ) ( )∑ ∞ = +       + −+= 0 2 222 0 2 12 cos 4 12 exp, n n l xn l tan autxu pipi , với ( ) ( ) ( ) ( )pi piϕ 12 41 2 12 cos 2 0 0 + −− + = ∫ n udx l xn x l a n l n . Hướng dẫn: Tìm u(x,t) có dạng u(x,t) = u0 + v(x,t). 5. Tìm phân bố nhiệt độ trong một thanh đồng chất, biết nhiệt độ ban đầu bằng không, nhiệt độ tại mút x = l bằng không, còn nhiệt độ tại mút x = 0 được cho bởi u(0,t) = At. Đáp số: ( ) ∑ ∞ =       −+               +      −      −      −= 1 2 222 223 223 2 2 sinexp1223 6 1, n l xn l tan na Al l x l x l x a Al l xAttxu pipi pi . Hướng dẫn: Tìm u(x,t) dưới dạng u(x,t) = u1(x,t) + u2(x,t) , trong đó u1(x,t) thoả mãn phương trình truyền nhiệt, thoả mãn điều kiện u1(0,t) = At , u1(l,t) = 0. 6. Cũng bài toán như bài 5, nhưng u(0,t) = 4Asinωt. Đáp số: ( ) ∑ ∞ =       −−      −= 1 2 222 sinexp2sin1, n n l xn l tan n aA t l xAtxu pipi pi ω ω , Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 6 Ngày 21-02-2012 trong đó ∫       = l n dl an a 0 2 cosexp τωττpi . 7. Tìm nghiệm của phương trình: 2 2 x u t u ∂ ∂ = ∂ ∂ thoả mãn các điều kiện: ( ) 0,0 =tu , ( ) tAetlu −=, , ( ) l xAxu =0, . Đáp số: ( ) ( )( )∑ ∞ = −       −− − − += 1 2 22 222 2 sinexp12, n n t l xn t l tn lnn Al e l Ax txu pipi pipi 8. Một tấm đồng chất hình chữ nhật px ≤≤0 , qy ≤≤0 có mép được giữ ở nhiệt độ không. Tìm phân bố nhiệt độ trong tấm ở thời điểm 0>t , nếu nhiệt độ lúc 0=t được cho bởi ( ) ( )yxyxu ,0,, ϕ= . Đáp số: ( ) ∑ ∞ =             +−= 1, 2 2 2 2 2 sinsinexp,, mn mn q yn p xm t q n p mAtyxu pipipi , trong đó ( ) dxdy q yn p xmyx pq A p q mn pipiϕ sinsin,4 0 0 ∫ ∫= . 9. Tìm hàm điều hoà trong miền hình chữ nhật { }mylxD ≤≤≤≤= 0 ; 0 thoả mãn điều kiện biên sau: ( ) ( )ymAyyu −=,0 , ( ) 0, =ylu , ( ) 00, =xu , ( ) 0, =mxu . 10. Tìm hàm điều hoà trong miền hình chữ nhật { }mylxD ≤≤≤≤= 0 ; 0 thoả mãn điều kiện biên sau: ( ) 0,0 =yu , ( ) 0, =ylu , ( ) l xBxu pisin0, = , ( ) 0, =mxu . 11. Tìm nghiệm của phương trình Laplace trong miền hình chữ nhật { }mylxD ≤≤≤≤= 0 ; 0 thoả mãn điều kiện biên sau: ( ) ( )ymAyyu −=,0 , ( ) 0, =ylu , ( ) l xBxu pisin0, = , ( ) 0, =mxu . 12. Tìm hàm điều hoà trong miền hình chữ nhật { }mylxD ≤≤≤≤= 0 ; 0 thoả mãn điều kiện biên sau: Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 7 Ngày 21-02-2012 ( ) Ayu =,0 , ( ) Ayylu =, , ( ) 00, = ∂ ∂ y xu , ( ) 0, = ∂ ∂ y mxu . 13.Tìm miền hypebolic, parabolic và eliptic của phương trình: 0' 2 1 "" =+− yyyxx uy yuu . Đưa phương trình về dạng chính tắc trong miền hypebolic. 14. Đưa phương trình sau về dạng chính tắc: ( ) 0'"1" =+++ xyyxx uuyu . 15. Đưa phương trình sau về dạng chính tắc: 0''"" 2 2 =+++ y x yyxx uy u uyu . 12. Tính tích phân: ( ) ( ) ( )( )∫∫ ++ S dSznzynyxnx ,cos,cos,cos trong đó S là mặt (elipxoit : 12 2 2 2 2 2 =++ c z b y a x ) n r là pháp tuyến ngoài đối với S. 13.Tìm mô men quán tính của mặt chỏm cầu đồng chất có phương trình 2222 Rzyx =++ bị cắt bởi mặt phẳng Hz = ( chỏm phía trên ) đối với trục 0z . Biết tỷ khối mặt không đổi và bằng đơn vị. 14.Tìm toạ độ trọng tâm của phần mặt nón 22 2 22 z H Ryx =+ bị cắt bởi mặt phẳng Hz = . Biết tỷ khối mặt không đổi và bằng đơn vị.