Bồi dưỡng phát triển năng lực, tư duy logic thông qua học theo Chuyên đề Toán 9

ch tử thành nhõn tử ( mẫu giữ nguyờn). ‡Rỳt gọn. B.Bài tập luyện tập: Bài 1 Cho biểu thức : A = với ( x >0 và x ≠ 1) a) Rỳt gọn biểu thức A; b) Tớnh giỏ trị của biểu thức A tại . Bài 2. Cho biểu thức : P = ( Với a 0 ; a 4 ) a) Rỳt gọn biểu thức P; b)Tỡm giỏ trị của a sao cho P = a + 1. Bài 3: Cho biểu thức A = a)Đặt điều kiện để biểu thức A cú nghĩa; b)Rỳt gọn biểu thức A; c)Với giỏ trị nào của x thỡ A< -1. Bài 4: Cho biểu thức : B = a) Tỡm TXĐ rồi rỳt gọn biểu thức B; b) Tớnh giỏ trị của B với x =3; c) Tỡm giỏ trị của x để . Bài 5: Cho biểu thức : P = a) Tỡm TXĐ; b) Rỳt gọn P; c) Tỡm x để P = 2. Bài 6: Cho biểu thức: Q = ( a) Tỡm TXĐ rồi rỳt gọn Q; b) Tỡm a để Q dương; c) Tớnh giỏ trị của biểu thức biết a = 9- 4. Bài 7 : Cho biểu thức : K = a) Tỡm x để K cú nghĩa; b) Rỳt gọn K; c) Tỡm x khi K= ; d) Tỡm giỏ trị lớn nhất của K. Bài 8 : Cho biểu thức: G= a)Xỏc định x để G tồn tại; b)Rỳt gọn biểu thức G; c)Tớnh giỏ trị của G khi x = 0,16; d)Tỡm gớa trị lớn nhất của G; e)Tỡm x ẻ Z để G nhận giỏ trị nguyờn; f)Chứng minh rằng : Nếu 0 < x < 1 thỡ M nhận giỏ trị dương; g)Tỡm x để G nhận giỏ trị õm; Bài 9 : Cho biểu thức: P= Với x ≥ 0 ; x ≠ 1 a)Rỳt gọn biểu thức trờn; b)Chứng minh rằng P > 0 với mọi x≥ 0 và x ≠ 1. Bài 10. Tính Bài 11. Rút gọn biểu thức: a b Bài 12: Cho biểu thức Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P; Tìm các số tự nhiên x để là số tự nhiên; Tính giá trị của P với x = 4 – 2 Bài 13: Cho biểu thức A = a) Rỳt gọn biểu thức A. b) Tớnh giỏ trị x để giỏ trị của biểu thức A = . BÀI 14: 1/Rỳt gọn biểu thức: 2/Cho biểu thức: với x0,x1. Rỳt gon biểu thức B. Tỡm giỏ trị của x để biểu thức B = 5. .. CHUYấN ĐỀ 3: Chứng minh Bất đẳng thức phần 1 : Các kiến thức cần lưu ý 1, Định nghĩa bất đẳng thức 2, Một số tính chất cơ bản của bất dẳng thức : a, Tính chất 1: a > b b < a b, Tính chất 2: a > b và b > c => a > c c, Tính chất 3: a > b a + c > b + c Hệ quả : a > b a - c > b - c a + c > b a > b - c d, Tính chất 4 : a > c và b > d => a + c > b + d a > b và c a - c > b - d e, Tính chất 5 : a > b và c > 0 => ac > bd a > b và c ac < bd f, Tính chất 6 : a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd g, Tính chất 7 : a > b > 0 => an > bn a > b an > bn với n lẻ . h, Tính chất 8 : a > b ; ab > 0 => 3, Một số đẳng thức thông dụng : a, Bất đẳng thức Côsi : Với 2 số dương a , b ta có : Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với mọi số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by )2 (a2 + b2)(x2 + y2) Dấu đẳng thức xảy ra c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : Dấu đẳng thức xảy ra khi : ab 0 phần 2 : Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa - Kiến thức : Để chứng minh A > B , ta xét hiệu A - B rồi chứng minh A - B > 0 . - Lưu ý : A2 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 . - Ví dụ : Bài 1 : Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) Giải : Ta xét