Các chuyên đề Luyện thi Đại học môn Toán

Mục lục

I Đại số - Lượng giác - Giải tích 9

Chương 1 Phương trình, bất phương trình, hệ đại số 11

1.1. Phương trình, bất phương trình đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1. Phương trình, bất phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.2. Phương trình trình bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.3. Phương trình, bất phương trình bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2. Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Phương trình, bất phương trình chứa căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Vấn đề 1 : Phương trình, bất phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Vấn đề 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Vấn đề 3 : Phương pháp nhân liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Vấn đề 4 : Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Vấn đề 5 : Phương trình, bất phương trình có tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4. Hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.1. Phương pháp thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.2. Phương pháp phân tích thành nhân tử hoặc coi một phương trình là phương trình bậc hai (ba) theomột ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.3. Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.4. Phương pháp hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.5. Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5. Số nghiệm của phương trình, hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Vấn đề 1 : Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Vấn đề 2 : Chứng minh phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Vấn đề 3 : Chứng minh phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.6. Phương trình, bất phương trình, hệ đại số trong các kì thi tuyển sinh ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Chương 2 Bất đẳng thức 37

2.1. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.1. Bất đẳng thức Cauchy - So sánh giữa tổng và tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.2. Một số hệ quả trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.3. Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2. Bất đẳng thức hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3. Phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình . . . . . . . . . . . 2.4. Bất đẳng thức trong các kì thi tuyển sinh ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Chương 3 Lượng giác 51

3.1. Phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2. Phương trình dạng a sin x + b cos x = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3. Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4. Đưa phương trình về dạng tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.5. Phương pháp đánh giá và phương pháp hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.6. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.7. Lượng giác trong các kì thi tuyển sinh ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.8. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Chương 4 Tổ hợp 69

4.1. Các quy tắc đếm. Tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2. Giải phương trình, bất phương trình, hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3. Hệ số của xktrong khai triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.4. Hệ số của xktrong khai triển nhị thức (a + b)n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.5. Hệ số của xktrong khai triển (a + b)n(c + d)m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.6. Hệ số của xktrong khai triển (a + b + c)n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.7. Tính tổng các hệ số tổ hợp :n Pk=0ak Ckn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.8. Phương pháp cơ bản với akchỉ là hàm số mũ theo biến k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.9. Phương pháp đạo hàm với aklà tích hàm số mũ và đa thức theo k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.10. Phương pháp tích phân với aklà tích hàm số mũ và phân thức theo k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.11. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Chương 5 Hàm số 83

5.1. Tính đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Vấn đề 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Vấn đề 2 : Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu trên một miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Vấn đề 3 : Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Vấn đề 4 : Sử dụng tính đơn điệu chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Vấn đề 5 : Ứng dụng sự biến thiên vào việc giải phương trình, bất phương trình, hệ . . . . . . . . . . . .91

Vấn đề 6 : Ứng dụng sự biến thiên vào bài toán số nghiệm phương trình có tham số . . . . . . . . . . . . .

5.2. Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Vấn đề 1 : Sử dụng dấu hiệu 1 và dấu hiệu 2 để xác định các điểm cực trị của hàm số . . . . . . . . . . 94

Vấn đề 2 : Điều kiện của tham số để hàm số đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại x = x0 hoặc đồ thị hàmsố đạt cực trị tại điểm ( x0; y0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Vấn đề 3 : Tìm điều kiện để hàm số có cực trị và thỏa mãn một vài điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3. Tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Vấn đề 1 : Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Vấn đề 2 : Các bài toán về tiệm cận có tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.4. Tâm đối xứng và trục đối xứng. Điểm thuộc đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Vấn đề 1 : Tâm đối xứng, trục đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Vấn đề 2 : Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.5. Biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình bằng phương pháp đồ thị . . . .. . . . 103

5.6. Bài toán về sự tương giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.7. Sự tiếp xúc của hai đường cong và tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Vấn đề 1 : Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Vấn đề 2 : Hai đường cong tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Vấn đề 3 : Tiếp tuyến đi qua một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Vấn đề 4 : Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.8. Hàm số trong các kì thi tuyển sinh ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.9. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Chương 6 Mũ và lôgarít 127

