Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6

.tổng của số bị chia ,số chia và số dư là 195.tìm số bị chia và số chia. 6.Tổng của hai số có a chữ số là 836.chữ số hàng trăm của số thứ nhất là 5 ,của số thứ hai là 3 .nếu gạch bỏ các chữ số 5 và 3 thì sẽ được hai số có hai chữ số mà số này gấp 2 lần số kia.tìm hai số đó. 7.Một học sinh khi giải bài toán đáng lẽ phải chia 1 số cho 2 và cộng thương tìm được với 3 .nhưng do nhâm lẫn em đó đã nhân số đó với 2 và sau đó lấy tích tìm được trừ đi 3 .mặc dù vậy kết quả vẫn đúng .hỏi số cần phải chia cho 2 là số nào? 8. Tìm số có ba chữ số .biết rằng chữ số hàng trăm bằng hiệu của chữ số hàng chục với chữ số hàng đơn vị.chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thì được thương là 2 và dư 2.tích của số phải tìm với 7 là 1 số có chữ số tận cùng là 1. 9. Tìm số tự nhiên a ≤ 200 .biết rằng khi chia a cho số tự nhiên b thì được thương là 4 và dư 35 . 10. Viết số A bất kì có 3 chữ số ,viết tiếp 3 chữ số đó 1 lần nữa ta được số B có 6 chữ số.chia số B cho 13 ta được số C. chia C cho 11 ta được số D.lại chia số D cho 7.tìm thưởng của phép chia này. 11. Khi chia số M gồm 6 chữ số giống nhau cho số N gồm 4 chữ số giống nhau thì được thương là 233 và số dư là 1 số r nào đó .sau khi bỏ 1 chữ số của số M và 1 chữ số của số N thì thương không đổi và số dư giảm đi 1000.tìm 2 số M và N? chuyªn ®Ò 3 Lũy thừa vµ c¸c phÐp to¸n Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau,mỗi thừa số bằng a: an = a.aa ; (n thừa số a, n ≠0). 2.Khi nhân hai lũy thừa của cùng cơ số , ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ am an = a(m+n) Ví dụ . Hãy chứng tỏ rằng: a) (22)3 = 22 . 3 ; (33)2 = 33 . 2 ; (54)3 = 5 4. 3; b) (am)n = a m . n ; (m,n N). Giải: a) (22)3 = 22.22.22 = 22+ 2+2 = 26 = 22.3 tương tự làm như vậy tao có: (33)2 = 33 . 2 ; (54)3 = 5 4. 3; b) Một cách tổng quát ta có (am)n = a m . n ; (m,n N). Ví dụ 9. a) Hãy so sánh : 23.53 với (2.5)3 ; 32 .52 với (2.5)2; b) Hãy chứng minh rằng : (a.b)n = an .bn ; (n ≠ 0); Giải . a) 23.53 = 8.125 = 1000; (2.5)3 = 103 = 1000; Vậy 23.53 = (2.5)3 Tương tự ta dễ dàng chưng minh được : (a.b)n = an .bn ; (n ≠ 0); 32 .52 = (2.5)2; Bài tập: Viết các số sau dưới dạng lũy thừa: 10 ; 100 ; 1000; 10000; 100..0; (n số 0 ); 5 ; 25; 625; 3125; 2.So sánh các số sau: a) 3200 với 23000 ; b) 1255 với 257 ; c)920 với 2713 d)354 với 281; 3.Viết các tích sau đướ dạng lũy thừa: a) 5.125.625 ; b) 10.100.1000 ; c) 84.165.32; d) 274.8110 ; 4.So sánh: a) 1030 với 2100 ; b) 540 với 62010 ; 5.Một hình lập phương có cạnh là 5 m. a) tính thể tích của hình lập phương; b) nếu cạnh của hình lập phương tăng lên 2 lần , 3 lần thì thể tích của hình lập phương tăng lên bao nhiêu lần. 6. Trong cách viết ở hệ thập phân số 2100 có bao nhiêu chữ số? C®4.Tính chất chia hết của một tổng,mét hiÖu, mét tÝch Tính chất 1.nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó : a m ; b m ; cm a + b + c m . 