Bộ đề thi tuyển sinh Đại học và cao đẳng môn toán từ 2002 - 2010 (có đáp án)

2 2 21 3 2 2 aAB AC BD= + + = . Gäi H lµ trung ®iÓm cña BC⇒ AH ⊥ BC. Do BD ⊥(P) nªn BD ⊥ AH ⇒AH ⊥ (BCD). VËy AH lµ kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn mÆt ph¼ng (BCD) vµ 1 2 . 2 2 aAH BC= = 0,25® 0,25® 0,5® C©u 4. 2®iÓm 1) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè 2 1 1 xy x += + trªn ®o¹n [ ]1; 2− . 1 ®iÓm 2 3 1' . ( 1) xy x −= + ' 0 1y x= ⇔ = . Ta cã 3( 1) 0, 2, (2) . 5 y(1) y y− = = = VËy [ ]1;2 (1) 2max y y− = = vµ [ ]1;2min ( 1) 0.y y− = − = 0,5® 0,5® 2) TÝnh tÝch ph©n 2 2 0 I x x d= −∫ x . 1 ®iÓm Ta cã 2 0 0 1x x x− ≤ ⇔ ≤ ≤ , suy ra 1 2 2 2 0 1 ( ) ( ) = − + −∫ ∫I x x dx x x dx 1 22 3 3 2 0 1 1. 2 3 3 2    = − + − =          x x x x 0,5® 0,5® u n n k = =  r uur uur 3 1( ) || kd P u n⊥ ⇔ ⇔ r r k 1.=k .∀ A B C D P Q ∆ H 3 C©u 5. 1®iÓm C¸ch 1: Ta cã ( 2 0 2 1 2 2 2 2 41) ...n n n nn n n n nx C x C x C x C − −+ = + + + + , 0 1 1 2 2 2 3 3 3( 2) 2 2 2 ... 2n n n n n nn n n n n nx C x C x C x C x C − − −+ = + + + + + . DÔ dµng kiÓm tra 1, 2= =n n kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n. Víi th× 3≥n 3 3 2 3 2 2 1.n n n n nx x x x x− − −= = − Do ®ã hÖ sè cña 3 3−nx trong khai triÓn thµnh ®a thøc cña lµ 2( 1) ( 2+ +n nx x ) nC 3 0 3 1 1 3 3 2 . . 2. .n n n na C C C− = + . VËy 2 3 3 5 2 (2 3 4)26 26 73 2 − =− + = ⇔ = ⇔  = − n n n n na n n n VËy lµ gi¸ trÞ cÇn t×m (v× nguyªn d−¬ng). 5=n n C¸ch 2: Ta cã 2 3 2 3 3 2 2 0 0 0 0 1 2( 1) ( 2) 1 1 1 2 2 . n n n n n i kn n n n n i k n i i k k k n n n n i k i k x x x xx x C C x C x C x xx − − = = = =    + + = + +             = =            ∑ ∑ ∑ ∑ Trong khai triÓn trªn, luü thõa cña x lµ 3 3n − khi 2 3i k− − = − 3k , hay Ta chØ cã hai tr−êng hîp tháa ®iÒu kiÖn nµy lµ 2 3i k+ = . 0,i = = hoÆc i 1, 1k= = . Nªn hÖ sè cña 3 3−nx lµ . 0 3 3 1 13 3 . .2 . .2n n n n na C C C C− = + Do ®ã 2 3 3 5 2 (2 3 4)26 26 73 2 − =− + = ⇔ = ⇔  = − n n n n na n n n VËy lµ gi¸ trÞ cÇn t×m (v× nguyªn d−¬ng). 5=n n 0,75® 0,25® hoÆc 0,75® 0,25® 4 1 Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o §¸p ¸n - Thang ®iÓm ..................... ®Ò thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2004 ........................................... §Ò chÝnh thøc M«n: To¸n, Khèi A (§¸p ¸n - thang ®iÓm cã 4 trang) C©u ý Néi dung §iÓm I 2,0 I.1 (1,0 ®iÓm) ( )12 332 − −+− = x xxy = ( ) 1 1x 1 2 2 x 1 − + − − . a) TËp x¸c ®Þnh: { }R \ 1 . b) Sù biÕn thiªn: 2 x(2 x)y ' 2(x 1) − = − ; y ' 0 x 0, x 2= ⇔ = = . 0,25 yC§ = y(2) = 1 2 − , yCT = y(0) = 3 2 . §−êng th¼ng x = 1 lµ tiÖm cËn ®øng. §−êng th¼ng 1y x 1 2 = − + lµ tiÖm cËn xiªn. 0,25 B¶ng biÕn thiªn: x −∞ 0 1 2 +∞ y' − 0 + + 0 − y +∞ +∞ 1 2 − 3 2 −∞ −∞ 0,25 c) §å thÞ: 0,25 2 I.2 (1,0 ®iÓm) Ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè víi ®−êng th¼ng y = m lµ : ( ) mx xx = − −+− 12 332 ⇔ ( ) 023322 =−+−+ mxmx (*). 0,25 Ph−¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt khi vµ chØ khi: 0>∆ ⇔ 24m 4m 3 0− − > ⇔ 3m 2 > hoÆc 1m 2 < − (**) . 