6.1. Hàm số mũ, hàm số lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.2. Hàm số logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.3. Phương trình mũ và logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Vấn đề 1 : Phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Vấn đề 2 : Phương pháp logarit hai vế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Vấn đề 3 : Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Vấn đề 4 : Phương pháp phân tích thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Vấn đề 5 : Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.4. Bất phương trình mũ và logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Vấn đề 1 : Bất phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Vấn đề 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Vấn đề 3 : Phương pháp phân tích thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.5. Hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.6. Phương trình mũ và lôgarit trong các kì thi tuyển sinh ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.7. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Chương 7 Tích phân 149

7.1. Các dạng toán cơ bản về nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Vấn đề 1 : Chứng minh một hàm số F( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) . . . . . . . . . . . . . 149

Vấn đề 2 : Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Vấn đề 3 : Tìm hằng số C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Vấn đề 4 : Phương pháp nguyên hàm từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Vấn đề 5 : Phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.2. Các dạng toán tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Vấn đề 1 : Sử dụng tích phân cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Vấn đề 2 : Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Vấn đề 3 : Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Vấn đề 4 : Phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Vấn đề 5 : Tích phân các hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Vấn đề 6 : Tích phân một số hàm đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

7.3. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.4. Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

7.5. Tích phân trong các kì thi ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7.6. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Chương 8 Số phức 167

II Hình học 173

Chương 9 Phương pháp tọa độ trong trong mặt phẳng 175

9.1. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

9.2. Phương trình của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

9.2.1. Các bài toán thiết lập phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

9.2.2. Các bài toán liên quan đến việc sử dụng phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

9.2.3. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

9.3. Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

9.4. Đường elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

9.5. Đường hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

9.6. Đường parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

9.7. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng qua các kì thi tuyển sinh ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

9.8. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Chương 10 Mở đầu về hình học không gian. Quan hệ song song 191

10.1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Vấn đề 1 : Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Vấn đề 2 : Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Vấn đề 3 : Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy . . . . . . .. 193

Vấn đề 4 : Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

10.2. Hai đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Vấn đề 1 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (dùng quan hệ song song) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Vấn đề 2 : Chứng minh hai đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

Vấn đề 3 : Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

10.3. Đường thẳng và mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Vấn đề 1 : Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Vấn đề 2 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Dựng thiết diện song song với một đường thẳng . . .

Vấn đề 3 : Dựng một mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với đường thẳng khác

Xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

10.4. Hai mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Vấn đề 1 : Chứng minh hai mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Vấn đề 2 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước . . . . . . . . . . . . . . 199

Chương 11 Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc 201

11.1. Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Vấn đề 1 : Biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Vấn đề 2 : Chứng minh các đẳng thức vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Vấn đề 3 : Chứng minh các điểm thẳng hàng và quan hệ song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Vấn đề 4 : Chứng minh các vectơ đồng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

11.2. Hai đường thẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Vấn đề 1 : Tính góc giữa hai vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Vấn đề 2 : Tính góc giữa hai đường thẳng a và b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Vấn đề 3 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

11.3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Vấn đề 1 : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Vấn đề 2 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Vấn đề 3 : Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Vấn đề 4 : Dựng mặt phẳng qua điểm M cho trước và vuông góc với một đường thẳng d cho trước . . . . . 211

11.4. Hai mặt phẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Vấn đề 1 : Xác định góc giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Vấn đề 2 : Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Vấn đề 3 : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Vấn đề 4 : Dựng mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với (P) (giả thiết a không vuông góc với (P)) . . . . . 216

11.5. Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Vấn đề 1 : Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Vấn đề 2 : Dựng đường thẳng đi qua một điểm A cho trước và vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trước.

