Các Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7

minh rằng tổng 2 + 22 + 23 + + 22003 + 22004 chia hết cho 42 Hướng dẫn: Bài 12: Cho A = 2 + 22 + 23 + ............+299 + 2100 Chứng tỏ A chia hết cho 31 Hướng dẫn: Bài 13: Cho S = 5 + 52 + 53 + . . . . + 596 a, Chứng minh: S  126 b, Tìm chữ số tận cùng của S Hướng dẫn: Bài 14: Cho 30.29......3.2.1A 60.59........33.32.31B a) Chứng minh: B chia hết cho 302 b) Chứng minh: B - A chia hết cho 61. Hướng dẫn: Bài 15: Cho 20022001432 22...2223 A và 20032B So sánh A và B. Hướng dẫn: Bài 16: Cho M = 2 3 99 1003 3 3 ... 3 3     . a. M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao? b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n . Hướng dẫn: Bài 17: Cho biểu thức: M = 1 +3 + 32+ 33 ++ 3118+ 3119 a) Thu gọn biểu thức M. b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao? Hướng dẫn: Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết: 2004 2003 )1( 2 ... 10 1 6 1 3 1    nn Hướng dẫn: Bài 19: a) Tính: 2 2 2 2 ..... 1.3 3.5 5.7 99.101     Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 34 b) Cho * )3( 3 10.7 3 7.4 3 4.1 3 Nn nn S     Chứng minh: S  1 Hướng dẫn: Bài 20: So sánh: 2 2 2 2 ... 60.63 63.66 117.120 2003 A      và 5 5 5 5 ... 40.44 44.48 76.80 2003 B      Hướng dẫn: Bài 21: a) Tính 340 1 238 1 154 1 88 1 40 1 10 1 A b) Tính: 2005.2004 2 .... 15 1 10 1 6 1 3 1 M c) Tính tổng: 100.99.98 1 ... 4.3.2 1 3.2.1 1 S Hướng dẫn: Bài 22: So sánh: 10032 2 1 ... 2 1 2 1 2 1 1 A và B = 2. Hướng dẫn: Bài 23: So sánh: 2 2 2 2 ... 60.63 63.66 117.120 2006 A      và 5 5 5 5 ... 40.44 44.48 76.80 2006 B      Hướng dẫn: Bài 24. Tính a. A = 2 2 2 2 2 . 15 35 63 99 143     b. B = 3+ 3 3 3 3 ... 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 ... 100              . Hướng dẫn: Bài 25: Tính giá trị các biểu thức: a) A = 1.99 1 3.97 1 ... 95.5 1 97.3 1 99.1 1 99 1 97 1 ... 5 1 3 1 1   b) B = 99 1 ... 3 97 2 98 1 99 100 1 ... 4 1 3 1 2 1   Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 35 Hướng dẫn: Bài 26: Chứng minh rằng: 100 - 100 99 ... 4 3 3 2 2 1 100 1 ... 3 1 2 1 1        Hướng dẫn: Bài 27: Tính B A biết: A = 200 1 ... 4 1 3 1 2 1  và B = 1 199 2 198 ... 197 3 198 2 199 1  Hướng dẫn: Bài 28: Tìm tích của 98 số đầu tiên của dãy: ;.... 35 1 1; 24 1 1; 15 1 1; 8 1 1; 3 1 1 Hướng dẫn: Bài 29: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau: ;... 336 1 ; 176 1 ; 66 1 ; 6 1 Hướng dẫn: Bài 30: Tính B A biết: A = 20.19 1 18.17 1 ... 6.5 1 4.3 1 2.1 1  B = 20 1 19 1 ... 13 1 12 1 11 1  Hướng dẫn: Bài 31: Tìm x, biết: 110.100 1 .... 12.2 1 11.1 1 110.10 1 ... 102.2 1 101.1 1        x Hướng dẫn: Bài 32: Tính : a) 2 31 ... nS a a a a      , với ( 2, a n N  ) b) 2 4 6 21 1 ... nS a a a a      , với ( 2, a n N  ) c) 3 5 2 12 ... nS a a a a      , với ( *2, a n N  ) Hướng dẫn: Bài 33: Cho 2 3 99 1001 4 4 4 ... 