2. Tính chất 2 ,nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số ,các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó: a m ; b m ; cm a + b + c m . Ví dụ: Cho ba số tự nhiên a, b, c, trong đó a và b là các số chia hết cho 5 dư 3 còn c là số khi chia cho 5 dư 2. Chứng tổ rằng mỗi tổng (hiệu)sau: a + c ; b + c ; a - b ; đều chia hết cho 5 . Mỗi tổng(hiệu) sau: a+ b + c ; a + b – c ; a+ c – b ;có chai hết cho 5 không? Giải : đặt a = 5n + 3 ; b = 5m + 3 ; c = 5p + 2 ;(n,m,p N) từ đó ta có : a + c = (5n + 5p + 5) 5 vì các số hạng đều chia hết cho 5. Tương tự: b + c = 5m + 5p + 5 5 ; a – b = 5n – 5m 5 a + b + c = 5n+ 5m + 5p + 8 không chia hết cho 5 vì 8 5; tương tự: a + b – c 5 ; a + c – b 5. Bài tập: 1.Tìm số tự nhiên x để: a) 113 + x 7 b) 113 + x 13 2. Chứng tỏ rằng: + 11 ; - 99; 3.Chứng tỏ rằng: a) Trong ba số tự nhiên liên tiếp , có một và chỉ một số chia hết cho 3; b) Trong hai số tự nhiên liên tiếp , cố một và chỉ một số chia hết cho 4; 4. Chứng tỏ rằng : 810 – 8 9 - 8 8 55 ; 7 6 + 7 5 - 7 4 11; 81 7 – 27 9 - 9 13 45; 109 – 10 8 - 10 7 555; 5.Chứng tỏ rằng : nếu số 99 thì + 99 và ngược lại. 6.Chứng tỏ rằng : nếu số 101 thì - 101 và ngược lại 7.Chứng tỏ rằng: a) Mọi số tự nhiên có ba chữ số giống nhau đều chia hết cho 37; b) Hiệu giữa số có dạng và số được viết bởi chính các số đó nhưng theo thứ tự ngược lại thì chia hết cho 90. 8. Một số có ba chữ số chia hết cho 12 và chữ số hang trăm bằng chữ số hang chục . Chứng tỏ rằng tổng ba chữ số của số đó chia hết cho 12. C®6. Dấu hiệu chia hết Dấu hiệu chia hết cho 9: các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9. Dấu hiệu chia hết cho 3: các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.Dấu hiệu chia hết cho 2 : các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2. Dấu hiệu chia hết cho 5: các số có chữ số tận cùng là chữ số 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5. Ví dụ1. Dùng ba chữ số 9, 0 ,5 để ghép thành các số co ba chữ số thỏa mãn một trong các điều kiên sau: Số đó chia hết cho 5; Số đó chia hết cho 2 và cho 5. Giải. a) Một số chia hết cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 hoặc 5 . vậy có ba số có chữ số chia hết cho 5 là: 950 ; 590 ; 905. b)Một số chia hết cho 2 và cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 . vậy có hai số có chữ số chia hết cho 2 và cho 5 là: 950 ; 590 ; Ví dụ2. Cho số . hãy thay x,y bởi các chữ số để số đã cho chia hết cho 3 và 5. Giải. Số 5 nên y = 0 hoặc y = 5. Với y = 0 , ta có số . số này phải chia hết cho 3 , nên 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3 3 hay 12 + (x+ 1) 3 , nhưng 1≤ x + 1 ≤ 10 ,nên x + 1 = 3 ; 6 ; 9. Nếu x + 1 = 3 thì x = 2 ,ta được 1232430 Nếu x + 1 = 6 thì x = 5 ,ta được 1235430 Nếu x + 1 = 3 thì x = ,ta được 1238430 Với y = 5 , ta có số . số này phải chia hết cho 3 , nên 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3 + 5 3 hay 18 + x 3 ,nên x = 0 ; 3 ; 6 ; 9. ta có các số sau : 1230435; 1233435; 1236435 và 1239435 Bài tập : Điền chữ số vào dấu * để được số : Chia hết cho 2 : ; ; ; Chia hết cho 5 : ; ; ; Dùng cả ba số 5,6,9 để ghép thành các số tự nhiên có ba chữ số: Lớn nhất và chia hết cho 5; Nhỏ nhất và chia hết cho 2; 3. Tìm tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 và 1995 ≤ n ≤2001 . 