Các bài toán tổng hợp trong hinh học phẳng

CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP TRONG HINH HỌC PHẲNG I.Kiến thức cơ bản(phương trình đường phân giác trong tam giác) II.Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, phương trình cạnh AB: 2x+y-5=0; BC: x+2y+2=0; CA: 2x-y+9=0.Viết phương trình các đường phân giác trong của A, B và tìm tâm, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. Lời giải *) Các đường phân giác của góc B Với : Đường phân giác trong của góc B là *) Các đường phân giác của góc A Với : Đường phân giác trong của góc A là Ví dụ 2. Cho tam giác ABC, phương trình cạnh BC: 4x-y-3=0; các đường phân giác trong kẻ từ B,C lần lượt có phương trình: . Viết phương trình cạnh AB, AC. Lời giải *) Gọi là điểm đối xứng với B qua , E là trung điểm của : E là trung điểm của AC: 1(x-0)-4(y+3)=0x-4y-12=0 *) Gọi là điểm đối xứng với C qua , F là trung điểm của : Vì F là trung điểm của AB: 8x+19y-27=0 Ví dụ 3. Cho tam giác ABC, A(2;-4), các đường phân giác trong kẻ từ B,C lần lượt có phương trình: . Viết phương trình cạnh BC. Lời giải *) Gọi Gọi là điểm đối xứng với A qua , D là trung điểm của : *) Gọi là điểm đối xứng với A qua , E là trung điểm của : BC: Ví dụ 4. Cho tam giác ABC, A(-1;3), đường cao BH: y=x,đường phân giác trong CD có phương trình: . Viết phương trình cạnh BC. Lời giải : *) Gọi Gọi là điểm đối xứng với A qua , D là trung điểm của : BC: Ví dụ 5. Cho tam giác ABC, B(3;5),C(4;-3),đường phân giác trong AD có phương trình: . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. Lời giải BC: *) Gọi là điểm đối xứng với B qua , D là trung điểm của : D là trung điểm của AC: 4(x-1)+3(y-1)=04x+3y-7=0 *) Gọi là điểm đối xứng với C qua , E là trung điểm của : E là trung điểm của AB: 1(y-5)=0y-5=0 Ví dụ 6. Cho tam giác ABC, C(-3;1), đường phân giác trong AD: , đường cao AH: . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. Lời giải : : *) Gọi là điểm đối xứng với C qua , E là trung điểm của : E là trung điểm của AB: Ví dụ 7. Cho tam giác ABC, C(4;3), đường phân giác trong AD: , đường trung tuyến AM: . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. Lời giải AC: *) Gọi là điểm đối xứng với C qua , D là trung điểm của : D là trung điểm của AB: M là trung điểm của BC BC: Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm C(3; -3) và điểm A thuộc đường thẳng d: 3x + y -2 = 0. Gọi M là trung điểm của BC, đường thẳng DM phương trình : x – y –2 = 0. Xác định tọa độ các điểm A, B, D. Giải: A Îd Þ A(t; 2 -3t) Ta có: d(C; DM) = d(A; DM) Þ | 4t -4 | = 8 Û| t - 1 | = 2 t = 3 Þ A(3, -7) (loại vì A, C phải khác phía đối DM) t = -1 Þ A(-1, 5) (thỏa mãn) Giả sử D(m; m-2). Gọi I là tâm của hình vuông Þ I là trung điểm của AC Þ I (1; 1) Do I là trung điểm của BD Þ B(-3; -1) Bài 9: Cho DABC coù ñænh A(2 ; –1) vaø hai ñöôøng phaân giaùc trong cuûa goùc B, goùc C coù phöông trình laàn löôït laø (dB) : x – 2y + 1 = 0 vaø (dC) : x + y + 3 = 0. Laäp phöông trình caïnh BC. Giải - Gọi A' đối xứng với A qua và A'' đối xứng với A qua thì A' và A'' nằm trên BC . +/ Tìm tọa độ A' (x;y): +/ Tìm tọa độ A'' (x;y) : +/ (BC) qua A'(0;3) có véc tơ chỉ phương Bài 10: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và điểm M (2;4) Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A và B, sao cho M là trung điểm của AB Giải - Đường tròn (C) : nằm trong hình tròn (C) . - Gọi d là đường thẳng qua M(2;4) có véc tơ chỉ phương - Nếu d cắt (C) tại A,B thì : ( có 2 nghiệm t ) . Vì vậy điều kiện : - Gọi M là trung điểm AB thì ta có hệ : . Thay vào (1) khi áp dụng vi ét ta được : Bài 11: Viết phương trình các cạnh hình vuông ABCD biết AB,CD,lần lượt đi qua các điểm P(2;1) và Q(3;5), còn BC và AD qua các điểm R(0;1) và S(-3;-1) Giải Gọi (AB) có dạng y=kx+b và (AD) : y=-1/kx+b' . Cho AB và AD qua các điểm tương ứng ta có : 2k+b=1 (1) và Ta có : . Theo tính chất hình vuông : Từ đó ta có hệ : Do đó : Hoặc : III.Bài tập tương tự Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, 1) Cho tam giác ABC, A(3;-3) và 2 đường phân giác trong kẻ từ B và C lần lượt có pt . Tìm tọa độ của B và C. 2) Cho tam giác ABC, A(-1;3) và 2 đường phân giác trong có pt là: . Viết pt cạnh BC. 3) Cho tam giác ABC, a)Viết pt các đường phân giác trong của góc A và B. b) Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 4) Cho tam giác . Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 5) Cho tam giác . Viết pt các đường phân giác trong của góc A 6) Cho tam giác ABC, A(0;-1), 2 đường phân giác trong . Viết pt đường phân giác trong còn lại. 7) Cho tam giác ABC, A(2;4), đường cao và đường phân giác trong kẻ từ 1 đỉnh lần lượt có pt: .Viết pt các cạnh của tam giác ABC 8) Cho tam giác MNP, N(2;-1), đường cao MH: , đường phân giác trong PD: . Viết pt các cạnh của tam giác MNP 9) Cho tam giác ABC, A(4;-1), 2 đường phân giác trong . Viết pt các cạnh của tam giác ABC.