4 , 4A B       . Chứng minh rằng: 3 B A  . Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 36 Hướng dẫn: Bài 34: Tính giá trị của biểu thức: 50 200 ) 9 99 999 ... 999...9 ) 9 99 999 ... 999...9 a A b B             ch÷ sè ch÷ sè Hướng dẫn: Chuyên đề 1: giải toán chứa dấu giá trị tuyệt đối. 1-Kiến thức cơ bản:       0 0 xx xx x Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 37 xxxxx  ;;0 yxyx yxyx   2- Các dạng toán cơ bản: * Dạng toán 1: Tính x biết 1) 5 1 1x 2) 13 3 : 5 3 2x 3) 0 2 1 25 x 4) x 1 49.47 1 .... 5.3 1 3.1 1  5) 2100.97 1 ..... 7.4 1 4.1 1 x  6) 101 52 101.97 4 .... 9.5 4 5.1 4   x 7) 5 1 2 100 1 1.... 4 1 1 3 1 1 2 1 1                          x 8) 1 5 1 2100.99....4.33.22.1  x 9) 5 1 1)2)(49...21( 222  x * Dạng 2: Tìm x biết 1) 5 3 3x 2) 0 8 25 x 3) 0 23 5 5 x 4) 3 1 1 5 1 .2 x 5) 25,15,275,1  x 6) 1352 x 7) 3 2 7 3 2 3 1 3  x 8) 10 11 73 5 1 2 x 9) 9)52( 2 x 10) 42 x 11) 4 1 )73( 2  x * Dạng 3: Tìm x, y, z biết 1) 0 zyx 2) 07253  yx 3) 0 3 1 3 2 5 2 2 1 1  zyx 4) 0) 3 1 () 2 1 ()1( 222  zyx 5) 0433221  yyx 6) 0)1)(1(1  xxx *Dạng 4: Tính giá trị của các biểu thức sau. 1) 522  xxA với 3 1 x 2) 22 2)3(52 yxyxxxyB  với x=y=2 3) 122 4 12  xxxC với 2 1 x 4) 363 2  xxD với 1x 5) xyyxE 752  với 02  yx 6) xyyxG 632 22  với 021  yx * Dạng 5: Rút gọn các biểu thức sau 1) 133925  xxxM với 5,6x 2) N= 321  xxx với 12  x 3) P= 1557352  xxx với 3x *)Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 38 1, Tìm giá trị nhỏ nhất của: 25,05,025,4  xC 2, Tìmgiá trị lớn nhất của : 75,05,43  xD 3, Tìm giá trị nhỏ nhất của : 20042005  xxE 3- Các bài toán tự học : Bài 1: Tính giá trị biểu thức: A= 2x+2xy-y với | x| = 2,5 và y = -3/4 Bài 2: Tìm x , y biết: a) 2.| 2x-3|= 1/ 2 b) 7,5 -3 |5-2x|=-4,5 c) | 3x-4|+ |3y+5| = 0 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất: a) | 3x- 8,4| -14,2 b) |4x-3|+|5y+7,5| +17,5 Bìa 4: Tìm giá trị lớn nhất: F= 4- |5x-2|- | 3y+12| CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN- SỐ THỰC- CĂN BẬC HAI. Bài toán 1: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản 0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13) Bài toán 2: Tính a) 10,(3)+0,(4)-8,(6) b)   )21(,4:)6(3,2)1(,12  c) )2(4,0 3 1 3)3(,0  Bài toán 3: Tính tổng các chữ số trong chu kỳ khi biểu diễn số 99 116 dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Bài toán 4: Tính tổng của tử và mẫu của phân số tối giản biểu diễn số thập phân 0,(12) Bài toán 5: Tính giá trị của biểu thức sau và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị a) 75,6 25,2).19,881,11(  A b) 31,2125,0.4 4).25,6:56,4(   B Bài toán 6: Rút gọn biểu thức )3(8,0)6(,15,2 )6(1,0)3(,05,0   M Bài toán 7: Chứng minh rằng: 0,(27)+0,(72)=1 Bài toán 8: Tìm x biết a) )2(,0. )6(1,1)3(,0 )3(,0)6(1,0    x b) 85 50 )3(0,0 13 3 )384615(,0)3(,0   x c)   10)62(,0)37(,0  x d) 0,(12):1,(6)=x:0,(4) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 