4. Chứng tỏ rằng trong năm số tự nhiên liên tiếp luốn có một số chia hết cho 5. 5. Chứng tỏ rằng: a) Trong ba số tự nhiên bất kì bao giờ cũng chọn được hai số có hiệu chia hết cho 2; b) Trong sáu số tự nhiên bất kì bao giờ cũng chọn được hai số có hiệu chia hết cho 5; 6. Chứng tỏ rằng: a) (5n + 7 )(4n + 6) 2 với mọi số tự nhiên n; b) (8n + 1 )(6n + 5) 2 với mọi số tự nhiên n; 7. Người ta viết các số tự nhiên tùy ý sao cho số các số lẻ gấp đôi số các số chẵn. tổng các số đã viết có chia hết cho 2 hay không? Vì sao? 8. Có 5 tờ giấy .người ta xé tờ giấy đó thành 6 mảnh . lại lấy một trong số mảnh giấy nào đó, xé mỗi mảnh thành 6 mảnh.cứ như vậy sau một số lần , người ta đếm được 2001 mảnh giấy.hỏi người ta đếm đúng hay sai? 9. Cho sáu chữ số : 2 , 3 ,5 ,6 ,7 ,9. a) cố bao nhiêu số có ba chữ số ,các chữ số trong mỗi số đều khhacs nhau, được lập thành từ các chữ số trên? b) Trong các số được lập thành có bao nhiêu số nhỏ hơn 400? Bao nhiêu số là số lẻ ? bao nhiêu số chia hết cho 5? Bài tậpcñng cè: 1.Điền chữ số vào dấu * để: a) 2001 + chia hết cho 3; b) chia hết cho 9; 2. Điền chữ số vào dấu * để được số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 : và 3.Dùng ba trong 4 chữ số 3,6,9,0 hãy ghép thành số tự nhiên có ba chữ số sao cho số đó: a) Chia hết cho 9; b) Chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. 4. Phải thay các chữ số x, y bởi chữ số nào để số 3 5. Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 3 , cho 9 không? 102001 + 2 ; 102001 – 1 . 6. Tìm các chữ số x,y biết rằng số chia hết cho 2 và 9. 7. Tìm các chữ số x,y biết rằng số chia hết cho 445. 8. Tìm tất cả các số có dạng , biết rằng số đó chai hết cho 3 , cho 4 và cho 5. 9. Tìm hai số tự nhiên liên tiếp , trong đó có một chữ số chia hết cho 9 , biết rằng tổng của hai số đó thỏa mãn các điều kiện sau: a) Là só có ba chữ số; b) Là số chia hết cho 5; c) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là số chia hết cho 9; d) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục là số chia hết cho 4; C§7 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố. Phân tích một số tự nhiên ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố . mọi số tự nhiên lớn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố. Dù phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng cách nào thì cuối cùng cũng được cùng một kết quả. Ví dụ . Cho sô tự nhiên A = axbycz trong đó a, b, c, là các số nguyên tố đôi một khác nhau, còn x, y ,z là các số tự nhiên khác 0 .chứng tỏ rằng số ước số của A được tính bởi công thức : (x + 1)(y + 1)(z + 1). Giải. Số ước số của A chỉ chứa thừa số nguyên tố a là x, chỉ chứa thừa số nguyên tố b là y, chỉ chứa thừa số nguyên tố c là z, chỉ chứa thừa số nguyên tố ab là xy, chỉ chứa thừa số nguyên tố ac là xz, chỉ chứa thừa số nguyên tố bc là yz, chỉ chứa thừa số nguyên tố abc là xyz.vì A là ước của chính nó . do đó số ước của A bằng: x + y + z + xy + yz + xz + xyz + 1 = x(z + 1) + y(z + 1) + xy(z + 1) + (z + 1) = (z + 1)(x + y + xy + 1) = (z + 1)[(x + 1) + y(x + 1)] = (x + 1)(y + 1)(z + 1). Ví dụ : số B = 233554 thì số ước số của B là (3 + 1)(5 + 1)(4 + 1) = 4.6.5 = 120. Bài tập. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất: Có 9 ước; b) Có 15 ước. Cho số tự nhiên B = axby trong đó a,b là các số nguyên tố khác nhau , x, y là các số tự nhiên khác 0 . biết B2 có 15 ước . hỏi B3 có bao nhiêu ước? Tìm số tự nhiên a , biết 105 a và 16 ≤ a ≤ 50 . Một trường có 805 học sinh. Cần phải xếp mỗi hang bao nhiêu học sinh để học sinh ở mỗi hàng là như nhau , biết rằng không xếp quá 35 hàng và cũng không ít hơn 15 hàng. Số tự nhiên n có tổng các ước bằng n (không kể n) được gọi là số hoàn chỉnh (số hoàn thiện , số hoàn toàn). Chứng tỏ rằng các số 28,496 là số hoàn chỉnh. Tìm số hoàn chỉnh n , biết n = p.q trong đó p,q là các số nguyên tố. Tìm số tự nhiên n, biết rằng số n có 30 ước và khi phân tích thành thừa số nguyên tố thì có dạng n = 2x3y trong đó x + y = 8. C®8. Ước chung và Ước chung lớn nhất 1Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó. Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó. .ƯCLN của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. 2. Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số , ta thực hiện ba bước sau: Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố. Bước 2 : Chọn các thừa số nguyên tố chung. Bước 3 : Lập tích các thừa số đó , mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.tích đó là ƯCLN phải tìm. Chú ý: Hai hay nhiều số có ƯCLN là 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau. Trong các số đã cho , nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho là số nhỏ nhất đó. 3.Muốn tìm ước chung của các số đã cho ,ta tìm các ước ƯCLN của các số đó Ví dụ1. Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 39 cho a thì dư 4, còn khi chia 48 cho a thì dư 6. Giải. Chia 39 cho a thì dư 4 , nên a là ước của 39 – 4 = 35 và a > 4 .chia 48 cho a thì dư 6 nên a là ước của 48 – 6 = 42 và a > 6 . do đó a là ước chung của 35 và 42 dông thồng a > 6. Ư(35) = { 1, 5, 7, 35} ; Ư(42) = {1,2,3,6,7,14,21,42}. ƯC(35,42) = { 1,7}. Vậy a = 7 . Ví dụ.2 Tìm hai số tự nhiên cố tổng 432 và ƯCLN cua chúng bằng 36. Giải. Gọi hai số tự nhiên phải tìm là a và b . vì ƯCLN(a,b) = 36 , nên a = 36c và b = 36d , (c,d) = 1. theo đề bài tổng của hai số bằng 432 nên: a + b = 432 hay 36(c + d) = 432,do đó c + d = 12. như vậy ta phải tìm các cặp số c,d có tổng bằng 12 và (c,d) = 1 . các cặp số đó là 1 và 11 ; 5 và 7.các số tự nhiên cần tìm là a = 36 , b = 396 và a = 180 , b = 252 hoặc ngược lại. Bài tập: Viết các tập hợp : ƯC(8,12,24); ƯC(5,15,35); BC(8,12,24); BC(5,15,35); Tìm giao của hai tập hợp : A = { n N : n là ước của 18} B = { m N : m là ước của 36}. 3. Tìm số tự nhiên a, biết rằng khi chia 264 cho a thì dư 24 , còn khi chia363 cho a thì dư 43. 4. Có 100 quyển vở và 90 bút bi. Cô giáo chủ nhiểm muốn chia số vở và bút thành một số phần thưởng như nhau gôm cả vở và bút để phát phần thuopwngr cho học sinh. Như vậy thì còn lại 4 quyển và 18 bút bi không thể chia đều cho các học sinh.tính sô học sinh được thưởng?. 