0,25 Víi ®iÒu kiÖn (**), ®−êng th¼ng y = m c¾t ®å thÞ hµm sè t¹i hai ®iÓm A, B cã hoµnh ®é x1 , x2 lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (*). AB = 1 ⇔ 121 =− xx ⇔ 2 1 2x x 1− = ⇔ ( )1 2 2 1 2x x 4x x 1+ − = 0,25 ⇔ ( ) ( ) 123432 2 =−−− mm ⇔ 1 5m 2 ± = (tho¶ m·n (**)) 0,25 II 2,0 II.1 (1,0 ®iÓm) §iÒu kiÖn : x 4≥ . 0,25 BÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi bÊt ph−¬ng tr×nh: 2 22(x 16) x 3 7 x 2(x 16) 10 2x− + − > − ⇔ − > − 0,25 + NÕu x > 5 th× bÊt ph−¬ng tr×nh ®−îc tho¶ m·n, v× vÕ tr¸i d−¬ng, vÕ ph¶i ©m. 0,25 + NÕu 4 x 5≤ ≤ th× hai vÕ cña bÊt ph−¬ng tr×nh kh«ng ©m. B×nh ph−¬ng hai vÕ ta ®−îc: ( ) ( )22 22 x 16 10 2x x 20x 66 0− > − ⇔ − + < 10 34 x 10 34⇔ − < < + . KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn 4 x 5≤ ≤ ta cã: 10 34 x 5− − 0,25 II.2 (1,0 ®iÓm) §iÒu kiÖn: y > x vµ y > 0. ( ) 11loglog 4 4 1 =−− y xy ⇔ ( ) 11loglog 44 =−−− yxy 0,25 ⇔ 4 y xlog 1 y − − = ⇔ 4 3yx = . 0,25 ThÕ vµo ph−¬ng tr×nh x2 + y2 = 25 ta cã: 2 23y y 25 y 4. 4 ⎛ ⎞ + = ⇔ = ±⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,25 So s¸nh víi ®iÒu kiÖn , ta ®−îc y = 4, suy ra x= 3 (tháa m·n y > x). VËy nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh lµ (3; 4). 0,25 III 3,0 III.1 (1,0 ®iÓm) + §−êng th¼ng qua O, vu«ng gãc víi BA( 3 ; 3) JJJG cã ph−¬ng tr×nh 3x 3y 0+ = . §−êng th¼ng qua B, vu«ng gãc víi OA(0; 2) JJJG cã ph−¬ng tr×nh y = 1− ( §−êng th¼ng qua A, vu«ng gãc víi BO( 3 ; 1) JJJG cã ph−¬ng tr×nh 3x y 2 0+ − = ) 0,25 Gi¶i hÖ hai (trong ba) ph−¬ng tr×nh trªn ta ®−îc trùc t©m H( 3 ; 1)− 0,25 + §−êng trung trùc c¹nh OA cã ph−¬ng tr×nh y = 1. §−êng trung trùc c¹nh OB cã ph−¬ng tr×nh 3x y 2 0+ + = . ( §−êng trung trùc c¹nh AB cã ph−¬ng tr×nh 3x 3y 0+ = ). 0,25 3 Gi¶i hÖ hai (trong ba) ph−¬ng tr×nh trªn ta ®−îc t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c OAB lµ ( )I 3 ; 1− . 0,25 III.2.a (1,0 ®iÓm) + Ta cã: ( )C 2; 0; 0− , ( )D 0; 1; 0− , ( )2;0;1−M , ( )22;0;2 −=SA , ( )BM 1; 1; 2= − −JJJJG . 0,25 Gäi α lµ gãc gi÷a SA vµ BM. Ta ®−îc: ( ) SA.BM 3cos cos SA, BM 2SA . BMα = = = JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG ⇒ 30α = ° . 0,25 + Ta cã: ( )SA, BM 2 2; 0; 2⎡ ⎤ = − −⎣ ⎦JJJG JJJJG , ( )AB 2; 1; 0= −JJJG . 0,25 VËy: ( ) SA, BM AB 2 6d SA, BM 3SA, BM ⎡ ⎤ ⋅⎣ ⎦ = =⎡ ⎤⎣ ⎦ JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG 0,25 III.2.b (1,0 ®iÓm) Ta cã MN // AB // CD ⇒ N lµ trung ®iÓm SD ⇒ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 2; 2 1 ;0N . 0,25 ( )SA 2; 0; 2 2= −JJJG , ( )2;0;1 −−=SM , ( )22;1;0 −=SB , 1SN 0; ; 22⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠ JJJG ( )SA, SM 0; 4 2; 0⎡ ⎤⇒ =⎣ ⎦JJJG JJJG . 0,25 S.ABM 1 2 2V SA,SM SB 6 3 ⎡ ⎤= ⋅ =⎣ ⎦ JJJG JJJG JJG 0,25 S.AMN 1 2V SA,SM SN 6 3 ⎡ ⎤= ⋅ =⎣ ⎦ JJJG JJJG JJJG ⇒ S.ABMN S.ABM S.AMNV V V 2= + = 0,25 IV 2,0 IV.1 (1,0 ®iÓm) 2 1 xI dx 1 x 1 = + −∫ . §Æt: 1−= xt ⇒ 12 += tx ⇒ tdtdx 2= . 01 =⇒= tx , 12 =⇒= tx . 0,25 4 Ta cã: 1 1 12 3 2 0 0 0 t 1 t t 2I 2t dt 2 dt 2 t t 2 dt 1 t 1 t t 1 + + ⎛ ⎞ = = = − + −⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠∫ ∫ ∫ 0,25 I 1 3 2 0 1 12 t t 2t 2 ln t 1 3 2 ⎡ ⎤ = − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦ 0,25 1 1 11I 2 2 2ln 2 4ln 2 3 2 3 ⎡ ⎤ = − + − = −⎢ ⎥⎣ ⎦ . 