39 e) x:0,(3)=0,(12) Bài toán 9: Cho phân số )(; 6)2)(1( 523 23 Nm mmm mmm A     a) Chứng minh rằng A là phân số tối giản. b) Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? vì sao? CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN- SỐ THỰC- CĂN BẬC HAI. Bài toán 10: So sánh các số sau a) 25 4 1005,0  và 5: 16 9 9 1 1          b) 925 và 925  c) CMR: với a, b dương thì baba   Bài toán 11: Tìm x biết a) x là căn bậc hai của các số: 16; 25; 0,81; a2 ;  232  b)   xx 2332 2  c)     0121 22  xx Bài toán 12: Tìm x biết a) 02  xx b) xx  c)   16 9 1 2 x Bài toán 13: Cho 1 1    x x A . CMR với 9 16 x và 9 25 x thì A có giá trị là một số nguyên Bài toán 14: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên a) x A 7  b) 1 3   x B c) C= 3 2 x Bài toán 15: Cho 3 1    x x A Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên Bài toán 16: thực hiện phép tính                                               81 22 :2: 7 5 : 7 1 2:7:25,54,2:22 2 2 2 22 Bài 17: Tính giá trị biểu thức sau theo cách hợp lý.   343 4 7 2 7 4 2 64 77 1 49 1 49 1 1 2 2         A Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 40 Bài toán 18: Tính bằng cách hợp lý.     374 5 204 25 212 5 196 5 1 2 2 M Bài toán 19: Tìm các số x, y, z thoả mãn đẳng thức     022 22  zyxyx Bài toán 20: thực hiện phép tính     445 1704 : 23 7 7 6 8 3 1 12: 4 49 . 3 2 8225: 3 1 18 2 2                       M CHUYÊN ĐỀ: NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ - ÁP DỤNG. ********** Bài toán 1: Tính a) 3 11 12 .31 0,75.8 4 23 23   b) 1 1 1 1 1 2 3 : 4 3 7 3 2 6 7 2                c) 5 5 4 5 4 : 5 : 9 7 9 7               d) 1 5 5 1 3 13 2 10 .230 46 4 27 6 25 4 3 10 1 2 1 : 12 14 7 3 3 7                      e) 25 9 125 27 4 25 : : 16 16 64 8        g) 2 1 3 4 3 2 4        Bài toán 2: Tính a) 1 1 1 .... 1.2 2.3 99.100 A     b) 1 1 1 1 1 ..... 1 2 3 1 B n                   với n N c) 1 1 1 66. 124.( 37) 63.( 124) 2 3 11 C              d) 7 33 3333 333333 33333333 4 12 2020 303030 42424242 D          Bài toán 3: Tính 1 1 1 1 (1 2) (1 2 3) .... (1 2 3 .... 16) 2 3 16 A             Bài toán 4: Tìm x biết a) 3 (2 3) 1 0 4 x x         b) 2 5 3 3 7 10 x   c) 21 1 2 13 3 3 x   d) 3 3 2 2 1 7 8 5 x   e) 1 (5 1) 2 0 3 x x         g) 3 1 3 : 7 7 14 x  Bài toán 5: Cho 1 1 1 1 1 ..... 1 2 3 10 A                   . So sánh A với 1 9  Bài toán 6: Cho 1 1 1 1 1 ..... 1 4 9 100 B                   . So sánh B với 11 21  Bài toán 7: Tính 2 3 193 33 7 11 1931 9 . : . 193 386 17 34 1931 3862 25 2                         Bài toán 8: Cho 1,11 0,19 13.2 1 1 : 2 2,06 0,54 2 4 A            7 1 23 5 2 0,5 : 2 8 4 26 B         a) Rút gọn A, B b) Tìm x Z để A<x<B Bài toán 9: Tính giá trị các biểu thức sau Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 41 a) 1 1 1 3 3 3 3 53 7 13 4 16 64 256. 