Các chú ý và lời giải cho một số bài toán cơ bản

nhất x = 2 www.VNMATH.com www.VNMATH.com Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 7  Với m  -1 ph−ơng trình lμ ph−ơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 Ph−ơng trình có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0      m 1 0 m 1 (vô nghiệm)m 5 0 m 5m 1 m 5 0 5 m 1 m 1 0 m 1 m 5 0 m 5                             Vậy với -5 < m < -1 thì ph−ơng trình có hai nghiệm trái dấu Chú ý : Giải BPT ( m + 1 )( m + 5 ) < 0 (1) có cách nhanh hơn nh− sau : Để (1) xảy ra thì m + 1 vμ m + 5 lμ hai số trái dấu. Ta luôn có m + 1 < m + 5 nên (1) xảy ra khi  m + 1 0 m >-5     Tr−ờng hợp chỉ cần biết kết quả của các BPT dạng nh− (1), hãy học thuộc từ “ngoμi cùng trong khác” vμ dịch nh− sau : ngoμi khoảng hai nghiệm thì vế trái cùng dấu với hệ số a, trong khoảng hai nghiệm thì vế trái khác dấu với hệ số a ( hệ số a lμ hệ số lũy thừa bậc hai của vế trái khi khai triển, nghiệm ở đây lμ nghiệm của đa thức vế trái ) Ví dụ với BPT (1) thì vế trái có hai nghiệm lμ -1 vμ -5 , dạng khai triển lμ m2 + 6m + 5 nên hệ số a lμ 1 >0. BPT cần vế trái < 0 tức lμ khác dấu với hệ số a nên m phải trong khoảng hai nghiệm, tức lμ -5 < m < -1. Còn BPT ( m + 1 )( m + 5 ) > 0 (2) sẽ cần m ngoμi khoảng hai nghiệm (cùng dấu với hệ số a), tức lμ m -1 Một số ví dụ minh họa :           m 3 m 7 0 m 7hoặc m 3; 2m 4 3m 9 0 3 m 22m 6 1 m 0 1 m 3 ; 5 m 2m 8 0 m 4 hoặc m 5                         f. *Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm cùng d−ơng  Với m = -1 ph−ơng trình trở thμnh -2x + 4 = 0 x 2  . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2  Với m  -1 ph−ơng trình lμ ph−ơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5     2' 2 2m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1               Ph−ơng trình có hai nghiệm cùng d−ơng khi                 1 1 m m 1 2m 1 00 2 2 ac 0 m 1 m 5 0 m 1 m 5 0 m 5hoặc m 1 2 I b 2 m 2 m 2 m 1 0 m 2 hoặc m 1 30 0a m 1 1 m 5hoặc 1 m 2                                                        Chú ý : Để tìm nghiệm của hệ bất ph−ơng trình (I) ta lấy nháp vẽ một trục số, điền các số mốc lên đó vμ lấy các vùng nghiệm. Sau đó quan sát để tìm ra vùng nghiệm chung vμ kết luận. Việc lμm đó diễn tả nh− sau : 5 2 1 1 (1) (2) (2) (3) (3) www.VNMATH.com www.VNMATH.com Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 8 ở hình trên các đ−ờng (1) ; (2) ; (3) lần l−ợt lμ các đ−ờng lấy nghiệm của các bất ph−ơng trình (1) ; (2) ; (3) trên trục số. Qua đó ta thấy m<-5 hoặc -1 < m < 1 2  lμ các giá trị chung thỏa mãn cả ba bất ph−ơng trình (1) ; (2) ; (3) nên đó lμ tập nghiệm của hệ bất ph−ơng trình (I) g. Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + 3x2 = 4  Với m = -1 ph−ơng trình trở thμnh -2x + 4 = 0 x 2  . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2  Với m  -1 ph−ơng trình lμ ph−ơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5     2' 2 2m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1               Ph−ơng trình có hai nghiệm x1 , x2 khi nó lμ ph−ơng trình bậc hai có 0  Tức lμ  m 1m 1 12m 1 0 m 2        Khi đó theo đề bμi vμ định lí Viet ta có         1 2 1 2 1 2 2 m 2b x x 1 a m 1 c m 5 x .x 2 a m 1 x 3x 4 3             Từ (1) vμ (3) ta có hệ ph−ơng trình 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2m 4 2m 4 2m 4 m m 4 2m 4 x x x x x x x m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 2m 4 m m x 3x 4 2x 4 x x m 1 m 1 m 1                                           Thay vμo (2) ta có ph−ơng trình :         2 2 m 4 m m 5 . m 4 .m m 5 m 1 do m 1 m 1 m 1 m 1 5 m 4m m 5m m 5 2m 5 0 m thỏa mãn 2                        Vậy 5m 2   lμ giá trị cần tìm. h. Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm mμ tích của chúng bằng -1  Với m = -1 ph−ơng trình trở thμnh -2x + 4 = 0 x 2  . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2  Với m  -1 ph−ơng trình lμ ph−ơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5     2' 2 2m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1               www.VNMATH.com www.VNMATH.com Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 9 Ph−ơng trình có hai nghiệm x1 , x2 khi nó lμ ph−ơng trình bậc hai có 0  Tức lμ   m 1m 1 1 12m 1 0 m 2        Khi đó theo định lí Viet ta có x1.x2 = m 5 m 1   Vậy để ph−ơng trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn tích hai nghiệm bằng -1 thì m phải thỏa mãn điều kiện (1) vμ  m 5 1 m 5 m 1 m 3 thỏa mãn m 1            Vậy m = -3 lμ giá trị cần tìm. i. Khi ph−ơng trình có hai nghiệm x1 , x2 .Tính theo m giá trị của 2 21 2A x x   Với m = -1 ph−ơng trình trở thμnh -2x + 4 = 0 x 2  . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2  Với m  -1 ph−ơng trình lμ ph−ơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5     2' 2 2m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1               Ph−ơng trình có hai nghiệm x1 , x2 khi nó lμ ph−ơng trình bậc hai có 0  Tức lμ   m 1m 1 1 12m 1 0 m 2        Khi đó theo định lí Viet :       1 2 1 2 2 m 2b x x 1 a m 1 c m 5 x .x 2 a m 1                          2 22 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 m 52m 4 Ta có A x x x 2x x x 2x x x x 2x x m 1 m 1 2m 4 2 m 5 m 1 4m 16m 16 2m 12m 10 2m 4m 6 m 1 m 1 m 1                                 2 2 2m 4m 6 1 Vậy A với m 1vμm 2m 1           j. Tìm m để A = 6   2 2 2m 4m 6 1 Ta có A với m 1vμm 2m 1                2 22 2 2 2 2 1 2m 4m 6 Với m 1vμm ta có A 6 6 2m 4m 6 6 m 1 2 m 1 2m 4m 6 6m 12m 6 4m 8m 0 4m m 2 0 m 0 hoặc m 2                              Kết hợp với điều kiện ta có m = -2 lμ giá trị cần tìm. k. Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm x1 , x2 trong đó có một nghiệm lμ 12 . Khi đó hãy lập ph−ơng trình có hai nghiệm lμ 1 2 2 1 6x 1 6x 1 vμ 3x 3x    Với m = -1 ph−ơng trình trở thμnh -2x + 4 = 0 x 2  . