169) Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên có 9 chữ số khác nhau, trong đó phải có mặt cả 2 chữ số 0 và 1?
Hướng dẫn và kết quả:
Cách 1:Tư A= 2,3,4,5,6,7,8,9có thể lấy ra 78C 8 tập con có 7
phần tử không có 0 và 1. Hợp mỗi tập con này với 0,1 ta có 8 tập
con có 9 phần tử trong đó có 0 và 1. Từ mỗi tập hợp này có thể tạo
8.8!=322560. Vậy có 8.322560=2580480 số.
Cách 2:Cho 0 xuất hiện trước: Có 8 cách ( vì 0 không được đứng
đầu). Cho 1 xuất hiện kế tiếp: Có 8 cách. Tiếp theo ta xếp 8 chữ số
còn lại vào 7 vị trí còn lại: Có 78A 40320 cách. Vậy có:
8.8.40320=2580480 số.
17 trang |
Chia sẻ: maiphuongdc | Lượt xem: 29511 | Lượt tải: 2
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài tập về Đại số tổ hợp, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
IX.ĐẠI SỐ TỔ HỢP
152) Cho 7 chữ số :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
a) Từ 7 chữ số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi
số gồm 5 chữ số khác nhau? Kết quả: 57A 2520
b) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số chẵn? Kết
quả:6.5.4.3.3=1080
c) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số trong đó nhất thiết phải có
mặt chữ số 7? Kết quả: 5.
1800A 46
153) Cho 6 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
a) Từ các chữ số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên
gồm 5 chữ số khác nhau? Kết
quả: 720A 56
b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số lẻ? Kết quả: 3603.A 45
c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số trong đó có mặt 2 chữ số 1
và 2?
Hướng dẫn và kết quả: Liệt kê 4 tập con có chứa 1 và 2, có thể tạo
4.5!= 480 số.
154) Cho 5 chữ số 0,1, 3, 6, 9.
a) Từ 5 chữ số ấy, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ
số khác nhau? Kết quả: 96A.4 34
b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chẵn? Kết quả:
421.A.31.A 23
3
4
c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chia hết cho 3?
Hướng dẫn và kết quả: Chọn trong tập chứa các phần tử chia hết cho
3 là A=0,3,6,9 Vậy có 3 18!3.3A. 33 số chia hết cho 3.
155) Cho 6 chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5.
a) Tư các chữ số trên có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên
gồm 5 chữ số khác nhau? Kết quả: 5.
600A 45
b) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số chẵn ? Kết quả:
6004. 3.A 34 (lẻ)=312c) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số có mặt
chữ số 0?
Hướng dẫn và kết quả: Hoán vị các phần tử trong tập A=1,2,3,4,5
ta có 5!=120 số không có mặt chữ số 0. Phần bù: 600120=480 số có
mặt chữ số 0.
156) Xét các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số
1, 2, 3 và 4, Hỏi có bao nhiêu số :
a) Được tạo thành Kết quả: 4!=24
b) Bắt đầu bởi chữ số 1? Kết quả: 1.3!=6
c) Không bắt đầu bằng chữ số 2? Kết quả: P4 1.P3
=18.
157) Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số
1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số :
a) Bắt đầu bởi 19? Kết quả: 1.1.3!=6
b) Không bắt đầu bởi 135? Kết quả: 5! 1.1.1.2!=118
158) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau lập nên từ các
chữ số 1,2,3, 4, 5 và 6 và lớn hơn 300.000 Kết quả: 4.5!=480
159) Có bao nhiêu sốtự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết
rằng tổng của 3 chữ số này bằng 9. Kết quả: Có
3 tập X1=1;2;6 , X2=1;3;5 và X3=2;3;4 có tổng các phần tử
bằng 9. Vậy có 3.3!=18 số.
160) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8
chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt một lần?
Hướng dẫn và kết quả:
Cách 1: Xếp chữ số 0 trước: 7 cách (bỏ ô đầu).Xếp chữ số 2:
còn 7. Xếp chữ số 3: còn 6. Xếp chữ số 4: còn 5. Xếp chữ số 5:
còn 4. Xếp chữ số 1 vào 3 ô còn lại: 1 cách (Không thứ tự).
