Bộ đề thi tuyển sinh lớp 10- THPT chuyên (có đáp án)

PTC_1011QĐ_01 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2010- 2011 Môn thi: TOÁN- Vòng I Câu I Giải hệ phương trình Giải phương trình Câu II Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có. Câu III Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc . Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thăng BC với đường tròn (O). Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo R. Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC. Câu IV Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . ----------------------------------------------- Hết ------------------------------------------- HD gi¶i ®Ò MÔN TOÁN (Vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I Giải hệ phương trình Giải phương trình H­íng dÉn Céng c¶ hai ph­¬ng tr×nh ta ®­îc (2x+3y)2=25 Ta cã hai hÖ Vµ Giai ra ta ®­îc PT cã 4 nghiÖm 1,-1; §KX§ §Æt Ta cã (1-b)(a-3) =0 b=1 th× ;a=3 th× Câu II Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có. H­íng dÉn 1)Ph¸ ngoÆc v× x,y kh«ng ©m nªn (x+1)(y+1)=5 ta cã (x;y)=(0;4);(4;0) 2) xÐt Thay k lÇn l­ît tõ 1 ®Õn n ta cã (®pcm) Câu III Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc . Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thăng BC với đường tròn (O). Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo R. Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC. H­íng dÉn 1)BC=4R;AC=;AH= 2) Ta cã nªn nªn tø gi¸c CMNH néi tiÕp t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp thuéc trung trùc HC cè ®Þnh Câu IV Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . H­íng dÉn ¸p dông BB§T Bu nhi acãpky cho 2 d·y vµ 1; 4 ta cã vµ 1; 4 ta cã Tõ (1)&(2) ta cã MÆt kh¸c Tõ GT ta cã L¹i ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«-Si cho 2 ta cã Thay Vµo (*) ta cã V©y PTC_1011QĐ_02 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2010- 2011 Môn thi: TOÁN- Vòng II Câu I Giải phương trình Giải hệ phương trình Câu II Tìm tất cả các số nguyên dương n để là số chính phương. Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện . Chứng minh rằng Câu III Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là điểm nằm trong tam giác. Kí hiệu H là hình chiếu của M trên cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng MB, MC, AB, AC. Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng. Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp. Câu IV Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự , ta đánh dấu tất cả các số âm và tất cả các số mà tổng của nó với một số liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương. (Ví dụ với dãy số -8,-4,-1,2,-1,2,-3,...,-2005 thì các số được đánh dấu là ). Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất cả các số được đánh dấu là một số dương. ----------------------------------------------- Hết ------------------------------------------- HD gi¶i ®Ò thi MÔN TOÁN (Vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I Giải phương trình Giải hệ phương trình H­íng dÉn x=1 xÐt x1 VT>4 Céng (1) vµ (2) ta cã PT Víi thay vµo PT(1) v« nghiÖm Víi thay vµo PT(1) ta ®­îc y=1 hoÆc y=-3 VËy hÖ cã 2 nghiÖm (x;y)=(2;1);(2-3) Câu II Tìm tất cả các số nguyên dương n để là số chính phương. Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện . Chứng minh rằng H­íng dÉn 1)ta cã lµ sè chÝnh ph­¬ng nªn mµ 391=-1.391=1.(-391)=-17.23=17.(-23) Ta cã n-k<n+k nªn n-k -391 -1 -23 -17 n+k 1 391 17 23 n -195( lo¹i) 195 -3(loai) 3 VËy n =3 hoÆc n=195 2) ¸p dngj B§T Bunhiacopsky cho 2 d·y x ; y vµ 1; 1 ta cã Nªn ta ph¶i chøng minh Dêu “=” x¶y ra khi Câu III Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là điểm nằm trong tam giác. Kí hiệu H là hình chiếu của M trên cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng MB, MC, AB, AC. Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng. Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp. H­íng dÉn 1)V× tứ gi¸c BEPH néi tiÕp nªn (1) v× E;P;Q th¼ng hµng nªn (2). V× tứ gi¸c MQHP néi tiÕp nªn (3) Ta cã vu«ng t¹i H cã suy ra (4) tõ (1); (2) ; (3) ;(4) ta cã ë vÞ trÝ ®ång vÞ nªn HE//CM mµ T­¬ng tù tõ (*) vµ (**) ta cã M lµ trùc T©m tam gi¸c ABC 2)V× M lµ trùc t©m tam gi¸c ABC nªn A,M,H th¼ng hµng ta cã nªn tø gi¸c AEHF néi tiÕp ®­êng kÝnh AH nªn ( néi tiÕp ch¾n cung AE) mµ ( cïng phô ) VËy mµ Nªn tø gi¸c BEFC néi tiÕp Câu IV Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự , ta đánh dấu tất cả các số âm và tất cả các số mà tổng của nó với một sè số liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương. (Ví dụ với dãy số -8,-4,4,-1,2,-1,2,-3,...,-2005 thì các số được đánh dấu là ). Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất cả các số được đánh dấu là một số dương. H­íng dÉn XÐt c¸c sè ®­îc ®¸nh dÊu a1;a2;a3............ an (n -NÕu d·y cã tÊt c¶ c¸c sè d­¬ng th× ta cã ®pcm -NÕu cã sè ©m ®­îc ®¸nh dÊu thi c¸c liÒn sau sè ©m ph¶i lµ sè d­¬ng ( Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi sè sè tæng c¸c d­¬ng lín h¬n GTT§ sè ©m) v× sè ©m céng víi sè liÒn sau nã ra kÕt qu¶ lµ sè d­¬ng suy ra sè liÒn sau sè ©m ®ã còng ®­îc ®¸nh dÊu suy ra tæng lu«n lµ sã d­¬ng PTC_1011QĐ_03 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2010- 2011 Môn thi: TOÁN- Vòng I Câu 1: 1. Rút gọn biểu thức A 2. Tìm tất các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên Câu 2: Cho hai đường thẳng (d1 ): y = (2m2 + 1 )x + 2m – 1 (d2): y = m2x + m – 2 Với m là tham số 1. Tìm toạ độ giao điểm I của d1 và d2 theo m 2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đường thẳng cố định. Câu 3 : Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ 1. Chứng minh x2 + y2 = -z2 + 12z – 19 2. Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x2 + y2 = 17 Câu 4 : Cho hình vuông ABCD có độ dài bằng cạnh a. Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho tam giác ABK đều. Các đường thẳng BK và AD cắt nhau ở P. 1. Tính độ dài KC theo a 2. Trên AD lấy I sao cho CI cắt BP ở H. Chứng minh CHDP là nội tiếp. 3. Gọi M và L lần lượt là trung điểm CP và KD. Chứng minh LM = Câu 5: Giải phương trình : (x2 -5x + 1)(x2 - 4) = 6(x-1)2 ----------------------------------------------- Hết ------------------------------------------- Gi¶i ®Ò thi tuyÓn sinh Vµo khèi trung häc phæ th«ng chuyªn n¨m 2010 M«n thi: To¸n häc (Dïng cho mäi thÝ sinh thi vµo tr­êng chuyªn) C©u 1: 1. Rót gän biÓu thøc A 2. T×m tÊt c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A cã gi¸ trÞ nguyªn H­íng dÉn 1. 2. XÐt x+3 -15 -5 -3 -1 1 3 5 15 x -18 -8 -6 -4 -2 0 2 12 2A 4 6 8 18 -12 -2 0 2 A 2 3 4 9 -6 -1 0 1 VËy th× A nguyªn C©u 2: Cho hai ®­êng th¼ng (d1 ): y = (2m2 + 1 )x + 2m – 1 (d2): y = m2x + m - 2 Víi m lµ tham sè 1. T×m to¹ ®é giao ®iÓm I cña d1 vµ d2 theo m 2. Khi m thay ®æi, h·y chøng minh ®iÓm I lu«n thuéc ®­êng th¼ng cè ®Þnh. H­íng dÉn 1.Gi¶i hÖ ta ®ùîc 2.ta cã Vëy I thuéc ®­êng th¼ng y=-x-3 cè ®Þnh C©u 3 : Gi¶ sö cho bé ba sè thùc (x;y;z) tho¶ m·n hÖ 1. Chøng minh x2 + y2 = -z2 + 12z – 19 2. T×m tÊt c¶ bé sè x,y,z sao cho x2 + y2 = 17 H­íng dÉn 1.Tõ (1) ta cã x-y=z-1x2-2xy+y2=1-2z+z2 x2+y2=2xy+1-2z+z2 (*) Tõ (2) ta cã xy=-z2+7z-10 thay vµo (*) ta cã x2 + y2 =2(=-z2+7z-10 )+z2 -2z -+1 x2 + y2 = -z2 + 12z -19 (®pcm) 2. ta cã -z2 + 12z – 19=17z2-12z+36=0z=6 thay vµo ta cã hÖ HÖ cã 2 nghiÖm (x,y,z)=(-1;4;6);(-4;1;6) C©u 4 : Cho h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi b»ng c¹nh a. Trong h×nh vu«ng ®o lÊy ®iÓm K sao cho tam gi¸c ABK ®Òu. C¸c ®­êng th¼ng BK vµ AD c¾t nhau ë P. 1. TÝnh ®é dµi KC theo a 2. Trªn AD lÊy I sao cho CI c¾t BP ë H. Chøng minh CHDP lµ néi tiÕp. 3.Gäi M vµ L lÇn l­ît lµ trung ®iÓm CP vµ KD. Chøng minh LM = H­íng dÉn 1.KÎ KQ BC trong tam gÝac vu«ng BQK cã BK=a; KBQ=300 nªn ¸p dông Pi-Ta-Go cho tam gi¸c vu«ng BKQ ta cã nªn ¸p dông Pi-Ta-Go cho tam gi¸c vu«ng CKQ ta cã 2.XÐt tam gi¸cvu«ng DCI cã DC=a; nªn nªn DCI=300 theo GT ta cã KBC=300 suy ra DPH=300 (So le) Vëy DPH=DCH =300 nªn theo QT cung chøa gãc 2 ®iÓm P ; C thuéc cung chøa gãc 300 dùng trªn DH hay tø gi¸c CHDP néi tiÕp 3. KÎ KE AB th× HA=HB vµ KE//AP xÐt tam gi¸c ABP cã HA=HB; KH//AP nªn KP=KB=a gäi N lµ trung ®iÓm KB th× LN//CD vµ ; MN//KP; Vëy tam gi¸c MNL c©n t¹i N cã (c¹nh t­¬ng øng //) Nªn tam gÝc MNL ®Òu suy ra ( ®pcm) C©u 5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh : (x2 -5x + 1)(x2 - 4) = 6(x-1)2 (*) H­íng dÉn §Æt x2 -5x + 1-=a; x2 - 4=b th× a-b=-5(x-1) suy ra NÕu th× a=6b ta cã PT NÕu b=6a ta cã PT PT(*) cã 4 nghiÖm PTC_1011QĐ_04 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2010- 2011 Môn thi: TOÁN- Vòng II Câu 1: 1.Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thoả mãn Chứng minh rằng 2.Chứng minh rằng số là số nguyên dương Câu 2: Giả sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai điều kiện sau Phương trình có 2 nghiêm a và b Phương trình có 2 nghiêm c và d Chứng minh rằng: a – c = c – b = d - a a + b + c + d = 30 Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dương với n>1 .