2 2 2 1 1 1 81 3 7 13 4 16 64 A             b) 1 1 1 1 0,125 0,2 5 7 2 3 3 3 3 3 0,375 0,5 5 7 4 10          Bài toán 10: Tìm x biết 20 4141 636363 128 4 5 : 1 : 1 21 4242 646464 x                       Chuyên đề: I. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ A.KIẾN THỨC: Giá trị tuyệt đối của một số lưu ý các tính chất sau trong giải toán : 1/ GTTĐ của một số thì không âm / x / x 2/ GTTĐ của một số thì lớn hơn hoặc bằng số đó / x / x 3/ GTTĐ của một tổng không lớn hơn tổng các GTTĐ /x + y / //// yx  Hiệu không nhỏ hơn hiệu các GTTĐ / x-y/ /x/ - /y/ 4/ GTTĐ : Với a > 0 thì: /x / = a x = a / x / > a      ax ax / x/ -a< x< a B. LUYỆN TẬP: 1. Dạng: Tính giá trị của một Biểu thức : Bài 1 : Tính Gía trị biểu thức A = 3 x 122  x với /x / = 0,5 Giải: / x / = 0,5 x = 0,5 hoặc x = - 0,5 - Nếu x = 0,5 thì A = 0,75 - Nếu x = - 0,5 thì A = 2,75 2. Dạng : Rút gọn Biểu thức có chứa dấu Giá trị tuyệt đối Bài 2 : Rút gọn biểu thức A = 3 ( 2x - 1 ) - / x - 5 / Giải : với x - 5  0 x  0 thì / x -5 / = x - 5 với x –5 x < 5 thì / x – 5 / = - x + 5 Xét cả 2 trường hợp ứng với hai khỏang giá trị của biến x a/ Nếu x 5 thì A = 3 (2x – 1 ) – ( x – 5 ) = 5x + 2 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 42 b/ Nếu x < 5 thì A = 3 ( 2x – 1 ) – ( -x + 5 ) = 7x – 8 3. Dạng: Tính giá trị của biến trong Đẳng thức có chứa dấu GTTĐ: Bài 3 : Tìm x . Biết 2 / 3x – 1 / + 1 = 5 Giải : Ta có / 3x - 1 / = 2 Nên 3x – 1 = +2 và -2 Xét cả hai trường hợp : a/ 3x – 1 = 2 => x = 1 b/ 3x - 1 = 2 => x = - 3 1 Bài4 : Với giá trị nào của a,b ta có đẳng thức : /a ( b – 2 ) / = a ( 2 – b )? Giải : Ta biến đổi /a (b – 2 )/ = / a ( 2 – b )/ (1) vì /A/ = /-A/ / A / = A A  0 Do đó (1) xảy ra 4 trường hợp : a/ a = 0 thì b tùy ý b/ b = 2 thì a tùy ý c/ a > 0 thì b < 2 d/ a 2 Bài 5 : Tìm các số a , b sao cho a + b = / a / - / b / (1) HD: Xét 4 trường hợp : a/ a  0, b > 0 thì (1) a + b = a – b b = - b (không xảy ra ) b/ a  0, b  0 thì (1) a = b = a + b Đẳng thức nầy luôn luôn đúng.Vậy : a  0, b  0 thỏa mãn bài toán . c/ a 0 thì (1) a + b = -a – b a = - b . Vây a < 0 và b = -a thỏa mãn bài toán . d/ a a = -a ( không xảy ra ) Kết luận : Các giá trị a,b phải tìm là a  0, b  0 hoặc a 0 4. Dạng Tìm GTNN , GTLN của biểu thức chứa dấu GT tuyệt đối : Bài 6: a/Tìm GTNN của A = 2 / 3x – 1 / - 4 Với mọi x ta có / 3x – 1 /  0 => 2 / 3x – 1 /  0 Do đó 2 / 3x - 1 / - 4  - 4 Vậy GTNN của A = -4 tại 3x – 1 = 0 x = 1/3 b/ Tìm GTNN của B= 1,5 + /2 - x / HD: B đạt GTNN bằng 1,5 tại=2 c/ Tìm GTNN của C = /x-3/ Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 43 HD:Ta có x 00/3/0  GTNNx Bài 7: a/ Tìm GTLN của B = 10 - 4 / x - 2 / Với mọi x ta có / x – 2 /  0 => - / 4 / x - 2 /  10 Do đó 10- - 4 / x - 2 /  10 Vậy GTLN của B = 10 tại x = 2 b/ Tìm GGLN của B = -/ x+2 / HD: C= - /x+2/ 200  khixGTLN c/ Tìm GTLN của C= 1 - /2x-3/ HD: D = 1-/2x-3/ 2/301  khixGTLNlla Bài 8: Tìm GTNN của C = 3// 6 x với x là