5. Gọi G là tập hợp các số là bội của 3 ; H là tập hợp các số là bội của 18. tìm G H. 6. Có một số sách giáo khoa. Nếu xếp thành từng chồng 10 cuốn thì vừa hết ,thàng từng chồng 12 cuốn thì thừa 2 cuốn, thành từng chồng 18 cuốn thì thừa 8 cuốn .biết rằng số sách trong khoảng từ 715 đến 1000 cuốn.tìm số sách đó. Bài tập cñng cè. Tìm ƯCLN của ác số có 9 chữ số được viết bởi các chữ số 1 , 2, 3 ,4, 5 ,6 ,7 ,8 ,9 và trong mỗi số các chữ số đều khác nhau. Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 66 , ƯCLN của chúng bằng 12. Tìm 2 số tự nhiên ,biết tích của chúng bằng 864 và ƯCLN của chúng bằng 6. Một lớp học có 28 nam và 24 nữ.có bao nhiêu cách chia số học sinh của lớp thành các tổ sao cho số nam và nữ được chia đều cho các tổ. Người ta muốn chia 240 bút bi , 210 bút chì và 180 tập giấy thành 1 số phần thưởng như nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất là bao nhiêu phần thưởng,mỗi phần thưởng Có bao nhiêu bút bi , bút chì, tập giấy?. Biết rằng 3n + 1 và 5n + 4 ( n N) là 2 số không nguyên tố cùng nhau .tìm ƯCLN của 2 số trên. Tiết 18. Bội chung nhỏ nhất 1.BCNN của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác o trong tập hợp các bội chung của các số đó. 2. Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số , ta thực hiện 3 bước sau: Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố. Bước 2: Chọn các thừa số nguyên tố chung và riêng. Bước 3: Lập tích các thừa số đó , mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó.tích đó là BCNN phải tìm. Chú ý: Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích của các số đó. Trong các số đã cho nếu số lơn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho là số lơn nhất đó. 3.Muốn tìm bôi chung của hai hay nhiều số , ta tìm các bội của BCNN của các số đó. Ví dụ: Một số tự nhiên chia cho 2, cho 3 , cho 4 , cho 5 , cho 6 đều dư 1 , nhưng khi chia cho 7 thì không còn dư. Tìm số nhỏ nhất có tính chất trên. Tìm dạng chung của các số có tính chất trên. Giải. Gọi x là số phải tìm thì x – 1 ( 2 ,3 ,4, 5 , 6) nên x – 1 là bội chung của 2, 3, 4, 5, 6. BCNN ( 2,3,4,5,6) = 60 Vậy x – 1 nhận các giá trị: 60 ,120,180,240,300, do đó x nhân các giá trị: 61 ,121 ,181,241,301, Trong các số trên, số nhỏ nhất chia hết cho 7 là số 301. Vì x – 1 là bội của 60 nên x- 1 = 60n hay x = 60n + 1 (n N*) và x 7 .ta có : x = 60n + 1 = 7.8n – 7 + 4 (n + 2). Vì 7.8n 7 ,do đó để x 7 thì phải có 4(n + 2) 7 hay n + 2 7 . dặt n + 2 = 7k thì n = 7k – 2 (k N*). x = 60n + 1 = 60 (7k - 2) + 1 = 420k – 119 . để tìm x ta chỉ việc cho k các giá trị : k = 1, 2, 3, Bài tập. Tìm BCNN của ba số sau : số nhỏ nhất có hai chữ số ,số lớn nhất có ba chữ số và số nhỏ nhất có bốn chữ số. Có thể chỉ dung một chữ số 2 để lập các số có dạng : 2, 22, 22,222,.. sao cho số đó: là bội của 5 được không? Là bội của 9 được không? Tìm BCNN(30 , 45) và ƯCLN(30 ,45) . thử lại rằng tích của BCNN (30 , 45) và ƯCLN(30 , 45) bằng tích của hai số 30 và 45. Ba em An , Bảo , Ngọc cùng học một trường nhưng ở 3 lớp khác nhau .An cứ 5 ngày trực nhật một lần , Bảo 10 ngày trực nhật một lần, còn Ngọc 8 này trực nhật một lần.lần đầu ba em cùng trực nhật một ngày .hỏi mấy ngày sau ba em lại cùng trực nhật vào cùng một ngày? Đến ngày đó mỗi em đã trực nhật mấy lần? Bạn Nam