hiệu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 Do (x - 1)2 0 với mọi x (y - 1)2 0 với mọi y (z - 1)2 0 với mọi z => H 0 với mọi x, y, z Hay x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) với mọi x, y, z . Dấu bằng xảy ra x = y = z = 1. Bài 2 : Cho a, b, c, d, e là các số thực : Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) Giải : Xét hiệu : H = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e) = ()2 + ()2 + ()2 + ()2 Do ()2 0 với mọi a, b Do()2 0 với mọi a, c Do ()2 0 với mọi a, d Do ()2 0 với mọi a, e => H 0 với mọi a, b, c, d, e Dấu '' = '' xảy ra b = c = d = e = Bài 3 : Chứng minh bất đẳng thức : Giải : Xét hiệu : H = = = . Với mọi a, b . Dấu '' = '' xảy ra khi a = b . 2. Phương pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tương đương . - Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng . Ví dụ : Bài 1 : Cho a, b là hai số dương có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng : Giải: Dùng phép biến đổi tương đương ; 3(a + 1 + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) ú 9 4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1) ú 9 4ab + 8 ú 1 4ab ú (a + b)2 4ab Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh . Bài 2: Cho a, b, c là các số dương thoả mãn : a + b + c = 4 Chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 Giải: Từ : (a + b)2 4ab , (a + b + c)2 = => 16 4(a + b)c => 16(a + b) 4(a + b)2c 16 abc => a + b abc Tương tự : b + c abc c + a abc => (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 Bài 3 : Chứng minh bất đẳng thức : ; trong đó a > 0 ; b > 0 Giải : Dùng phép biến đổi tương đương : Với a > 0 ; b > 0 => a + b > 0 ú . ú a2 - ab + b2 ú 4a2 - 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2 ú 3a2 - 6ab + 3b2 3(a2 - 2ab + b2) 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra : Bài 4: Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a3 + b3 + ab Giải : Ta có : a3 + b3 + ab a3 + b3 + ab - 0 (a + b)(a2 - ab + b2) + ab - 0 a2 + b2 - 0 . Vì a + b = 1 2a2 + 2b2 - 1 0 2a2 + 2(1-a)2 - 1 0 ( vì b = a -1 ) 4a2 - 4a + 1 0 ( 2a - 1 )2 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a3 + b3 + ab Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = Bài 5 : Chứng minh bất đẳng thức : Trong đó : a > 0 , b > 0 . Giải : Với a > 0 , b > 0 => a + b > 0 Ta có : 4a2 - 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2 3(a2 - 2ab + b2 ) 0 3(a - b)2 0 . Bất đẳng thức này đúng => Dấu '' = '' xảy ra khi a = b . Bài 6 : Với a > 0 , b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức : Giải : Dùng phép biến đổi tương đương : ú ( 0 ú ú ú ú Bất đẳng thức cuối đúng ; suy ra : 3. Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc . - Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc như : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh , Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên : x2 + y2 2xy Với a, b > 0 , Các ví dụ : Bài 1 : Giả sử a, b, c là các số dương , chứng minh rằng: Giải áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a + (b + c) ú Tương tự ta thu được : , Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có : a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều là số dương ). Từ đó suy ra : Bài 2: Cho x , y là 2 số thực thoả mãn : x2 + y2 = Chứng minh rằng : 3x + 4y 5 Giải : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có : (x2 + y2)2 = ()2 ( ; ) (x2 + y2)(1 - y2 + 1 - x2) => x2 + y2 1 Ta lại có : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) 25 => 3x + 4y 5 Đẳng thức xảy ra ú ú Điều kiện : Bài 3: Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng : a, b, Giải a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có : => => . Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : Tương tự : ; Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được : Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1 Vậy : Bài 4 : Cho các số dương a , b , c thoả mãn : a + b + c = 1 . Chứng minh rằng : Giải : Ta có : , a , b > 0 Ta có : .1 = .(a + b + c) = = 3 + 2 + 2 + 2 = 9 => Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c = Bài 5 a, Cho x , y > 0 . Chứng minh rằng : b, Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh của tam giác ) . Chứng minh rằng : Giải a, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : => (x + y)( ) 4 => b, Ta có : p - a = Tương tự : p - b > 0 ; p - c > 0 ; áp dụng kết quả câu a , ta được ; Tương tự : => => đIều phải chứng minh . Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c ú a = b = c . Khi đó tam giác ABC là tam giác đều . 4. Phương pháp 4 ; Dùng các tính chất của bất đẳng thức : - Kiến thức : Dùng các tính chất đã được học để vận dụng vào giải các bài tập . Các ví dụ : Bài 1 : Cho 2 số x , y thoả mãn điều kiện : x + y = 2 . Chứng minh rằng : x4 + y4 2 Giải Theo tính chất bắc cầu ta có : (x2 - y2) 0 ú x4 + y4 2x2y2 ú 2(x4 + y4) (x2 + y2)2 (1) Ta có : (x - y)2 0 ú x2 + y2 2xy ú 2(x2 + y2 ) (x +y)2 ú2(x2 + y2 ) 4 Vì : x + y = 2 ú x2 + y2 2 (2) Từ (1) và (2) ta có : x4 + y4 2 Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = 1 . Bài 2: Cho 0 < a, b, c, d < 1 . Chứng minh rằng : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d . Giải : Ta có : (1 - a)(1 - b) = 1 - a - b + ab Do a, b > 0 nên ab > 0 => (1 - a)(1 - b) > 1 - a - b . Do c 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c) ú (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc . Do a, b, c, d > 0 nên 1 - d > 0 ; ac + bc > 0 ; ad + bd + cd > 0 =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d) => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d . Bài 3 : Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng : 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a Giải : Do a, b a3 < a2 < a < 1 ; b3 < b2 < b < 1 ; ta có : (1 - a2)(1 - b) > 0 => 1 + a2b > a2 + b => 1 + a2b > a3 + b3 hay a3 + b3 < 1 + a2b . Tương tự : b3 + c3 < 1 + b2c ; c3 + a3 < 1 + c2a . => 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a 5. Phương pháp 5 : Chứng minh phản chứng . - Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất dẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý . Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái nhược nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng . Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức : + Dùng mệnh đề đảo + Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết . + Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng . + Phủ định rồi suy ra hai đIều tràI ngược nhau . + Phủ định rồi suy ra kết luận . Các ví dụ : Bài 1 : Cho 0 1 3b(1 - c) > 2 8c(1 - d) > 1 32d(1 - a) > 3 Giải: Giả sử ngược lại cả bốn đẳng thức đều đúng . Nhân từng về ; ta có : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > 2 .3 => (1) Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : => a(1 - a) Tương tự : b(1 - b) c(1 - c) d(1 - d) Nhân từng về các bất đẳng thức ; ta có : (2) Từ (1) và (2) suy ra vô lý . Điều vô lý đó chứng tỏ ít nhất một trong 4 bất đẳng thức cho trong đầu bài là sai . Bài 2 : ( Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau ) Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả ba bất đẳng thức sau : ; ; Giải Giả sử tồn tại 3 số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức : ; ; Cộng theo từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được : ú (1) Vì a, b, c > 0 nên ta có : ; ; => Điều này mâu thuẫn với (1) Vậy không tồn tại 3 số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức nói trên . => đpcm Bài 3 : Chứng minh rằng không có các số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức sau : 4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a ) > 1 . Hướng dẫn : tương tự như bài 2 : Bài 4 :( Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng ) Cho a3 + b3 = 2 . Chứng minh rằng : a + b 2 . Giải : Giả sử : a + b > 2 => (a + b )3 > 8 => a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 => 2 + 3ab(a + b) > 8 ( Vì : a3 + b3 = 2 ) => ab(a + b) > 2 => ab(a + b) > a3 + b3 ( Vì : a3 + b3 = 2 ) Chia cả hai vế cho số dương a, b ta được : ab > a2 - ab + b2 => 0 > (a - b)2 Vô lý Vậy : a + b 2 6. Phương pháp 6 : Đổi biến số - Kiến thức : Thực hiện phương pháp đổi biến số nhằm đưa bài toán đã cho về dạng đơn giản hơn , gọn hơn , dạng những bài toán đã biết cách giải ... Các ví dụ : Bài 1 : Chứng minh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì : Giải: Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z => a + b + c = => a = , b = , c = Khi đó : VT = = = Bài 2 : Chứng minh rằng ; với mọi số thực x, y ta có bất đẳng thức : - Giải: Đặt : a = và b = => ab = Ta có dễ thấy với mọi a, b thì : - Mà : (a - b)2 = (a + b)2 = Suy ra : - ab . Bài 3 : Cho a, b, c > 0 ; a + b + c 1 . Chứng minh rằng : Giải : Đặt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z Khi đó : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 1 Bài toán trở thành : Cho x, y, z > 0 , x + y + z 1 . Cứng minh rằng : Ta chứng minh được : (x + y + z)( Theo bất đẳng thức Côsi Mà : x + y + z 1 nên suy ra . Phần 3 : ứng dụng của bất đẳng thức I- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị . - Kiến thức : Nếu f(x) m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m . Nếu f(x) M thì f(x) có giá trị lớn nhất là M . Ta thường hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng như : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối . Kiểm tra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị . Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức , ta hay sử dụng phương pháp biến đổi tương đương , đổi biến số , một số bất đẳng thức ... Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Chú ý : Xảy ra dấu '' = '' khi AB 0 Dấu ''= '' xảy ra khi A = 0 Ví dụ : Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = a3 + b3 + ab ; Cho biết a và b thoả mãn : a + b = 1 . Giải B = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab = a2 - ab + b2 + ab = a2 + b2 Ta có : 2(a2 + b2) (a + b)2 = 1 => a2 + b2 Vậy min B = khi a = b = Bài 2: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = (x2 + x)(x2 + x - 4) b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = - x2 - y2 + xy + 2x +2y Giải a, A = (x2 + x)(x2 + x - 4) . Đặt : t = x2 + x - 2 => A = (t - 2)(t + 2) = t2 - 4 - 4 Dấu bằng xảy ra khi : t = 0 ú x2 + x - 2 = 0 (x - 2)(x + 2) = 0 ú x = -2 ; x = 1 . => min A = - 4 khi x = -2 ; x = 1 ; b, Tương tự Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . a, C = b, D = c, E = Giải : a, áp dụng BĐT : Dấu '' = ''xảy ra khi AB 0 . => C = Dấu '' = '' xảy ra khi (2x - 3)(1 - 2x) 0 ú Vậy minC = 2 khi b, Tương tự : minD = 9 khi : -3 x 2 c, minE = 4 khi : 2 x 3 Bài 4 : Cho a < b < c < d , tìm : Minf(x) = + + + Hướng dẫn : tương tự : minf(x) = d + c - b - a khi b x c Bài 5 : Cho ba số dương x , y , z thoả mãn : + + 2 Tìm giá trị lớn nhất của tích : P = xyz Giải : (1 - ) + ( 1 - ) = + 2 Tương tự : 2 2 Từ đó suy ra : P = xyz MaxP = khi x = y = z = Bài 6 : Cho 3 số dương a, b, c thảo mãn : a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F = Giải: Ta có : F = (a2 + b2 + c2) + () + 6 Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki , ta có : (a.1 + b.1 + c.2)2 3(a2 + b2 + c2) => a2 + b2 + c2 Tương tự : 3 Mặt khác : ().1 = ()(a + b + c) = 3 + () + () + () 3 + 2 + 2 + 2 = 9 => 9 => 81 => 27 F + 27 + 6 = 33 Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = Vậy MinF = 33 khi : a = b = c = . Bài 7 : Cho G = Tỡm giỏ trị lớn nhất của G : Giải : Tập xỏc định : x 1 ; y 2 ; z 3 Ta có : G = + + Theo BĐT Cụsi ta cú : => Tương tự : ; => G Vậy MaxG = đạt được khi x = 2 ; y = 2 ; z = 6 Bài 8 a, Tìm giá trị nhỏ nhất của H = với x > 1 . b. Tìm giá trị lớn nhất của K = HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi và làm tương tự như bài 5 : II - Dùng bất đẳng thức để giải phương trình . - Kiến thức : Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phương pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phương trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phương trình . Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn ( thoả mãn TXĐ) => phương trình có nghiệm . Nếu VT > VP hoặc VT < VP tại mọi giá trị của ẩn . => phương trình vô nghiệm . - Các ví dụ : Bài 1 : Giải phương trình : 13 + 9 = 16x Giải: Điều kiện : x 1 (*) Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 13 + 9 = 13.2. + 3.2. 13( x - 1 + ) + 3(x + 1 + ) = 16x Dấu '' = '' xảy ra ú ú x = thoả mãn (*) Phương trình (1) có nghiệm ú dấu '' = '' ở (2) xảy ra Vậy (1) có nghiệm x = . Bài 2: a, Tìm giá trị lớn nhất của L = + b. Giải phương trình : + - x2 + 4x - 6 = 0 (*) Giải : a. Tóm tắt : ( + )2 2(2x - 3 + 5 - 2x) = 4 ú + 2 => MaxL = 2 khi x = 2 . b. TXĐ : (*) ú + = x2 - 4x + 6 VP = (x - 2)2 + 2 2 , dấu '' = '' xảy ra khi x = 2 . => với x = 2 ( thoả mãn TXĐ ) thì VT = VP = 2 . => phương trình (*) có nghiệm x = 2 . Bài 3 : Giải phương trình : + = x2 - 6x + 13 Giải : TXĐ : -2 x 6. VP = (x - 3)2 + 4 4 . Dấu '' = '' xảy ra khi x = 3 . VT2 = (.1 + .1)2 (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16 => VT 4 , dấu '' = '' xảy ra khi = ú x = 2 . => không có giá trị nào của x để VT = VP => Phương trình vô nghiệm Bài 4 : Giải phương trình : + = 5 HD : 2 ; 3 => VT 5 . Dấu '' = '' xảy ra khi : ú => phương trình có nghiệm : x = 2 ; y = 2 . CHUYấN ĐỀ 4: TèM GTLN VÀ GTNN C/ CÁC DẠNG TOÁN CỤ THỂ: Dạng I: Cỏc bài toỏn mà biểu thức là đa thức Vớ dụ 1: Tỡm GTNN của cỏc biểu thức sau: Giải Ta cú nờn Vậy: f(x) đạt GTNN bằng khi Cỏch giải chung của bài toỏn trờn là: Ta biến đổi đa thức đó cho về dạng: trong đú a là một hằng số. Vỡ nờn . Do đú GTNN của biểu thức đó cho bằng a khi h(x) =0. Vớ dụ 2: Tỡm GTLN của cỏc biểu thức sau: Giải Ta cú nờn Vậy: f(x) đạt GTLN bằng 15 khi Cỏch giải chung của bài toỏn trờn là: Ta biến đổi đa thức đó cho về dạng: trong đỏ a là một hằng số. Vỡ nờn . Do đú GTLN của biểu thức đó cho bằng a khi h(x) =0. 2/ Bài tập tự giải: Bài tập 1: Tỡm GTLN của cỏc biểu thức sau: Đỏp số: f(x) đạt GTLN bằng Bài tập2 : Tỡm GTNN của cỏc biểu thức sau: Đỏp số: g(x) đạt GTNN bằng Bài tập 3: a/ Tỡm GTNN của cỏc biểu thức sau: Đỏp số: f(x) đạt GTNN bằng b/ Giải phương trỡnh trờn khi f(x)=3 Đỏp số: Phương trỡnh cú nghiệm Bài 4: Cho phương trỡnh Gọi là hai nghiệm của phương trỡnh trờn. Tỡm GTLN và GTNN của biểu tổng S= Đỏp số: S đạt GTLN bằng S đạt GTNN bằng Bài 5: Cho x và y thỏa món điều kiện : 3x + y = 1 a/ Tỡm GTNN của biểu thức: Đỏp số: M đạt GTNN bằng b/ Tỡm GTLN của biểu thức: N = 2xy Đỏp số: N đạt GTLN bằng Dạng II: Cỏc bài toỏn mà biểu thức là phõn thức Đường lối chung để giải dạng toỏn này: Cho biểu thức . Biểu thức A đạt GTLN khi F(x) đạt GTLN và G(x) đạt GTNN; biểu thức A đạt GTNN khi F(x) đạt GTNN và G(x) đạt GTLN. 1/ Vớ dụ: Vớ dụ 1: Tỡm GTLN của biểu thức: Giải A đạt GTLN khi đạt GTNN, mà Vậy GTLN của khi Cỏch giải chung của bài toỏn trờn là: Ta thấy bậc của tử thức bằng bậc của mẫu thức, ta thực hiện phộp chia để đưa biểu thức về dạng A = M + (M, N là hằng số). Do đú biểu thức A đạt GTLN khi biểu thức f(x) đạt GTNN. Vớ dụ 2: Tỡm GTNN của biểu thức: Giải Ta cú thể viết: Do đú: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Vậy biểu thức A đạt GTNN bằng -1 khi x=-1 Cỏch giải chung của bài toỏn trờn là: Ta thấy bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của mẫu thức, ta thực hiện phộp biến đổi để đưa biểu thức về dạng A = (K là hằng số). Do đú biểu thức A đạt GTNN là K khi biểu thức =0. 