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2  Với m  -1 ph−ơng trình lμ ph−ơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 www.VNMATH.com www.VNMATH.com Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 10     2' 2 2m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1               Ph−ơng trình có hai nghiệm x1 , x2 khi nó lμ ph−ơng trình bậc hai có 0  Tức lμ   m 1m 1 1 12m 1 0 m 2        Thay x = 1 2 vμo ph−ơng trình đã cho ta có (m+1).( 1 2 )2 - 2(m+2). 1 2 + m + 5 = 0  m+1 - 4m - 8 + 4m + 20 = 0  m = -13 ( thỏa mãn (1)) Vậy với m = -13 thì ph−ơng trình có hai nghiệm x1 , x2 trong đó có một nghiệm lμ 12 . Thay m = -13 ph−ơng trình trở thμnh -12x2 + 22x - 8 = 0  6x2 - 11x + 4 = 0 Theo định lí Viet : 1 2 1 2 11 4 2 x x : x x 6 6 3     . Khi đó :     2 22 2 1 2 1 2 1 21 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 11 2 11 6. 12. 6 x x 12x x x x6x 1 6x 1 6x x 6x x 146 3 6 7 23x 3x 3x x 3x x 23. 3                     1 2 1 21 2 2 1 1 2 2 11 36. 6. 136x x 6 x x 16x 1 6x 1 363 6. 6 23x 3x 9x x 69. 3          Do đó ph−ơng trình cần tìm có dạng y2 - 7y + 6 = 0 (2) Chú ý : Ph−ơng trình (2) không nên lấy ẩn lμ x vì dễ gây nhầm lẫn với ph−ơng trình của đề bμi II. Chú ý : Khi gặp ph−ơng trình có tham số ( th−ờng lμ m) ở hệ số a (hệ số của lũy thừa bậc hai)ta cần xét riêng tr−ờng hợp hệ số a = 0 để kết luận tr−ờng hợp nμy có thỏa mãn yêu cầu của đề bμi hay không. Sau đó xét tr−ờng hợp a khác 0, khẳng định đó lμ ph−ơng trình bậc hai rồi mới đ−ợc tính  . C. hμm số vμ đồ thị I. Ví dụ Đề bμi 1: Cho hμm số bậc nhất : y = ( 2m – 5 )x + 3 với m  5 2 có đồ thị lμ đ−ờng thẳng d Tìm giá trị của m để a. Góc tạo bởi (d) vμ vμ trục Ox lμ góc nhọn, góc tù ( hoặc hμm số đồng biến, nghịch biến) b. (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1) c. (d) song song với đ−ờng thẳng y = 3x – 4 d. (d) song song với đ−ờng thẳng 3x + 2y = 1 e. (d) luôn cắt đ−ờng thẳng 2x – 4y – 3 = 0 f. (d) cắt đ−ờng thẳng 2x + y = -3 tại điểm có hoμnh độ lμ -2 g. (d) cắt trục hoμnh tại điểm ở bên trái trục tung ( có hoμnh độ âm) h. (d) cắt đ−ờng thẳng y = 3x + 1 tại điểm có hoμnh độ âm (hoặc ở bên trái trục tung) www.VNMATH.com www.VNMATH.com Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 11 i. (d) cắt đ−ờng thẳng y = 5x – 3 tại điểm có tung độ d−ơng ( hoặc ở trên trục hoμnh) j. Chứng tỏ (d ) luôn đi qua một điểm cố định trên trục tung Giải : Hμm số có a = 2m – 5 ; b = 3 a. Góc tạo bởi đ−ờng thẳng d vμ vμ trục Ox lμ góc nhọn, góc tù Góc tạo bởi đ−ờng thẳng d vμ vμ trục Ox lμ góc nhọn khi đ−ờng thẳng d có hệ số a > 0  2m – 5 >0  m > 5 2 ( thỏa mãn) Góc tạo bởi đ−ờng thẳng d vμ vμ trục Ox lμ góc tù khi đ−ờng thẳng d có hệ số a < 0  2m – 5 <0  m < 5 2 ( thỏa mãn ) Vậy góc tạo bởi đ−ờng thẳng d vμ vμ trục Ox lμ góc nhọn khi m > 5 2 góc tạo bởi đ−ờng thẳng d vμ vμ trục Ox lμ góc tù khi m < 5 2 b. (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1) Thay x = 2 ; y = -1 vμo ph−ơng trình đ−ờng thẳng d ta có -1 = 2. ( 2m - 5) + 3  4m – 10 + 3 = -1  m = 3 2 ( thỏa mãn) Vậy với m = 3 2 thì (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1) Chú ý : Phải viết lμ “Thay x = 2 ; y = -1 vμo ph−ơng trình đ−ờng thẳng d ”, không đ−ợc viết lμ “Thay x = 2 ; y = -1 vμo đ−ờng thẳng d ” c. (d) song song với đ−ờng thẳng y = 3x - 4 (d) song song với đ−ờng thẳng y = 3x - 4   2m 5 3 m 4 m 43 4 3 4        ( thỏa mãn) Vậy m = 4 lμ giá trị cần tìm d. (d) song song với đ−ờng thẳng 3x + 2y = 1 Ta có 3x + 2y = 1  3 1y x 2 2    (d) song song với đ−ờng thẳng 3x + 2y = 1  (d) song song với đ−ờng thẳng 3 1y x 2 2     3 7 2m 5 m 72 4 m1 1 43 3 2 2             ( thỏa mãn) . Vậy 7m 4  lμ giá trị cần tìm e. (d) luôn cắt đ−ờng thẳng 2x - 4y - 3 = 0 Ta có 2x - 4y - 3 = 0  1 3y x 2 4   (d) luôn cắt đ−ờng thẳng 2x - 4y - 3 = 0  (d) luôn cắt đ−ờng thẳng 1 3y x 2 4    1 112m 5 m 2 4     . Kết hợp với điều kiên ta có m  5 2 vμ 11m 4  lμ giá trị cần tìm. f. (d) cắt đ−ờng thẳng 2x + y = -3 tại điểm có hoμnh độ lμ -2 Thay x = -2 vμo ph−ơng trình đ−ờng thẳng 2x + y = -3 ta đ−ợc 2. (-2) + y = -3  y = 1 www.VNMATH.com www.VNMATH.com Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 12  (d) cắt đ−ờng thẳng 2x + y = -3 tại điểm (-2 ; 1 ). Thay x = -2 ; y = 1 vμo ph−ơng trình đ−ờng thẳng d ta có 1 = ( 2m – 5 ). (-2) + 3  -4m + 10 +3 = 1  m = 3 ( thỏa mãn). Vậy m = 3 lμ giá trị cần tìm. g. (d) cắt trục hoμnh tại điểm ở bên trái trục tung ( có hoμnh độ âm) Thay y = 0 vμo ph−ơng trình đ−ờng thẳng d ta có 0 = (2m - 5)x + 3  x = 3 2m 5   (d) cắt trục hoμnh tại điểm ở bên trái trục tung  3 50 2m 5 0 m 2m 5 2        ( thỏa mãn). Vậy 5m 2  lμ giá trị cần tìm. h. (d) cắt đ−ờng thẳng y = 3x + 1 tại điểm có hoμnh độ âm (hoặc ở bên trái trục tung) (d) cắt đ−ờng thẳng y = 3x + 1  2m – 5  3  m  4 Hoμnh độ giao điểm của (d) vμ đ−ờng thẳng y = 3x + 1 lμ nghiệm của ph−ơng trình ẩn x sau : ( 2m – 5 )x + 3 = 3x + 1  ( 2m - 8)x = -2  2x 2m 8   ( vì m  4 ) (d) cắt đ−ờng thẳng y = 3x + 1 tại điểm có hoμnh độ âm  2 0 2m 8 0 m 4 2m 8        ( thỏa mãn các điều kiện m  5 2 vμ m  4 ) Vậy m > 4 lμ giá trị cần tìm. i. (d) cắt đ−ờng thẳng y = 5x - 3 tại điểm có tung độ d−ơng ( hoặc ở trên trục hoμnh) * (d) cắt đ−ờng thẳng y = 5x - 3  2m – 5  5  m  5 * Hoμnh độ giao điểm của (d) vμ đ−ờng thẳng y = 5x - 3 lμ nghiệm của ph−ơng trình ẩn x sau : ( 2m – 5 )x + 3 = 5x - 3 ( 2m - 10)x = -6  6 3x 2m 10 m 5     ( vì m  5 ) Thay 3x m 5   vμo ph−ơng trình đ−ờng thẳng y = 5x - 3 ta có y = 3 15 3m 15 3m 5. 