Đặt Chứng minh rằng: 1. Nếu m>n thì 2. Nếu S là số chính phương thì m=n Câu 4 Cho tam gíac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB của tam giác lấy các điểm M và N sao cho BC=BM và AC=AN 1.Chứng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM 2.Qua M và N ta kẻ đường thẳng MP song song với BC và NQ song song với CA .Chứng minh CP=CQ. 3.Cho góc ACB = 900 , góc CAB = 300 và AB = a . Tính diện tích tam giác MCN theo a. Câu 5 Trên bảng đen viết ba số .Ta bắt đầu thực hiện trò chơi như sau : Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đó trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi viết vào 2 vị trí vừa xoá hai số mới và đồng thời giữ nguyên số còn lại .Như vậy sau mỗi lần chơi trên bảng luôn có ba số .Chứng minh rằng dù ta có chơi bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng không đồng thời có ba số . ----------------------------------------------- Hết ------------------------------------------- Gi¶i ®Ò thi tuyÓn sinh Vµo khèi trung häc phæ th«ng chuyªn n¨m 2010 M«n thi: To¸n häc (Dïng cho mäi thÝ sinh thi vµo chuyªn To¸n vµ chuyªn Tin) C©u 1: 1.Gi¶ sö a vµ b lµ hai sè d­¬ng kh¸c nhau vµ tho¶ m·n Chøng minh r»ng 2.Chøng minh r»ng sè lµ sè nguyªn d­¬ng H­íng dÉn tõ GT suy ra ta cã hÖ 2 §Æt a= 2009 ta cã = C©u 2: Gi¶i sö 4 sè thùc a , b, c, c, d ®«i 1 kh¸c nhau vµ tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn sau Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiªm a vµ b Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiªm c vµ d Chøng minh r»ng a-c=c-b=d-a a+b+c+d=30 H­íng dÉn V× a,b lµ nghiÖm PT (1) theo Vi-Ðt ta cã V× a,b lµ nghiÖm PT (1) theo Vi-Ðt ta cã Tõ (1) ta cã a-c=c-b tõ (3) ta cã c-a=a-d nªn a-c=c-b=d-a 2.nh©n (2) vµ (4) ta cã abcd=25bd suy ra ac=25 MÆt kh¸c a lµ nghiÖm PT(1) nªn c lµ nghiÖm PT(1) nªn tõ (5) vµ (6) ta cã C©u 3 Gi¶ sö m vµ n lµ nh÷ng sè nguyªn d­¬ng víi n>1 .§Æt Chøng minh r»ng: 1.NÕu m>n th× 2.NÕu S lµ sè chÝnh ph­¬ng th× m=n H­íng dÉn 1.ta chøng minh B»ng c¸ch xÐt hiÖu MÆt kh¸c v× n>1; m>n 2.Ta chøng minh xÐt S=(mn-1)2 th× kh«ng tån t¹i m,n v× vÕ ph¶i ch½n XÐt S=(mn+1)2 th× kh«ng tån t¹i m,n v× vÕ ph¶i ch½n Tõ ®ã ta cã S=m2n2  th× suy ra m=n C©u 4 Cho tam gÝac ABC víi AB>AC ,AB >BC.Trªn c¹nh AB cña tam gi¸c lÊy c¸c ®iÓm M vµ N sao cho BC=BM vµ AC=AN 1.Chøng minh ®iÓm N thuéc ®o¹n th¼ng BM 2.Qua M vµ N ta kÎ ®­êng th¼ng MP song song víi BC vµ NQ song song víi CA .Chøng minh CP=CQ. 3.Cho gãc ACB=900 , gãc CAB=300 vµ AB= a . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c MCN theo a. H­íng dÉn Ta cã BN=AB-AN=AB-AC<BC=BM ( b®t tam gi¸c) vËy NBM Ta cã Mµ MB=BC; NA=AC kÕt hîp víi (1) vµ (2) ta cã CP=CQ (®pcm) 3.NÕu ACB=900 , gãc CAB=300 vµ AB= a .th× ta cã MN=AN-AM=AC-AM=AC-(AB-BM)=AC-AB+BC= KÎ CH AB th× VËy: ( ®vdt) C©u 5 Trªn b¶ng ®en viÕt ba sè .Ta b¾t ®Çu thùc hiÖn trß ch¬i nh­ sau : Mçi lÇn ch¬i ta xo¸ hai sè nµo ®ã trong ba sè trªn b¶ng ,gi¶ sö lµ a vµ b råi viÕt vµo 2 vÞ trÝ võa xo¸ hai sè míi vµ ®ång thêi gi÷ nguyªn sè cßn l¹i .Nh­ vËy sau mçi lÇn ch¬i trªn b¶ng lu«n cã ba sè .Chøng minh r»ng dï ta cã ch¬i bao nhiªu lÇn ®i ch¨ng n÷a th× trªn b¶ng kh«ng ®ång thêi cã ba sè . H­íng dÉn Ta cã Nh­ vËy sau khi xo¸ 2 sè a; b thay bëi hai sè míi vµ th× tæng b×nh ph­¬ng hai sè míi kh«ng ®æi nªn tæng b×nh ph­¬ng cña ba sè trªn b¶ng kh«ng ®æi b»ng mµ tæng b×nh ph­¬ng ba sè lµ ( ®pcm) PTC_1011QĐ_05 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐH NGOẠI NGỮ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2010- 2011 Môn thi: TOÁN Câu 1 ( 2,0 điểm ) Cho biểu thức Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P. Tìm giá trị của x để P Câu 2 ( 2,0 điểm ) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x2 + 4x + 1 = y4. Giải hệ phương trình: . Câu 3 ( 2,0 điểm ) Cho phương trình ẩn x: (m-10)x2 + 2(m-10)x + 2 =0 Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1; x2. Chứng minh rằng khi đó ta có: Câu 4 ( 3,0 điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB<AC vẽ đường cao AD và đường phân giác AO của tam giác ABC (D, OBC) Vẽ đường tròn tâm O tiếm xúc với AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng D, O, M, N, A cùng thuộc một đường tròn. Chứng minh Đường thẳng qua O vuông góc với BC cắt MN tại I. Đường thẳng AI cát BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC. Câu 5 ( 1,0 điểm ) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+ab+bc+ca=6. Chứng minh rằng: ----------------------------------------------- Hết ------------------------------------------- H­íng dÉn gi¶i ®Ò thi tuyÓn sinh líp 10 THPT chuyªn ngo¹i ng÷ n¨m 2010 C©u 1: (2®iÓm) Cho biÓu thøc T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó P cã nghÜa vµ rót gän P. 2) T×m gi¸ trÞ x ®Ó H­íng dÉn §KX§ ; 2) C©u 2 : ( 2 ®iÓm) T×m c¸c sè nguyªn x, y tho¶ m·n ®¼ng thøc : x2 + 4x +1 =y4 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh : H­íng dÉn x2 + 4x +1 =y4 (x+2)2-y4=3(x-y2+2)(x+y2+2)=3 Ph­¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm (x;y) = ( 0;1) ;(0;-1) ; ( -4; 1) ; (-4;-1) 2) HÖ cã 3 nghiÖm (x;y) = (1;1) (-1; -1) ;( -2;1) C©u 3: ( 2 ®iÓm) Cho ph­¬ng tr×nh Èn x : (m-10)x2+2(m-10)x + 2 =0 1)T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 . 2) Chøng minh r»ng khi ®ã H­íng dÉn 1) §Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt th× víi §K trªn theo ViÐt ta cã §Æt Q= Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn C©u 4:(3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC ( AB <AC). VÏ ®­êng cao AD vµ ®­êng ph©n gi¸c trong AO cña tam gi¸c ABC ( D , O thuéc BC). VÏ ®­êng trßn t©m O tiÕp xóc víi AB, AC t¹i M , N Chøng minh c¸c ®iÓm M , N, O, D , A cïng thuéc mét ®­êng trßn. Chøng minh gãcBDM = gãcCDN . Qua O kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BC c¾t MN t¹i I .§­êng th¼ng AI c¾t BC t¹i K .Chøng minh K lµ trung ®iÓm c¹nh BC ta cã AMO=ADO=ANO=900 nªn 5 ®iÓm A, M.D, O, N thuéc ®­êng trßn T©m O/ ®­êng kÝnh AO Ta cã ADB=ADC=900 (1) mµ ADM=ADN (2) ( gãc néi tiÕp ch¾n 2 cung b»ng nhau) tõ (1);(2) ta cã §PCM 3)Qua I ta kÎ ®­êng th¼ng //BC c¾t AB,AC t¹i P;Q ta cã tø gi¸c OMPI; OQNI néi tiÕp nªn POI=PMI; QOI=INA mµ PMI=INA (do tam gi¸c AMN c©n t¹i A) Nªn POI=QOI xÐt tam gi¸c POQ cã OI võa lµ ®­êng cao võa lµ p©n gi¸c nªn IP=IQ. ¸p dông hÖ qu¶ Ta-lÐt cho 