nghĩ một số có ba chữ số. nếu bớt số đó đi 8 thì được số chia hết cho 7 .nếu bớt đi 9 thì được số chia hết cho 8 ,nếu bớt đi 10 thì được số chia hết cho 9. hỏi bạn Nam nghĩ số nào? . Cộng hai số nguyên cùng dấu. Muốn cộng hai số nguyên cùng dấu ta cộng hai giá trị tuyêt đối của chúng rồi đặt trước kết quả dấu của chúng Ví dụ. tính tổng các số nguyên x biết: - 10 ≤ x ≤ - 1 ; b) 5 < x < 15 . Giải . a) - 10 ≤ x ≤ - 1 nên x = { - 10 , - 9 , - 8 , - 7 , - 6 , - 5 , - 4 , - 3 , - 2 , - 1}. Vậy tổng phải tìm là : A = (- 10) + (- 9) + (- 8) + (- 7) + (- 6) + (- 5) + (- 4) + (- 3) + (- 2) + ( - 1) = - ( 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) = - 55 5 < x < 15 nên x = { 6 ,7,8,9,10,11,12,13,14} . tổng phải tìm là B = 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 90. Bài tập: So sánh : │3 + 5│ và │3│ + │5│; │(- 3) +(- 5)│ và │- 3│ + │- 5│; Từ đó rút ra nhận xét gì về │a + b│ và │a│ + │b│ với a , b Z. Điền dấu vào ô trống một cách thích hợp: a) 7 + │- 23│ 15 + │- 33│ b)│- 11│ + 5 │- 8│ + │- 2│ c) │- 21│+│- 6│ - 7 3. Tìm x Z biết : a) (+ 22) + (+ 23) + x = 21 + │- 24│ b) │- 3│ + │- 7│ = x + 3 c) 8 +│x│ = │- 8│+ 11; d) │x│ + 15 = - 9 4. Tìm các cặp số nguyên x, y biết │x│ + │y│= 5. 5. Cho 1 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kì là số nguyên dương. Chứng tỏ rằng tổng của 31 số đó là số nguyên dương? Cộng hai số nguyên khác dấu. Hai số nguyên đối nhau có tổng bằng 0 . Muốn cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối của chúng (số lớn trừ số nhỏ) và đặt trước kết quả tìm được dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn. Với mọi số nguyên a ta có a + 0 = 0 + a = a. Ví dụ. Cho phép cộng (* 15) + ( * 7) trong đó dấu * chỉ dấu “ + “ hoặc dấu “ –“ . hãy xác định dấu của các số hạng để tổng bằng: 22 ; b) – 22 ; c) 8 ; d) - 8 . Giải . Trong câu a và b , giá trị của tổng bằng tổng các giá trị tuyệt đối của hai số hạng nên đó là phép cộng hai số nguyên cùng dấu . dấu của tổng là dấu chung của hai số hạng đó, ta có : (+ 15) + (+7) = 22; (- 15) + (- 7) = - 22 Trong câu c và d , giá trị tuyệt đối của tổng bằng hiệu hai giá trị tuyệt đối của hai số hạng nên đó là phép cộng hai số nguyên khác dấu. dấu của tổng là dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn, ta có: (+ 15) + (- 7) = 8; (- 15) + (+ 7) = - 8. Bài tập. Tính tổng │a│ + b , biết: a = - 117 , b = 23; a = -375 , b = - 725; a = - 425 , b = - 425 . Tìm x Z , biết : x + 15 = 105 + ( - 5); x – 73 = (- 35) + │- 55│; │x│ + 45 = │- 17│ + │- 28│. thay dấu * bằng chữ số thích hợp : ( - *15) + ( - 35) = - 150; 375 + ( - 5*3) = - 288; 155 + ( - 1**) = 0. Tính tổng của hai số nguyên: Liền tiếp và liền sau số + 15; Liền trước và liền sau số - 37; Liền trước và liền sau số 0; Liền trước và liền sau số a. 5.a) Viết số - 7 thành tổng của hai số nguyên có giá trị tuyêt đối không lớn hơn 10. b) Viết số - 15 thành tổng của hai số nguyên có giá trị tuyêt đối không lớn hơn 20. Tính chất của phép cộng các số nguyên. Tính chất giao hoán : với mọi a , b Z : a + b = b + a. Tính chất kết hợp: với mọi a , b Z : a + ( b + c) = (a + b) + c. Cộng với số 0 : với mọi