3 m 5 m 5 m 5          (d) cắt đ−ờng thẳng y = 5x - 3 tại điểm có tung độ d−ơng     3m 0 3m m 5 0 m m 5 0 0 m 5 m 5             Kết hợp với các điều kiện ta có 0 < m < 5 vμ m  5 2 lμ giá trị cần tìm j. Chứng tỏ (d ) luôn đi qua một điểm cố định trên trục tung Giả sử (d) luôn đi qua điểm cố định có tọa độ ( x0 ; y0). Khi đó : y0 = ( 2m – 5 )x0 + 3 với mọi m  2x0m – 5x0 – y0 + 3 = 0 với mọi m   0 0 0 0 0 2x 0 x 0 5x y 3 0 y 3       Vậy (d ) luôn đi qua một điểm cố định trên trục tung có tọa độ lμ ( 0 ; 3 ) Chú ý đề bμi 1: www.VNMATH.com www.VNMATH.com Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 13 * Ta luôn so sánh m tìm đ−ợc với điều kiện của đề bμi lμ m  5 2 ( điều nμy rất rất hay quên) * Nếu đề bμi chỉ “Cho ph−ơng trình bậc nhất” mμ không cho điều kiện ta vẫn phải đặt điều kiện để ph−ơng trình lμ ph−ơng trình bậc nhất ( tức lμ phải có a  0 vμ lấy điều kiện đó để so sánh tr−ớc khi kết luận) Đề bμi 2: Cho đ−ờng thẳng d có ph−ơng trình y = ( m + 1)x – 3n + 6 . Tìm m vμ n để : a. (d) song song với đ−ờng thẳng y = -2x + 5 vμ đi qua điểm ( 2 ; -1) b. (d) song song với đ−ờng thẳng y = 3x + 1 vμ cắt trục hoμnh tại điểm có hoμnh độ lμ -1 c. (d) cắt trục hoμnh tại điểm có hoμnh độ lμ 3 2 vμ cắt trục tung tại điểm có tung độ lμ 1 d. (d) song song với đ−ờng thẳng y = 2x + 3 vμ cắt đ−ờng thẳng y= 3x + 2 tại điểm có hoμnh độ lμ 1 e. (d) đi qua diểm ( -3 ; -3 ) vμ cắt trục tung tại điểm có tung độ lμ 3 f. (d) đi qua ( 2 ; -5 ) vμ có tung độ gốc lμ -3 g. (d) đi qua hai điểm ( -1 ; 3 ) vμ ( -3 ; 1 ) Giải : a. (d) song song với đ−ờng thẳng y = -2x + 5 vμ đi qua điểm ( 2 ; -1)  (d) song song với đ−ờng thẳng y = -2x + 5  m 3m 1 2 13n 6 5 n 3           (d) đi qua điểm ( 2 ; -1)  -1 = ( m + 1).2 – 3n +6  2m - 3n = -9 Thay m = -3 vμo ta có 2. (-3) – 3n = -9  n = 1 ( thỏa mãn ) Vậy m = -3 , n = 1 b. (d) song song với đ−ờng thẳng y = 3x + 1 vμ cắt trục hoμnh tại điểm có hoμnh độ lμ -1  (d) song song với đ−ờng thẳng y = 3x + 1  m 2m 1 3 53n 6 1 n 3         (d) cắt trục hoμnh tại điểm có hoμnh độ lμ -1  0 = ( m + 1 ). (-1) – 3n + 6  m + 3n = 5 Thay m = 2 vμo ta đ−ợc 2 + 3n = 5  n = 1 ( thỏa mãn ) .Vậy m = 2 , n = 1 c. (d) cắt trục hoμnh tại điểm có hoμnh độ lμ 3 2 vμ cắt trục tung tại điểm có tung độ lμ 1  (d) cắt trục hoμnh tại điểm có hoμnh độ lμ 3 2  0 = ( m + 1 ). 3 2 – 3n + 6  m - 2n = -5  (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ lμ 1  1 = -3n + 6  n = 5 3 . Thay vμo ph−ơng trình m - 2n = -5 ta có m - 2. 5 3 = -5  m = - 5 3 Vậy n = 5 3 , m = - 5 3 www.VNMATH.com www.VNMATH.com Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 14 d. (d) song song với đ−ờng thẳng y = 2x + 3 vμ cắt đ−ờng thẳng y= 3x + 2 tại điểm có hoμnh độ lμ 1  (d) song song với đ−ờng thẳng y = 2x + 3  m 1 2 m 13n 6 3 n 1        (d) cắt đ−ờng thẳng y= 3x + 2 tại điểm có hoμnh độ lμ 1  m 1 .1 3n 6 3.1 2 m 3n 2          . Thay m = 1 vμo ta có 1 – 3n = - 2  n = 1( không thỏa mãn ) Vậy không có giá trị nμo của m vμ n thỏa mãn điều kiện đề bμi. Chú ý : Ta th−ờng quên so sánh với điều kiện n 1 nên dẫn đến kết luận sai e. (d) đi qua diểm ( -3 ; -3 ) vμ cắt trục tung tại điểm có tung độ lμ 3  (d) đi qua diểm ( -3 ; -3 )    3 m 1 . 