0,25 IV.2 (1, 0 ®iÓm) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 2 3 42 0 1 2 2 4 3 6 4 8 8 8 8 8 8 5 6 7 85 10 6 12 7 14 8 16 8 8 8 8 1 x 1 x C C x 1 x C x 1 x C x 1 x C x 1 x C x 1 x C x 1 x C x 1 x C x 1 x ⎡ ⎤+ − = + − + − + − + −⎣ ⎦ + − + − + − + − 0,25 BËc cña x trong 3 sè h¹ng ®Çu nhá h¬n 8, bËc cña x trong 4 sè h¹ng cuèi lín h¬n 8. 0,25 VËy x8 chØ cã trong c¸c sè h¹ng thø t−, thø n¨m, víi hÖ sè t−¬ng øng lµ: 3 2 4 08 3 8 4C .C , C .C 0,25 Suy ra a8 168 70 238= + = . 0,25 V 1,0 Gäi 3cos22cos222cos −++= CBAM 3 2 cos 2 cos2221cos2 2 − − ⋅ + ⋅+−= CBCBA . 0,25 Do 0 2 sin > A , 1 2 cos ≤− CB nªn 2 AM 2cos A 4 2 sin 4 2 ≤ + − . 0,25 MÆt kh¸c tam gi¸c ABC kh«ng tï nªn 0cos ≥A , AA coscos2 ≤ . Suy ra: 4 2 sin24cos2 −+≤ AAM 4 2 sin24 2 sin212 2 −+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= AA 2 2 sin24 2 sin4 2 −+−= AA 01 2 sin22 2 ≤⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−= A . VËy 0≤M . 0,25 Theo gi¶ thiÕt: M = 0 ⇔ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = 2 1 2 sin 1 2 cos coscos2 A CB AA ⇔ A 90 B C 45 = °⎧⎨ = = °⋅⎩ 0,25 1 Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o §¸p ¸n - Thang ®iÓm ..................... ®Ò thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2004 ........................................... §Ò chÝnh thøc M«n: To¸n, Khèi B (§¸p ¸n - thang ®iÓm cã 4 trang) C©u ý Néi dung §iÓm I 2,0 1 Kh¶o s¸t hµm sè (1,0 ®iÓm) 3 2 1y x 2x 3x 3 = − + (1). a) TËp x¸c ®Þnh: R . b) Sù biÕn thiªn: y' = x2 − 4x + 3; 3,10' ==⇔= xxy . 0,25 yC§ = y(1) = 4 3 , yCT = y(3) = 0; y" = 2x − 4, y'' = 0 ( ) 2x 2, y 2 3⇔ = = . §å thÞ hµm sè låi trªn kho¶ng ( ; 2),−∞ lâm trªn kho¶ng ( 2; + ∞ ) vµ cã ®iÓm uèn lµ 2U 2; 3 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ . 0,25 B¶ng biÕn thiªn: x −∞ 1 3 + ∞ y' + 0 − 0 + y 4 3 + ∞ − ∞ 0 0,25 c) §å thÞ: Giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc Ox, Oy lµ c¸c ®iÓm ( ) ( )0;0 , 3;0 . 0,25 2 2 ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i ®iÓm uèn, ...(1,0 ®iÓm) T¹i ®iÓm uèn U 22; 3 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , tiÕp tuyÕn cña (C) cã hÖ sè gãc 1)2(' −=y . 0,25 TiÕp tuyÕn ∆ t¹i ®iÓm uèn cña ®å thÞ (C) cã ph−¬ng tr×nh: 2 8y 1.(x 2) y x 3 3 = − − + ⇔ = − + . 0,25 HÖ sè gãc tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x b»ng: y'(x) = x2 34 +− x = 1)2( 2 −−x ≥ 1− ⇒ y' (x) ≥ y' (2), ∀ x. 0,25 DÊu " =" x¶y ra khi vµ chØ khi x = 2 ( lµ hoµnh ®é ®iÓm uèn). Do ®ã tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) t¹i ®iÓm uèn cã hÖ sè gãc nhá nhÊt. 0,25 II 2,0 1 Gi¶i ph−¬ng tr×nh (1,0 ®iÓm) 5sinx 2− = 3 tg2x ( 1 sinx− ) (1) . §iÒu kiÖn: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ k ,k Z 2 π + π ∈ (*). 0,25 Khi ®ã (1) ⇔ 2 2 3sin x5sin x 2 (1 sin x) 1 sin x − = − − 02sin3sin2 2 =−+⇔ xx . 0,25 2 1 sin =⇔ x hoÆc 2sin −=x (v« nghiÖm). 0,25 π+ π =⇔= 2 62 1 sin kxx hoÆc π+π= 2 6 5 kx , Zk ∈ ( tho¶ m·n (*)). 0,25 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè (1,0 ®iÓm) y = 2ln x x ⇒ 2ln x(2 ln x)y ' x − = ⋅ 0,25 y'= 0 3 2 3 ln x 0 x 1 [1; e ] ln x 2 x e [1; e ]. ⎡= = ∈⎡ ⇔ ⇔ ⎢⎢ = = ∈⎢⎣ ⎣ 0.25 Khi ®ã: y(1) = 0, 2 32 3 4 9y(e ) , y(e ) e e = = ⋅ 0,25 So s¸nh 3 gi¸ trÞ trªn, ta cã: 33 2 2 [1; e ][1; e ] 4max y khi x e , min y 0 khi x 1 e = = = = . 