Bài tập Toán Lớp 12 - Phương pháp tọa độ trong không gian

c/ Tính diện tích của ΔABC. Bài 22: Cho A(1; 0; 1), B(–1; 1; 2), C(–1; 1; 0) và D(2; –1; –2). a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của hình chữ nhật. b/ Tính đường cao của ABCD kẻ từ đỉnh D. Bài 23: Cho A(1; 0; 0), B(0; 0; 1) và . 2OC i j k= + +uuur r ur ur a/ CMR: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b/ Tính chu vi và diện tích của ΔABC. c/ Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành. d/ Tính độ dài đường cao của ΔABC hạ từ đỉnh A. e/ Tính các góc của ΔABC. Bài 24: Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(–2; 1; –1). a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. b/ Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD. c/ Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A. Bài 25: Cho A(1; –2; 2), B(1; 4; 0), C(–4; 1; 1) và D(–5; –5; 3). a/ CMR: tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc. b/ Tính diện tích tứ giác ABCD. Bài 26: Cho tứ diện PABC, biết P(1; –2; 1), A(2; 4; 1), B(–1; 0; 1) và C(–1; 4; 2). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của P trên (ABC). 2 Bài 27: Cho A(4; 2; 6), B(10; –2; 4), C(4; –4; 0) và ( )2OD k i= −uuur ur r . a/ CMR: ABCD là hình thoi. b/ Tính diện tích của hình thoi. Bài 28: Cho 52; ;1 2 A⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , 5 3; ;0 2 2 B ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , 35; ;3 2 C ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , 9 5; ;4 2 2 D ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ . a/ CMR: bốn điểm trên là bốn đỉnh của hình bình hành. b/ Tính diện tích hình bình hành đó. Bài 29: Cho A(1; 0; 1), B(–2; 1; 3) và C(1; 4; 0). a/ Tìm hệ thức giữa x, y, z để điểm M(x; y; z) thuộc mp(ABC). b/ Tìm trực tâm H của ΔABC. c/ Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ΔABC. III/ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. A/ Phương trình của mặt phẳng. Bài 1: Lập phương trình tham số và tổng quát của mp(α) đi qua 3 đ A(2; –5; 1), B(3; 4; –2) C(0; 0; –1). Bài 2: Cho điểm M(2; –1; 3) và mp(α) có p.trình 2x –y + 3z –1 = 0. a/ Lập pt tổng quát của mp(β) đi qua M và song song với mp(α). b/ Hãy lập phương trình tham số của mp(β) nói trên. Bài 3: Hãy lập pt mp(α) đi qua 2 điểm M(7; 2; –3), N(5; 6; –4) và song song vơi trục Oz. Bài 4: Lập pt mp(α) đi qua điểm M(2; –1; 2) và vuông góc với các mp: 2x – z + 1 = 0 và y = 0. Bài 5: Lập pt mp(α) đi qua gốc tọa độ và vuông góc với các mp: 2x – y + 3z – 1 = 0 và x + 2y + z = 0. Bài 6: Lập pt mp(α) đi qua hai điểm A(1; –1; –2) B(3; 1; 1) và vuông góc với mp x – 2y + 3z – 5 = 0. Bài 7: Cho mpα có phương trình tham số : x t y t z t = + = − + = − − + ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 1 2 5 2 1 2 1 2t a/ Hãy lập phương trình tổng quát của mp(α’) đi qua gốc tọa độ và song song với mpα. b/ Tính góc ϕ tạo bởi mp(α’) và mp(β) có pt: x + y + 2z –10 = 0. Bài 8: Tính khoảng cách từ điểm A(7; 3; 4) đến mp(α) có phương trình: 6x – 3y + 2z –13 = 0. Bài 9: Cho mp(α) : 2x – 2y – z – 3 = 0. Lập phương trình mp(β) song song với mp(α) và cách mp(α) một khoảng d = 5. Bài 10: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau: a/ Đi qua M(1; 3; –2) và vuông góc với trục Oy. b/ Đi qua M(1; 3; –2) và vuông góc với đ.thẳng AB với A(0; 2; –3) và B(1; –4; 1). c/ Đi qua M(1; 3; –2) và song song với mp: 2x – y + 3z + 4 = 0. Bài 11: Cho hai điểm A(2; 3; –4) và B(4; –1; 0). Viết pt mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Bài 12: Cho ΔABC, với A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3) và C(4; 5; 6). Viết phương trình mp(ABC). Bài 13: Viết ptmp đi qua 2điểm P(3; 1; –1) và Q(2; –1; 4) và vuông góc với mp: 2x – y + 3z + 1 = 0. Bài 14: Cho A(2; 3; 4). Hãy viết p.trình mp(P) đi qua các hình chiếu của A trên các trục tọa độ, và p.trình mp(Q) đi qua các hình chiếu của A trên các mặt phẳng tọa độ. Bài 15: Viết p.trình mp qua điểm M(2; –1; 2), ssong với trục Oy và vuông góc với mp: 2x – y + 3z + 4 = 0. Bài 16: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau: a/ Qua I(–1;–2;–5) và đồng thời ⊥ với hai mp (P): x + 2y –3z +1 = 0 và (Q): 2x – 3y + z + 1 = 0. b/ Qua M(2; –1; 4) và cắt chiều dương các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại P, Q, R sao cho : OR = 2OP = 2OQ. c/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y –12z – 3 = 0, (Q): 3x + y – 7z – 2 = 0 và vuông góc với mp(R): x + 2y + 5z – 1 = 0. d/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + 3y + 5z – 4 = 0, mp(Q): x – y – 2z + 7 = 0 và song song với trục Oy. e/ Là mp trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 1; 0), B(–1; 2; 3). f/ mp(X) nhận M(1; 2; 3) làm hình chiếu vuông góc của N(2; 0; 4) lên trên mp(X). B/ Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. 3 Bài 1: Xác định m để hai mặt phẳng: Song song với nhau? Trùng nhau? Cắt nhau? a/ (P): 2x –my + 3z –6 + m = 0; (Q): (m+3)x –2y + (5m +1)z–10 = 0 b/ (P): (1– m)x + (m + 2)y + mz + 1 = 0; (Q): 4mx – (7m + 3)y –3(m + 1)z + 2m = 0 Bài 2: Cho 3 mặt phẳng (P): 2x – y + z + 1 = 0; (Q): x + 3y –z + 2 = 0 và (R): –2x + 2y+ 3z + 3 = 0. a/ Chứng minh (P) cắt (Q). b/ Viết p.trình mp(S) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và qua điểm M(1; 2; 1). c/ Viết p.trình mp(T) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và song song với mp(R). d/ Viết p.trình mp(U) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và vuông góc với mp(R). Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau: a/ Đi qua M(2; 1; –1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình: x – y + z – 4 = 0 ; 3x – y + z – 1 = 0. b/ Qua giao tuyến của hai m.phẳng: y + 2z – 4 = 0; x + y – z – 3 = 0 đồng thời song song với mp: x + y + z = 0. c/ Qua giao tuyến của hai m.phẳng: 3y – y + z –2 = 0; x + 4y –5 = 0 đồng thời vuông góc với mp: 2x – z + 7 = 0. Bài 4: Tìm điểm chung của ba mặt phẳng: a/ x + 2y – z – 6 = 0; 2x – y + 3z + 13 = 0; 3x – 2y + 3z + 16 = 0 b/ 4x + y + 3z – 1 = 0; 8x – y + z – 5 = 0; 2x – y – 2z – 5 = 0 Bài 5: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 3), B(3; –2; 1), C(–4; 1; 1) và D(1; 1; –3). a/ Viết phương trình các mặt phẳng (ABC), (ABD). b/ Tính góc giữa (ABC) và (ABD). c/ Tìm pt mp(P) chứa CD và // với vectơ v ur = (m; 1–m; 1+m). Định m để mp(P) vuông góc với mp(ABC). d/ Định m, n để mp(P) trùng với mp: 4x + ny + 5z + 1 – m = 0. Bài 6: Viết p.trình mặt phẳng qua M(0; 2; 0), N(2; 0; 0) và tạo với mpOyz một góc 600. Bài 7: Tìm điểm M’ đối xứng của M qua mp(P) biết: a/ M(1; 1; 1) và mp(P): x + y – 2z – 6 = 0. b/ M(2; –1; 3) và mp(P): 2x – y – 2z – 5 = 0. Bài 8: Cho tứ diện ABCD với A(–1; –5; 1), B(2; –4; 1), C(2; 0; –3) và D(0; 2; 2). a/ Lập phương trình các mặt phẳng (ABC), (ABD). b/ Tính cosin của góc nhị diện cạnh AB, cạnh BC. c/ Tìm điểm đối xứng của điểm A qua các mp(BCD), (OBC). Bài 9: Cho đường thẳng MN biết M(–6; 6; –5), N(12; –6; 1). a/ Tìm giao điểm của đường thẳng MN với các m.phẳng tọa độ. b/ Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp(α) có phương trình: x– 2y + z–9 = 0 và tính sin của góc ϕ giữa đ.thẳng MN và mp(α). c/ Viết p.trình tổng quát của mp chứa đ.thẳng MN và // với trục Oz. C/ Chùm mặt phẳng. Bài 1: Cho hai mặt phẳng cắt nhau (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0 và (Q): 5x – 4y + 3z + 1 = 0. a/ Viết phương trình mp(R) qua M(1; –2; 1) và chứa giao tuyến của hai mp(P) và (Q). b/ Viết pt mp(T) vuông góc với mp: x + 2y + z = 0 và chứa giao tuyến của hai mp(P) và (Q). c/ Viết phương trình mp(U) chứa giao tuyến của hai mp(P) và (Q) và tạo với mp: x + y – z = 0 một góc nhọn a mà cosa = 3/125. Bài 2: Định l, m để mp(P):5x + ly + 4z + m = 0 thuộc chùm mp: λ(3x – 7y + z – 3) + μ(x – 9y – 2z + 5) = 0 IV/ ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN. A/ Phương trình của đường thẳng. Bài 1: Lập phương trình tham số và tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M(2; 0;–3) và nhận làm vectơ chỉ phương. (2; 3;5)a → = − Bài 2: Lập p.trình của đường thẳng d đi qua điểm M(–2; 6; –3) và: 4 a/ Song song với đường thẳng a: x t y t z t = + = − − = − − ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 1 5 2 2 1 b/ Lần lượt song song với các trục Ox, Oy, Oz. Bài 3: Lập p.trình tham số và p.trình tổng quát của đường thẳng d: a/ Đi qua hai điểm A(1; 0; –3), B(3, –1; 0). 5 0 0 b/ Đi qua điểm M(2; 3;–5) và // với đ.thẳng: . 3 2 7 3 2 3 x y z x y z − + − = + − + = ⎧⎨⎩ Bài 4: Trong mpOxyz cho 3 điểm A(–1; –2; 0) B(2; 1; –1) C(0; 0; 1). a/ Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng AB. b/ Tính đường cao CH của ΔABC và tính diện tích ΔABC. c/ Tính thể tích hình tứ diện OABC. Bài 5: Viết p.trình tam số, chính tắc, tổng quát của đ.thẳng d biết: a/ d qua M(2; 0; –1) và có vectơ chỉ phương là (–1; 3; 5). b/ d qua M(–2; 1; 2) và có vectơ chỉ phương là (0; 0; –3). c/ d qua M(2; 3; –1) và N(1; 2; 4). Bài 6: Viết phương trình của đường thẳng d biết: a/ d qua M(4; 3; 1) và // với đ.thẳng:( x = 1 + 2t; y = –3t; z = 3 + 2t). b/ d qua M(–2; 3; 1) và song song với đ.thẳng: 2 1 2 0 3 x y z 2− + += = . c/ d qua M(1; 2; –1) và song song với đ.thẳng: 3 0 2 5 4 x y z x y z + − + =⎧⎨ 0− + − =⎩ . Bài 7: Viết p.trình tổng quát của đ.thẳng d dưới dạng giao của hai m.phẳng song song với các trục Ox, Oy biết p.trình tham số của d là: a/ 2 2 1 3 4 3 x t y z t = +⎧⎪ = − +⎨⎪ = − +⎩ t b/ 1 2 4 3 2 x t y t z t = − +⎧⎪ = −⎨⎪ = +⎩ Bài 8: Viết p.trình chính tắc của đ.thẳng d biết pt tổng quát của nó là: a/ ⎧⎨ b/ ⎧⎨ 2 5 02 3 0 x y z x z − + + = − + =⎩ 3 0 2 6 2 0 x y z x y z + − + = − + − =⎩ Bài 9: Viết ptrình hình chiếu vuông góc của đt d: 1 2 2 3 1 3x y z− + −= = a/ Trên mpOxy b/ Trên mpOxz c/ Trên mpOyz Bài 10: Viết ptrình hình chiếu vuông góc của đt d: 2 2 3 0 x y z x z 5 0− + + =⎧⎨ − + =⎩ trên mp: x + y + z – 7 = 0. Bài 11: Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau: a/ Đi qua điểm (–2; 1; 0) và vuông góc với mp: x + 2y – 2z = 0 b/ Đi qua điểm (2; –1; 1) và vuông góc với hai đường thằng: (d1): ; (d 1 0 2 0 x y x z + + =⎧⎨ − =⎩ 2): 2 1 0 x y z + − =⎧⎨ =⎩ 0 0 Bài 12: Cho A(2; 3; 1), B(4; 1; –2), C(6; 3; 7) và D(–5; –4; 8). Viết ptts, chính tắc và tổng quát của: a/ Đường thẳng BM, với M là trọng tâm của ΔACD. b/ Đường cao AH của tứ diện ABCD. Bài 13: Viết ptct của đ.thẳng d đi qua M(1; 4; –2) và ssong với đ.thẳng: 6 2 2 3 3 5 2 1 0 x y z x y z + + + =⎧⎨ − − − =⎩ . Bài 14: Viết ptts của đt nằm trong mp(P): x + 3y – z + 4 = 0 và vuông góc với đt d: tại giao điểm của đường thẳng d và mp(P). 2 3 2 0 x z y z − − =⎧⎨ − =⎩ 0 Bài 15: Lập p.trình đường thẳng đi qua điểm (3; 2; 1), vuông góc và cắt đường thẳng: 1 2 4 3 x y z += = . Bài 16: Lập p.trình đường thẳng đi qua điểm (–4; –5; 3) và cắt cả hai đường thẳng: 1 3 3 2 x y z+ + −= =− − 2 1 ; 2 1 2 3 1 5 x y z− += = − − . Bài 17: Lập ptts của đt d đi qua điểm (0; 0; 1), v.góc với đt: 1 2 3 4 1 x y z− += = và cắt đt: . 2 0 1 0 x y z x + − + =⎧⎨ + =⎩ Bài 18: Cho đ.thẳng d: 1 1 2 1 3 x y z+ − −= = 2 0 0 0 0 0 0 0 0 và mp(P): x – y- z – 1 = 0. a/ Tìm ptct của đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; –2), song song với mp(P) và vuông góc với d. b/ Gọi N = d ∩ (P). Tìm điểm K trên d sao cho KM = KN. B/ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG. Bài 1: Viết p.trình mặt phẳng đi qua điểm (3; –2; 1) và vuông góc với đường thẳng: . 3 2 2 8 0 2 3 7 x y z x y z + − + =⎧⎨ − + + =⎩ Bài 2: Lập p.trình các giao tuyến của mp: 5x – 7y + 2z – 3 = 0 với các mặt phẳng tọa độ. Tìm giao điểm của mặt phẳng đã cho với các trục tọa độ. Bài 3: Lập phương trình tham số và tổng quát của đương thẳng d: a/ Đi qua điểm M(2; –3; –5) và ⊥ với mp(α): 6x – 3y – 5z + 2 = 0. b/ Đi qua điểm N(1; 4; –2) và // với các mp : 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và 3x – 5y – 2z – 1 = 0. Bài 4: Lập