số nguyên - Xét / x / > 3 => C > 0 - Xét / x / / x / = 0;1hoặc 2 => c = -2 ;-3 hoặc -6 Vậy GTNN của C = -6 x = 2 ; -2 . Bài 9 Tìm GTLN của C = x - / x / - Xét x  0 => C = x - x = 0 (1) - Xét x C = x – (- x ) = 2x < 0 (2) Từ (1) và (2) ta thấy C  0 Vậy GTLN của C = 0 x  0 Bài 10 : Tìm giá trị biểu thức : a/ A = 6 x 4//23 23  xx với x = -2/3 (đs 20/9) b/ B = 2/x/ - 4/y/ với x = ½ và y = - 3 (đs -8 ) Bài 11 : Rút gọn biểu thức : a/ 3 (x - 1 ) – 2 / x + 3 / (đs :x – 9 với x 3 ;5x+ 3 với x < 3) b/ 2 / x – 3 / - / 4x - 1 / (đs: = 2x+5 với x < ¼ ; Bằng -6x+7 với ¼  x < 3và bằng -2x -5 với x  3. Bài 12 : Tìm GTNN của các biểu thức : a / A = 2 / 3x – 2 / - 1 => GTNN của A = -1 x = 2/3 b/ B = 5 / 1 – 4x / - 1 => GTNN của B = -1 x = 1/4 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 44 c/ C = x 2 + 3 / y – 2 / - 1 => GTNN của C = -1 x = 0 ; y = 2 d/ D = x + / x / ( xét x > 0 ;c GTNN của D = 0 x  0 Bài 13: Tìm GTLN của các biểu thức : e/ E = 5 - / 2x - 1 / => GTLN của E = 5 x = 1/2 f/ F = 3/2/ 1 x => GTLN của F =1/3 x =2 g/ G = // 2 x x  với x là số nguyên HD : Xét 3 TH : * x 12  C * x = 1 C = 1 * x xx x G 2 1 2 1    Ta thấy G lớn nhất khi x 2 nhỏ nhất . Mà x 2 lớn nhất x nhỏ nhất tức x = 1 khi đó G = 3 => GTLN của G = 3 x= 3 BÀI 14: Tìm x sao cho : a/ / x - 2 / < 4 HD: Ta đã biết /x/ -a < x < a Nên /x-2/ -4 < x - 2 <4 -4+2 < x < 4 + 2 -2 < x < 6 Bài 15: Cho A = /x- / 2 3 // 2 1  x Tìm khoảng gía trị nào của x thì biểu thức A không phụ thuộc vào biến x ? HD: Ta lập bảng xét dấu : x 1/2 3/2 x - 1/2 - / + 0 + x -3/2 - 0 - / + Xét các trường hợp:  x A =(1/2 - x) - (3/2-x ) = -1  1/2 2/3 x => A = (x -1/2 )-(3/2 - x ) = 2x -2  X >3/2 => A = (x -1/2)-(x - 3/2) = 1 Vậy với x 3/2 thì giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào biến x Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 45 II.GÍA TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ XẢY RA ĐẲNG THỨC HOẶC BĐT CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1/Phương pháp chung : Để tìm giá trị của biến trong đẳng thức hoặc Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối là xét các khoảng giá trị của biến để lập bảng xét dấu rồi khử dấu giá trị tuyệt đối . Ví dụ 16: Tìm x .Biết rằng : a/ 631  xx (1) GIẢI: Xét x-1 = 0 x = 1 và xét x-3 = 0 x = 3 x-1 x x < 3 x-1> 0 x > 1 x-3 > 0 x > 3 Ta có bảng xét dấu các đa thức x-1 ; x-3 như sau : x 1 3 x - 1 - 0 + / + x - 3 - / - 0 + Đẳngthức (1) (-x+1)+(-x+3)=6 (x-1)+(3-x)= 6 (x-1)+(x-3) = 6 -2x=2 0x = 4 2x = 10 x=-1 (không có giá trị x = 5 (giá trị nầy thuộc nào thoả mãn (1) ( giá tri nầy thuộc khoảng đang xét) khoảng đang xét) Vậy x = -1 và x = 5 thì thoả mãn (1) b/ 752  xx x -2 5 x+2 - 0 + / + x-5 - / - 0 + * Xét khoảng x x= -2 (loại)  Xét khoảng-2 5 x Ta được 0x = -0 đúng với mọi x trong khoảng đang xét . Vậy -2 5 x Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 46  Xét