0,25 III 3,0 1 T×m ®iÓm C (1,0 ®iÓm) Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB: 4 1 3 1 − − = − yx ⇔ 4x + 3y – 7 = 0. 0,25 Gi¶ sö );( yxC . Theo gi¶ thiÕt ta cã: 012 =−− yx (1). d(C, (AB)) = 6 2 2 4x 3y 37 0 (2a)4x 3y 7 6 4x 3y 23 0 (2b).4 3 + − =+ − ⎡ ⇔ = ⇔ ⎢ + + =+ ⎣ 0,25 Gi¶i hÖ (1), (2a) ta ®−îc: C1( 7 ; 3). 0,25 Gi¶i hÖ (1), (2b) ta ®−îc: 2 43 27C ; 11 11 ⎛ ⎞ − −⎜ ⎟⎝ ⎠ . 0,25 2 TÝnh gãc vµ thÓ tÝch (1,0 ®iÓm) 3 Gäi giao ®iÓm cña AC vµ BD lµ O th× SO (ABCD)⊥ , suy ra nSAO = ϕ . Gäi trung ®iÓm cña AB lµ M th× OM AB⊥ vµ ⇒⊥ ABSM Gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng (SAB) vµ (ABCD) lµ nSMO . 0,25 Tam gi¸c OAB vu«ng c©n t¹i O, nªn ϕ=⇒== tgaSOaOAaOM 2 2 2 2 , 2 . Do ®ã: n SOtgSMO 2 tg OM = = ϕ . 0,25 2 3 S.ABCD ABCD 1 1 a 2 2V S .SO a tg a tg . 3 3 2 6 = = ϕ = ϕ 0,50 3 ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ∆ (1,0 ®iÓm) §−êng th¼ng d cã vect¬ chØ ph−¬ng )4;1;2( −=v . 0,25 B ∈ d ⇔ )41;1;23( tttB +−−+− (víi mét sè thùc t nµo ®ã ). ( )AB 1 2t;3 t; 5 4t⇒ = + − − +JJJG . 0,25 AB ⊥ d ⇔ 0. =vAB 2(1 2t) (3 t) 4( 5 4t) 0⇔ + − − + − + = ⇔ t = 1. 0,25 AB (3; 2; 1)⇒ = −JJJG ⇒ Ph−¬ng tr×nh cña 1 4 2 2 3 4 : − − = + = +∆ zyx . 0,25 IV 2,0 1 TÝnh tÝch ph©n (1,0 ®iÓm) dx x xxI e ∫ += 1 lnln31 . §Æt: 2 dxt 1 3ln x t 1 3ln x 2tdt 3 x = + ⇒ = + ⇒ = . x 1 t 1= ⇒ = , x e t 2= ⇒ = . 0,25 Ta cã: ( )2 22 2 4 2 1 1 2 t 1 2I t dt t t dt 3 3 9 − = = −∫ ∫ . 0,25 2 5 3 1 2 1 1I t t 9 5 3 ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠ . 0,25 I = 135 116 . 0,25 4 2 X¸c ®Þnh sè ®Ò kiÓm tra lËp ®−îc ... (1,0 ®iÓm) Mçi ®Ò kiÓm tra ph¶i cã sè c©u dÔ lµ 2 hoÆc 3, nªn cã c¸c tr−êng hîp sau: • §Ò cã 2 c©u dÔ, 2 c©u trung b×nh, 1 c©u khã, th× sè c¸ch chän lµ: 23625.. 15 2 10 2 15 =CCC . 0,25 • §Ò cã 2 c©u dÔ, 1 c©u trung b×nh, 2 c©u khã, th× sè c¸ch chän lµ: 10500.. 25 1 10 2 15 =CCC . 0,25 • §Ò cã 3 c©u dÔ, 1 c©u trung b×nh, 1 c©u khã, th× sè c¸ch chän lµ: 22750.. 15 1 10 3 15 =CCC . 0,25 V× c¸c c¸ch chän trªn ®«i mét kh¸c nhau, nªn sè ®Ò kiÓm tra cã thÓ lËp ®−îc lµ: 56875227501050023625 =++ . 0,25 V X¸c ®Þnh m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm 1,0 §iÒu kiÖn: − 1 ≤ x ≤ 1. §Æt t 2 21 x 1 x= + − − . Ta cã: 2 21 x 1 x t 0+ ≥ − ⇒ ≥ , t = 0 khi x = 0. 2 4t 2 2 1 x 2 t 2= − − ≤ ⇒ ≤ , t = 2 khi x = ± 1. ⇒ TËp gi¸ trÞ cña t lµ [0; 2 ] ( t liªn tôc trªn ®o¹n [ − 1; 1]). 0,25 Ph−¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh: m ( ) 2t 2 t t 2+ = − + + 2t t 2 m t 2 − + + ⇔ = + (*) XÐt f(t) = 2t t 2 t 2 − + + + víi 0 ≤ t ≤ 2 . Ta cã f(t) liªn tôc trªn ®o¹n [0; 2 ]. Ph−¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x ⇔ Ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm t ∈ [0; 2 ] ⇔ ]2;0[]2;0[ )(max)(min tfmtf ≤≤ . 0,25 Ta cã: f '(t) = ( ) 2 2 t 4t 0, t 0; 2 t 2 − − ⎡ ⎤≤ ∀ ∈ ⎣ ⎦+ ⇒ f(t) nghÞch biÕn trªn [0; 2 ]. 0,25 Suy ra: [0; 2 ] [0; 2 ] min f (t) f ( 2) 2 1 ; max f (t) f (0) 1= = − = = . VËy gi¸ trÞ cña m cÇn t×m lµ 2 1 m 1− ≤ ≤ . 