Bài tập Toán Lớp 11 - Chủ đề hàm số lượng giác

i đỏ vào 7 ô trống. Ta có cách xếp. Rồi xếp 3 bi xanh vào 4 ô còn lại. Ta có (vì bi xanh giống nhau). Vậy ta có: cách xếp. 2. Trước hết ta cần căn chú ý về màu, để đỏ đứng cạnh nhau, xanh đứng cạnh nhau có 6 cách xếp. Sau đó trong mỗi cách xếp đó, ta lại hoán vị các bi đỏ với nhau, các bi xanh với nhau. Do các bi đỏ khác nhau nên ta được số hoán vị là . Vậy số cách xếp khac nhau để các bi đỏ đứng cạnh nhau, các bi xanh đứng cạnh nhau là . 7. Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cứ 3 người đi dự hội nghị SV của trường sao cho trong 3 người có ít nhất 1 cán bộ lớp? Số cách cử 1CBL+2HS là Số cách cử 2CBL+1HS là . Vậy ta có tất cả: cách cử. 8. Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó 10 nam, 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho. 1. Có đúng 2 nam trong 5 người đó. 2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó. 1. Chọn 2 nam, 3 nữ có: cách. 2. Có 2 nam, 3 nữ: Có 5400 cách. Có 3 nam và 2 nữ: Có cách Có 4 nam và 1 nữ: Có cách Tổng cộng có: cách. Trang 19 9. Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau. 1. Nếu phải có ít nhất là 2 nữ. 2. Nếu phải chọn tuỳ ý. 1. Để có ít nhất 2 nữ thì ta phải chọn hoặc là 2 nữ, hoặc là 3 nữ 4 nam, 3 nam hoặc 4 nữ, 2 nam hoặc 5 nữ, 1 nam hoặc 6 nữ. Vậy số cách chọn cho trường hợp này là: . 2.Nếu chọn tuỳ ý thì số cách là: . Giải khác 1. Có tất cả cách chọn tùy ý 1 tốp ca 6 người. 2. Để chọn ra 1 tốp ca 6 người với toàn nam có: cách chọn. Có cách chọn tốp ca gồm 5 nam,1 nữ Vậy có cách chọn tốp ca 6 người có ít nhất 2 nữ 10. Có 6 học sinh sẽ được sắp xếp ngồi vào 6 chỗ đã được ghi số thứ tự trên 1 bàn dài. 1. Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này ngồi vào bàn. 2. Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này ngồi vào bàn sao cho 2 học sinh A và B không ngồi cạnh nhau. 1. Mỗi cách sắp xếp 6 học sinh ngồi vào 6 chỗ có thứ tự là một hoán vị 6 phần tử. Nên ta có số cách sắp xếp là: cách. 2. Nếu A và B theo thứ tự đó, ngồi cạnh nhau, ta có cách sắp xếp. Nếu B và A theo thứ tự đó, ngồi cạnh nhau, ta có cách sắp xếp. Vậy só cách sắp xếp cần tìm là: cách. 11. Một tổ học sinh gồm 7 nam và 4 nữ. Giáo viênmuốn chọn 3 học sinh xếp bàn ghế của lớp, trong đó có ít nhất 1 nam sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. Chọn 3 học sinh trong số 11 học sinh, ta có cách. Chọn 3 nữ sinh trong 4 nữ sinh ta có cách. Vậy số cách chọn cần tìm là: cách. 12. Một hội nghị y khoa có 40 bác sĩ tham dự. Người ta muốn lập một nhóm bác sĩ thực hành một ca phẫu thuật để minh hoạ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm có: 1. Một bác sĩ chính và 1 phụ tá. 2. Một bác sĩ chính và 4 phụ tá. 1. Số cách lập một nhóm 2 bác sĩ : Một chính, 1 phụ tá là: . 