Bài tập về Tiệm cận

V. TIỆM CẬN 82)Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số : a) y = 2x3x 1x2 2 2   . Kết quả: x = 1; x = 2 và y = 2 b) y = 2x 1xx2   . Kết quả: x = -2 và y = x-3 83) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số : a) y = 1+ x2e . Kết quả: y = 1 b) y = x 1xx2  . Kết quả: y = 1 84) Tìm các đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = 1x2  .Kết qua: y = x 85) Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số: y = 3 32 xx3  . Kết quả : y = -x+1. 86) Cho (Cm ) :   1x mmx1mxy 222    . a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thị (Cm). b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị (Cm) đi qua I(1;2). 87)Tìm trên đồ thị (C):y = 1x 2x   điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. 88) Lấy một điểm bất kỳ M(C):y = f(x) = 2x 1x3x2   . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) luôn không đổi. Kq: d1.d2= 2 9 . VI. KHẢO SÁT HÀM SỐ 89) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số: a) y = x3-3x+1 b) y = 3x2-x3 c) y = x3+3x4 d) y = (1-x)3 e) y = 2 1x 2 x 24  f) y = x4+x2-2. g) y=2x2x4-1 h) y=x4-1 i) y = 1x 1x   j) y = 2x x2  k) y = 1x x2  l) y = 2x 41x   m) y = x1 )2x( 2   n) y = 2x 12x   VII.CÁC BÀI TOÁN LIÊN HỆ ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 90) Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thị: a) (C): y = 2x 3x6x 2   và d: y = xm. Hd: Lý luận x= 2 m8 3m2    b) (H): 1x 1xy    và d: y= 2x+m. Hd: x=1 không là nghiệm phương trình hoành độ giao điểm. 91) A.Vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3+3x22 B.Biện luận bằng đồ thị (C) số nghiệm của pt: x3+3x2(m2) = 0 92) Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y= 4 1 x+3 và tiếp xúc với đồ thị (C) hàm số y= x3+3x24x+2. 93) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=x3+3x2+1 biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ O. 94) Dùng đồ thị (C): y = x33x2+1 biện luận theo m số nghiệm của phương trình x33x2  9x+1m = 0. 95) Cho parabol (P): y=x22x+2 và đường thẳng d: y=2x+m. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) b) Biện luận theo m số điểm chung của d và (P). c) Khi d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn AB. 96) Cho hàm số 1x 1xy    , có đồ thi (H). a) Khảo sát và vẽ đồ thị (H). b) Cho đường thẳng d: y= 2x+m. Giả sử d cắt (H) tại hai điểm M và N. Tìm tập hợp trung điểm I của MN. 97) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số y=f(x)=x33x2+1 nhận điểm uốn của nó làm tâm đối xứng. 98) Cho hàm số y = x44x32x2+12x1. a) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số có trục đối xứng. b) Tìm các giao điểm của (C) với trục Ox. Hướng dẫn và kết quả: a)Dự đoán trục đối xứng của đồ thị (C) : Tìm đến y(3) và cho y(3) = 0 , tìm được nghiệm x=1 cũng là nghiệm của y’=0. Từ đó chứng minh x=1 là trục đối xứng của (C). b) Cho Y= 0, tìm được X= 104   y=0 và x =1 104  . 99) Chứng minh rằng (C): y = 1x 3x   có hai trục đối xứng. Hướng dẫn và kết quả: Tâm đối xứng là I(1;1). Suy luận có hai đường phân giác y=x và y = x+2 của các góc tạo bởi 2 tiệm cận là trục đối xứng của (C). Chứng minh hai đường thẳng này là hai trục đối xứng của (C). 100) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C): y = 2x 2x   . Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thị của các hàm số: a) (C1): y = f1(x) = 2x 2x   b) (C2): y = f2(x) = 2x 2x   c) (C3): y = f3(x) = 2x 2x   d) (C4): |y| = f4(x) = 2x 2x   e) (C5): y = f5(x) = 2x 2x   f) (C6): |y| = f6(x) = 2x 2x   101) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số : y = f(x) = x33x2+2. b) Từ đồ thị (C), suy ra đồ thị (C’): y = g(x) = | x| 33x2 +2. Từ đó biện luận theo m số nghiệm của phương trình: | x| 33x2 +1  m = 0. 102) Chứng tỏ rằng (Cm): y=x2+(2m+1)x+m21 (1) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Xác định phương trình đường thẳng đó. Lời giải 1: 1. Dự đoán đường thẳng cố định: Cách 1: Chuyển (1) về phương trình m2+2xm+x2+x1y=0, phương trình này có = (x)21.(x2+x1y)=0  x+1+y=0  y= x1 là đường thẳng cố định. Cách 2: Chuyển (1) về phương trình m2+2xm=x2x+1+y (2) Lấy đạo hàm 2 vế theo m: 2m+2x=0  m=x, thay trở lại (2):y=x1 là đường thẳng cố định. 2. Chứng tỏ (Cm) tiếp xúc với đường thẳng cố định: ( Bắt đầu lời giải) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d:y=x1 là: x2+(2m+1)x+m21=x1  x2+2mx+m2=0  (x+m)2=0  x=m (nghiệm kép) Vậy (Cm) luôn tiếp xúc d:y=x1. Chú y: Chỉ có đường thẳng và đường bậc 2,mới có khái niệm “ 2 đường tiếp xúc nhau  phương trình hoành độ giao điểm ( bậc 2 ) có nghiệm kép” . Trong các hàm số khác và hàm bậc nhất ta phải dùng hệ điều kiện tiếp xúc. Lời giải 2: Gọi d: y=ax+b là đường thẳng cố định. d tiếp xúc (Cm) khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép với mọi m: x2+(2m+1)x+m21= ax+b x2+(2m+1a) x+m2b1=0 có nghiệm kép với  m   =(2m+1a) 24.1(m2b1)=0 với  m4(a1)m+(a1)2+4b+4=0 với  m       044b1)-(a 01a 2       1b 1a . Vậy d:y=x1 là đường thẳng cố định mà (Cm) luôn tiếp xúc. 103) Chứng tỏ rằng (Cm): y= mx mmx)1m3( 2   (1), m  0 luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định. Xác định phương trình hai đường thẳng đó. 1. Dự đoán các đường thẳng cố định: Biến đổi (1) về phương trình bậc hai ẩn m: m2+(y13x)m+(y1)x=0 (2), đặt t=y1 ta có phương trình: m2+(t3x)m+tx=0(3) Phương trình (3) có =0  (t3x)24tx=0  t210xt+9x2=0 t=9xV t=x. Thay t=y1,suy ra hai đường thẳng d1:y=9x+1, d2:y=x+1 cố định tiếp xúc (Cm) 2. Chứng tỏ (Cm) tiếp xúc với d1, và tiếp xúc d2: ( Bắt đầu lời giải)  d1:y=9x+1 tiếp xúc (Cm) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:            9 )mx( m4 1x9 mx mmx)1m3( 2 2 2  (3x+m)2=0  x=  3 m Vậy d1:y=9x+1 tiếp xúc (Cm) tại điểm có hoành độ x=  3 m (m  0).  Tương tự : d2:y=x+1 tiếp xúc (Cm) tại điểm có hoành độ x= m (m  0). 104) Chứng tỏ rằng (Cm): y=mx33(m+1)x2+x+1 luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định. Hướng dẫn giải: Tìm được (Cm) đi qua hai điểm cố định A(0;1) và B(3;23) và tiếp tuyến của (Cm) tại A có phương trình y=x+1 là tiếp tuyến cố định. 105) Chứng tỏ rằng (dm): y=(m+1)x+m2m luôn tiếp xúc với một parabol cố định. Hướng dẫn giải: Dùng phương pháp 1, dự đoán (P):y= 4 1x 2 3x 4 1 2  là parabol cố định và chứng tỏ (dm) tiếp xúc (P) tại x=12m.