Bài tập về Đại số tổ hợp

IX.ĐẠI SỐ TỔ HỢP 152) Cho 7 chữ số :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. a) Từ 7 chữ số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau? Kết quả: 57A 2520 b) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số chẵn? Kết quả:6.5.4.3.3=1080 c) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 7? Kết quả: 5. 1800A 46  153) Cho 6 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6. a) Từ các chữ số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau? Kết quả: 720A 56  b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số lẻ? Kết quả: 3603.A 45  c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số trong đó có mặt 2 chữ số 1 và 2? Hướng dẫn và kết quả: Liệt kê 4 tập con có chứa 1 và 2, có thể tạo 4.5!= 480 số. 154) Cho 5 chữ số 0,1, 3, 6, 9. a) Từ 5 chữ số ấy, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau? Kết quả: 96A.4 34  b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chẵn? Kết quả: 421.A.31.A 23 3 4  c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chia hết cho 3? Hướng dẫn và kết quả: Chọn trong tập chứa các phần tử chia hết cho 3 là A=0,3,6,9 Vậy có 3 18!3.3A. 33  số chia hết cho 3. 155) Cho 6 chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5. a) Tư các chữ số trên có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau? Kết quả: 5. 600A 45  b) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số chẵn ? Kết quả: 6004. 3.A 34 (lẻ)=312c) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số có mặt chữ số 0? Hướng dẫn và kết quả: Hoán vị các phần tử trong tập A=1,2,3,4,5 ta có 5!=120 số không có mặt chữ số 0. Phần bù: 600120=480 số có mặt chữ số 0. 156) Xét các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3 và 4, Hỏi có bao nhiêu số : a) Được tạo thành Kết quả: 4!=24 b) Bắt đầu bởi chữ số 1? Kết quả: 1.3!=6 c) Không bắt đầu bằng chữ số 2? Kết quả: P4 1.P3 =18. 157) Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số : a) Bắt đầu bởi 19? Kết quả: 1.1.3!=6 b) Không bắt đầu bởi 135? Kết quả: 5! 1.1.1.2!=118 158) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1,2,3, 4, 5 và 6 và lớn hơn 300.000 Kết quả: 4.5!=480 159) Có bao nhiêu sốtự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 9. Kết quả: Có 3 tập X1=1;2;6 , X2=1;3;5 và X3=2;3;4 có tổng các phần tử bằng 9. Vậy có 3.3!=18 số. 160) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt một lần? Hướng dẫn và kết quả: Cách 1: Xếp chữ số 0 trước: 7 cách (bỏ ô đầu).Xếp chữ số 2: còn 7. Xếp chữ số 3: còn 6. Xếp chữ số 4: còn 5. Xếp chữ số 5: còn 4. Xếp chữ số 1 vào 3 ô còn lại: 1 cách (Không thứ tự). Vậy có: 7.7.6.5.4.1=5080 số. Hoặc: 1 0 1 2 3 1 5 4 Muốn có một số cần tìm ta xếp các chữ số 0, 2, 3, 4 và 5 vào 5 trong 8 ô vuông, sau đó xếp chữ số 1 vào 3 ô còn lại (không thứ tự ). Vậy có 67201.A 58  số, kể cả các số có chữ số 0 đứng đầu ( có 840A.1 47  số). Có 6720840=5880 số. 161) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 2 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? Hướng dẫn và kết qua: Có 360 !2 !6  số. Hoặc: 1 5 1 2 4 3 Muốn có một số cần tìm ta xếp các chữ số 2, 3, 4 và 5 vào 4 trong 6 ô vuông, sau đó xếp chữ số 1 vào 2 ô còn lại (không có thứ tự ). Vậy có 3601.A 46  số 162) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 12? Kết quả: Có 7 tập hợp chứa 3 phần tử khác 0 có tổng 12 và có 3 tập hợp chứa 3 phần tử có phần tử 0 có tổng 12.Vậy có 7.3!+3.(2.2.1)=54 số. 163) Với 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 8 có bao nhiêu cách lập những số gồm 4 chữ số khác nhau, biết: a) Các số này < 5000? Kết quả: 2. 