Vậy có: 7.7.6.5.4.1=5080 số.
Hoặc: 1 0 1 2 3 1 5 4
Muốn có một số cần tìm ta xếp các chữ số 0, 2, 3, 4 và 5 vào 5
trong 8 ô vuông, sau đó xếp chữ số 1 vào 3 ô còn lại (không thứ
tự ). Vậy có 67201.A 58 số, kể cả các số có chữ số 0 đứng đầu (
có 840A.1 47 số). Có 6720840=5880 số.
161) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6
chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 2 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng
một lần?
Hướng dẫn và kết qua: Có 360
!2
!6
số.
Hoặc: 1 5 1 2 4 3
Muốn có một số cần tìm ta xếp các chữ số 2, 3, 4 và 5 vào 4 trong
6 ô vuông, sau đó xếp chữ số 1 vào 2 ô còn lại (không có thứ tự ).
Vậy có 3601.A 46 số
162) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết rằng tổng
của 3 chữ số này bằng 12?
Kết quả: Có 7 tập hợp chứa 3 phần tử khác 0 có tổng 12 và có 3 tập
hợp chứa 3 phần tử có phần tử 0 có tổng 12.Vậy có
7.3!+3.(2.2.1)=54 số.
163) Với 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 8 có bao nhiêu cách lập những số gồm 4
chữ số khác nhau, biết:
a) Các số này < 5000? Kết quả: 2. 3Ï5A =120 số.
b) Các số này chẵn < 7000? Kết quả: x= abcd: d=8 có
4.4.3.1= 48 số ; d8 có 3.4.3.2=72 số. Vậy có 48+72=120 số
164) Từ tập hợp A=0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số
mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt
chữ số 5?
Kết quả: x= abcd: a=5 có 1.6.5.4.3= 360 số ; a5 có 4(5.5.4.3)=1200
số. Vậy có 360+1200=1560 số Hoặc: 6. 4546 A.5A (không có chữ số
5)=1560
165) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ta lập thành bao nhiêu số có
4 chữ số khác nhau? Kết quả:
3024A 49
166) Tư 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ
số khác nhau và không chia hết cho 5. Kết quả: 54 số.
167) Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau
được lập nên từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7? Chứng minh rằng tổng của
tất cả các số này chia hết cho 9. Kết quả: 7!=5040
số. S=2520.8888888 9
168) Có bao nhiêu số có các chữ số khác nhau có thể lập thành từ các
chữ số 2, 4, 6 và 8. Kết quả: 64AAAA 44342414
số
169) Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên có 9 chữ số khác nhau, trong đó phải có mặt cả 2 chữ số 0 và 1?
Hướng dẫn và kết quả:
Cách 1: Tư A=2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lấy ra 78C 8 tập con có 7
phần tử không có 0 và 1. Hợp mỗi tập con này với 0,1 ta có 8 tập
con có 9 phần tử trong đó có 0 và 1. Từ mỗi tập hợp này có thể tạo
8.8!=322560. Vậy có 8.322560=2580480 số.
Cách 2: Cho 0 xuất hiện trước: Có 8 cách ( vì 0 không được đứng
đầu). Cho 1 xuất hiện kế tiếp: Có 8 cách. Tiếp theo ta xếp 8 chữ số
còn lại vào 7 vị trí còn lại: Có 78A 40320 cách. Vậy có:
8.8.40320=2580480 số.
Cách 3: Có 3 loại số trong 899.A 3265920 số tạo được có 9 chữ số khác
nhau: Có số chỉ xuất hiện 0 (không có 1), chỉ xuất hiện 1 (không có
0), có số xuất hiện cả 0 và 1. Có 9!=362880 số chỉ xuất hiện 1 (không
có 0) và có 9!8!=322560 số chỉ xuất hiện 0 (không có 1). Vậy
có:3265920(362880+322560)=2580480 số có cả 0 và 1.
170) Từ 5 chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5
chữ số khác nhau, trong đó:
a) 2 chữ số 1và 2 đứng cạnh nhau?
) 2 chữ số 1và 2 không đứng cạnh nhau?