2. Số cách chọn 1 bác sĩ chính là và cách chọn phụ tá Vậy có cách chọn 1 nhóm gồm 1 bác sĩ chính và 4 bác sĩ phụ tá. Trang 20 13. Có bao nhiêu cách phát 10 phần thưởng giống nhau cho 6 học sinh sao cho mỗi học sinh có ít nhất 1 phần thưởng. Đầu tiên phát cho mỗi học sinh 1 phần thưởng. Như vậy là có 1 cách. Còn lại 4 phần thưởng phát cho 6 học sinh ta có: cách. 14. Có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số? Trong đó có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số khác nhau. 1. Số điện thoại có 6 chữ số là một chỉnh hợp có lặp lại của 10 phần tử chập 6. Nên ta có số điện thoại. 2. Số điện thoại có 6 chữ số khac nhau là 1 chỉnh hợp chập 6 của 10 phần tử. Do đó ta có số. 15. Để viết chữ đăng ký xe hơi người ta dùng 3 chữ (30 chữ cái được dùng) và 1 số có 4 chữ số (10 chữ số được dùng). Hỏi số tối đa xe hơi có thể đăng ký cho biết không có hai xe hơi nào có số đăng ký giống nhau? Gọi là một biển số đăng ký. Có 30 cách chọn 30 cách chọn 30 cách chọn Có 10 cách chọn 10 cách chọn 10 cách chọn 10 cách chọn Vậy ta có tối đa triệu chiếc xe hơi có thể đăng ký. 16. Xếp 3 quyển sách văn, 4 sách sử, 2 sách địa và 5 quyển công dân vào một hệ thống theo từng môn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp. Có 4 bộ môn, do đó có 4 cách sắp xếp theo bộ môn. Trong đó có: cách sắp xếp sách văn. cách sắp xếp sách sử cách sắp xếp sách địa cách sắp xếp sách công dân Vậy số cách sắp xếp lên kệ là cách (đây là hoán vị có lặp lại). 17. Cho tập . Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau từ mà chia hết cho 5? Gọi là số cần tìm Vì chia hết cho 5 nên hoặc bằng 0 hoặc bằng 5 TH1: là chỉnh hợp 9 chập 4 phần tử nên ta có: số. TH2: thì có: 8 cách chọn (vì ) Và cách chọn Vậy ta có số. Tổng cộng ta có: số. Trang 21 Gọi (abcde) là số có 5 chữ số theo yêu cầu bài toán. Vì (abcde) là số chia hết cho 5, nên: e = {0;5} Khi e = 0 => Có 1 cách chọn e 9 cách chọn a 8 cách chọn b 7 cách chọn c 6 cách chọn d => Có 9*8*7*6*1=3024 cách chọn khi e= 0 Khi e = 5 => Có 1 cách chọn e 8 cách chọn a 8 cách chọn b 7 cách chọn c 6 cách chọn d => Có 8*8*7*6*1=2688 cách chọn khi e= 5 Vậy ta có 2688 + 3024 = 5712 cách chọn thoả yêu cầu bài toán. 18. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 ta có thể thành lập bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và trong đó có chữ số 4. Gọi là số cần lập Có 2 trường hợp • Nếu thì có : 1 cách chọn 6 cách chọn 5 cách chọn 4 cách chọn 3 cách chọn Vậy trong trường hợp này ta có : số • Nếu Có 4 vị trí chữ số 4 trong ứng với 1 vị trí của 4 ta có(chẳng hạn ) 5 cách chọn (vì ) 1 cách chọn ( theo ví dụ) 5 cách chọn 4 cách chọn 3 cách chọn Nên trường hợp này ta có số Tổng cộng hai trường hợp ta có : số . 19. Từ các chữ số 1,2,3,4,5 ta có thể thành lập bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau. Trong đó có 2 chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau. Trang 22 Gọi là số cần lập • Ta có số các số gồm 5 chữ số được lấy từ 1,2,3,4,5 là số hoán vị của 5 chữ số đã cho nên ta có số. • Ta xét xem có bao nhiêu cách chọn vị trí cho cặp (1,2) đứng cạnh nhau: Nếu (1,2) ta có 4 cách chọn vị trí cho cặp {1,2}trong . Do đó ta có 8 cách chọn cho cặp {1,2} (không kể thứ tự của 1 ,2 ) đứng gần nhau, ứng với mỗi cách chọn cặp {1,2} như thế ta có cách chọn 3 chứ số còn lại của . Vậy ta có số gồm 5 chữ số khác nhau trong đó 2 chữ số 1,2 đứng cạnh nhau • Tóm lại số các số cần lập là số . 20. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số ,trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần còn mỗi số khác có mặt đúng 1 lần. Gọi là số cần lập. Ta có: 7 cách chọn 7 cách chọn 6 cách chọn 5 cách chọn 4 cách chọn 3 cách chọn 2 cách chọn 1 cách chọn Vậy ta có : Nhưng cách lập như thế bị lập lại (ví dụ khi ta hoán vị 3 phần tử 1 cho nhau thì không đổi). Do đó số các số cần lập là số 21. Cho tập . Hỏi có bao nhiêu tập con của chứa chữ số 9 Số tập con của của chỉ chứa là Vậy số tập con của có chứa số 9 là số các tập Vậy số tập con của có chứa số 9 là tập con Giải khác Số tập con của E có: 1 phần tử: tập 2 phần tử: tập 3 phần tử: tập ........ 10 phần tử: tập Trong đó E\9 + + ..... + = = = 512 tập 22. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó có 2 số kề nhau phải khác nhau. Trang 23 Ta có : 9 cách chọn chữ số thứ nhất (vì ) 9 cách chọn chữ số thứ hai (trừ chữ số đã chọn vì chữ số thứ hai phải khác chữ số thứ nhất đã được chọn) 9 cách chọn chữ số thứ ba (trừ chữ số thứ hai vì chữ số thứ ba phải khác chữ số thứ hai đã được chọn) 9 cách chọn chữ số thứ tư (trừ chữ số thứ ba vì chữ số thứ tư phải khác chữ số thứ ba đã được chọn ) 9 cách chọn chữ số thứ năm (trừ chữ số thứ tư vì chữ số thứ năm phải khác chữ số thứ tư đã được chọn ) (Chú ý rằng có tổng cộng 10 chữ số : 0,1,2,....9, và chữ số thứ 5 có thể bằng chữ số thứ 3 và thứ hai) Vậy ta có số thoả mãn đề bài. 23. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó có 2 số kề nhau phải khác nhau. Ta có : 9 cách chọn chữ số thứ nhất (vì ) 9 cách chọn chữ số thứ hai (trừ chữ số đã chọn vì chữ số thứ hai phải khác chữ số thứ nhất đã được chọn) 9 cách chọn chữ số thứ ba (trừ chữ số thứ hai vì chữ số thứ ba phải khác chữ số thứ hai đã được chọn) 9 cách chọn chữ số thứ tư (trừ chữ số thứ ba vì chữ số thứ tư phải khác chữ số thứ ba đã được chọn ) 9 cách chọn chữ số thứ năm (trừ chữ số thứ tư vì chữ số thứ năm phải khác chữ số thứ tư đã được chọn ) (Chú ý rằng có tổng cộng 10 chữ số : 0,1,2,....9, và chữ số thứ 5 có thể bằng chữ số thứ 3 và thứ hai) Vậy ta có số thoả mãn đề bài. 24. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số bắt đầu bởi 23 Hai chữ số đầu là 23. Vậy chỉ còn chọn 3 chữ số 4,5,1 cho 3 số sau. Như thế có số . Gọi số tự nhiên có 5 chữ số có dạng là : (23abc) a có 3 cách chọn b có 2 cách chọn c có 1 cách chon Vậy có tất cả : 1*2*3 = 3! = 6 số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau cần lập 25. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số không bắt đầu bởi chữ số 1 Gọi Có : Trang 24 4 cách chọn 4 cách chọn 3 cách chọn 2 cách chọn 1 cách chọn Vậy có số . Giải khác Số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau có: 5*4*3*2*1 = 120 số số mà bắt đầu =1 có: 4! = 24 số => số không bắt đầu bởi số 1 là: 120 - 24 = 96 Giải khác gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau cần lập là a1a2a3a4a5 ta có : a1 có 5 cách chọn a2 có 4 cách chọn a3 có 3 cách chọn a2 có 2 cách chọn a1 có 1 cách chọn vậy từ 5 số 1,2,3,4,5 ta lập đc 5! = 120 sô tự nhiên có 5 chữ số khác nhau gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau bắt đầu từ 1 có dạng 1abcd ta có a có 4 cách chọn b có 3 cách chọn c có 2 cách chọn và d có 1 cách chọn suy ra ta sẽ lập đc 4! = 24 số tự nhiên khác nhau có 5 chữ số bắt đầu bởi chữ số 1 vậy sẽ có 120 - 24 = 96 số tự nhiên có 5 chữ số khac nhau không bắt đầu bởi chữ số 1 từ các chữ số 1,2,3,4,5 Giải khác Số chữ số có 5 chữ số khác nhau lập được từ 1,2,3,4,5 là :5!=120 Số chữ số có 5 chữ số khác nhau bắt đầu từ chữ số 1 là : 4!=24 =>Số chữ số có 5 chữ số khác nhau ko bắt đầu từ chữ số 1 là : 5! - 4! =96 26. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số bắt đầu bởi chữ số 5. Chữ số đầu là 5: nên 4 chữ số còn lại là hoán vị của 4 chữ số 1,2,3,4. Do đó các số tự nhiên này là 27. Cho 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 7 được viết từ các chữ số đã cho Trang 25 Gọi là số cần lập Có 4 vị trí cho chữ số 7 ứng với 1 vị trí của 7 ta có chọn 3 trong 6 số còn lại vào 3 vị trí (chính là ) Do đó ta có thể lập được số . Giải khác Có cách chọn 4 chữ số khác nhau từ các số trên. Có cách chọn 4 chữ số khác nhau từ tập trên trong đó không có số 7 => có số thỏa mãn yêu cầu bài toán 28. Cho các số 1,2,5,7,8 có bao nhiêu cách lập ra một số gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên sao cho số tạo thành là một số nhỏ hơn 278 Gọi là số cần lập Có hai trường hợp • Nếu thì ta có: 1 cách chọn 4 cách chọn 2 cách chọn Trường hợp này ta có : số .(vì ) • Nếu : có 3 cách chọn có 2 cách chọn Suy ra có 6 cách chọn . • Nếu : có 2 cách chọn có 1 cách chọn Suy ra có 2 cách chọn . Tóm lai trong trường hợp ta có 8 số Cả hai trường hợp có 20 số 29. Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5. Từ các chữ số ta lập được bao nhiêu số chia hết cho 5, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau từng đôi một. Số chia hết cho 5 gồm 3 chữ số có dạng . • Với ta có: 5 cách chọn 4 cách chọn Vậy ta có số • Với ta có: Trang 26 4 cách chọn 4 cách chọn Vậy ta có số Tóm lại có tất cả số có 3 chữ số , chia hết cho 5. 30. Giải hệ phương trình: Ta có: . Điều kiện: . 31. Giải hệ phương trình : Điều kiện : . Từ phương trình thứ hai suy ra Thay vào phương trình thứ nhất và sử dụng công thức tổ hợp Đưa về phương trình . Giải phương trình này và loại , nhận 32. Giải phương trình : * * Phương trình biến đổi thành : * Do lần lượt kiểm tra từng giá trị: * thỏa mãn phương trình . Vậy phương trình có nghiệm : . 33. Giải phương trình : Điều kiện : Ta có : Trang 27 Trang 28 So sánh với điều kiện ta có : thỏa mãn . 34. Giải phương trình : Điều kiện : Phương trình đã cho Vậy phương trình có nghiệm: 35. Tìm số tự nhiên n sao cho : Điều kiện : So với điều kiện ta chọn . 36. Giải phương trình Cách 1: Đáp số: Cách 2: Ta có: với . 37. Giải phương trình: Biến đổi ta có: hay: hay: hay x=4. Vậy phương trình có nghiệm x=4. 