3 3n 6 m n 2           (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ lμ 3 3 3n 6 n 1      Thay vμo ph−ơng trình m + n = 2 ta đ−ợc m + 1 = 2  m = 1 Vậy m = 1 , n = 1 f. (d) đi qua ( 2 ; -5 ) vμ có tung độ gốc lμ -3  (d) đi qua diểm ( 2 ; -5 )  5 m 1 .2 3n 6 2m 3n 13           (d) có tung độ gốc lμ -3 3 3n 6 n 3       Thay vμo ph−ơng trình 2m - 3n = -13 ta đ−ợc 2m – 3.3 = -13  m = -2 Vậy m = -2 , n = 3 g. (d) đi qua hai điểm ( -1 ; 3 ) vμ ( -3 ; 1 ) (d) đi qua hai điểm ( -1 ; 3 ) vμ ( -3 ; 1 )          m 03 m 1 . 1 3n 6 m 3n 2 2m 0 23m 3n 2 3m 3n 2 n1 m 1 . 3 3n 6 3                       Vậy m = 0 , m = 2 3 Đề bμi 3: Cho hai hμm số bậc nhất y = ( m + 3 )x + 2m + 1 vμ y = 2mx - 3m - 4 có đồ thị t−ơng ứng lμ (d1) vμ (d2) Tìm m để : a. (d1) vμ (d2) song song với nhau , cắt nhau , trùng nhau b. (d1) vμ (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung c. (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục hoμnh d. (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bên phải trục tung e. (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bên d−ới trục hoμnh f. (d1) cắt (d2) tại điểm ( 1 ; -2 ) g. Chứng tỏ khi m thay đổi thì đ−ờng thẳng (d1) luôn đi qua một điểm cố định , đ−ờng thẳng (d2) luôn đi qua một điểm cố định. Giải : Để các hμm số đã cho lμ các hμm số bậc nhất ta phải có :  m 3 0 m 32m 0 m 0     Chú ý : Điều kiện trên luôn đ−ợc dùng so sánh tr−ớc khi đ−a ra một kết luận về m www.VNMATH.com www.VNMATH.com Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 15 a. (d1) vμ (d2) song song với nhau , cắt nhau , trùng nhau (d1) vμ (d2) song song với nhau  m 3 2m m 3 m 32m 1 3m 4 m 1           (d1) vμ (d2) cắt nhau m 3 2m m 3     (d1) vμ (d2) trùng nhau  m 3 2m m 32m 1 3m 4 m 1         ( vô nghiệm ) Kết hợp với các điều kiện ta có: Với m = 3 thì (d1) vμ (d2) song song với nhau m 3  , m 0 , m 3 thì (d1) vμ (d2) cắt nhau Không có giá trị nμo của m để (d1) vμ (d2) trùng nhau b. (d1) vμ (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung  (d1) vμ (d2) cắt nhau m 3 2m m 3      (d1) vμ (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung khi 2m + 1 = - 3m - 4 m 1   Kết hợp với các điều kiện ta có với m = -1 thì (d1) vμ (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung. Chú ý : Giao điểm của ( d1) vμ ( d2) với trục tung lần l−ợt lμ ( 0 ; 2m + 1) vμ ( 0 ; -3m -4 ) nên chúng cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung khi hai điểm đó trùng nhau, tức lμ 2m+1 = -3m – 4. Do đó lời giải trên nhanh mμ không phải lμm tắt. c. (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục hoμnh  (d1) vμ (d2) cắt nhau m 3 2m m 3      Thay y = 0 vμo ph−ơng trình đ−ờng thẳng (d1) vμ (d2) ta có   2m 1xm 3 x 2m 1 0 m 33m 42mx 3m 4 0 x 2m             ( Vì m 3  , m 0 )  Giao điểm của (d1) vμ (d2) với trục hoμnh lần l−ợt lμ 2m 1 3m 4;0 vμ ;0m 3 2m             (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục hoμnh khi      2 2 22m 1 3m 4 2m 2m 1 m 3 3m 4 4m 2m 3m 13m 12 m 11m 12 0 m 3 2m                 Ph−ơng trình