Hướng dẫn và kết quả:
a) Giai đoạn 1: Cho 2 chữ số 1 và 2 vào 2 ô liền nhau, 3 chữ số 3, 4, 5
vào 3 ô còn lại: Có 4!=24 cách xếp.
Giai đoạn 2: Vì 1 và 2 nằm trong 2 ô liền nhau nên có 2!=2 cách xếp.
Theo quy tắc nhân, có 24.2=48 số.
b) Có 5!=120 số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập nên từ 5 chữ
số đã cho trong đó có thể có 1 và 2 đứng cạnh nhau; hoặc 1 và 2
không đứng cạnh nhau. Vậy có 12048=72 số trong đó 1 và 2 không
đứng cạnh nhau.
171) Từ 4 chữ số 0,1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ
số , trong đó chữ số 3 xuất hiện 4 lần, các chữ số 0, 1, 2 chỉ xuất hiện 1
lần.
Hướng dẫn và kết quả: Tương tự bài 8b): Có 3 27 6A .1 A 180 số. Ta có thể
giải bằng cách khác: Với 7 ô :
Giai đoạn 1: Ta lắp chữ số 0 vào trước: Có 6 cách (bỏ ô đầu tiên).
Giai đoạn 2: Ta lắp chữ số 1 vào 6 ô còn lại: Có 6 cách.
Giai đoạn 3: Ta lắp chữ số 2 vào 5 ô còn lại: Có 5 cách.
Giai đoạn 4: Ta lắp chữ số 3 vào 4 ô còn lại: Có 1 cách (không thứ
tự).
Theo quy tắc nhân có : 6.6.5.1=180 số.
172) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, sao cho 2 chữ số kề nhau
phải khác nhau? Kết quả:
9.9.9.9.9=59049.
173) Từ 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
4 chữ số khác nhau sao cho luôn có mặt chữ số 7 và chữ số hàng ngàn
là chữ số 1?
Kết qua: 1.3. 25A =60 số (1 cách xếp chữ số 1, 3 cách xếp chữ số 7 và
2
5A cách xếp 2,3,4,5,6 vào 2 vị trí còn lại).
174) a) Có bao nhiêu số tự nhiên (được viết trong hệ đếm thập phân)
gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau?
Kết quả: 45A =120
b) Hãy tính tổng tất cả các số tự nhiên nói trên? Kết
quả:60X155554 = 9333240
175) Cho 5 chữ số:1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ
có 4 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên? Kết quả:
4.3.2.3=72
176) Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, nhỏ hơn 10000 được tạo
thành từ 5 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4? Kết
quả: 5+4.5+4.25+4.125= 625
177) Với 10 chữ số từ 0 đến 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
chẵn có 4 chữ số, mà các chữ số đó đều khác nhau? Kết quả:
9.8.7.1+8.8.7.4=2296
178) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết
tổng ba chữ số này bằng 8. Kết quả: Có 2 tập có tổng 3 phần tư
bằng 8. Vậy có 2.3!=12 số.
179) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 . Từ các chữ số đã cho lập được bao
nhiêu số tự nhiên :
a) Gồm 4 chữ số khác nhau và là số chẵn. Kết quả:
5.4.3.1+4.4.3.2=156
b) Gồm 4 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 3000 . Kết quả: 2.5.4.3=120
c) Gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 4. Kết
quả: 1 2 3 4 3 4a a a a 4 a a 4 .Có 72 số
d) Gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 Kết quả: 108
e) Gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 Kết quả: 216
180) Cho 5 quả cầu trắng bán kính khác nhau và 5 quả cầu xanh bán
kính khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 quả cầu đó thành 1
dãy từ trái sang phải, sao cho không có 2 quả cầu cùng màu đứng cạnh
nhau? Kết quả:28800
181) Hội đồng quản trị của 1 xí nghiệp gồm 11 người, trong đó có 7
nam và 4 nữ. Từ hội đồng quản trị đó người ta muốn lập ra 1 ban
thường trực, trong đó ít nhất 1 người nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
ban thường trực có 3 người? Kết quả: 161
182) Nhân ngày sinh nhật, các bạn tặng Hồng Nhung 1 bó hoa gồm 10
bông hồng trắng và 1 bó hoa gồm 10 bông hồng nhung. Hồng Nhung
muốn chọn ra 5 bông để cắm bình. Hỏi Hồng Nhung có bao nhiêu cách
chọn nếu trong 5 bông ấy phải có ít nhất :
a) 2 bông trắng và 2 bông nhung . Kết quả:10800
b) 1 bông trắng và 1 bông nhung . Kết quả:15000
183) Lúc khai mạc 1 hội nghị có 5 đại biểu. Các đại biểu đều lần lượt
bắt tay nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay? Kết
quả: 10
184) Có bao nhiêu cách xếp đặt 3 người đàn ông, 2 người đàn bà ngối
trên 1 ghế dài sao cho những người cùng phái ngồi cạnh nhau? Kết
quả: 24
185) Gieo 3 hột xúc xắc vào trong 1 cái chén, hỏi có bao nhiêu kết quả
khác nhau cả thảy ? Kết quả: 63=216
186) Có 5 con đường nối 2 thành phố X và Y, có 4 con đường nối 2
thành phố Y và Z. Muốn đi từ X đến Z phải qua Y .