3Ï5A =120 số. b) Các số này chẵn < 7000? Kết quả: x= abcd: d=8 có 4.4.3.1= 48 số ; d8 có 3.4.3.2=72 số. Vậy có 48+72=120 số 164) Từ tập hợp A=0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5? Kết quả: x= abcd: a=5 có 1.6.5.4.3= 360 số ; a5 có 4(5.5.4.3)=1200 số. Vậy có 360+1200=1560 số Hoặc: 6. 4546 A.5A  (không có chữ số 5)=1560 165) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ta lập thành bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? Kết quả: 3024A 49  166) Tư 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5. Kết quả: 54 số. 167) Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau được lập nên từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7? Chứng minh rằng tổng của tất cả các số này chia hết cho 9. Kết quả: 7!=5040 số. S=2520.8888888 9 168) Có bao nhiêu số có các chữ số khác nhau có thể lập thành từ các chữ số 2, 4, 6 và 8. Kết quả: 64AAAA 44342414  số 169) Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số khác nhau, trong đó phải có mặt cả 2 chữ số 0 và 1? Hướng dẫn và kết quả: Cách 1: Tư A=2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lấy ra 78C 8 tập con có 7 phần tử không có 0 và 1. Hợp mỗi tập con này với 0,1 ta có 8 tập con có 9 phần tử trong đó có 0 và 1. Từ mỗi tập hợp này có thể tạo 8.8!=322560. Vậy có 8.322560=2580480 số. Cách 2: Cho 0 xuất hiện trước: Có 8 cách ( vì 0 không được đứng đầu). Cho 1 xuất hiện kế tiếp: Có 8 cách. Tiếp theo ta xếp 8 chữ số còn lại vào 7 vị trí còn lại: Có 78A 40320 cách. Vậy có: 8.8.40320=2580480 số. Cách 3: Có 3 loại số trong 899.A 3265920 số tạo được có 9 chữ số khác nhau: Có số chỉ xuất hiện 0 (không có 1), chỉ xuất hiện 1 (không có 0), có số xuất hiện cả 0 và 1. Có 9!=362880 số chỉ xuất hiện 1 (không có 0) và có 9!8!=322560 số chỉ xuất hiện 0 (không có 1). Vậy có:3265920(362880+322560)=2580480 số có cả 0 và 1. 170) Từ 5 chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, trong đó: a) 2 chữ số 1và 2 đứng cạnh nhau? ) 2 chữ số 1và 2 không đứng cạnh nhau? Hướng dẫn và kết quả: a) Giai đoạn 1: Cho 2 chữ số 1 và 2 vào 2 ô liền nhau, 3 chữ số 3, 4, 5 vào 3 ô còn lại: Có 4!=24 cách xếp. Giai đoạn 2: Vì 1 và 2 nằm trong 2 ô liền nhau nên có 2!=2 cách xếp. Theo quy tắc nhân, có 24.2=48 số. b) Có 5!=120 số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập nên từ 5 chữ số đã cho trong đó có thể có 1 và 2 đứng cạnh nhau; hoặc 1 và 2 không đứng cạnh nhau. Vậy có 12048=72 số trong đó 1 và 2 không đứng cạnh nhau. 171) Từ 4 chữ số 0,1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số , trong đó chữ số 3 xuất hiện 4 lần, các chữ số 0, 1, 2 chỉ xuất hiện 1 lần. Hướng dẫn và kết quả: Tương tự bài 8b): Có 3 27 6A .1 A 180  số. Ta có thể giải bằng cách khác: Với 7 ô : Giai đoạn 1: Ta lắp chữ số 0 vào trước: Có 6 cách (bỏ ô đầu tiên). Giai đoạn 2: Ta lắp chữ số 1 vào 6 ô còn lại: Có 6 cách. Giai đoạn 3: Ta lắp chữ số 2 vào 5 ô còn lại: Có 5 cách. Giai đoạn 4: Ta lắp chữ số 3 vào 4 ô còn lại: Có 1 cách (không thứ tự). Theo quy tắc nhân có : 6.6.5.1=180 số. 172) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, sao cho 2 chữ số kề nhau phải khác nhau? Kết quả: 9.9.9.9.9=59049. 173) Từ 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau sao cho luôn có mặt chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là chữ số 1? Kết qua: 1.3. 25A =60 số (1 cách xếp chữ số 1, 3 cách xếp chữ số 7 và 2 5A cách xếp 2,3,4,5,6 vào 2 vị trí còn lại). 