0,25 1 Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o §¸p ¸n - Thang ®iÓm ..................... ®Ò thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2004 ........................................... §Ò chÝnh thøc M«n: To¸n, Khèi D (§¸p ¸n - thang ®iÓm cã 4 trang) C©u ý Néi dung §iÓm I 2,0 1 Kh¶o s¸t hµm sè (1,0 ®iÓm) 1962 23 ++−=⇒= xxxym . a) TËp x¸c ®Þnh: R . b) Sù biÕn thiªn: 2 2y ' 3x 12x 9 3(x 4x 3)= − + = − + ; y ' 0 x 1, x 3= ⇔ = = . 0,25 yC§ = y(1) = 5 , yCT = y(3) =1. y'' = 6x 12− = 0 ⇔ x = 2 ⇒ y = 3. §å thÞ hµm sè låi trªn kho¶ng ( ; 2),−∞ lâm trªn kho¶ng );2( ∞+ vµ cã ®iÓm uèn lµ )3;2(U . 0,25 B¶ng biÕn thiªn: x −∞ 1 3 + ∞ y' + 0 − 0 + y 5 + ∞ −∞ 1 0,25 c) §å thÞ: §å thÞ hµm sè c¾t trôc Oy t¹i ®iÓm (0; 1). 0,25 2 T×m m ®Ó ®iÓm uèn cña ®å thÞ hµm sè ...(1,0 ®iÓm) y = x3 − 3mx2 + 9x + 1 (1); y' = 3x2 − 6mx + 9; y'' = 6x − 6m . y"= 0 ⇔ x = m ⇒ y = − 2m3 + 9m + 1. 0,25 y" ®æi dÊu tõ ©m sang d−¬ng khi ®i qua x = m, nªn ®iÓm uèn cña ®å thÞ hµm sè (1) lµ I( m; − 2m3 + 9m +1). 0,25 I thuéc ®−êng th¼ng y = x + 1 ⇔ − 2m3 + 9m + 1 = m + 1 0,25 ⇔ 2m(4 − m2 ) = 0 ⇔ m = 0 hoÆc 2±=m . 0,25 2 II 2,0 1 Gi¶i ph−¬ng tr×nh (1,0 ®iÓm) ( 2cosx −1) (2sinx + cosx) = sin2x − sinx ⇔ ( 2cosx −1) (sinx + cosx) = 0. 0,25 • 2cosx − 1= 0 ⇔ cosx = 1 x k2 , k 2 3 π ⇔ = ± + π ∈Z . 0,25 • sinx + cosx = 0 ⇔ tgx = −1 ⇔ x k , k 4 π = − + π ∈Z . 0,25 VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: x k2 3 π = ± + π vµ x k , k 4 π = − + π ∈Z . 0,25 2 T×m m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm (1,0 ®iÓm) §Æt: u = x , v y,u 0, v 0.= ≥ ≥ HÖ ®· cho trë thµnh: 3 3 u v 1 u v 1 3m + =⎧⎨ + = −⎩ (*) 0,25 u v 1 uv m + =⎧ ⇔ ⎨ =⎩ ⇔ u, v lµ hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: t2 − t + m = 0 (**). 0,25 HÖ ®· cho cã nghiÖm (x; y) ⇔ HÖ (*) cã nghiÖm u ≥ 0, v ≥ 0 ⇔ Ph−¬ng tr×nh (**) cã hai nghiÖm t kh«ng ©m. 0,25 ⇔ 1 4m 0 1S 1 0 0 m . 4 P m 0 ∆ = − ≥⎧⎪ = ≥ ⇔ ≤ ≤⎨⎪ = ≥⎩ 0,25 III 3,0 1 TÝnh to¹ ®é träng t©m G cña tam gi¸c ABC vµ t×m m... (1,0 ®iÓm) Träng t©m G cña tam gi¸c ABC cã täa ®é: A B C A B CG G x x x y y y mx 1; y 3 3 3 + + + + = = = = . VËy G(1; m 3 ). 0,25 Tam gi¸c ABC vu«ng gãc t¹i G ⇔ GA.GB 0= JJJG JJJG . 0,25 m mGA( 2; ), GB(3; ) 3 3 − − − JJJG JJJG . 0,25 GA.GB 0= JJJG JJJG 2m6 0 9 ⇔ − + = m 3 6⇔ = ± . 0,25 2 TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a B1C vµ AC1,... (1,0 ®iÓm) a) Tõ gi¶ thiÕt suy ra: 1 1C (0; 1; b), B C (a; 1; b)= − JJJJG 1 1AC ( a; 1; b), AB ( 2a;0; b)= − = − JJJJG JJJJG 0,25 3 ( ) 1 1 11 1 2 2 1 1 B C, AC AB abd B C, AC a bB C, AC ⎡ ⎤⎣ ⎦ = =⎡ ⎤ +⎣ ⎦ JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG . 0,25 b) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si, ta cã: 1 1 2 2 ab ab 1 1 a bd(B C;AC ) ab 2 22ab 2 2a b + = ≤ = ≤ = + . 0,25 DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = 2. VËy kho¶ng c¸ch gi÷a B1C vµ AC1 lín nhÊt b»ng 2 khi a = b = 2. 0,25 3 ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (1,0 ®iÓm) I(x; y; z) lµ t©m mÆt cÇu cÇn t×m ⇔ I ∈ (P) vµ IA = IB = IC . Ta cã: IA2 = (x − 2)2 + y2 + ( z − 1)2 ; IB2 = (x − 1)2 + y2 + z2 ; IC2 = (x − 1)2 + (y − 1)2 + ( z − 1)2 . 0,25 Suy ra hÖ ph−¬ng tr×nh: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = =−++ 22 22 02 ICIB IBIA zyx ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =+ =++ ⇔ 1 2 2 zy zx zyx 0,25 .0;1 ===⇔ yzx 0,25 ⇒== 1IAR Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu lµ ( x − 1)2 + y2 + ( z − 1)2 =1. 