38. Giải phương trình: (1) Ta có (1): hay: hay: hay: hay x=6. Vậy phương trình có nghiệm x=6. 39. Giải phương trình sau: ĐK của x: Thay x=3, x=4, x=5 vào bất phương trình đều thấy thỏa mãn. Vậy bất phương trình đã cho có 3 nghiệm là {3;4;5} 40. Giải phương trình: đk : pt (loại) Vậy nghiệm của pt là 41. Giải phương trình : Điều kiện (vì ) .Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=4 42. Giải phương trình : ( ĐK : x > 3) Trang 29 Chủ đề XÁC SUẤT Bài 1. Gieo hai con súc sắc. a) mô tả không gian mẫu b) gọi A là biến cố “tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 7″. Liệt kê các kết quả thuận lợi cho A. Tính P(A). c) Cũng câu hỏi trên cho các biến cố B: ” có ít nhất một con súc sắc xất hiện mặt 6 chấm” và C: “có đúng một con xuất hiện mặt 6 chấm” Giải:a) vậy khôg gian mẫu có 36 phần tử. Hay . ( có thể liệt kê như thường làm) b) A ={(6;1),(5;1),(5;2),(4;1),(4;2),(4;3),(3;1),(3;2),(3;3),(3,4),(2;1),(2;2),(2;3) ,(2;4),(2;5),(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(\1;6)} vậy n(A) = 21 nên P(A) = và n(C) = c) giống như trên n(B) = Bài 2. Chọn ngẫu nhiên 5 người có tên trong danh sách 20 người, đánh số từ 1 đến 20. Tính xác suất để 5 người được chọn có số thứ tự không lớn hơn 10. Giải: chọn 5 trong số 20 người nên Số thứ tự không vượt quá 10 nên ta chọn 5 người trong tập những người có số thứ tự từ 1 đến 1-. Vậy số trường hợp thuận lợi là: vậy xác suất cần tìm là Bài 3. Chọn ngẫu nhiên ba bạn từ một tổ có 6 nam và 4nữ để làm trực nhật. Tính xác suất sao cho trong đó: a) cả 3 đều nam. b) có đúng hai bạn nam c) có ít nhất 1 nam Hướng dẫn – đáp án. ( chọn 3 nam trong số 6 nam) ( chọn 2 nam trong số 6 nam và 1 nữ trong số 4 nữ) Dùng biến cố đối để tính C:”có ít nhất một bạn nam” lúc đó “không có bạn nam nào” ( tức là 3 nữ) ( chọn 3 nữ trong số 4 nữ), suy ra xác suất từ đó suy ra P(C). Bài 4. Gieo ba đồng xu cân đối. Tính xác suất để : a) cả 3 đồng xu đều sấp b) có ít nhất 1 đồng xu sấp c) có đúng 1 đồng sấp. Giải: Có thể giải bằng cách liệt kê hoặc dùng các quy tắc tính xác suất để tính. ở đây giải bằng cách liệt kê Trang 30 từ đó ta dễ dàng suy ra các câu a,b,c hai bài sau đây coi như để kiểm tra lại xem những gì đã học lại nhé. Bài 5. Cho một cỗ bài tú lơ khơ có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên 4 lá. Tính xác suất để: a. 4 lá đều là át. b. Có hai con át c. Có ít nhất 1 con át. d. Có hai con át và hai con K. Bài 6. Hai hộp chứa các quả cầu. hộp 1 chứa 3 đỏ và 2 xanh. Hộp 2 chứa 4 đỏ và 6 xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả. Tính xác suất sao cho: a. Cả hai quả đều đỏ. b. Hai quả cùng màu. c. hai quả khác màu. Chủ đề PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC. Các bước quy nạp: - Kiểm tra lại với giá trị khởi đầu. Thông thường là 0 hoặc 1. Tuy nhiên trong một số bài có thể là các giá trị khác. - Giả sử đúng khi n = k - Chứng minh đúng với n = k+1 Bài tập: Chứng minh rằng: a. b. c. d. e. . Với mỗi số nguyên dương n, đặt . Chứng minh rằng f luôn chia hết cho 19. Trang 31 Chủ đề DÃY SỐ. * Dãy số cho công thức của số hạng tổng quát. Bài 1. Viết 3 số hạng đầu và xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số (un) khi số hạng tổng quát: a. 2 n 2.n -3u = n . b. un=(-1)n.2n. c. un=3n-7. d. n 2 2n+1u = n Bài giải. a. 2 1 2 2 2 3 2.1 -3u = =-1 1 2.2 -3 5u = = 2 2 2.3 -3 15u = = 3 3 2 n+1 n 2n +2n+3u -u =...