174) a) Có bao nhiêu số tự nhiên (được viết trong hệ đếm thập phân) gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau? Kết quả: 45A =120 b) Hãy tính tổng tất cả các số tự nhiên nói trên? Kết quả:60X155554 = 9333240 175) Cho 5 chữ số:1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 4 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên? Kết quả: 4.3.2.3=72 176) Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, nhỏ hơn 10000 được tạo thành từ 5 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4? Kết quả: 5+4.5+4.25+4.125= 625 177) Với 10 chữ số từ 0 đến 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số, mà các chữ số đó đều khác nhau? Kết quả: 9.8.7.1+8.8.7.4=2296 178) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết tổng ba chữ số này bằng 8. Kết quả: Có 2 tập có tổng 3 phần tư bằng 8. Vậy có 2.3!=12 số. 179) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 . Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số tự nhiên : a) Gồm 4 chữ số khác nhau và là số chẵn. Kết quả: 5.4.3.1+4.4.3.2=156 b) Gồm 4 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 3000 . Kết quả: 2.5.4.3=120 c) Gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 4. Kết quả: 1 2 3 4 3 4a a a a 4 a a 4  .Có 72 số d) Gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 Kết quả: 108 e) Gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 Kết quả: 216 180) Cho 5 quả cầu trắng bán kính khác nhau và 5 quả cầu xanh bán kính khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 quả cầu đó thành 1 dãy từ trái sang phải, sao cho không có 2 quả cầu cùng màu đứng cạnh nhau? Kết quả:28800 181) Hội đồng quản trị của 1 xí nghiệp gồm 11 người, trong đó có 7 nam và 4 nữ. Từ hội đồng quản trị đó người ta muốn lập ra 1 ban thường trực, trong đó ít nhất 1 người nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban thường trực có 3 người? Kết quả: 161 182) Nhân ngày sinh nhật, các bạn tặng Hồng Nhung 1 bó hoa gồm 10 bông hồng trắng và 1 bó hoa gồm 10 bông hồng nhung. Hồng Nhung muốn chọn ra 5 bông để cắm bình. Hỏi Hồng Nhung có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 bông ấy phải có ít nhất : a) 2 bông trắng và 2 bông nhung . Kết quả:10800 b) 1 bông trắng và 1 bông nhung . Kết quả:15000 183) Lúc khai mạc 1 hội nghị có 5 đại biểu. Các đại biểu đều lần lượt bắt tay nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay? Kết quả: 10 184) Có bao nhiêu cách xếp đặt 3 người đàn ông, 2 người đàn bà ngối trên 1 ghế dài sao cho những người cùng phái ngồi cạnh nhau? Kết quả: 24 185) Gieo 3 hột xúc xắc vào trong 1 cái chén, hỏi có bao nhiêu kết quả khác nhau cả thảy ? Kết quả: 63=216 186) Có 5 con đường nối 2 thành phố X và Y, có 4 con đường nối 2 thành phố Y và Z. Muốn đi từ X đến Z phải qua Y . a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi từ X đến Z? Kết quả: 20 b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi và về từ X đến Z rồi về lại X bằng những con đường khác nhau? Kết quả: (5X4)X(3X4)=240 187) Có bao nhiêu đường chéo trong hình thập giác lồi? Kết quả: 35 188) Vẽ 5 đường thẳng song song trên một tờ giấy. Sau đó vẽ tiếp 6 đường thẳng song song khác cắt cả 5 đường thẳng vẽ lúc đầu. Có bao nhiêu hình bình hành tạo được? Kết quả: 150C.C 2625  189) Cho tập P gồm 10 điểm phân biệt trong mặt phẳng : a) Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh lấy trong P nếu không có 3 điểm nào lấy trong P thẳng hàng? Kết quả: 310C 120 b) Cũng câu hỏi như câu a) nếu trong P có đúng 4 điểm thẳng hàng. Kết quả: 3 310 4C C 116  190) Một nhóm gồm 10 học sinh ( 7 nam và 3 nữ ) . Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đứng liền nhau Kết quả: 4!.7!