a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi từ X đến Z? Kết quả: 20
b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi và về từ X đến Z rồi về lại X
bằng những con đường khác nhau? Kết quả:
(5X4)X(3X4)=240
187) Có bao nhiêu đường chéo trong hình thập giác lồi? Kết quả: 35
188) Vẽ 5 đường thẳng song song trên một tờ giấy. Sau đó vẽ tiếp 6
đường thẳng song song khác cắt cả 5 đường thẳng vẽ lúc đầu. Có bao
nhiêu hình bình hành tạo được? Kết
quả: 150C.C 2625
189) Cho tập P gồm 10 điểm phân biệt trong mặt phẳng :
a) Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh lấy trong P nếu không có 3 điểm
nào lấy trong P thẳng hàng? Kết quả: 310C 120
b) Cũng câu hỏi như câu a) nếu trong P có đúng 4 điểm thẳng hàng.
Kết quả: 3 310 4C C 116
190) Một nhóm gồm 10 học sinh ( 7 nam và 3 nữ ) . Có bao nhiêu cách
xếp 10 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đứng
liền nhau
Kết quả:
4!.7!=120960
191) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người
làm nhiệm vụ ở địa điểm A; 2 người ở địa điểm B và 4 người trực nhật
tại đồn . Có bao nhiêu cách phân công?
Kết quả: 3 29 6C .C .1 1260
192) Có 10 câu hỏi ( 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập ) . Một đề thi gồm
có 3 câu có cả lý thuyết và bài tập. Có bao nhiêu cách tạo đề thi? Kết
quả: 96(có 2 t.h)
193) Lớp học có 40 học sinh ( 25 nam và 15 nữ) . Cần chọn một nhóm
gồm 3 học sinh . Hỏi có bao nhiêu cách :
a) Chọn 3 học sinh bất kỳ . Kết quả: 340C =9880
b) Chọn 3 học sinh gồm 1 nam và hai nữ . Kết quả: 2625
c) Chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam. Kết quả: 9425
194) Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Chọn từ đó ra 3
tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn, mỗi bì thư
chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy.
Kết quả: 3 3 3 36 5 6 5C .C .3! C .A
195) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên có 5 chữ số khác nhau, trong đó phải có mặt đồng thời 2 chữ số
1 và 2?
Kết
quả:720240=480 số.
196) Tìm n sao cho:
a) .48C.A 1nn2n Kết quả: n = 4
b)
23
24
CA
A
4n
n
3
1n
4
n
. Kết quả:n = 5
c)
n
6
n
5
n
4 C
1
C
1
C
1
. Kết quả:n = 2
d) 210
AP
P
4n
1n3
2n
. Kết quả:n = 5
e)
6
1
P
PP
1n
1nn
. Kết quả: n = 2 V n = 3
197) Giải các phương trình:
a) 8x.Px.P 322 . Kết quả: x = -1 V x = 4
b) Nx,A50A2 2x22x Kết quả: x = 5
c) x
2
7CCC 3x
2
x
1
x . Kết quả:x = 4
198) Giải các phương trình:
a) 2 2x2 1x3 1x A3
2CC Kết quả: x=9
b)
1
4x
2
1x
1
x C6
7
C
1
C
1
Kết quả: x = 3 V x = 8
199) Giải phương trình 2nn3n CA =14n. Kết quả:n=2.