2 tam gi¸c ABK vµ ACK cã PQ//BC Ta cã C©u 5: ( 1 ®iÓm) Cho a , b , c lµ c¸c sè d­¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : a + b+c +ab +bc+ ca=6 Chøng minh r»ng: H­íng dÉn ¸p dông BB§T dÊu “= “ x¶y ra khi x=y Ta cã Nªn (*) DÊu “ =” x¶y ra khi a=b=c=1 MÆt kh¸c T cã PTC_1011QĐ_06 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2010- 2011 Môn thi: TOÁN Bài 1 (2,0 điểm) 1) Cho n là số nguyên, chứng minh chia hết cho 6 2) Tìm tất cả các số tự nhiên n để là số nguyên tố Bài 2 (2,0 điểm) Cho phương trình : .Gọi là hai nghiệm của phương trình đã cho. 1) Tìm các giá trị của m để . 2) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức Bài 3 (2.0 điểm) 1) Cho a là số bất kì,chứng minh rằng: 2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình Bài 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn.Đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm E , F. 1) Chứng minh giao điểm I của đoạn thẳng OM với đường tròn (O;R) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF. 2) Cho A là một điểm bất kì của thuộc cung EF chứa điểm M của đường tròn đường kính OM (A khác E,F). Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF tại điểm B. Chứng minh 3) Cho biết OM=2R và N là một điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm I của đường tròn (O;R) ( N khác E,F). Gọi d là đường thẳng qua F và vuông góc với đường thẳng EN tại điểm P, d cắt đường tròn đường kính OM tại điểm K (K khác F). Hai đường thẳng FN và KE cắt nhau tại điểm Q. chứng minh rằng: Bài 5 ( 1,0 điểm) Giải phương trình: ----------------------------------------------- Hết ------------------------------------------- Mét sè gîi ý ®Ò chuyªn Amsterdam, Chu V¨n An 23.6.2010 Bµi I. (2 ®iÓm) Cho n lµ sè nguyªn, chøng minh A = n3 + 11n chia hÕt cho 6. T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn n ®Ó B = n4 – 3n2 + 1 lµ sè nguyªn tè Gîi ý : A = (n- 1)n(n + 1) + 12n Mçi h¹ng tö chia hÕt cho 2 vµ 3 . suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh B =(n2 – n - 1).(n2 + n - 1) n2 – n – 1 < n2 + n – 1. ®Ó B lµ sè nguyªn tè th× n2 – n – 1= 1 suy ra n = - 1(lo¹i), n = 2 tho¶ m·n Bµi II. (2 ®iÓm) Cho ph­¬ng tr×nh: (m2 + 2m + 2)x2 – (m2 – 2m + 2)x – 1 = 0 Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó : x12 + x22 = 2x1x2(2x1x2 – 1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc S = x1 + x2 Gîi ý : dÔ cã ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m. Theo vi et : thay vµo , t×m ®­îc m S =. Sau ®ã xÐt hiÖu S – () vµ hiÖu S – () ta t×m ®­îc max, min. HoÆc dïng ph­¬ng ph¸p ®enta Bµi III. (2 ®iÓm) Cho a bÊt k×, chøng minh r»ng: T×m c¸c sè nguyªn x, y tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: y2 – x(x – 2)(x2 – 2x + 2) = 0 Gîi ý : 1) . Suy ra ®iÒu ph¶I chøng minh DÊu b»ng kh«ng xÈy ra. §Æt (x - 1)2 = t ≥ 0 ph­¬ng tr×nh cã d¹ng : y2 – (t- 1)(t + 1) = 0 Hay (y - t)(y + 1)= - 1. gi¶i theo ­íc sè Bµi IV( 3 ®iÓm) Cho ®­êng trßn (O;R) vµ mét ®iÓm M n»m ngoµi ®­êng trßn . § ưêng trßn ®­êng kÝnh OM c¾t ®êng trßn (O;R) t¹i hai ®iÓm E, F. Chøng