phương trình tham số và tổng quát của đường thẳng d: a/ Đi qua hai điểm A(1; –2; 1), B(3; 1; –1). b/ Đi qua điểm M(1; –1; –3) và ⊥ với mp(α): 2x – 3y + 4z – 5 = 0. c/ Đi qua điểm C(2; 3; –1) và // với đt có p.trình: x y z x y z − − − = + − + = ⎧⎨⎩ 2 3 3 2 5 Bài 5: Cho đường thẳng a có p.trình: và mp(α) có phương trình: z + 3y – z + 4 = 0. x z y z − − = − = ⎧⎨⎩ 2 3 2 0 a/ Tìm giao điểm H của a và mp(α). b/ Lập ptđt Δ nằm trong mp(α), đi qua điểm H và vuông góc với đường thẳng a. Bài 6: Cho đt a: và mp(α): 3x–2y + 3z + 16 = 0. x y z z y z + − − = − + + = ⎧⎨⎩ 2 6 2 3 13 a/ Tìm giao điểm M của đường thẳng a và mp(α). b/ Gọi ϕ là góc giữa a và mp(α) .Hãy tính sinϕ . c/ Lập pttq của đường thẳng a’, với a’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng a trên mp(α). Bài 7: Cho mp(α) có p.trình: 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và mp(β) có p.trình: 3x – 5y – 2z – 1 = 0. a/ Hãy viết p.trình tham số của đ.thẳng d đi qua điểm M(1; 4; 0) và song song với (α) và (β). b/ Lập phương trình của mp(γ) chứa đường thẳng d và đi qua giao tuyến của hai mp (α) và (β). c/ Lập p.trình của mp(P) đi qua M và vuông góc với (α) và (β). Bài 8: Cho mp(α) có phương trình: 2x – 3y + 3z – 17 = 0 và hai điểm A(3; –4; 7), B(–5; –14; 17). a/ Viết p.trình tham số của đ.thẳng d đi qua A và vuông góc với (α). b/ Hãy tìm trên α một điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến A và B là bé nhất. Bài 9: Cho đường thẳng d có phương trình: . 2 6 4 2 8 x y z x y z − + − = + − − = ⎧⎨⎩ a/ Hãy tìm giao điểm của đường thẳng a với các mp tọa độ. b/ Hãy tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d. c/ Gọi M là giao điểm của đt a với mp(α) có pt: x + y – z + 12 = 0. Hãy tính tọa độ của M. d/ Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng d và mpα nói trên. Hãy tính sinϕ. Bài 10: Trong mpOxyz cho hai đường thẳng Δ và Δ’ có p.trình: 6 Δ : x t y z t = + = − − = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 3 2 2 t ; Δ’ : x y x z − + = − − − = ⎧⎨⎩ 5 0 2 3 2 5 0 0 a/ Tìm vectơ chi phương của mỗi đường thẳng và tính góc giữa hai đường thẳng đó. b/ Viết phương trình mp(α) chứa Δ và song song với Δ’. c/ Chứng minh Δ và Δ’ chéo nhau. Tính khoảng cách giữa chúng. Bài 11: Viết phương trình mp chứa đường thẳng: 4 0 2 5 2 x y z x y z + + − =⎧⎨ − + − =⎩ và ssong đt : 2 1 1 2 2 x y z− − −= = 5 . Bài 12: Viết ptđt d nằm trong mặt phẳng: y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng: 1 4 x t y t z t = −⎧⎪ =⎨⎪ =⎩ ; 2 4 2 1 x t y t z = −⎧⎪ = +⎨⎪ =⎩ . Bài 13: Viết p.trình đ.thẳng song song với đường thẳng: 3 1 5 x t y t z t =⎧⎪ = −⎨⎪ = +⎩ và cắt hai đường thẳng: ⎧⎨ ;2 1 04 3 0 x y z x y z − − + = − + − =⎩ 7 1 2 2 1 4 3 x y z− + −= = . Bài 14: Viết ptđt d đi qua điểm (1;–1; 1) và cắt hai đường thẳng: 1 0 2 3 0 x y z y z + + − =⎧⎨ + − =⎩ ; 1 3 2 1 1 x y z− −= = − . Bài 15: Cho hai đường thẳng: d: 1 1 2 3 1 x y z+ − −= = 2 ; d’: 2 2 1 5 2 x y z− += = − . a/ CMR: d và