Bài tập RoBot

Bài tập RoBot số 1 đề 2 1. a. Tìm phép biến đổi H gồm các phép biến đổi thực hiện so với toạ độ gốc theo thứ tự sau : + Rot(z,900) ; + Rot(y,450) ; + Trans(6,-6,7) ; Giải thích ý nghĩa của phép biến đổi trên b. Cho một véc tơ u = [6,-7,6]T trong hệ toạ độ gốc. Hãy tìm vectơ mới v sau phép biến đổi trên. c. Vẽ và giải thích hệ toạ độ biểu diễn phép biến đổi trên và vị trí của vectơ u và v 2. Cho Robot có cấu hình như hình vẽ : a2 = 0,3 m Xây dựng hệ toạ độ cho các thanh nối. Xác định ma trận T biểu diễn hệ toạ độ tay Robot. Giải thích ý nghĩa của ma trận T. Xác định vị trí của tay Robot trong hệ toạ độ gốc khi q1 = 300, q2 = 300, d = 0,1 m. 3. Cho Robot q - r có r1 = 0 ,5 m ; m1 = m2 = 2,5 Kg. Khớp tịnh tiến chuyển động với tốc độ r’ = 0,2 m/s từ r1 đến rmax = 1,5 m. Khớp quay quay với tốc độ q’ = p/15 rad/s. Giá trị góc ban đầu là 0 rad. Xác định góc q của Robot ở cuối hành trình chuyển động. Hãy xác định mômen ở khớp quay và lực tổng hợp ở khớp tịnh tiến khi Robot ở cuối hành trình chuyển động. Bài làm Câu 1. a. Phép biến đổi vầ ý nghĩa của nó Cho một hệ toạ độ [Oxyz] gốc thực hiện một phép biến đổi H so với hệ toạ độ gốc theo thứ tự Rot(z,900) Rot(y,450) Trans(6,-6,7) nhận được hệ toạ độ mới [Oxyz]’. Để xác định ma trận biểu diễn hệ [Oxyz]’ theo hệ gốc [Oxyz] trước tiên ta tính các ma trận cho từng phép biến đổi thành phần Ta có : Rot(z, q ) = Rot(y, q) = Trans(dx,dy,dz) = Như vậy ta có kết quả : Trans(6,-6,7) = Rot(z,900) = Rot(y,450) = ý nghĩa của phép biến đổi : Phép biến đổi H cho phép xác định toạ độ của một vectơ bất kỳ v trong hệ toạ độ mới theo hệ toạ độ cũ. Đối với kỹ thuật Robot phép biến đổi H có ý nghĩa rất lớn trong việc xác định hướng và vị trí của khâu tác động cuối, đồng thời xác định được hàm toán học mô tả hướng và vị trí giữa các liên trục với nhau. b. Cho vector u = [6,-7,6]T ,tìm toạ độ của vecto u trong hệ toạ độ mới: Gọi vetor u sau khi biến đổi là v.Ta tính v như sau Đặt T là ma trận mô tả hệ trục toạ độ mới so với hệ trục toạ độ gốc T = Rot(z,900)*Rot(y’,450)*Trans(6,-6,7) T = v = T*u Với u = ị v = c. Vẽ và giải thích phép biến đổi : Vẽ hệ toạ độ biểu diễn phép biến đổi và toạ độ của hai vecto u,v trong từng hê. trục toạ độ tương ứng Giải thích: Theo như đầu bài ta có hệ trục toạ độ (x,y,z) sau các phép biến đổi +)Rot(z,900) ta có hệ trục toạ độ mới là (x’,y’,z’) +)Rot(y’,450) ta có hệ trục toạ độ mới là (x’’,y’’,z’’) +)Trans(6,-6,7) ta có hệ trục toạ độ mới là (x’’’,y’’’,z’’’) Sau khi thực hiện vẽ hình minh hoạ ta cũng có thể tính được toạ độ của vector u khi xét trong hệ trục toạ độ (x’’’,y’’’,z’’’) như hình vẽ Câu 2. a. Xây dựng hệ toạ độ cho các thanh nối b. Xác định ma trận T biểu diễn tay của Robot Với Robot mô tả như trên, theo định luật Đenavit_Harfenberg ta có bảng đặc tính : Khớp (Link) ai ai di qi 1 0 -p/2 0 q1 2 a2 p/2 0 q2 3 0 0 d3 0 Từ đây ta tính được toạ độ của tay Robot so với hệ toạ độ gốc theo biểu thức như sau T3 = A1 *A2*A3 Trong đó: A1 = Rot(z, q1).Rot(x,-900) Từ bảng số liệu ta thay thế vào để tính ma trận A1 A1 = A2 = Rot(z,900).Trans(a2,0,0).Rot(x,900) A2 = A3 = Trans(0,0,d3) A3 = Như vậy ma trận 0T3 biểu diễn tay máy Robot trong hệ toạ độ gốc là: 2T3 = A3 1T3 = A2.2T3 0 T3 = A1.1T3 0T3 = c. Giải thích ý nghĩa của ma trận T : Ma trận T có ý nghĩa rất quan trọng trong việc xây dựng và điều khiển Robot công nghiệp .Với ma trận T ta có thể xác định được toạ độ của tay máy Robot trong một hệ toạ độ chuẩn.Ma trận T có ba cột đầu tiên biểu diễn hướng của hệ trục toạ độ mới so với hệ toạ độ gốc,còn cột thứ tư biểu diễn vị trí của gốc toạ độ.Từ việc xây dựng ma trận T giúp ta giải quyết các bài toán động học thuận hay động học ngượng trở nên đơn giản hơn.Từ ma trận T ta có thể tính ra ma trận ngịch đảo của nó và từ đó có thể tính được toạ độ của một điểm trong hệ toạ độ gốc sang hệ trục mới.Chính vì tầm quan trọng của ma trận T nên việc xây dựng ma trận T có tính chất quyết định trong lĩnh vực Robot. d. Xác định vị trí của tay Robot trong hệ toạ độ mới : Xác định vị trí của tay Robot trong hệ toạ độ gốc khi : q1 = 300, q2 = 300 ,d3 = 0.1m, a2 = 0.3m Với số liệu như trên ta tính ma trận 0T3 0T3 = Giả sử ta coi như có toạ độ của tay Robot là u[x,y,z,1] , qua ma trận Ta có thể tính dược toạ độ của tay máy Robot trong hệ toạ độ gốc. Toạ độ của vector u trong hệ toạ độ chuẩn = 0T3.*u Câu 3. * Động lực học Robot : áp dụng phương trình Lagrange để tính phương trình động lực học cho Robot ta có : Hàm Lagrange : L = K – P trong đó : + K : Tổng động năng của hệ + P : Tổng thế năng của hệ Khi đó ta có phương trình : Mi ( hay Fi ) = (d/dt){ảL/ảq’i} – ( ảL/ảqi ) ; Với : qi là biến khớp tổng quát qi = qi với khớp quay qi = di, ri với khớp tịnh tiến q’i là tốc độ ( góc hoặc dài ) Động năng của khớp thứ i : Ki = (1/2).mi.vi2 + (1/2).Ji.wi2 Với J là mômen quán tính khớp thứ i * Robot q - r : Robot q - r (hình) có 2 khớp : Khớp 1 : quay (q) Khớp 2 : tịnh tiến (r) End effector Khớp 1 Khâu 1 Khâu 2 Gắn frame lên các trục Robot q - r (Manipulator) như hình vẽ trên. Phương trình của khớp quay 1 M1 = (d/dt){ảL/ảq’} – ( ảL/ảq ) Phương trình của khớp tịnh tiến 2 F2 = (d/dt){ảL/ảr’} – ( ảL/ảr ) Với : L = K- P K = K1 + K2 P = P1 + P2 = 0 Do lấy mặt đẳng thế là mặt phẳng (x,y) K1 = (1/2)*m1v12 + (1/2).J.q’2 Với : v12 = v 1x2 + v 1y2 K2 = (1/2)*m2v22 v22 = v 2x2 + v 2y2 ( x’ = vx ; y’ = vy ) Vậy : L = (1/2)*m1v12 + (1/2).J.q’2 + (1/2)*m2v22 Ta thấy theo cấu trúc của Robot khâu 1 quay quanh gốc O, khâu 2 tịnh tiến trên khớp 1. Giả định khối lượng thanh 1 tập trung vào tâm khối, khâu 2 nằm ở cuối khâu, như vậy ta có : lg1 = r1/2; lg2 = r2; J = m1.r12/2; v1 = q’.lg1 ; v 2x = r2’ .cos(q) – (r1.q’ + +r’2.t).sin(q) ; v 2y = r2’ .sin(q) + (r1.q’ + r’2.t).cos(q); v22 = v2x2 +v2y2 = (r2’ .cos(q)–r1.q’.sin(q))2 +(r2’ .sin(q)+r1.q’.cos(q))2 = (.q’ (r1 + r’2.t) )2 + (r2’)2 v12 = (q’.lg1)2 = (q’.r1)2 Do đó : L = (1/2)*m1. (q’.r1)2 + (1/2). m1.q’2.r12/2 + (1/2).m2.((q’ (r1 + r’2.t)) 2 + (r2’)2) = q’2[0,5.m1..r12 + 0,25. m1..r12 + 0,5. m2.(r12+ 2.r1.r2 t+ r’2.t2)] + r’2 2.[0,5.m2.] Do khớp quay và khớp tịnh tiến đều chuyển động đều nên các gia tốc đều bằng 0. Như vậy ta có : M1 = (d/dt){ảL/ảq’} – ( ảL/ảq ) = (d/dt){2. q’. (0,75.m1..r12 + 0,5. m2.(r12 + r’2.t 2))} – 0 = 2. q’(r’2.t + r1.r2’ )m2 F2 = (d/dt){ảL/ảr2’} – ( ảL/ảr 2) = (d/dt){2. r’2 .[0,5.m2.t2+ 0,5.m2 ]} – 0 = 2.m2.r’2.t + m2.r1. q’ Khi Robot hoạt động, để xác định được góc quay, lực và mômen của khớp tại từng thời điểm ta áp dụng 2 phương trình vừa tìm được a. Xác định góc quay ở cuối hành trình : Thời gian chuyển động của Robot là thời gian chuyển động của khớp tịnh tiến bằng thời gian chuyển động của khớp quay và bằng : t = (rmax- r1)/r’ = (1,5 – 0,5)/0,2 = 5 (s) Ban đầu qđ = 0 do đó góc quay q ở cuối hành trình chuyển động là : qc = q’*t = (p/15)*5 = p/3 (rad) b. Xác định mômen ở các khớp và lực tổng hợp : M1 = 2. q’(r’2.t + r1.r2’ )m2 = 2. p/15.2,5.0,2.5 + 2. p/15.2,5.0,5.0,2 = 0,261 + 0.0261 (N.m) = 0.2871(Nm) F2 = 2.m2.r’2.t + m2.r1.q’ = 2.2,5.0,2.5 + 2,5.0,5.0,21 = 5,26 (N)