trên lμ ph−ơng trình bậc hai có a - b + c = 0 nên có hai nghiệm m1 = -1 ; m2 = 12 Kết hợp với các điều kiện ta có m = -1 hoặc m = 12 thì d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục hoμnh Chú ý : Phải kết hợp với cả ba điều kiện lμ m 3  , m 0 , m 3 rồi mới kết luận. d. (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bên phải trục tung  (d1) vμ (d2) cắt nhau m 3 2m m 3      Hoμnh độ giao điểm của (d1) vμ (d2) lμ nghiệm của ph−ơng trình ẩn x sau :     5m 5m 3 x 2m 1 2mx 3m 4 m 3 x 5m 5 x m 3              ( vì m  3 )  (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bên phải trục tung khi hoμnh độ giao điểm d−ơng www.VNMATH.com www.VNMATH.com Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 16   5m 5 0 5m 5 m 3 0 m 1 hoặc m 3 m 3           Kết hợp với các điều kiện ta có m 3,m 1 hoặc m 3     e. (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bên d−ới trục hoμnh  (d1) vμ (d2) cắt nhau m 3 2m m 3      Hoμnh độ giao điểm của (d1) vμ (d2) lμ nghiệm của ph−ơng trình ẩn x sau :     5m 5m 3 x 2m 1 2mx 3m 4 m 3 x 5m 5 x m 3              ( vì m  3 ) Thay 5m 5x m 3   vμo ph−ơng trình đ−ờng thẳng ( d1) ta có   2 2 25m 5 5m 20m 15 2m 5m 3 7m 15m 12y m 3 . 2m 1 m 3 m 3 m 3                * (d1) cắt (d2) tại điểm nằm bên d−ới trục hoμnh khi tung độ giao điểm âm 27m 15m 12 0 (*) m 3      222 2 2 9 5 3 15Ta có7m 15m 12 6m 12m 6 m 3m 6 m 1 m 0 4 4 2 4                    Nên (*) t−ơng đ−ơng với m-3<0 m 3  Kết hợp với các điều kiện ta có : m 3,m 3,m 0    lμ giá trị cần tìm f. (d1) cắt (d2) tại điểm ( 1 ; -2 )  (d1) vμ (d2) cắt nhau m 3 2m m 3      (d1) cắt (d2) tại điểm ( 1 ; -2 )   2 m 3 2m 1 m 2 m 2m 22 2m 3m 4               Kết hợp với các điều kiện ta có m = -2 lμ giá trị cần tìm. g. Chứng tỏ khi m thay đổi thì đ−ờng thẳng (d1) luôn đi qua một điểm cố định , đ−ờng thẳng (d2) luôn đi qua một điểm cố định. Giả sử khi m thay đổi các đ−ờng thẳng (d1) luôn đi qua điểm ( x0 ; y0 ) , tức lμ :     0 0 0 0 00 0 0 0 0 y m 3 x 2m 1 với mọi m x 2 m 3x y 1 0 với mọi m x 2 0 x 2 3x y 1 0 y 5                    Vậy khi ma thay đổi thì các đ−ờng thẳng (d1) luôn đi qua điểm ( -2 ; -5 ) cố định Chú ý : Với đ−ờng thẳng ( d2 ) ta lμm t−ơng tự , điểm cố định lμ 3 ; 42     Đề bμi 4: Cho hai đ−ờng thẳng d1 vμ d2 lần l−ợt có ph−ơng trình y = -2x + 4 vμ y = 2x - 2 a. Tìm tọa độ giao điểm A của hai đ−ờng thẳng trên. b. Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ các đ−ờng thẳng d1 vμ d2 c. Gọi B vμ C lần l−ợt lμ giao điểm của d1 vμ d2 với trục hoμnh; D vμ E lần l−ợt lμ giao điểm của d1 vμ d2 với trục tung.Tính diện tích các tam giác ABC , ADE , ABE. d. Tính các góc tạo bởi đ−ờng thẳng d1 vμ d2 với trục hoμnh. Giải : e. Tìm tọa độ giao điểm A của hai đ−ờng thẳng trên. www.VNMATH.com www.VNMATH.com Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 17 Giao điểm của hai đ−ờng thẳng lμ nghiệm của hệ ph−ơng trình sau :  4 y 4 1 3y 2x 4 x x2 2 2y 2x 2 2y 2 y 1                 Vậy giao điểm A của hai đ−ờng thẳng lμ A 3 ;1 2     f. Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ các đ−ờng thẳng d1 vμ d2  Xét đ−ờng thẳng (d1) : y = -2x + 4 Với x = 0 y = 4 ; y = 0  x = 2. Đ−ờng thẳng (d1) đi qua hai điểm ( 0 ; 4 ) vμ ( 2 ; 0 )  Xét đ−ờng thẳng (d2) : y = 2x - 2 Với x = 0 y = -2 ; y = 0  x = 1. Đ−ờng thẳng (d1) đi qua hai điểm ( 0 ; -2 ) vμ ( 1 ; 0 ) g. Gọi B vμ C lần l−ợt lμ giao điểm của d1 vμ d2 với trục hoμnh; D vμ E lần l−ợt lμ giao điểm của d1 vμ d2 với trục tung.Tính diện tích các tam giác ABC , ADE , ABE. Ta có : A 3 ;1 2     , B( 2 ; 0 ) , C ( 1 ; 0 ) , D( 0 ; 4 ) vμ E( 0 ; -2 ) Do đó : BC = | 2 – 1| = 1 , DE = | 4 - (-2)| = 6 , BO = | 2 – 0 | = 2 Gọi AH lμ đ−ờng cao của ABC , AK lμ đ−ờng cao của ADE AH = 1 , AK = 3 2 Gọi ABCS , ADES , BDES , ABES lần l−ợt lμ diện tích của các tam giác ABC , ADE , BDE , ABE. Ta có : ABC 1 1 1 S AH.BC .1.1 2 2 2    ( đơn vị diện tích ) ADE 1 1 3 9 S AK.DE . .6 2 2 2 2    ( đơn vị diện tích ) BDE 1 1 S BO.DE .2.6 6 2 2    ( đơn vị diện tích ) -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 1 2 3 4 -1 -2 -3 x y A E C B D d1 d2 H K www.VNMATH.com www.VNMATH.com Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 18 ABE BDE ADE 9 3 S S S 6 2 2      ( đơn vị diện tích ) h. Tính các góc tạo bởi đ−ờng thẳng d1 vμ d2 với trục hoμnh. Góc tạo bởi đ−ờng thẳng d1 vμ d2 với trục hoμnh lần l−ợt lμ DBx vμ ACx Tam giác OBD vuông tại O có : 0OD 4TgOBD 2 OBD 63,4 OB 2      0 0 0BDx 180 63,4 116,6    Tam giác OCE vuông tại O có : 0OE 2TgOCE 2 OCE 63,4 OC 1      0ACx 63,4  Vậy góc tạo bởi đ−ờng thẳng d1 vμ d2 với trục hoμnh cùng lμ 63,40. II. chú ý : Khi đề bμi không cho điều kiện của tham số m mμ nói lμ cho hμm số bậc nhất thì khi lμm bμi ta vẫn phải tìm điều kiện để có ph−ơng trình bậc nhất vμ dùng điều kiện nμy để so sánh tr−ớc khi kết luận D. Hệ ph−ơng trình Đề bμi 1: Giải các hệ ph−ơng trình sau : a)     234 925 yx yx b)     522 52 22 xyyx yx c)     2 77 22 33 yxyx yyxx d) 1 3 2 x 2 y 2 1 1 x 2 y        ( Đặt ẩn phụ ) e) 2 2 7 3 3 16 x y xy x y x y         ( đối xứng loại 1 ) f) 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 x y y y x x        ( đối xứng loại 2 ) g) 2 2 2 2 3 2 11 2 5 25 x xy y x xy y        ( đẳng cấp bậc hai ) Giải : a)      x 1x 15x 2y 9 15x 6y 27 23x 23 2 44 1 3y 24x 3y 2 8x 6y 4 4x 3y 2 y 2 3                          Vậy hệ có một nghiệm lμ : ( x ; y ) = ( -1 ; 2 )          2 22 2 2 2 2 2 2 x 5 2yx 2y 5 x 5 2y b) 5 2y 2y 2 5 2y y 5x 2y 2xy 5 25 20y 4y 2y 10y 4y 5 x 5 2y 1x 5 2y 10y 30y 20 0 y 3y 2 0 2                               Ph−ơng trình (2) lμ ph−ơng trình bậc hai có a + b + c = 0 nên có hai nghiệm lμ 1 2 c y 1; y 2 a    Với y = y1 = 1 thay vμo (1) ta có x = 5 – 2.1 = 3 Với y = y2 = 2 thay vμo (1) ta có x = 5 – 2.2 = 1 Vậy hệ ph−ơng trình có hai nghiệm ( x ; y ) lμ ( 3 ; 1 ) vμ ( 1 ; 2 ) www.VNMATH