d’ chéo nhau. b/ Viết p.trình đường thẳng vuông góc chung của d và d’. Bài 16: Với giá trị nào của k thì đường thẳng: 2 1 1 0 kx y z x ky z 0+ − + =⎧⎨ − + − =⎩ nằm trong mpOyz. Bài 17: Cho 3 đt d1: ; d5 2 14 3 x t y t z t =⎧⎪ = −⎨⎪ = −⎩ 2: 1 4 2 1 5 x h y z h = −⎧⎪ = +⎨⎪ = +⎩ h 0 ; d3: 4 7 0 5 4 35 x y x z − − =⎧⎨ + − =⎩ a/ CMR: d1 và d2 chéo nhau. b/ CMR: d1 và d3 cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm của chúng. c/ Tìm góc nhọn giữa d1 và d2. d/ Tìm p.trình hai mp (P) // (P’) và lần lượt đi qua d1 và d2. Bài 18: Cho đt d: và ba mp (P): x + y – z – 7 = 0; (Q): 2x – 3y – z –10 = 0; 5 2 3 5 4 5 15 x y z x y z − + − =⎧⎨ + + + =⎩ 0 0 (R): x + y + 2z – 4 = 0 a/ CMR: d ⊥ (P), d ⊂ (Q), d // (R). b/ Tìm ptđt qua điểm chung của (P), (Q), (R) và đồng thời cắt d và cắt đường thẳng: 1 1 1 x y z= =− − . Bài 19: Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau; tìm tọa độ giao điểm; lập p.trình mp chứa hai đ.thẳng đó. a/ d1: 1 1 4 2 3 x y z− + −= = 2 0; d2: 4 5 93 5 7 0 x y x z − − =⎧⎨ − + =⎩ . b/ d1: ; d 7 0 3 4 11 x y z x y − − − =⎧⎨ − − =⎩ 0 0 2: 2 1 1 0 x y z x y + − − =⎧⎨ + + =⎩ . c/ d1: 2 3 3 2 4 6 x t y t z t = −⎧⎪ = −⎨⎪ = +⎩ ; d2: 5 1 4 20 x t y t z t = +⎧⎪ = − −⎨⎪ = +⎩ . Bài 20: Chứng minh hai đường thẳng d1và d2 chéo nhau. Lập ptđt d vuông góc và cắt hai đường thẳng đó. a/ d1: ; d 3 5 2 1 x y y z + − =⎧⎨ − − =⎩ 0 0 2 : . 2 0 2 0 x y z x z − − =⎧⎨ + =⎩ b/ d1: 7 3 1 2 x y z− − −= = 9 1− ; d2: 3 1 7 2 3 1x y z− − −= =− c/ d1: ; d 5 0 2 1 x y z x y + − + =⎧⎨ − + =⎩ 0 2: 1 2 3 x t y t z t = +⎧⎪ = − +⎨⎪ = −⎩ . d/ d1: 1 2 2 2 x t y t z t = +⎧⎪ = −⎨⎪ = −⎩ ; d2: 2 5 4 4 x t y t z =⎧⎪ = −⎨⎪ =⎩ . Bài 21: Cho đt d: và mp(P): 2x – y + 4z + 8 = 0. 2 4 3 0 2 3 2 3 x y z x y z + − + =⎧⎨ + − + =⎩ 0 0 a/ CMR: d cắt (P). Tìm giao điểm A của chúng. b/ Viết p.trình mp(Q) qua d và vuông góc với (P). c/ Viết p.trình tham số của giao tuyến giữa (P) và (Q). d/ Viết p.trình đ.thẳng d’ qua A, vuông góc với d và nằm trong (P). C/ KHOẢNG CÁCH. Bài 1: Tìm khoảng cách: a/ Từ điểm A(3; –6; 7) đến mp(β): 4x – 3z –1 = 0. b/ Giữa mp(α): 2x – 2y + z – 1 = 0 và mp(β) :2x – 2y + z + 5 = 0. c/ Từ điểm M(4; 3; 0) đến m.phẳng xác định bởi ba điểm A(1; 3; 0), B(4; –1; 2) và C(3; 0; 1). d/ Từ gốc tọa độ đến mp(β) đi qua P(2; 1; –1) và nhận làm pháp véc tơ. (1; 2;3)n→ = − Bài 2: Tìm khoảng cách từ điểm P(2,3,-1) đến: a/ Đường thẳng a có phương trình : . x t y t z t = + = = − − ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 5 3 2 25 2 b/ Đường thẳng b có phương trình: . 