khoảng x >5 Ta đựoc 2x=10 x = 5 ( loại) Kết luận: -2 5 x c/ 423  xxx x -3 4 x+3 - 0 + / + x- 4 - / - 0 + *Xét khoảng x x= -3,5( thuộc khoảng đang xét) *Xét khoảng -3 4 x ta được 0x = 1=> không có giá trị nào của x thoả mãn. * Xét khoảng x>4 Ta được -2x = -7 x = 3,5 không thuộc khoảng đang xét . Kết luận : vậy x = -3,55 Ví dụ 17: Tìm x , Biết: 131  xxx (2) Tương tự:  Xét khoảng x(1-x)+*3-x)-3xx>1( Giá trị nầy không thuộc khooảng đang xét)  Xét khoảng 1 3 x thì (2)=>(x-1)+(3-x)2x>1 => Ta có các giá trị 1<x 3 (3)  Xét khoảng x >3 => ta có (x-1)+(x-3)x<5. Ta có các giá trị : 3<x<5 (4) Kết luận: Từ (3) và (4) các giá trị cần tìm là : 3<x<5 2/ Sau đây ta xét một số dạng đặc biệt. Trong những dạng nầy; để tìm x ngoài phương pháp chung đã nêu ở trên ta có thể giải bằng cách khác đơngiản hơn. Dạng 1 )(xf = a ( a là hằng số dương) f(x)= a Dạng 2 )(xf = g(x) 1/g(x) 0 & 2/f(x)= )(xg Dạng 3 )(xf )(xg hay )(xf - )(xg = 0 f(x)= )(xg Dạng 4 )(xf + )(xg = 0 f(x)=0 và g(x) = 0 Dạng 5 )(xf -a< f(x)<a Dạng 6 )(xf > a ( a là hừng số dương) a<f(x)<-a Cách giải từng dạng như sau : Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 47 Dạng 1 )(xf = a ( a là hằng số dương) Ta lần lượt xét f(x) = a và f(x) = -a Mỗi lần tìm được một giá trị của x ta được một đáp số. BÀI 18: Tìm x . Biết : a/ 26745 x HD: Ta có : 5x+4 = 19 và 5x+4 = -19 5x = 15 5x = -23 x = 3 x = -23/5 = -4,6 Vậy x = 3 ; -4,6 b/ 1617293  x HD: .... x=-1 và x = 10. c/ 3 - 4 765  x HD:  165 x Không có giá trị nào của x thoả mãn d/ 345 x Hướng dẫn: - Ta có: 345 x . - Xét 6;415345 12;275345   xxx xx Dạng 2 )(xf = g(x) Ta phải tìm x phải thoả mãn cả hai điêù kiện: 1/ g(x)  0 2/ f(x) = g(x) hoặc f(x) = - g(x) Bài 19: Tìm x . a/ Biết: 521  xx - Xét điều kiện thứ nhất: 2x-5 5,20  x - Xét điều kiện thứ hai            )1((2 )1(/(4 521 521 khongtmdkx mdktx xx xx Vậy x = 4 b/ Biết: 3579  xx . - Xét điều kiện thứ nhất 5x-3 5 3 0  x - Xét điều kiện thứ hai           )1((3 )1((1 5379 3579 tmdkx tmdkx xx xx Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 48 Vậy x = 1 ; 3 c/ Biết: 2148  xxx ... 12714  xxx Dạng 3 )(xf )(xg hay )(xf - )(xg = 0 Ta phải tìm x thoả mãn hai điều kiện f(x) = g(x) hoặc f(x) =-g(x) BÀI 20 : Tìm x . a/ Biết: 0517517  xx HD: Ta có 17x-5 = 17x +5 Hoặc 17x-5 = -17x - 5 17x-17x = 5+5 17x+17x = -5+5 0 x = 10 34x = 0 Vô nghiệm x = 0 Vậy x = 0 b/ Biết: / 3x+ 4 / = 2 / 2x - 9 / HD: 92243  xx .... x =22 và 2 Dạng 4. 0)()(  xgxf Ta phải tìm x thoả mãn 2 điều kiện f(x)=0 và g(x)=0 BÀI 21 : Tìm x .Biết : a/ 0 7 3 14 13  xx HD: a/ 0 7 3 14 13  xx cả hai số hạng đồng thời bằng 0. x + 13/14 = 0 x = -13/14 và x- 3/7 = 0 x=3/7. Vậy x = 7 3 & 14 13 b/ Tìm cặp số x,y thoả mãn : 02,4238,1  yx Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 49 HD: b/ ....                  