0,25 IV 2,0 1 TÝnh tÝch ph©n (1,0 ®iÓm) I = 3 2 2 ln(x x)dx−∫ . §Æt 2 2 2x 1du dxu ln(x x) x x dv dx v x −⎧⎧ == − ⎪⇒ −⎨ ⎨ =⎩ ⎪ =⎩ . 0,25 3 332 2 2 2 2x 1 1I x ln(x x) dx 3ln 6 2ln 2 2 dx x 1 x 1 − ⎛ ⎞ = − − = − − +⎜ ⎟ − −⎝ ⎠∫ ∫ 0,25 ( ) 3 2 3ln 6 2ln 2 2x ln x 1= − − + − . 0,25 I = 3ln6 − 2ln2 − 2 − ln2 = 3ln3 − 2. 0,25 2 T×m sè h¹ng kh«ng chøa x... (1, 0 ®iÓm) Ta cã: ( )7 k7 7 kk3 374 4 k 0 1 1x C x x x − = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ 0,25 7 k k 28 7k7 7 k k3 4 12 7 7 k 0 k 0 C x x C x − − − = = = =∑ ∑ . 0,25 Sè h¹ng kh«ng chøa x lµ sè h¹ng t−¬ng øng víi k (k Z, 0 k 7)∈ ≤ ≤ tho¶ m·n: 40 12 728 =⇔= − kk . 0,25 Sè h¹ng kh«ng chøa x cÇn t×m lµ 47C 35= . 0,25 4 V Chøng minh ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt 1,0 x5 − x2 − 2x − 1 = 0 (1) . (1) ⇔ x5 = ( x + 1)2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 0 ⇒ (x + 1) 2 ≥ 1 ⇒ x5 ≥ 1 ⇒ x ≥ 1. 0,25 Víi x ≥ 1: XÐt hµm sè 5 2f (x) x x 2x 1= − − − . Khi ®ã f(x) lµ hµm sè liªn tôc víi mäi x ≥ 1. Ta cã: f(1) = − 3 0. Suy ra f(x) = 0 cã nghiÖm thuéc ( 1; 2). (2) 0,25 f '( x) = 4 4 4 45x 2x 2 (2x 2x) (2x 2) x− − = − + − + . 3 4 42x(x 1) 2(x 1) x 0, x 1= − + − + > ∀ ≥ . 0,25 Suy ra f(x) ®ång biÕn trªn [ 1; +∞) (3). Tõ (1), (2), (3) suy ra ph−¬ng tr×nh ®· cho cã ®óng mét nghiÖm. 0,25 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO --------------------- ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2005 ---------------------------------------- Môn: TOÁN, Khối A (Đáp án – thang điểm gồm 4 trang) Câu Ý Nội dung Điểm I 2,0 I.1 1,0 1 1 1m y x 4 4 x = ⇒ = + . a) TXĐ: \\{0}. b) Sự biến thiên: 2 2 2 1 1 x 4y ' 4 x 4x −= − = , y ' 0 x 2, x 2.= ⇔ = − = 0,25 yCĐ ( ) ( )CTy 2 1, y y 2 1.= − = − = = Đường thẳng x 0= là tiệm cận đứng. Đường thẳng 1y x 4 = là tiệm cận xiên. 0,25 c) Bảng biến thiên: x − ∞ − 2 0 2 + ∞ y’ + 0 − − 0 + y − 1 + ∞ + ∞ − ∞ − ∞ 1 0,25 d) Đồ thị 0,25 Mang Giao duc Edunet - 2 I.2 1,0 2 1y ' m , y ' 0 x = − = có nghiệm khi và chỉ khi m 0> . Nếu m 0> thì 1 21 1y ' 0 x , xm m= ⇔ = − = . 0,25 Xét dấu y ' x −∞ 1 m − 0 1 m +∞ y ' + 0 − || − 0 + Hàm số luôn có cực trị với mọi m 0.> 0,25 Điểm cực tiểu của ( )mC là 1M ;2 m .m ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ Tiệm cận xiên (d) : y mx mx y 0.= ⇔ − = ( ) 2 2 m 2 m md M,d . m 1 m 1 −= =+ + 0,25 ( ) 2 2 1 m 1d M;d m 2m 1 0 m 1. 2 2m 1 = ⇔ = ⇔ − + = ⇔ =+ Kết luận: m 1= . 0,25 II. 2,0 II.1 1,0 Bất phương trình: 5x 1 x 1 2x 4− − − > − . ĐK: 5x 1 0 x 1 0 x 2. 2x 4 0 − ≥⎧⎪ − ≥ ⇔ ≥⎨⎪ − ≥⎩ 0,25 Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với 5x 1 2x 4 x 1 5x 1 2x 4 x 1 2 (2x 4)(x 1)− > − + − ⇔ − > − + − + − − 0,25 2 2x 2 (2x 4)(x 1) x 4x 4 2x 6x 4⇔ + > − − ⇔ + + > − + 2x 10x 0 0 x 10.⇔ − < ⇔ < < 0,25 Kết hợp với điều kiện ta có : 2 x 10≤ < là nghiệm của bất phương trình đã cho. 0,25 II.2 1,0 Phương trình đã cho tương đương với ( ) ( )1 cos6x cos 2x 1 cos 2x 0+ − + = cos6x cos 2x 1 0⇔ − = 0,25 cos8x cos 4x 2 0⇔ + − = 22cos 4x cos 4x 3 0⇔ + − = 0,25 ( ) =⎡⎢⇔ ⎢ = −⎢⎣ cos4x 1 3 cos4x lo¹i . 