2/ Bài tập tự giải: Bài 1: Tỡm GTLN của hàm số: Đỏp số: f(x) đạt GTLN bằng Bài 2: Cho x>0. Tỡm giỏ trị của x để biểu thức đạt GTLN. Đỏp số: M đạt GTLN bằng khi x=2009 Bài 3: Cho biểu thức: a/ Rỳt gọn M Đỏp số: b/ Tỡm GTNN của M. Đỏp số: M đạt GTNN bằng Bài 4: Cho biểu thức: a/ Rỳt gọn N . Đỏp số: b/ Tỡm GTNN và GTLN của N Đỏp số: N đạt GTNN bằng Đỏp số: N đạt GTLN bằng Bài 5: Cho a, b, c là ba số dương thỏa món điều kiện: Tỡm GTLN của biểu thức abc: Đỏp số: abc đạt GTLN bằng Dạng III: Cỏc bài toỏn mà biểu thức là căn thức 1/ Vớ dụ: Vớ dụ 1:Cho biểu thức: . Tỡm giỏ trị của x để f(x) đạt GTLN. Giải Biểu thức f(x) cú nghĩa khi: Trong điều kiện này ta cú f(x) nờn f(x)đạt GTLN khi và chỉ khi đạt GTLN. Ta cú: Do đú đạt GTLN khi và chỉ khi Vậy khi thỡ GTLN của biểu thức = Cỏch giải chung của bài toỏn trờn là: Ta cần xỏc điều kiện cỏc biểu thức dưới dấu căn để cho căn thức cú nghĩa, sau đú tỡm điều kiện để biểu thức đạt GTLN . Điều kiện đú cũng chớnh là điều kiện để biều thức f(x) đạt GTLN. Vớ dụ 2: Cho biểu thức: . Tỡm giỏ trị của x để f(x) đạt GTNN. Giải Biểu thứ f(x) cú nghĩa khi: Ta biến đổi: Do đú: nờn đạt GTNN khi và chỉ khi đạt GTNN mà nờn đạt GTNN bằng 0 khi Vậy f(x) đạt GTNN bằng khi Cỏch giải chung của bài toỏn trờn là: Ta cần xỏc điều kiện để biểu thức cú nghĩa và phõn tớch đa thức thành nhõn tử sau đú rỳt gọn biểu thức đó cho. 2/ Bài tập tự giải: Bài 1: Cho biểu thức: a/ Rỳt gon biểu thức M. Đỏp số: b/ Tỡm GTNN của M Đỏp số: M đạt GTNN bằng -1 khi x=0 Bài 2: Cho biểu thức a/ Rỳt gọn biểu thức M. Đỏp số: M= b/Tỡm GTLN của M. Đỏp số: M đạt GTLN bằng Bài 3: Tỡm GTLN của biểu thức Đỏp số: M đạt GTLN bằng Bài 4: Tỡm GTLN và GTNN của biểu thức: Đỏp số: M đạt GTLN bằng M đạt GTNN bằng Bài 5:Tỡm GTNN của biểu thức: Đỏp số: M đạt GTNN bằng1 khi . Chuyên đề 5: phương trình nghiệm nguyên 1. Tìm nghiệm nguyên của Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Tuỳ từng bài cụ thể mà làm các cách khác nhau. VD1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x + 3y = 11 (1) Cách 1: Phương pháp tổng quát: Ta có: 2x + 3y = 11 Để phương trình có nghiệm nguyên nguyên Đặt y = 2t + 1 x = -3t + 4 Cách 2 : Dùng tính chất chia hết Vì 11 lẻ 2x + 3y luôn là số lẻ mà 2x luôn là số chẵn 3y lẻ y lẻ Do đó : y = 2t + 1 với x = -3t + 4 Cách 3 : Ta nhân thấy phương trình có một cặp nghiệm nguyên đặc biệt là x0 = 4 ; y0 = 1 Thật vậy : 2 . 