1,2 38,1 02,42 038,1 0/2,412/ 0/38,1/ y x y x y x c/ 0)3)(1(32  xxxx HD: c/ 3 31 30 0)3)(1( 0)3(             x hoacx hoacx xx xx d/ Tìm cặp số thực x ; y thoả mãn: / 2x-0, (24) / + / 3y + 0,1 (55) / = 0 HD: / 2x- 0/)5(1,0. 10 1 3/ 99 24  y 0/ 9 5 1. 10 1 3// 99 24 2/  yx / 2x - 0/ 45 7 3// 33 8  y Vì: /2x- 0 45 7 3&0/ 33 8  y Nên: /2x- 33 8 /+/3y+ 0/ 45 7                      45 7 33 4 0 45 7 3 0 33 8 2 y x y x Dạng 5. axfaaxf  )()( ( a là hằng số dưong) BÀI 22: Tìm x. a/ Biết 513 x HD : a/ 513 x -5 < 3x - 1 < 5 -4 < 3x < 6 -4/3 < x < 2 b/ Biết 37710 x Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 50 HD:b/ ... -37 -4,4 < x < 3 c/ Biết 1983  x ...-19  3-8x 4 11 219  x Dạng 6.  axf )( f(x) > a f(x) < -a BÀI 23: Tìm x . a/ Biết; 31115 x HD: ......             2 15 32 31115 31115 x x x x b/ Tìm x . Biết 25452 x .......           8 13 2152 2152 x x x x Bài 24. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thoả mãn điều kiện sau : a/ 4 yx HD: Nếu x =0 thì y = 4 ta được 2 cặp số là (0;4)và(0;-4) Nếu x= 1 thì y = 3 ta được 4 cặp số là ((1;3);(-1;-3); (1;-3);(-1;3) Nếu x= 2 thì y = 2 ta được 4 cặp số là :................... Nếu x= 3 thì y = 1 ta được 4 cặp số là :................... Nếu x= 4 thì y = 0 ta được 2 cặp số là .................... Vậy ta được tất cả 16 cặp số thoả mãn đẳng thức đã cho. b/ 4 yx HD. Tương tự có tất cả 7 + 10 +6+2 = 25 cặp số thoả mãn BĐT đã cho BÀI 25: Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 51 a/ Tìm x thoả mãn : ( x + 2/3 ) ( 1/4 - x ) > 0 HD: a/ Cách 1 (x + 2/3 )( 1/4 - x) > 0 )( 4/1 3/2 04/1 03/2 4/1 3/2 04/1 03/2 angthoixayrkhongthedo x x x x x x x x                         -2/3 < x < 1/4 Cách 2: Lập bảng xét dấu: Giá trị x -2/3 1/4 dấu x+3/2 - 0 + / + dấu 1/4-x + / + 0 - dấu của B.thức - -2/3 + 1/4 - Vậy Biểu thức > 0 nếu -2/3 < x < 1/4 b/ Tìm x thoả mãn: 0 3 12    x x HD:b/  2/13 3 2/1 03 012 0 3 12 )( 4/1 2/1 03 012 0 3 12                              x x x x x x x yrakhongthexa x x x x x x Vậy biểu thức < 0 khi -3 < x < 1/2  Chuyên đề 2: CHỨNG MINH TAM GiÁC $1.. TỔNG BA GÓC CỦA TAM GIÁC Kiến thức cần nhớ : Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 52 A O I B C D E 1- Tổng 3 góc của một tam giác bằng 180 độ . 2- Trong tam gíác vuông 2 góc nhọ phụ nhau . 3- Mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó. 4- Góc ngoài của tam giác lớn hơn 1 góc trong không kề với nó . BAÌ 1 a/ Chứng minh tổng 3 góc trong tam giác bằng 180 độ?(Bằng cách khác SGK) b/ Chứng minh tổng các góc ngoài của một tam giác bằng 360 độ ? c/ Chứng minh góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề ? BÀI 2: a/ Tính tổng các góc ở đỉnh của một ngôi sao năm cạnh ? b/ Cho ABC : AC >AB . Vẽ phân giác AD ( D  BC ) Chứng minh : Góc ADC - góc ADB = góc B - góc C ? HD. Sử dụng định lý góc ngoài của tam giác . BÀI 3 Cho ABC có góc A =  Vẽ tia phân giác BD và CE ( D tuộc AC; E thuộc AB ) cắt nhau tại O . a/ Tính góc BOC theo  ? b/ Vẽ phân giác ngoài t