2 Vậy ( )π= ⇔ = ∈]cos4x 1 x k k . 2 0,5 Mang Giao duc Edunet - 3 III. 3,0 III.1 1,0 Vì ( )1A d A t; t .∈ ⇒ Vì A và C đối xứng nhau qua BD và B,D Ox∈ nên ( )C t; t− . 0,25 Vì 2C d∈ nên 2t t 1 0 t 1.− − = ⇔ = Vậy ( ) ( )A 1;1 , C 1; 1− . 0,25 Trung điểm của AC là ( )I 1;0 . Vì I là tâm của hình vuông nên IB IA 1 ID IA 1 = =⎧⎨ = =⎩ 0,25 b 1 1B Ox B(b;0) b 0,b 2 D Ox D(d;0) d 0,d 2d 1 1 ⎧ − =∈ = =⎧⎧ ⎧ ⎪⇔ ⇒ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨∈ = =− =⎩ ⎩ ⎩⎪⎩ Suy ra, ( )B 0;0 và ( )D 2;0 hoặc ( )B 2;0 và ( )D 0;0 . Vậy bốn đỉnh của hình vuông là ( ) ( ) ( ) ( )A 1;1 , B 0;0 , C 1; 1 , D 2;0 ,− hoặc ( ) ( ) ( ) ( )A 1;1 , B 2;0 , C 1; 1 , D 0;0 .− 0,25 III.2a 1,0 Phương trình của tham số của x 1 t d : y 3 2t z 3 t. = −⎧⎪ = − +⎨⎪ = +⎩ 0,25 ( )I d I 1 t; 3 2t;3 t∈ ⇒ − − + + , ( )( ) 2t 2d I, P . 3 − += 0,25 ( )( ) t 4d I, P 2 1 t 3 t 2.=⎡= ⇔ − = ⇔ ⎢ = −⎣ 0,25 Vậy có hai điểm ( ) ( )1 2I 3;5;7 , I 3; 7;1− − . 0,25 III.2b 1,0 Vì A d∈ nên ( )A 1 t; 3 2t;3 t− − + + . Ta có ( )A P∈ ⇔ ( ) ( ) ( )2 1 t 3 2t 2 3 t 9 0 t 1− + − + − + + = ⇔ = . Vậy ( )A 0; 1;4− . 0,25 Mặt phẳng ( )P có vectơ pháp tuyến ( )n 2;1; 2 .= −G Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ( )u 1;2;1= −G . Vì ( )P∆ ⊂ và d∆ ⊥ nên ∆ có vectơ chỉ phương ( )u n,u 5;0;5∆ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ JJG G G . 0,5 Phương trình tham số của ∆ : x t y 1 z 4 t. =⎧⎪ = −⎨⎪ = +⎩ 0,25 Mang Giao duc Edunet - 4 IV 2,0 IV.1 1,0 2 0 (2cos x 1)sin xI dx 1 3cos x π += +∫ . 0,25 Đặt 2t 1cos x 3t 1 3cos x 3sin xdt dx. 2 1 3cos x ⎧ −=⎪⎪= + ⇒ ⎨⎪ = −⎪ +⎩ x 0 t 2, x t 1. 2 π= ⇒ = = ⇒ = 0,25 ( )1 22 2 2 1 t 1 2 2I 2 1 dt 2t 1 dt. 3 3 9 ⎛ ⎞− ⎛ ⎞= + − = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫ 0,25 23 1 2 2t 2 16 2 34t 2 1 . 9 3 9 3 3 27 ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠ 0,25 IV.2 1,0 Ta có ( )2n 1 0 1 2 2 3 3 2n 1 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 11 x C C x C x C x ... C x+ + ++ + + + ++ = + + + + + x .∀ ∈\ 0,25 Đạo hàm hai vế ta có ( )( ) ( )2n 1 2 3 2 2n 1 2n2n 1 2n 1 2n 1 2n 12n 1 1 x C 2C x 3C x ... 2n 1 C x++ + + ++ + = + + + + + x .∀ ∈\ 0,25 Thay x 2= − ta có: ( )1 2 2 3 3 4 2n 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C 2.2C 3.2 C 4.2 C ... 2n 1 .2 C 2n 1.++ + + + +− + − + + + = + 0,25 Theo giả thiết ta có 2n 1 2005 n 1002+ = ⇒ = . 0,25 V 1,0 Với a,b 0> ta có : 2 1 a b 1 1 1 14ab (a b) . a b 4ab a b 4 a b + ⎛ ⎞≤ + ⇔ ≤ ⇔ ≤ +⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠ Dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi a b= . 0,25 Áp dụng kết quả trên ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1). 2x y z 4 2x y z 4 2x 4 y z 8 x 2y 2z ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ + ≤ + + = + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ Tương tự 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2). x 2y z 4 2y x z 4 2y 4 x z 8 y 2z 2x ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞≤ + ≤ + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥+ + + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (3). x y 2z 4 2z x y 4 2z 4 x y 8 z 2x 2y ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ + ≤ + + = + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 0,5 Vậy 1 1 1 1 1 1 1 1. 