Các bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán 11

Së GD - §T Qu¶ng B×nh Tr­êng THPT Lª Trùc ---------˜™--------- §Ò THI ®Ò xuÊt – k× thi HSG LíP 11 N¡M HäC 2007 – 2008 --------------˜&™-------------- M«n : To¸n (Thêi gian : 150 phót) Câu 1(2.5đ) Tìm a sao cho : có nghiệm thoả mãn x + y = 0 Câu 2(2,5đ) Cho tam giác ABC có góc A, B nhọn và thoả Sin2A + Sin2B = Chứng minh Rằng tam giác ABC vuông Câu 3(2,5đ) :Cho dãy (Sn) với Sn = Chứng minh rằng LimSn tồn tại và tính giới hạn đó Câu 4: Cho tam giác ABC các góc đều nhọn, H là trực tâm chứng minh rằng (AH + BH + CH)2 a2 + b2 + c2 Trong đề này đã sử dụng các tài liệu tham khảo: Tuyển tập đề thi Olympic 30 – 4 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi về tim GTLN, GTNN của hàm số của Phan Huy Khải 40 năm Olympic toán quốc tế ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Đáp án Thang điểm Câu 1: + Thay y = -x vào hệ ta được + Từ (2) suy ra : x0 Cộng vế cho vế của hệ: 3x3 = (a +1)2 +1 Chia vế cho vế ta có: = + Với a = -1 ta có hệ: + Với a= 1 ta có hệ +V ới a =0 ta có hệ KL: a = 1 và a= -1 thoả mãn yêu cầu bài toán Câu 2: Ta cần chứng minh góc C = TH1: 0 < C < thì Sin2A + Sin2B = = 1 - + Do A, B nhọn nên - nên Cos(A-B)>0 Do đó Sin2A + Sin2B = 1+ CosC.Cos(A-1) > 1> TH2: -< C < Theo định lý Cosin : CosC = Vậy < C < không thoả TH3: C = Sin2A + Sin2B = Sin2A + Cos2A = 1 = Suy ra tam giác ABC vuông tại C Câu 3: ta có: Sn+1 = = = Tương tự: Sn+2= Lấy: Sn+2 - Sn+1 = ta th ấy: Sn > 0 và S4 = S3 nên S5 - S4 <0 S6 - S5 < 0 và bằng quy nạp suy ra Sn giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn, kí hiệu LimSn = S Từ Sn+1 = A suy ra S= B C C’’ A’ B’ H Vậy: LimSn = 1 Câu 4: Ta có AA’.AH = AC.AB.CosA = Tương tự: BB’.BH = CC’.CH = Vậy: AA’.AH + BB’.BH + CC’.CH = (1) Theo đính lý ceva: (2) ta có: (AH+BH+CH)2 = ()2= a2 +b2+ c2 §¼ng thøc xÈy ra khi: AA’ = BB’ = CC’ Tam giác ABC đều 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25