= >0 n(n+1) với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số tăng. (un) là dãy số tăng nên vậy u*n 1u u , n N≥ ∀ ∈ n≥-1. Dãy số bị chặn dưới. b. 1 2 3 u =-2 u =4 u =-8 Nên dãy số là dãy số không tăng và cũng không giảm. (un) là dãy số không bị chặn. . n n u u →−∞⎧⎨ → +∞⎩ c. 1 2 3 u =-4 u =2 u =20 n n+1 nu -u =...=2.3 >0 với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số tăng. (un) là dãy số tăng nên vậy u*n 1u u , n N≥ ∀ ∈ n≥-4. Dãy số bị chặn dưới. d. Trang 32 12 3 u =3 5u = 4 7u = 9 2 n+1 n 2 2 -2n -4n-1u -u =...= 0 n (n+1) < với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số giảm. (un) là dãy số tăng nên vậy u*n 1u u , n N≤ ∀ ∈ n≤3. Dãy số bị chặn trên. * Dãy số cho dưới dạng hệ thức truy hồi. Bài 2. Viết 3 số hạng đầu và xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số (un) khi cho dãy số dưới dạng hệ thức truy hồi. a. 1 2 n n-1 u =1 u = u +1 ⎧⎪⎨⎪⎩ . b. 1 n-1 n n-1 u =1 uu = 1+u ⎧⎪⎨⎪⎩ . c. . 1 n n-1 u =1 u =u 1 ⎧⎨ −⎩ d. 1 n n 1u = 2 u =3.u ⎧⎪⎨⎪⎩ -1 . Bài giải: a. 1 2 3 u =1 u = 2 u = 3 nu >0, n∀ 2 n n-1 n n-1 n n-1 1u = u +1 u u 0 u +u ⇒ − = > n n-1u -u >0 với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số tăng. (un) là dãy số tăng nên vậy u*n 1u u , n N≥ ∀ ∈ n≥1. Dãy số bị chặn dưới. Trang 33 b. 1 2 3 u =1 1u = 2 1u = 3 nu >0, n∀ n-1 2 n-1 n n n-1 n-1 n-1 -uuu = u u 0 1+u 1+u ⇒ − = < n n-1u -u <0 với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số giảm. (un) là dãy số tăng nên vậy u*n 1u u , n N≤ ∀ ∈ n≤1. Dãy số bị chặn trên. c. 1 2 3 u =1 u =0 u =-1 n n-1 n n-1u =u 1 u -u 1 0− ⇒ = − < n n-1u -u <0 với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số giảm. (un) là dãy số tăng nên vậy u*n 1u u , n N≤ ∀ ∈ n≤1. Dãy số bị chặn trên. d. 1 2 3 1u = 2 3u = 2 9u = 2 nu >0, n∀ n n-1 n n-1 n-1u =3.u u -u 2u 0⇒ = > n n-1u -u >0 với mọi n thuộc N*. Nên dãy số là dãy số tăng. (un) là dãy số tăng nên vậy *n 1u u , n N≥ ∀ ∈ *n 1 1u u = , n N2≥ ∀ ∈ . Dãy số bị chặn dưới. Chủ đề CẤP SỐ. Công thức cần nhớ: Để xét tính tăng hay giảm của dãy số ta xét hiệu nếu hiệu này dương,đây là dãy số tăng, ngược lại nếu âm, đây là dãy giảm. • Để chứng minh một dãy số là cấp số cộng cần chứng minh với là hằng số. Lúc đó • được gọi là công sai. • • Tổng của n số hạng đầu tiên • Trang 34 Bài 1.Cho dãy số . a) xét tính tăng, giảm của dãy số trên. b) Chứng minh rằng đây là một cấp số cộng, tìm . c) Tìm tổng của 50 số hạng đầu tiên của dãy. giải: ta xét vậy: a) đây là dãy số tăng do b) đây là cấp số cộng vì không đổi và d = 19. c) vậy Bài 2. Tìm cấp số cộng biết Áp dụng các công thức về cấp số cộng ta có: thay vào 2 phương trình trên ta có hệ sau đây: tới đây có hai giá trị của d là 4 và -4. Vậy có hai giá trị của hoặc vậy có hai cấp số cộng thỏa điều kiện. Bài 3 Cho một cấp số cộng 1,6,11 Tìm x biết: 1 + 6 + 11 + 16 +..