4 + 3.1 = 11 (2) Trừ (1) cho (2) vế theo vế ta có : 2(x - 4) + 3(y - 1) = 0 2(x -4) = -3(y -1) (3) Từ (3) 3(y - 1) 2 mà (2 ; 3) = 1 y - 1 2 y = 2t + 1 với Thay y = 2t + 1 vào (3) ta có : x = -3t + 4 Nhận xét : Với cách giải này ta phải mò ra một cặp nghiệm nguyên (x0, y0) của phương trình ax + by = c ; cách này sẽ gặp khó khăn nếu hệ số a, b, c quá lớn. Các bài tập tương tự : Tìm nghiệm nguyên của phương trình. a) 3x + 5y = 10 b) 4x + 5y = 65 c) 5x + 7y = 112 VD2 : Hệ phương trình. Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình sau : 3x + y + z = 14 (1) 5x + 3y + z = 28 (2) Giải : Từ hệ đã cho ta có : 2(x + y) = 14 vậy x = 7 - y (*) Thay (*) vào (1) ta được z = 14 - y - 3x = 2y -7 Vì x > 0 nên 7 - y > 0 y 0 nên 2y - 7 > 0 y > Vậy < y < 7 và Giải tiếp hệ đã cho có 3 nghiệm (3; 4; 1); (2; 5; 3); (1; 6; 5) Bài tập tương tự: a) Tìm nghiệm nguyên của hệ 2x -5y = 5 2y - 3z = 1 b) Trăm trâu ăn trăm bó cỏ – trâu đứng ăn năm, trâu nằm ăn ba, trâu già 3 con 1 bó. Tìm số trâu mỗi loại. c) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất chia cho 1000 dư 1 và chia cho 761 dư 8. 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình, hệ phương trình bậc cao. Phương pháp 1 : Dùng dấu hiệu chia hết để giải phương trình. VD1: a) Tìm cặp số nguyên (x ; y) thoả mãn phương trình 6x2 + 5y2 = 74 (1) Cách 1 : Ta có : 6 (x2 - 4) = 5 (10 - y2) (2) Từ (2) 6(x2 - 4) 5 và (6 ; 5) = 1 x2 - 4 5 x2 = 5t + 4 với Thay x2 - 4 = 5t vào (2) ta có : y2 = 10 – 6t Vì x2 > 0 và y2 > 0 5t + 4 > 0 10 - 6t > 0 với t = 0 hoặc t = 1 Với t = 0 y2 = 10 (loại) Với t = 1 x2 = 9 x = y2 = 4 y = Vậy các cặp nghiệm nguyên là :........................ Cách 2 : Từ (1) ta có x2 + 1 5 0 < x2 12 x2 = 4 hoặc x2 = 9 Với x2 = 4 y2 = 10 (loại) Với x2 = 9 y2 = 4 (thoả mãn) Vậy..................... Cách 3 : Ta có : (1) y2 chẵn 0 < y2 14 y2 = 4 x2 = 9 Vậy............... VD2 : Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên a) x5 + 29x = 10(3y + 1) b) 7x = 2y - 3z - 1 Giải : x5 - x + 30x = 10(3y+1) VP 30 còn VT 30 phương trình vô nghiệm Phương pháp 2: Phân tích một vế thành tích, một vế thành hằng số nguyên VD1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: a) xy + 3x - 5y = -3 b) 2x2 - 2xy + x - y + 15 = 0 c) x2 + x = y2 - 19 Giải : a) Cách 1: x(y + 3) – 5(y + 3) = -18 (x – 5) (y + 3) = -18... Cách 2 : b) Tương tự. c) 4x2 + 4x = 4y2 - 76 (2x + 1)2 - (2y)2 = -75... Phương pháp 3 : Sử dụng tính chẵn lẻ (đặc biệt của chia hết) VD2 : Tìm nghiệm nguyên. x3 - 2y3 - 4z3 = 0 Giải : x3 = 2(y3 + 2z3) VP 2 x3 2 x 2 đặt x = 2k 8k3 = 2(y3 + 2z3) 4k3 = y3 + 2z3 y3 = 4k3 - 2z3 = 2(2k3 - z3) y chẵn. Đặt y = 2t ta có : 8t3 = 2(2k3 - z3) 4t3 = 2k3 - z3 z3 = 2k3 - 4t3 z chẵn z = 2m 8m3 = 2(k3 - 2t3) ......k chẵn....... Phương pháp 4 : Phương pháp sử dụng tính chất của số chính phương VD1 : Tìm nghiệm nguyên của. a) x2 - 4xy + 5y2 = 169 b) x2 - 6xy + 13y2 = 100 Giải : a) (x - 2y)2 + y2 = 169 = 0 + 169 = 25 + 144... b) (x – 3y)2 + (2y)2 = 100 = 0 + 100 = 36 + 64 = ... Phương pháp 5 :  Phương pháp công thức nghiệm phương trình bậc 2 VD1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình. a) 2x2 -2xy + x + y + 15 = 0 b) 5(x2 + xy + y2) = 7(x+2y) (đề thi học sinh giỏi tỉnh 2009 – 2010) c) x(x + 1