200) Giải phương trình 4n3n C2A = 3 2nA Kết quả: n=6 V n=11
201) Giải hệ phương trình:
12A
6C
y
x
y
x Kết quả:x=4 và y=2
202) Tìm n biết: 8CA 1n2n . Kết quả: n = 2 V n = 3
203) Giải hệ phương trình:
1y
x
y
x
1y
x
2y
x
CC
C3C5 Kết quả: x = 7 và y = 4
204) Tính hệ số của số hạng chứa 3x trong khai triển của:
743 )1x()1x3()1x2()x(P . Kết quả:-65
205) Khai triển của
n
x
1x
có tổng các hệ số của 3 số hạng đầu là
28. Tìm số hạng thứ 5 của khai triển đó. Kết quả:126x
206) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của:
10
x
1x2
. Kết quả: -
8064
207) Khai triển: (x+2)4 Kết quả:
x4+8x3+24x2+32x+16
208) Tìm hệ số a5b3 trong khai triển (a + b)8. Kết quả:56.
209) Tìm hai số hạng chính giữa trong khai triển:(x3 – xy)15.
Kết quả: T8= 6435.x31 y7 ; T9= 6435 x29 y8
210) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:
12
x
1x
Kết
qua:T9=495
211) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển:
).3n(7CC : bieátx
x
1 n
3n
1n
4n
n
5
3
Kết quả: n = 12 và a9=495
211) Đa thức P(x) = ( 1+x) 9 + (1+x) 10 + … + (1+x) 14 có dạng khai
triển là
P(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + a14x14 . Tính hệ số a9. Kết quả:3003
212) Xét khai triển của: .)xyx( 153 Tính hệ số của hạng tử chứa .yx 1221 Kết
quả: 455
213) Tìm n biết trong khai triển ( x +
2
1 ) n thành đa thức đối với biến
x, hệ số của x6 bằng bốn lần hệ số của x4 .
Kết quả: n=10
214) Tìm số hạng không chứa ẩn x trong khai triển nhị thức 121( )x
x
.
Kết quả: 495
215) Tìm số hạng không chứa ẩn x trong khai triển : (x2+
x3
1 )10 . Kết
quả: 210.
216) Tìm hệ số của x101y99 trong khai triển (2x-3y)200 . Kết
quả: 9910199
200
3.2.C
217) Chứng minh rằng:
a) C0n2 +C2n2 +…..+C n2n2 = C1n2 +C3n2 +…+C 1n2n2
Hướng dẫn: Khai triển (a+b)2n với a = 1 , b = -1
b) C1n +2C2n +3C3n +…+nCnn = n2
n-1.
Hướng dẫn: Lấy đạo hàm y= (1+x)n rồi thay x=1.
218) Chứng minh rằng: nn2n23n22n21n20n2 4C...........CCCC
219) Chứng minh rằng:
1n
12C
1n
1...C
3
1C
2
1C)b
x)(1f(x) vôùi (1)''f'(1)'f' Laáy :daãn Höôùng
2)nn(Cn...C3C2C1)a
1n
n
n
2
n
1
n
0
n
n
2n2n
n
23
n
22
n
21
n
2
220) Tính S= 0 1 66 6 6...C C C
Hướng dẫn: Xét (x+1)6 và thay x=1. Kết qua: 64
221) Tính T= 0 1 2 2 3 3 4 4 5 55 5 5 5 5 52 2 2 2 2C C C C C C
Hướng dẫn: xét với (1+x)5 với x=2. Kết qua: 243
222) Viết khai triển của biểu thức ( 3x –1 ) 16 . Từ đó chứng minh rằng
16 0 15 1 14 2 16 16
16 16 16 163 3 3 ... 2C C C C .Hướng dẫn: Thay x=1
223) Tìm kN để k14C , 1k14C , 2k14C lập thành một cấp số cộng.Kết qua:
k=4 V k=8.
224) Tìm số tự nhiên x sao cho: 8x9x10x A9AA Kết qua: x=11
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- ix.pdf