+x = 970. bài này ta phải tìm giá trị của x biết rằng x là một phần tử của cấp số cộng. giả thiết cho 970 chính là tổng của n số hạng đầu tiên đấy. ta nhận thấy cấp số cộng này có . giả sử x là số hạng thứ n(n >0). vậy ta có . vậy áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên ta có: Tới đây tự bấm máy để suy ra ( do n>0) vậy x là số hạng thứ 40 nên bài 4. Viết 5 số hạng xen giữa 25 và 1 để được một cấp số cọng có 7 số hạng. Số thứ 50 của dãy là số mấy? Bài 5. Cho cấp số cộng với Tìm số hạng tổng quát của CSC. Bài 4. Cho dãy số (un) với un=9-5n. a. Chứng minh (un)là cấp số cộng. Trang 35 b. Tính u100 và S100. Bài giải. a. un+1-un=-5 (không đổi). vậy dãy số là cấp số cộng với u1=9-5.1=4 và công sai d=-5. b. ( ) 100 1 1 100 100 u =u +99d=-491. u +u .100 S = =-24350 2 Bài 5. Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un) thỏa: a. 1 5 4 u +2u =0 S =14 ⎧⎨⎩ b. 4 7 u =10 u =19 ⎧⎨⎩ c. 1 5 3 1 6 u +u -u =10 u +u =7 ⎧⎨⎩ d. 7 3 2 7 u -u =8 u .u =75 ⎧⎨⎩ Bài giải: a. . 1 5 1 1 14 u +2u =0 3u +8d=0 u =8 4u +6d=14S =14 d=-3 ⎧⎧ ⎧⇔ ⇒⎨ ⎨ ⎨⎩⎩ ⎩ ⎨ b. 4 1 1 7 1 u =10 u +3d=10 u =1 u =19 u +6d=19 d=3 ⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇒⎨ ⎨ ⎨⎩⎩⎩ c. . 1 5 3 1 1 1 6 1 u +u -u =10 u +2d=10 u =36 u +u =7 2u +5d=7 d=-13 ⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇒⎨ ⎨ ⎩⎩⎩ d. 7 3 2 7 u -u =8 (1) u .u =75 (2) ⎧⎨⎩ (1) suy ra d=2 (2) suy ra 121 1 1 u =3 u +14u -51=0 u =-17 ⎡⇒ ⎢⎣ Vậy có hai cấp số cộng thỏa: . 1 1 u =3 d=2 u =-17 d=2 ⎡⎧⎨⎢⎩⎢⎢⎧⎢⎨⎢⎩⎣ Bài 6. Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un) . 1 2 3 2 2 2 1 2 3 u +u +u =27 u +u +u =275 ⎧⎨⎩ Trang 36 Bài giải: 1 2 3 2 2 2 1 2 3 u +u +u =27 (1) u +u +u =275 (2) ⎧⎨⎩ Từ u1+u3=2u2 và từ (1) ta suy ra u2=9 tức là u1+d=9 Từ (2) suy ra ( )221u +81+ 9+d =275 . Mà u1+d=9 suy ra u1=9-d. Thay vào trên ra có được d2=16. Suy ra . d=4 d=-4 ⎡⎢⎣ Vậy . 1 1 d=4 u =5 d=-4 u =13 ⇒⎡⎢ ⇒⎣ * Cấp số nhân Dạng 1: Xác định các yếu tố của một cấp số nhân Phương pháp chung: Dựa vào giả thiết bài toán và áp dụng các tính chất của cấp số nhânđể tìm ra các yếu tố của cấp số nhân đã cho. Bài tập Bài 1: Cho Cấp số nhân 2,6,18,54,162,... Tính U1,q,U10,S10 ? Giải: Bài 2: Xác định số hạng đầu tiên và công bội của một cấp số nhân trong mỗi trường hợp sau: a, U4 - U2=54 và U5 - U3=108. b, U1 + U2 + U3=35 và U4 + U5 + U6=280. Giải: Trang 37 Dạng 2: Chứng minh một dãy số là một cấp số nhân Để chứng minh (Un) là một cấp số nhân ta có thể dùng các cách chứng minh sau: Bài tập: Bài1: Cho dãy số (Un) được xác định bởi U1=2, Un+1=3+4Un. CMR: Dãy số (Vn) xác định bởi Vn=Un+1 là cấp số nhân. Giải: Trang 38 Dạng 3: Tìm điều kiện để 3 số lập thành một cấp số nhân Phương pháp chung: Để a, b, c lập thành một cấp số nhân điều kiện là: ac=b2 Bài toán được chuyển về việc giải phương trình. Bài tập Bài 1: Tìm x để 3 số x - 2, x - 4, x + 2 lập thành một cấp số nhân. Giải: Trang 39 Dạng 4: Tính tổng Phương pháp chung Thông thường bài toán được chuyển về tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân. Bàì tập Trang 40 Bài 4. Cho dãy số (un) có un=2n-1. a. Chứng minh (un) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó. b. Tính S10. Bài giải: a. Ta có n+1 n u =2 u (không đổi). Vậy (un) là cấp số nhân. Số hạng đầu u1=20=1; công bội q=2 b. ( )101 10 10 u 1-q S = =2 -1 1-q . Trang 41 Bài 5. Cho cấp số nhân (un) thỏa: . 