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Vấn đề 3 : Đoạn vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau . . . . . . . . . . . . . 219

11.6. Khối đa diện và thể tích khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Vấn đề 1 : Phương pháp trực tiếp tìm thể tích khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Vấn đề 2 : Tính thể tích hình chóp một cách gián tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Vấn đề 3 : Dùng công thức thể tích để giải một số bài toán hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

11.7. Phân loại một số hình khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

11.7.1. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

11.7.2. Hình chóp đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

11.7.3. Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

11.7.4. Hình chóp có hai mặt vuông góc với đáy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

11.7.5. Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau . . 233

11.7.6. Hình hộp - Hình lăng trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

11.8. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Chương 12 Mặt cầu và khối tròn xoay 239

12.1. Mặt cầu, khối cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

12.2. Mặt tròn xoay. Mặt trụ, hình trụ và khối trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

Chương 13 Phương pháp không gian toạ độ trong không gian 249

13.1. Hệ toạ độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Vấn đề 1 : Tìm tọa độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn một số điều kiện cho trước . 249

Vấn đề 2 : Ứng dụng của tích vô hướng và tích có hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Vấn đề 3 : Lập phương trình của mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

Vấn đề 4 : Phương pháp tọa độ giải hình học không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

13.2. Phương trình mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Vấn đề 1 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có một vectơ pháp tuyến cho trước . . . .

Vấn đề 2 : Vị trí tương đối của hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Vấn đề 3 : Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Vấn đề 4 : Góc giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

Vấn đề 5 : Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

13.3. Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Vấn đề 1 : Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Vấn đề 2 : Tìm điểm trên đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Vấn đề 3 : Vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆ và ∆

′

trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Vấn đề 4 : Vị trí tương đối giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Vấn đề 5 : Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

Vấn đề 6 : Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

Vấn đề 7 : Góc giữa hai đường thẳng ; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

Vấn đề 8 : Phương trình đường thẳng biết đường thẳng đó song song, hoặc vuông góc với đường thẳng

hoặc mặt phẳng khác, hoặc nằm trên mặt phẳng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Vấn đề 9 : Phương trình đường thẳng ∆ biết ∆ cắt ∆

′Vấn đề 10 : Hình chiếu và tính đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

Vấn đề 11 : Bài toán cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

13.4. Hình học không gian trong các kì thi tuyển sinh ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

13.5. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

III Hướng dẫn và đáp số 28

283 trang | Chia sẻ: maiphuongdc | Lượt xem: 3250 | Lượt tải: 3

Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Các chuyên đề Luyện thi Đại học môn Toán, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