2 2 3 0 3 2 2 17 x y z x y z − + = = − + + = ⎧⎨⎩ Bài 3: Tính khoảng cách từ M(1; –1; 2), N(3; 4; 1); P(–1; 4; 3) đến mp(Q): x + 2y + 2z – 10 = 0. Bài 4: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng: (P): 2x – y + 4z + 5 = 0 (Q): 3x + 5y – z – 1 = 0 Bài 5: Tính khoảng cách giữa hai mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0; trong đó A =A’, B = B’, C =C’, D ≠ D’ Bài 6: Trên trục Oz tìm điểm cách đều điểm (2; 3; 4) và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 17 = 0. Bài 7: Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai mp (P): x + y – z + 1 = 0 và (Q): x – y + z – 5 = 0. Bài 8: Tính khoảng cánh từ các điểm M(2; 3; 1) và N(1; –1; 1) đến đường thẳng d: 2 1 1 2 1 2 x y z+ −= = +− . Bài 9: Tính k/cách từ điểm M(2; 3; –1) đến đt d: 2 1 0 3 2 2 x y z x y z + − − =⎧⎨ 0+ + + =⎩ . Bài 10: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau: a/ 1 3 2 1 x y z− + −= = − 4 2 ; 2 2 4 2 4 1x y z+ += =− − + 8 9 0 0 0 b/ ; 2 1 4 0 x z x y − − =⎧⎨− − + =⎩ 3 2 3 3 6 x y y z + − =⎧⎨ − − =⎩ c/ 1 1 1 x t y t z = +⎧⎪ = − −⎨⎪ =⎩ ; 2 3 2 3 3 x t y t z t = −⎧⎪ = − +⎨⎪ =⎩ . Bài 11: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: (P): x + y – z + 5 = 0; (Q): 2x + 2y - 2z + 3 = 0 Bài 12: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: d1: 2 – x = y – 3 = z; d2: 1 2 2 2 1 2 x t y t z t = −⎧⎪ = +⎨⎪ = − +⎩ . Bài 13: Tính khoảng cách giữa đường thẳng d song song với mp(P): d: ; (P): y + 4z + 17 = 0 2 3 6 10 5 0 x y z x y z + + − =⎧⎨ + + + =⎩ 0 0 0 Bài 14: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d: ; d’: 5 0 3 6 0 x y z x y − − − =⎧⎨ − + =⎩ 2 5 0 4 2 5 4 y z x y z + − =⎧⎨ − + − =⎩ Bài 15: Cho hai đ.thẳng d: và d’: 2 3 2 0 3 2 0 x y x z − − =⎧⎨ + + =⎩ 2 3 9 2 1 0 x y y z − + =⎧⎨ + + =⎩ . a/ CMR: d // d’. Tính khoảng cách giữa d và d’. b/ Viết p.trình mặt phẳng (P) chứa d và d’. c/ Tính khoảng cách từ điểm (2; 3; 2) đến (P). Bài 16: Cho ba điểm A(1; –2; 1), B(–1; 1; 2) và C(2; 1; –2) và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0. a/ Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất. b/ Tìm điểm N thuộc (P) sao cho NA + NC nhỏ nhất. Bài 17: Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) và đường thẳng d có phương trình: 1 2 3 2 2 x y z+ − −= =− 2 0 . a/ CMR: hai đường thẳng AB và d cùng nằm trong một mặt phẳng. b/ Tìm điểm I trên d sao cho IA + IB nhỏ nhất. Bài 18: Cho hai đường thẳng d: ; d’: 0 4 0 x y x y z + =⎧⎨ − + + =⎩ 3 1 2 0 x y y z + − =⎧⎨ + − =⎩ . a/ CMR: d và d’ chéo nhau. b/ Tính khoảng cách giữa d và d’. c/ Tìm p.trình của đ.thẳng qua I(2;3;1) và cắt cả hai đ.thẳng d và d’. Bài 19: Tìm góc tạo bởi đường thẳng: 3 1 2 1 1 x y z+ − −= = 2 với các trục tọa độ. Bài 20: Tìm góc tạo bởi các cặp đường thẳng sau: a/ 1 2 1 3 4 x t y t z t = +⎧⎪ = − +⎨⎪ = +⎩ ; 2 1 3 4 2 x t y t z t = −⎧⎪ = − +⎨⎪ = +⎩ b/ 1 2 3 1 4 x y z− + += = 2 0 0 0 0 ; 2 1 2 3 2 0 x y z x z + − − =⎧⎨ + − =⎩ c/ ; 2 3 1 0 x y z x y z − + − =⎧⎨ + + =⎩ 3 4 2 1 x y z x y z − + − =⎧⎨ − + + =⎩ Bài 21: Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối của tứ diện có các đỉnh: A(3; –1; 0), B(0; –7; 3), C(–2; 1; –1) và D(3; 2; 6). Bài 22: Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết: a/ d: 2 1 4 1 3 2 x y z+ − −= = − ; (P): x + y – z + 2 = 0 b/ 1 2 1 3 2 x t y t z t = +⎧⎪ = − +⎨⎪ = −⎩ ; (P): 2x – y + 2z – 1 = 0 c/ ; (P): 3x – y + z – 1 = 0 2 3 1 2 