a Z : a + 0 = 0 + a = a. Cộng với số đối : tổng của hai số nguyên đối nhau luôn luôn bằng 0: : với mọi a Z : a + ( - a) = 0 . Nếu tổng của hai số nguyên bằng o thì chúng là hai số đối nhau : : với mọi a , b Z : a + b = 0 thì a = - b bà b = - a. ví dụ: Tính tổng của số nguyên x , biết: - 10 < x < 10 ; - 10 < x ≤ 10 . Giải. a) Các số nguyên x thỏa mãn - 10 < x < 10 là x = - 9 , - 8 , -7 ,.., 7 , 8 ,9. Tổng của các số nguyên đó là: S = (- 9) + (- 8) + (- 7) + + 7 + 8 + 9 = [ (- 9) + 9] + [ (- 8) + 8] + [(- 7) + 7] = 0. b) Tương tự a) , tổng bằng 10. Bài tập. Tính : A = 1 + (-3) + 5 + ( - 7) +.+ 17 + ( -19); B = (- 2) + 4 + (-6) + 8 + + ( - 18) + 20; C = 1 + (-2) + 3 + (-4) + .+ 1999 + ( - 2000) + 2001; Tính tổng các số nguyên x , biết: – 50 < x ≤ 50; - 100 ≤ x < 100. 3. Hãy điền các số : 0 , - 2 , 2, - 4 , 4 ,- 6 , 6, 8 , 10 vào các ô của bảng 3.3 = 9 ô vuông ( mỗi số một ô) sao cho tổng ba số trên mỗi hàng ngang , mỗi hàng dọc , mỗi đường chéo đều bằng nhau. 4. Cho các số : - 2 , -4 , - 5 , - 6 , 7, 9 , 11. hãy sắp xếp các số trên sao cho có một số đặt ở tâm vòng tròn , các số còn lại nằm ở trên đường tròn đó và cứ ba số bất kí trong các số trên đều nằm trên một đường thẳng mà tổng của chúng bằng nhau và bằng 0. 5. Viết tất cả các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá 50 theo thứ tự tùy ý. Sau dod cứ mỗi số cộng với số chỉ thứ tự của nó để được một tổng. hãy tính tổng của tất cả các tổng tìm được. Quy tắc dấu ngoặc. 1. Quy tắc dấu ngoặc : khi bỏ dấu ngoặc có dấu “ – “ đằng trước , ta phải đổi dấu tất các số hạng trong dấu ngoặc : dấu “ + “ thành dấu “ – “ và dấu “ - “ thành dấu “ + “ . Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “ + “ đằng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn giữ nguyên. 2. Tổng đại số: trong một tổng đại số ta có thể : - Thay đổi tùy ý các số hạng kèm theo dấu của chúng; - Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý với chú ý rằng nếu đằng trước dấu ngoặc là dấu “ – “ thì phải đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc Ví dụ. Tính nhanh: A = - 3752 – ( 29 – 3632) – 51. Giải. áp dụng quy tắc dấu ngoặc và tính chất của tổng đại số ta có: A = - 3752 – ( 29 – 3632) – 51 = - 3752 – 29 + 3632 – 51 = - (3752 – 3632) – ( 29 + 51) A = - 120 – 80 = - 200. Bài tập. Tính nhanh: 4524 – ( 864 – 999) – ( 36 + 3999); 1000 – ( 137 + 572) + ( 263 – 291 ); - 329 + ( 15 – 101) – ( 25 – 440). Tìm số nguyến x , biết : 3 – ( 17 – x) = 289 – ( 36 + 289) 25 – ( x + 5) = - 415 – ( 15 – 415); 34 + (21 – x) = ( 3747 – 30) – 3746. Tính giá trị của biểu thức a – b – c , biết: a = 45 , b = 175 , c = - 130; a = - 350, b = - 285, c = 85; a = - 720 , b = - 370 , c = - 250. Cho n số nguyên bất kì : a1, a2 ,,an. chứng tỏ rằng S = │a1 – a2│ + │a2 – a3│+.