x − 1 ; 7. 1 R 0 dx x2 − 4x + 5 ; 8. 2 R 1 dx x2 − 2x + 2 ; 9. 1 R 0 x dx x4 − 5x2 + 4 ; 10. 1 R 0 x2 dx x2 + 1 ; 11. 1 R −1 x dx x2 + x + 1 ; 12. 1 R 0 (x2 − 4) dx 2x3 − 4x2 + 6x − 12 ; 13. 1 R 0 3x + 8 x2 − 9x + 14 dx; 14. 4 R 0 x dx x4 + 4x2 + 3 ; 15. 1 R 0 x2 (1 + x)2 dx; 16. 4 R 2 2x + 1 x2 + x dx; 17. 2 R −1 x − 1 x + 2 2 dx; 18. 1 R 0 (1 − 3x)4 (2x + 1)3 dx; 19. 1 R 0 x3 dx (x2 + 1)2 ; 20. 1 R 0 x5 dx 4x6 + 4x3 + 1 ; 21. 2 R 1 (x2 + 1) dx (x2 + 3x − 1)(x2 + 5x − 1) ; 22. 2 R 1 (x2 − 4) dx (x2 − 3x + 4)(x2 − 2x + 4) ; 23. 1 R 0 6x2 + x + 2 (4x + 1)(x2 + 1) dx; 24. 1 R 1 2 x4 + 5x2 + 4 x(x2 + 2)2 dx; 25. 1 R 0 4x − 2 (x + 2)(x2 + 1) dx; 26. √ 2+ √ 6 2 R 1 x2 + 1 x4 + 1 dx; 27. 1 R 0 x dx (x + 1)3 ; 28. 1 R 1 2 x2 − 1 x4 + 1 dx; 29. 1 R 0 2x + 1 x + 1 2 dx; 30. 1 R 0 x2 (x2 + 1)2 dx; 31. −1 R 2 dx (11 + 5x)2 ; 32. 2 R 1 (x2 + 1) dx (x2 + 5x + 1)(x2 − 3x + 1) 33. 2 R 1 (4x + 2) dx (x2 + x)(x2 + x + 2) ; 34. 2 R 1 (x2 − 6) dx (x2 + 3x + 2)(x2 + 9x + 18) 35. 0 R −1 x x2 − 3x + 2 2 dx; 36. 1 R 0 x dx (x2 + 1)2 ; 37. 2 R 1 5x + 3 x3 − 2x2 − 3x dx; 38. 3 2 R 1 dx x3 − 4x ; 39. 1 2 R 0 3x2 − 8x + 13 (x + 3)(x − 1)2 dx. Vấn đề 6 : Tích phân một số hàm đặc biệt 1. Đối với hàm chẵn, lẻ (a) Nếu hàm số y = f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên [−a; a] thì a Z −a f (x) dx = 2 a Z 0 f (x) dx. (b) Nếu hàm số y = f (x) là hàm số lẻ, liên tục trên [−a; a] thì a Z −a f (x) dx = 0. Nhận xét : Như vậy, trước khi tính tích phân ta cần chú ý đến hai cận, nếu thấy hai cận đối nhau ta cần để ý đến tính chẵn lẻ của hàm số dưới dấu tích phân rồi áp dụng kết quả khẳng định trên. 2. Tích phân kết hợp giữa hàm chẵn và hàm mũ Cho f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên [−a; a]. Khi đó : a Z −a f (x) mx + 1 dx = a Z 0 f (x) dx. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 159 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 3. Tính bất biến của tích phân khi biến số thay đổi cận cho nhau Ta có hệ thức : b R a f (a + b − x) dx = b R a f (x) dx. 4. Tích phân hàm tuần hoàn Nếu hàm số y = f (x) liên tục, tuần hoàn với chu kì T thì a+T Z a f (x) dx = T Z 0 f (x) dx. 5. Hàm số dưới dấu tích phân có trục đối xứng thẳng đứng Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] và f (a + b − x) = f (x) thì b Z a x f (x) dx = a + b 2 b Z a f (x) dx. Đặc biệt : π R 0 x f (sin x) dx = π 2 π R 0 f (sin x) dx. 6. Tích phân của các hàm số đối xứng nhau - tích phân liên kết lượng giác Nếu f (x) liên tục trên [0; 1] thì π 2 R 0 f (sin x) dx = π 2 R 0 f (cos x) dx. Đặc biệt π 2 Z 0 sink x (sin x + cos x)n = π 2 Z 0 cosk x (sin x + cos x)n ; π 2 Z 0 sink x sinn x + cosn x = π 2 Z 0 cosk x sinn x + cosn x . 7. Biến đổi tách đôi hàm số và co cận tích phân Nếu f (x) là hàm liên tục trên [0; 2a], thì 2a R 0 f (x) dx = a R 0 ( f (x) + f (2a − x)) dx. Bài 7.23 : 1. Chứng minh rằng 1 R −1 ecos x dx = 2 1 R 0 ecos x dx. 2. Tính các tích phân sau: I1 = 2 Z −2 ln(x + √ x2 + 1) dx; I2 = 1 2 Z − 12 cos x ln 1 + x 1 − x dx. Bài 7.24 : Tính các tích phân sau : 1. π 3 R − π3 cos7 x dx; 2. 