minh giao ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng OM víi ®­êng trßn (O;R) lµ t©m cña ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c MEF. Cho A lµ mét ®iÓm bÊt k× thuéc cung EF chøa ®iÓm M cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh OM (A kh¸c E vµ F). §o¹n th¼ng OA c¾t ®o¹n th¼ng EF t¹i ®iÓm B. Chøng minh OA. OB = R2 . Cho biÕt OM = 2R vµ N lµ ®iÓm bÊt k× thuéc cung EF chøa ®iÓm I cña ®­êng trßn (O; R) (N kh¸c E vµ F). Gäi d lµ ®­êng th¼ng qua F vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng EN t¹i ®iÓm P, d c¾t ®êng trßn ®­êng kÝnh OM t¹i ®iÓm K (K kh¸c F). Hai ®­êng th¼ng FN vµ KE c¾t nhau t¹i ®iÓm Q. Chøng minh r»ng: PN . PK + QN . QK Gîi ý : (c¸c b¹n tù vÏ h×nh nhÐ) Ta dÔ cã ME, MF lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O), tõ ®ã dÔ chøng minh ®­îc cung EI = cung FI cña ®­êng trßn (O). DÔ dµng chøng minh ®­îc EI, FI, MI lµ c¸c ®­êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c MEF. Gäi EF c¾t OM t¹i H. DÔ chøng minh ®­îc : OA.OB = OH.OM = OE2. Ta cã I lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ΔMEF vµ ΔMEF ®Òu cã c¹nh b»ng . Sö dông gãc néi tiÕp, gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y ®Ó chøng minh FQ ^EK. Ta cã PN. PK + QN.QK = 2.SKPNQ £ KN.QP dÊu b»ng khi KN ^ PQ. (*) Mµ N lµ trùc t©m ΔEKF, nªn KN = 2. IH = R (1) Ta cã ΔKPQ ®ång d¹ng víi ΔKEF , nªn ÞPQ =(2) Thay (1), (2) vµo (*) ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. dÊu b»ng khi KN ^ PQ hay N, I trïng nhau Bµi V. (1 ®iÓm) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: x8 – x7 + x5 – x4 + x3 – x + 1 = 0 Gîi ý : NÕu x ≥ 1Th× VT = (x8 – x7) + (x5 – x4) + (x3 – x) + 1 ≥ 1 kh«ng cã nghiÖm NÕu 1> x > 0Th× VT = (x5 – x7) + (x3 – x4) + (1 – x) + x8> 0 kh«ng cã nghiÖm NÕu x £ 0 th× VT > 1 kh«ng cã nghiÖm VËy pt v« nghiÖm PTC_1011QĐ_07 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2010- 2011 Môn thi: TOÁN Câu 1 : (4 điểm) 1) Giải hệ phương trình : 2) Giải phương trình: (2x2 - x)2 + 2x2 – x – 12 = 0 Câu 2 : (3 điểm) Cho phương trình x2 – 2(2m + 1)x + 4m2+ 4m – 3 = 0 (x là ẩn số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) thỏa |x1| = 2|x2| Câu 3 : (2 điểm) Thu gọn biểu thức: Câu 4 : (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Gọi P là điểm chính giữa của cung nhỏ AC. Hai đường thẳng AP và BC cắt nhau tại M. Chứng minh rằng: a) b) MA. MP = BA. BM Câu 5 : (3 điểm) a) Cho phương trình: 2x2 + mx + 2n + 8 = 0 (x là ẩn số và m, n là các số nguyên). Giả sử phương trình có các nghiệm đều là số nguyên. Chứng minh rằng: m2 + n2 là hợp số. b) Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 . Tính P = a2010 + b2010 Câu 6 : (2 điểm) Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA = OB = 2a. Gọi (O) là đường tròn tâm O bán kính a. Tìm điểm M thuộc (O) sao cho MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 7 : (2 điểm) Cho a, b là các số dương thoả a2 + 2b2 ≤ 3c2. Chứng minh . - ---------------------------------------------- Hết -------------------------------------------