+│an-1 + an│+│an – a1│ là một số chẵn. Cho 15 số tự nhiên khác nhau và khác 0 , trong đó mỗi số không lớn hơn 28. Chứng tỏ rằng trong 15 số dã cho bao giờ cũng tìm được ít nhất một nhóm gồm 3 số mà số này bằng tổng của hai số còn lại hoặc một nhóm gồm 2 số mà số này gấp đôi số còn lại. Quy tắc chuyển vế. Tính chất của đẳng thức : khi biến đổi các đẳng thức ta thường áp dụng các tính chất sau: Nếu a = b thì a + c = b + c; Nếu a + c = b + c thì a = b; Nếu a = b thì b = a . Quy tắc chuyển vế : khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “ + “ thành dấu “ – “ và dấu “ – “ thành dấu “ + “. Ví dụ: Tìm x Z , biết : 3 – x = (- 21) – ( - 9) , hay 3 – x = -21 + 9 hay 3 – x = - 12 , do đó x = 3 + 12 = 15. x – 15 = 17 – 48 hay x = - 16. Bài tập: Tìm y Z , biết : y + 25 = - 63 – ( - 17); y + 20 = 95 _ 75; 2y – 15 = -11 – ( - 16); - 7 _ 2y = - 37 – ( - 26). Cho ba số - 25; 15; x (x Z). tìm x , biết : Tổng của ba số trên bằng 50; Tổng của ba số trên bằng - 35; Tổng của ba số trên bằng – 10. Cho x , y Z . Hãy chứng minh rằng: nếu x – y > 0 thì x > y ; nếu x > y thì x – y > 0. Cho a Z. tìm số nguyên x biết: a + x = 11 ; a – x = 27. Trong mỗi trường hợp hãy cho biết với giá trị nào của a thì x là số nguyên dương, số nguyên am , số 0? Cho aZ. tìm x Z biết │x│= a ; │x + a│ = a. bội và ước của một số nguyên. Bội và ước của một số nguyên : cho a , bZ và b≠ 0 . nếu có số nguyên q sao cho a = bq thì ta nói a chia hết cho b. ta còn nói a là bội của b va b là ước của a. Chú ý : Nếu a = bq thì ta còn nói a chia cho b được q và viết a : b = q. Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào. Các số 1 và – 1 là ước của mọi số nguyên. Tính chất: Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a cũng chia hết cho c : a b và b c a c. Nếu a chia hết cho b thì bội của a cũng chia hết cho b : m Z ta có a b a = am b. Nếu hai số a ,b chai hết cho c thì tổng và hiệu của chúng cũng chia hết cho c a c và b c ( a + b ) c và ( a – b ) c. Ví dụ . Tìm số nguyên n , sao cho: (n - 6) ( n – 1 ). Giải . (n - 6) ( n – 1 ) hay [ ( n – 1 ) – 5] ( n – 1 ) suy ra ( - 5) ( n – 1 ) hay (n – 1) là ước của ( - 5). Do đó: Nếu n – 1 = -1 thì n = 0; Nếu n – 1 = 1 thì n = 2; Nếu n – 1 = - 5 thì n = -4; Nếu n -1 = 5 thì n = 6. Thử lại: Với n = 0 thì n – 6 = - 6 , n- 1 = -1 và (– 6) ( - 1); Với n = 2 thì n – 6 = - 4 , n- 1 = 1 và (– 4) 1; Với n = -4 thì n – 6 = - 10 , n- 1 = -5 và (– 10) ( - 5); Với n = 6 thì n – 6 = 0 , n- 1 = 5 và 0 5; vậy n = - 4 , 0 , 2 ,6. Bài tập Chứng tỏ rằng : Tổng của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 3; Tổng của năm số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5. Có hay không một hình vuông mà số đo độ dài các cạnh là số nguyên và số đo diện tihcs bằng 11111 ; ( 2001 chữ số 1)? Tìm số nguyên n sao cho: (3n + 2) ( n – 1 ). (3n + 24) ( n – 4 ). (n2 + 5) ( n + 1 ). Cho x, y là các số nguyên . chứng tỏ rằng nếu 6x + 11y chia hết cho 31 thì x + 7y cũng chia hết cho 31. điều ngược lại có đứng không? Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n thì : ( n - 1)( n + 2) + 12 không chia hết cho 9; ( n + 2)( n + 9) + 21 không chia hết cho 49; Phân số bằng nhau. Hai phân số và gọi là bằng nhau nếu : a. b = c. d. Ví dụ . Lập các cặp phân số bằng nhau từ bốn trong năm số sau: 3; 6; 12; 24; 48. Giải. Từ năm số đã cho , có ba đẳng thức sau: 3. 24 = 6.12 ; 3.48 = 6.24; 6.48 = 12.24. Với đẳng thức 3.24 = 6.12 , trước hết ta lập một cặp phân số = (1). Để lập các cặp phân số bằng n