=120960 191) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A; 2 người ở địa điểm B và 4 người trực nhật tại đồn . Có bao nhiêu cách phân công? Kết quả: 3 29 6C .C .1 1260 192) Có 10 câu hỏi ( 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập ) . Một đề thi gồm có 3 câu có cả lý thuyết và bài tập. Có bao nhiêu cách tạo đề thi? Kết quả: 96(có 2 t.h) 193) Lớp học có 40 học sinh ( 25 nam và 15 nữ) . Cần chọn một nhóm gồm 3 học sinh . Hỏi có bao nhiêu cách : a) Chọn 3 học sinh bất kỳ . Kết quả: 340C =9880 b) Chọn 3 học sinh gồm 1 nam và hai nữ . Kết quả: 2625 c) Chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam. Kết quả: 9425 194) Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy. Kết quả: 3 3 3 36 5 6 5C .C .3! C .A 195) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, trong đó phải có mặt đồng thời 2 chữ số 1 và 2? Kết quả:720240=480 số. 196) Tìm n sao cho: a) .48C.A 1nn2n  Kết quả: n = 4 b) 23 24 CA A 4n n 3 1n 4 n    . Kết quả:n = 5 c) n 6 n 5 n 4 C 1 C 1 C 1  . Kết quả:n = 2 d) 210 AP P 4n 1n3 2n     . Kết quả:n = 5 e) 6 1 P PP 1n 1nn     . Kết quả: n = 2 V n = 3 197) Giải các phương trình: a) 8x.Px.P 322  . Kết quả: x = -1 V x = 4 b) Nx,A50A2 2x22x  Kết quả: x = 5 c) x 2 7CCC 3x 2 x 1 x  . Kết quả:x = 4 198) Giải các phương trình: a) 2 2x2 1x3 1x A3 2CC   Kết quả: x=9 b) 1 4x 2 1x 1 x C6 7 C 1 C 1   Kết quả: x = 3 V x = 8 199) Giải phương trình 2nn3n CA  =14n. Kết quả:n=2. 200) Giải phương trình 4n3n C2A  = 3 2nA Kết quả: n=6 V n=11 201) Giải hệ phương trình:      12A 6C y x y x Kết quả:x=4 và y=2 202) Tìm n biết: 8CA 1n2n  . Kết quả: n = 2 V n = 3 203) Giải hệ phương trình:        1y x y x 1y x 2y x CC C3C5 Kết quả: x = 7 và y = 4 204) Tính hệ số của số hạng chứa 3x trong khai triển của: 743 )1x()1x3()1x2()x(P  . Kết quả:-65 205) Khai triển của n x 1x        có tổng các hệ số của 3 số hạng đầu là 28. Tìm số hạng thứ 5 của khai triển đó. Kết quả:126x 206) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của: 10 x 1x2        . Kết quả: - 8064 207) Khai triển: (x+2)4 Kết quả: x4+8x3+24x2+32x+16 208) Tìm hệ số a5b3 trong khai triển (a + b)8. Kết quả:56. 209) Tìm hai số hạng chính giữa trong khai triển:(x3 – xy)15. Kết quả: T8=  6435.x31 y7 ; T9= 6435 x29 y8 210) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: 12 x 1x        Kết qua:T9=495 211) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển: ).3n(7CC : bieátx x 1 n 3n 1n 4n n 5 3          Kết quả: n = 12 và a9=495 211) Đa thức P(x) = ( 1+x) 9 + (1+x) 10 + … + (1+x) 14 có dạng khai triển là P(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + a14x14 . Tính hệ số a9. Kết quả:3003 212) Xét khai triển của: .)xyx( 153  Tính hệ số của hạng tử chứa .yx 1221 Kết quả: 455 213) Tìm n biết trong khai triển ( x + 2 1 ) n thành đa thức đối với biến x, hệ số của x6 bằng bốn lần hệ số của x4 . Kết quả: n=10 214) Tìm số hạng không chứa ẩn x trong khai triển nhị thức 121( )x x  . Kết quả: 495 215) Tìm số hạng không chứa ẩn x trong khai triển : (x2+ x3 1 )10 . Kết quả: 210. 216) Tìm hệ số của x101y99 trong khai triển (2x-3y)200 . Kết quả: 9910199 200 3.2.C 217) Chứng minh rằng: a) C0n2 +C2n2 +…..+C n2n2 = C1n2 +C3n2 +…+C 1n2n2  Hướng dẫn: Khai triển (a+b)2n với a = 1 , b = -1 b) C1n +2C2n +3C3n +…+nCnn = n2 n-1. Hướng dẫn: Lấy đạo hàm y= (1+x)n rồi thay x=1. 218) Chứng minh rằng: nn2n23n22n21n20n2 4C...........CCCC  219) Chứng minh rằng: 1n 12C 1n 1...C 3 1C 2 1C)b x)(1f(x) vôùi (1)''f'(1)'f' Laáy :daãn Höôùng 2)nn(Cn...C3C2C1)a 1n n n 2 n 1 n 0 n n 2n2n n 23 n 22 n 21 n 2          220) Tính S= 0 1 66 6 6...C C C   Hướng dẫn: Xét (x+1)6 và thay x=1. Kết qua: 64 221) Tính T= 0 1 2 2 3 3 4 4 5 55 5 5 5 5 52 2 2 2 2C C C C C C     Hướng dẫn: xét với (1+x)5 với x=2. Kết qua: 243 222) Viết khai triển của biểu thức ( 3x –1 ) 16 . Từ đó chứng minh rằng 16 0 15 1 14 2 16 16 16 16 16 163 3 3 ... 2C C C C     .Hướng dẫn: Thay x=1 223) Tìm kN để k14C , 1k14C  , 2k14C  lập thành một cấp số cộng.Kết qua: k=4 V k=8. 224) Tìm số tự nhiên x sao cho: 8x9x10x A9AA  Kết qua: x=11