1 R −1 x6 + tan x x2 + 1 dx; 3. a R −a x2 sin x + √ a2 − x2 dx (a > 0); 4. 1 R −1 ln x + √ 1 + x2 2007 dx; 5. 1 R −1 x2 + cos 6x + sin 3x 2 sin x 2 ln 2 + x 2 − x dx; 6. 1 R −1 x4 sin4 x + cos4 x 3 r x5 − x3 + x − sin x x4 + x2 + 1 + cos x dx; 7. 1 R −1 dx (2x + 1)(x2 + 1) ; 8. 1 2 R − 12 dx (ex + 1) √ 1 − x2 ; 9. π 2 R − π2 x2 |sin x| 2009x + 1 ; 10. π 2 R − π2 sin x sin 2x cos 5x ex + 1 dx; 11. 1 R −1 x ln 1 + √ 1 + x2 (3x + 1) √ 1 + x2 dx; 12. 1 R −1 x2 ln(1 + x2) 2x + 1 dx; 13. 1 2 R − 12 x ln 1+x 1−x ex + 1 dx; TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 160 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 14. π 2 R − π2 x2 cos x ex + 1 dx; 15. π 4 R 0 ln(1 + tan x) dx; 16. 1 R 0 ln(1 + x) 1 + x2 dx; 17. 4π R 0 sin7 3x cos8 5x 1 + cos10 x dx; 18. π 2 R 0 tan2007 2x + sin2009 6x dx; 19. 2007π R 0 √ 1 − cos 2x dx; 20. 5π 4 R π sin 2x cos4 x + sin4 x dx; 21. π R 0 x sin x dx 9 + 4 cos2 x ; 22. π R 0 x sin x dx; 23. π R 0 x sin3 x dx; 24. I = π R 0 x sin x d x 1 + sin2 x ; 25. π 2 R 0 cos4 x sin4 x + cos4 x ; 26. π 2 R 0 sin x (sin x + cos x)3 ; 27. π 2 R 0 1 cos2(sin x) − tan 2(cos x) dx; 28. π 2 R 0 sinn x sinn−1 x + cosn−1 x ; 29. π 2 R 0 ln(tan x) dx; 30. π 2 R 0 ln(sin x) dx; 31. π 2 R 0 dx 1 + tan2009 x dx; 32. 4 R 2 √ ln(9 − x)√ ln(9 − x) + √ln(x + 3) dx; 33. 3π R 0 sin x sin 2x sin 3x dx; 34. π R 0 3 É sin 5x sin 3x cos 7x dx; 35. 2π R 0 √ 1 + sin x dx; 36. π R 0 x sin x cos2 x dx; 37. π 2 R 0 cos3 x sin x + cos x dx; 38. 1 R −1 x4 1 + 2x dx; Bài 7.25 : Chứng minh các hệ thức sau : 1. 1 R 0 xm(1 − x)n d x = 1 R 0 xn(1 − x)m dx; 2. a R 0 x3 f (x2) d x = 1 2 a2 R 0 x f (x) dx (a > 0; x > 0); 3. Chứng minh rằng nếu y = f (x) là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kì T thì T R 0 f (x) dx = 2 T 2 R 0 f (x) dx. 7.3 Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng Bài 7.26 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : 1. elíp : x2 a2 + y2 b2 = 1, (a, b > 0). 2. đồ thị hàm số y = x3 − 1, đường thẳng x = 2, trục tung và trục hoành. 3. đồ thị hàm số y = 4 − x2, đường thẳng x = 3, trục tung và trục hoành. 4. parabol y = 2 − x2 và đường thẳng y = −x. 5. đường thẳng y = x + 2 và parabol y = x2 + x − 2. 6. đồ thị hàm số y = √ x, trục hoành và đường thẳng y = x − 2. Bài 7.27 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 161 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1. đồ thị các hàm số y = 27 x , y = x2 27 và y = x2. 2. parabol y = 2x2 − 4x − 6, trục hoành, và hai đường thẳng x = −2, x = 4. 3. parabol (P) : y = x2 − 4x + 5 và hai tiếp tuyến của (P) tại A(1; 2) và B(4; 5). 4. đồ thị các hàm số y = |x2 − 1| và y = |x| + 5. 5. đồ thị các hàm số y = − √ 4 − x2 và x2 + 3y = 0. 6. đồ thị các hàm số y = sin |x| và y = |x| − π. 7. đồ thị các hàm số x2 = 4y và y = 8 x2 + 4 Bài 7.28 : Cho parabol (P) : y = x2 + 1 và cho đường thẳng dm : y = mx + 2. 1. Chứng minh rằng với mọi m thì (P) và dm luôn cắt nhau tại hai điểm phân biêt. 2. Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (P) và dm có diện tích nhỏ nhất. Bài 7.29 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : 1. đồ thị các hàm số y = x2, y = x2 4 , y = 2 x và y = 8 x . 2. đồ thị các hàm số y2 = 2x, x − 2y + 2 = 0 và trục hoành. 3. đồ thị hàm số y2 + x − 5 = 0 và đường thẳng x + y − 3 = 0. 4. đồ thị các hàm số x2 = 3y và y2 = 3x. 5. parabol y = x2 − 2x + 2 và các tiếp tuyến của nó đi qua điểm A(2;−2). 7.4 Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể tròn xoay Bài 7.30 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi parabol y = 2x − x2 và trục hoành. 1. Tính thể tích Vx của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox. 2. Tính thể tích Vy của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Oy. Bài 7.31 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2, y = 27 x và y = x2 27 . Tính thể tích Vx, Vy của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox, Oy (tương ứng). Bài 7.32 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi các parabol y = 4− x2 và y = x2 + 2. Tìm thể tích Vx, Vy của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox, Oy. Bài 7.33 : Cho S là hình tròn tâm I(2; 0) và bán kính R = 1. Tìm thể tích Vx, Vy của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox, Oy. Bài 7.34 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xex, trục hoành và đường thẳng x = 1 . Tìm thể tích Vx của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox. Bài 7.35 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x, trục hoành, các đường thẳng x = 0 và x = π. Tính thể tích Vx của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox. Bài 7.36 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x ln x, trục hoành, các đường thẳng x = 1 và x = e. Tính thể tích Vx của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 162 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 7.5 Tích phân trong các kì thi ĐH Bài 7.37 (CĐ09) : Tính tích phân : I = 1 R 0 e−2x + x ex dx. Bài 7.38 (CĐ10) : Tính tích phân I = 1 R 0 2x − 1 x + 1 dx. Bài 7.39 (A02) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = |x2 − 4x + 3|, y = x + 3. Bài 7.40 (A03) : Tính tích phân : I = 2 √ 3 R √ 5 dx x √ x2 + 4 . Bài 7.41 (A04) : Tính tích phân : I = 2 R 1 x 1 + √ x − 1 dx. Bài 7.42 (A05) : Tính tích phân : I = π 2 R 0 sin 2x + sin x√ 1 + 3 cos x dx. Bài 7.43 (A06) : Tính tích phân : I = π 2 R 0 sin 2x√ cos2 x + 4 sin2 x dx. Bài 7.44 (A07) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x. Bài 7.45 (A08) : Tính tích phân : I = π 6 R 0 tan4 x cos 2x dx. Bài 7.46 (A09) : Tính tích phân : I = π 2 R 0 cos3 x − 1 cos2 dx. Bài 7.47 (A10) : Tính tích phân I = 2 R 0 x2 + ex + 2x2ex 1 + 2ex dx. Bài 7.48 (B02) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = r 4 − x 2 4 và y = x2 4 √ 2 . Bài 7.49 (B04) : Tính tích phân I = e R 1 √ 1 + 3 ln x ln x x dx. Bài 7.50 (B05) : Tính tích phân I = π 2 R 0 sin 2x cos x 1 + cos x dx. Bài 7.51 (B06) : Tính tích phân