1 5 2 6 u +u =51 u +u =102 ⎧⎨⎩ a. Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó. b. Tính S10. Bài giải. Trang 42 ( ) ( ) 4 11 5 4 12 6 1 u 1+q =52u +u =51 q=2 u =3u +u =102 u q 1+q =102 ⎧⎧ ⎧⎪⇔ ⇒⎨ ⎨ ⎨⎩⎩ ⎪⎩ a. b. ( ) ( )101 1010 u 1-qS = =3 2 11-q − . Bài 6. Cho cấp số nhân (un) thỏa: . 5 1 4 2 u -u =15 u -u =6 ⎧⎨⎩ a. Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó. b. Tính S10. Bài giải. ( ) ( )a. ⎢⎢⎣ ⎡ = = ⇒=+⇒⎩⎨ ⎧ =− =−⇔ ⎩⎨ ⎧ =− =− 2 1q 2q 15 6 1q q 61qqu 151qu 6uu 15uu 22 1 4 1 24 15 + 1 12 15 1q 15u2q 441 =−=−=⇒= . + 16 1 2 1 15 1q 15u 2 1q 441 −= −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=−=⇒= . b. + q=2 và u1=1 thì ( ) 12 q1 q1uS 10 10 1 10 −=− −= . + 2 1q = thì và u1=-16 ( ) ( )12216q1 q1uS 109 10 1 10 −−=− −= . Bài 7. Cho cấp số nhân (un) thỏa: ⎩⎨ ⎧ =+− =+− 20uuu 10uuu 653 542 c. Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó. d. Tính S10. Bài giải. a. ⎩⎨ ⎧ = =⇒ ⎩⎨ ⎧ =+ =+−⇔ ⎩⎨ ⎧ =+− =+− 1u 2q 20quququ 10quququ 20uuu 10uuu 1 5 1 4 1 2 1 4 1 3 11 653 542 b. ( ) ( )12 q1 q1uS 10 10 1 10 −=− −= Chủ đề. GIỚI HẠN DÃY SỐ-GIỚI HẠN HÀM SỐ-HÀM SỐ LIÊN TỤC I. GIỚI HẠN DÃY SỐ. *Sử dụng kết quả: a. *k Nk0,n 1Lim n ∈∀=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∞→ . b. ( ) 1q0,qLim n n <∀=∞→ Bài 1. Tính các giới hạn sau: a. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∞→ 1n nLim n b. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∞→ 2n 2nLim 2 2 n . c. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∞→ 1n 1Lim 2n d. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∞→ 12n 3nLim n Bài giải: Trang 43 a. 1 01 1 n 11 1Lim n 11n nLim 1n nLim nnn =+=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + ∞→∞→∞→ . b. 2 01 2 n 21 2Lim n 21n 2nLim 22 2 2 nn =+=+ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + ∞→∞→ . c. 0 01 0 n 11 n 1 Lim n 11n n 1n Lim 1n 1Lim 2 2 2 2 2 2 2 nn =+=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + ∞→∞→∞→ n . d. 2 3 02 3 n 12 3Lim n 12n 3nLim 12n 3nLim nnn =+=+ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + ∞→∞→∞→ . Bài 2. Tính các giới hạn sau. a. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∞→ 12n 1-3nLim n b. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+ ++ ∞→ nn2n 3n2nLim 2 2 n c. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ + ∞→ 1nn 3n2nLim 2n d. ( )( ) ( )( )323 121Lim ++ ++ ∞→ nn nn n . e. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∞→ 2n 3-7nLim 2 2 n n f. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− + ∞→ 1n2n 12n-6nLim 3 3 n Bài giải: a. 2 3 02 03 n 12 n 13 Lim n 12n n 13n Lim 12n 1-3nLim nnn =+ −= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎞⎜⎝