0 x y z x y z − + − =⎧⎨ − − + =⎩ 0 Bài 23: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M(1; –1; 2) trên mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 12 = 0. Bài 24: Tìm điểm đối xứng của điểm M(2; –3; 1) qua mặt phẳng (P): x + 3y – z + 2 = 0. Bài 25: Lập ptđt vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxz và cắt hai đt: 4 3 x t y t z t =⎧⎪ = − +⎨⎪ = −⎩ và 1 2 3 4 5 x t y t z t = −⎧⎪ = − +⎨⎪ = −⎩ . Bài 26: Tìm điểm đ.xứng của điểm M(2; –1; 1) qua đt: 1 2 1 2 x t y t z t = +⎧⎪ = − −⎨⎪ =⎩ . Bài 27: Viết ptđt đi qua điểm M(0; 1; 1), vuông góc với đt: 1 2 3 1 1 x y z− += = và cắt đt: . 2 0 1 0 x y z x + − + =⎧⎨ + =⎩ E/ HÌNH CHIẾU. Bài 1: Cho hai điểm M(1;1;1), N(3;–2; 5) và mp(P): x + y –2z –6 = 0. a/ Tính khoảng cách từ N đến mp(P). b/ Tìm hình chiếu vuông góc của M trên mp(P). c/ Tìm p.trình hình chiếu vuông góc của đ.thẳng MN trên mp(P). Bài 2: Tìm p.trình hình chiếu vuông góc của đ.thẳng trên m.phẳng: a/ d: 2 2 3 4 1 1x y z− + −= = ; (P): x + 2y + 3z + 4 = 0 b/ ; (P): x + 2y + z – 5 = 0 2 3 3 3 x y x z − − =⎧⎨ − − =⎩ 0 0 0 Bài 3: Cho điểm M(–1; –1; –1) và đ.thẳng d: 2 1 1 0 x y z x y z + − + =⎧⎨ − + − =⎩ . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên d và trên mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0. Tính HK. Bài 4: Cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(–1; 2;3), B(0; 4;4), C(2; 0; 3) và D(5; 5; –4). a/ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của D trên mp(ABC). b/ Tính thể tích của tứ diện. Bài 5: Cho3điểm A(–1; 2; 3), B(–2; 1; 1) và C(5; 0; 0). Tìm tọa độ hchiếu vuông góc C’ của C trên đt: AB. Bài 6: Cho hai đường thẳng d: và d’: 4 6 2 x t y z t =⎧⎪ = +⎨⎪ = +⎩ t 6 3 1 x h y h z h =⎧⎪ = − +⎨⎪ = − +⎩ . a/ Tìm phương trình đường vuông góc chung của d và d’. b/ Gọi K là hình chiếu của điểm I(1; –1; 1) trên d’. Tìm ptts của đt qua K, vgóc với d và cắt d’. Bài 7: Mp(P): x + 2y + 3z – 6 = 0 cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C. a/ Tìm tọa độ trực tâm, trong tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC. b/ Tìm p.trình chính tắc của trục đường tròn (ABC). Bài 8: Cho hai đ.thẳng d1: 8 23 0 4 10 0 x z y z − + =⎧⎨ − + =⎩ và d2: 2 3 0 2 2 x z y z 0 − − =⎧⎨ + + =⎩ . a/ Viết p.trình các mp(P), (Q) // với nhau và lần lượt qua d1, d2. b/ Tính khoảng cách giữa d1 và d2. 10 c/ Viết p.trình đ.thẳng d song song với trục Oz và cắt cả d1, d2. IV/ MẶT CẦU. A/ Phương trình của mặt cầu. Bài 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu có phương trình: a/ x2 + y2 + z2 – 8x + 2y + 1 = 0 b/ x2 + y2 + z2 +4x + 8y – 2z – 4 = 0 c/ 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 3y + 15z – 2 = 0 d/ x2 + y2 + z2 – 2mx – 4y + 2mz + 8 = 0 e/ x2 + y2 + z2 – 2mx + my + 3z – 2 = 0 Bài 2: Lập phương trình mặt cầu (S) biết: a/ Có tâm I(2; 1; –2) và qua A(3; 2; –1). b/ Có đường kính AB, với A(6; 2; –5) và B(–4; 0; 7). c/ Có tâm I(–2; 1; 1) và tiếp xúc với mp(P): x + 2y – 2z + 5 =