2x y z x 2y z x y 2z 4 x y z ⎛ ⎞+ + ≤ + + =⎜ ⎟+ + + + + + ⎝ ⎠ Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi x y z.= = Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3x y z . 4 = = = 0,25 -------------------------------Hết------------------------------- Mang Giao duc Edunet - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO --------------------- ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2005 ---------------------------------------- Môn: TOÁN, Khối B (Đáp án – thang điểm gồm 4 trang) Câu Ý Nội dung Điểm I 2,0 I.1 1,0 2x 2x 2 1m 1 y x 1 . x 1 x 1 + += ⇒ = = + ++ + a) TXĐ: \\{ }. 1− b) Sự biến thiên: ( ) ( ) 2 2 2 1 x 2xy ' 1 x 1 x 1 += − =+ + y ' 0 x 2, x 0., = ⇔ = − = 0,25 yCĐ ( ) ( )CTy 2 2, y y 0 2.= − = = 1 = − Đường thẳng là tiệm cận đứng. x = − Đường thẳng là tiệm cận xiên. y x 1= + 0,25 Bảng biến thiên: x − ∞ − 2 1− 0 + ∞ y’ + 0 − − 0 + y 2− + ∞ + ∞ − ∞ − ∞ 2 0,25 c) Đồ thị 0,25 1 Mang Giao duc Edunet - I.2 1,0 Ta có: 1y x m x 1 = + + + . TXĐ: \\{ }. 1− ( ) ( ) ( )2 2 x x 21y ' 1 , y ' 0 x 2, x 0. x 1 x 1 += − = = ⇔ = − =+ + 0,25 Xét dấu y ' x −∞ 2 − 1− 0 +∞ y’ + 0 − || − 0 + Đồ thị của hàm số (*) luôn có điểm cực đại là ( )M 2;m 3− − và điểm cực tiểu là . ( )N 0;m 1+ 0,50 ( )( ) ( ) ( )( )2 2MN 0 2 m 1 m 3 20.= − − + + − − = 0,25 II. 2,0 II.1 1,0 ( )2 39 3 x 1 2 y 1 (1) 3log 9x log y 3 (2) ⎧ − + − =⎪⎨ − =⎪⎩ ĐK: x 1 0 y 2. ≥⎧⎨ < ≤⎩ 0,25 ( ) ( )3 3 3 32 3 1 log x 3log y 3 log x log y x y.⇔ + − = ⇔ = ⇔ = 0,25 Thay vào (1) ta có y x= ( )( )x 1 2 x 1 x 1 2 x 2 x 1 2 x 1− + − = ⇔ − + − + − − = ( )( )x 1 2 x 0 x 1, x 2.⇔ − − = ⇔ = = Vậy hệ có hai nghiệm là ( ) ( )x; y 1;1= và ( ) ( )x; y 2;2 .= 0,50 II.2 1,0 Phương trình đã cho tương đương với 2sin x cos x 2sin x cos x 2cos x 0+ + + = ( )sin x cos x 2cos x sin x cos x 0⇔ + + + = ( )( )sin x cos x 2cos x 1 0.⇔ + + = 0,50 • sin x cos x 0 tgx 1 x k 4 π+ = ⇔ = − ⇔ = − + π ( )k .∈] 0,25 • 1 22cos x 1 0 cos x x k2 2 3 π+ = ⇔ = − ⇔ = ± + π ( )k .∈] 0,25 2 Mang Giao duc Edunet - III. 3,0 III.1 1,0 Gọi tâm của (C) là ( )I a;b và bán kính của (C) là R. (C) tiếp xúc với Ox tại A và a 2⇒ = b R.= 0,25 ( ) ( )2 2 2IB 5 6 2 4 b 25 b 8b 7 0 b 1,b 7.= ⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ = = 0,25 Với ta có đường tròn a 2,b 1= = ( ) ( ) ( )2 21C : x 2 y 1 1.− + − = 0,25 Với ta có đường tròn a 2,b 7= = ( ) ( ) ( )2 22C : x 2 y 7 49.− + − = 0,25 III.2a 1,0 ( ) ( )1 1A 0; 3;4 ,C 0;3;4 .− 0,25 ( ) ( )1BC 4;3;0 ,BB 0;0;4= − =JJJG JJJJG Vectơ pháp tuyến của ( )1 1mp BCC B là ( )1n BC,BB 12;16;0⎡ ⎤= =⎣ ⎦ . G JJJG JJJJG Phương trình mặt phẳng ( )1 1BCC B : ( )12 x 4 16y 0 3x 4y 12 0.− + = ⇔ + − = 0,25 Bán kính mặt cầu: ( )( )1 1 2 212 12 24R d A, BCC B 53 4 − −= = + .= 0,25 Phương trình mặt cầu: ( )22 2 576x y 3 z 25 + + + = . 0,25 III.2b 1,0 Ta có ( )13 3M 2; ;4 , AM 2; ;4 , BC 4;3;4 .2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ JJJJG JJJJG 0,25 Vectơ pháp tuyến của (P) là ( )P 1n AM,BC 6; 24;12⎡ ⎤= = − −⎣ ⎦ JJG JJJJG JJJJG . Phương trình (P): ( )6x 24 y 3 12z 0 x 4y 2z 12 0.− − + + = ⇔ + − + =