I = ln 5 R ln 3 dx ex + 2.e−x − 3 . Bài 7.52 (B07) : Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y = x ln x, y = 0, x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox. Bài 7.53 (B08) : Tính tích phân : I = π 4 R 0 sin x − π4 dx sin 2x + 2(1 + sin x + cos x) . Bài 7.54 (B09) : Tính tích phân : I = 3 R 1 3 + ln x (x + 1)2 dx. Bài 7.55 (B10) : Tính tích phân I = e R 1 ln x x(2 + ln x)2 dx. Bài 7.56 (D03) : Tính tích phân : I = 2 R 0 |x2 − x| dx. Bài 7.57 (D04) : Tính tích phân : I = 3 R 2 ln(x2 − x) dx. Bài 7.58 (D05) : Tính tích phân : I = π 2 R 0 esin x + cos x cos x dx. Bài 7.59 (D06) : Tính tích phân : I = 1 R 0 (x − 2)e2x dx. Bài 7.60 (D07) : Tính tích phân : I = e R 1 x3 ln2 x dx. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 163 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 7.61 (D08) : Tính tích phân : I = 2 R 1 ln x x3 dx. Bài 7.62 (D09) : Tính tích phân : I = 3 R 1 dx ex − 1 . Bài 7.63 (D10) : Tính tích phân I = e R 1 2x − 3 x dx. 7.6 Bài tập tổng hợp Bài 7.64 : Tính tích phân : I = 2 R 0 x3 dx x2 + 1 . Bài 7.65 : Tính tích phân : I = ln 3 R 0 ex dx p(ex + 1)3 . Bài 7.66 : Tính tích phân : I = 0 R −1 x 22x + 3 √ x + 1 dx. Bài 7.67 : Tính tích phân : I = π 4 R 0 x 1 + cos 2x dx. Bài 7.68 : Tính tích phân : I = 1 R 0 x3 √ 1 − x2 dx. Bài 7.69 : Tính tích phân : I = ln 5 R ln 2 e2x dx√ ex − 1 . Bài 7.70 : Tính tích phân : I = 1 R 0 x3ex 2 dx. Bài 7.71 : Tính tích phân : I = e R 1 x2 + 1 x ln x dx. Bài 7.72 : Tính tích phân : I = π 3 R 0 sin2 x tan x dx. Bài 7.73 : Tính tích phân : I = 7 R 0 x + 2 3√ x + 1 dx. Bài 7.74 : Tính tích phân : I = e R 1 x2 ln x dx. Bài 7.75 : Tính tích phân : π 4 R 0 (tan x + esin x. cos x) dx. Bài 7.76 : Tính tích phân : I = e3 R 1 ln2 x x √ ln x + 1 dx. Bài 7.77 : Tính tích phân : I = π 2 R 0 (2x − 1) cos2 x dx. Bài 7.78 : Tính tích phân : I = 6 R 2 dx 2x + 1 + √ 4x + 1 . Bài 7.79 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol : y = x2 − x + 3 và đường thẳng d : y = 2x − 1. Bài 7.80 : Tính tích phân : I = √ e R 2 3 − 2 ln x x √ 1 + 2 ln x dx. Bài 7.81 : Tính tích phân : I = 10 R 5 dx x − 2√x − 1 . Bài 7.82 : Tính tích phân : I = π 2 R 0 (x + 1) sin 2x dx. Bài 7.83 : Tính tích phân : I = 2 R 1 (x − 2) ln x dx. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 164 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 7.84 : Tính tích phân : I = 4 R 0 √ 2x + 1 1 + √ 2x + 1 dx. Bài 7.85 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0 và y = x(1 − x) x2 + 1 . Bài 7.86 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 và y = √ 2 − x2. Bài 7.87 : Tính tích phân : I = 1 R 0 x(x − 1) x2 − 4 dx. Bài 7.88 : Tính tích phân : I = 2 R 0 x2 cos x dx. Bài 7.89 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3x 4 và y = x2 x + 1 . Bài 7.90 : Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3−x √ 2x + 1; y = 0; x = 1 xung quanh trục Ox. Bài 7.91 : Tính thể tích khối tròn xoay nhận được do quay quanh trục Oy hình phẳng được giới hạn bởi các đường y2 = x và 3y− x = 2. Bài 7.92 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = |x2 − 4x| và y = 2x. Bài 7.93 : Cho D là hình hình giới hạn bởi (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1. Tính thể tích vật thể khi quay D quanh trục Ox. Bài 7.94 : Tính các tích phân sau : 1. e R 1 e ln x (1 + x)2 dx; 2. 1 R 0 (2x − 1)2e3x dx; 3. e+1 R 2 x2 ln(x − 1) dx; 4. 1 R 0 dx x + √ 1 − x2 ; 5. π R 0 x sin x cos x dx; 6. 5 R 1 x2 + 1 x √ 3x + 1 dx; 7. 3 R 1 ln(x2 + 3) x2 dx; 8. π 2 R 0 x + sin x 1 + cos x dx; 9. R π 2 cos3 x cos x − sin x dx; 10. π 4 R 0 cos x − π 4 4 − 3 cos x dx; 11. 2 R 0 x dx√ 2 + x + √ 2 − x ; 12. π 4 R 0 x sin x cos3 x dx; 13. 1 R 0 x3 − x2 x 3√3x − 4 − 1 dx; 14. π R 0 sin 2x 1 + cos4 x dx; 15. π 4 R π 6 x sin2 x dx sin 2x cos2 x ; 16. e R 1 ln3 x x(ln2 x + 1) dx; 17. π 2 R 0 3x(x − 1) + e1+cos x sin 2x dx; 18. π 4 R − π4 dx cos2 x 1 + e−3x . Bài 7.95 : Tính các tích phân sau : 1. ln √ 3 R 0 dx e2x + 1 ; 2. 1 R 0 dx 1 + √ 1 − x2 ; 3. π 2 R 0 cos 2x sin4 x + cos4 x dx; 4. 1 R 0 dx x4 + 4x2 + 3 ; 5. 2 R 0 √ x(2 − x) + ln(4 + x2) dx; 6. π 3 R 0 x + sin2 x 1 + cos 2x dx; 7. 3 ln 2 R 0 e2x dx 1 + √ 3ex + 1 ; 8. 2 R 1 x √ x − 1 x − 5 dx; 9. 1 R −1 dx 1 + x + √ 1 + x2 ; 10. 2 R 0 x ln(x2 + 1) + x3 x2 + 1 11. 1 R 0 1 + x 1 + √ x dx; 12. π 3 R 0 sin x cos x √ 3 + sin2 x dx; 13. π 2 R π 4 x cos x sin3 x dx; 14. ln 5 R ln 2 dx (10.e−x − 1) √ex − 1 ; 15. π 4 R 0 x sin x cos3 x dx; 16. π 2 R 0 sin 2x − 3 cos x 2 sin x + 1 dx; 17. 2 R 1 √ 4 − x2 x2 dx; TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 165 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM Chương 8 Số phức Bài 8.1 : 1. Mối quan hệ z = z đúng nếu và chỉ nếu z là số thực ; 2. Với bất kì số phức z quan hệ z = z là đúng ; 3. Với bất kì số phức z, số phức z.z ∈ R là một số thực không âm ; 4. z1 + z2 = z1 + z2 (liên hợp của một tổng bằng tổng các liên hợp) ; 5. z1.z2 = z1.z2 (liên hợp của một tích bằng tích các liên hợp) ; 6. Với bất kì số phức z , 0, có z−1 = (z)−1 ; 7. z1 z2 = z1 z2 , z2 , 0 (liên hợp của một thương bằng thương các liên hợp) ; 8. ℜ(z) = z + 2 2 và ℑ(z) = z − z 2i . Bài 8.2 : 1. Tính z = 5 + 5i 3 − 4i + 20 4 + 3i ; 2. Giả sử z1, z2 ∈ C. Chứng minh rằng số E = z1.z2 + z1.z2 là một số thực. Bài 8.3 : Chứng minh các khẳng định sau : 1. −|z| ≤ ℜ(z) ≤ |z| và −|z| ≤ ℑ(z) ≤ |z| ; 2. |z| = | − z| = |z| ; 3. z.z = |z|2 ; 4. |z1.z2| = |z1|.|z2| (môđun của một tích bằng tích các môđun) ; 5. |z1| − |z2| ≤ |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| ; 6. |z−1| = |z|−1, z , 0 ; 7. z1 z2 = |z1| |z2| , z2 , 0 (môđun của một thương bằng thương các môđun) ; 8. |z1| − |z2| ≤ |z1 − z2| ≤ |z1| + |z2|. Bài 8.4 : Chứng minh rằng |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2) với mọi số phức z1, z2. Bài 8.5 : Chứng minh rằng nếu |z1| = |z2| = 1 và z1.z2 , −1, thì z1 + z21 + z1z2 là số thực. Bài 8.6 : Giải sử a là một số thực dương và Ma = § z ∈ C∗ : z + 1 z = a ª . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của |z| khi z ∈ Ma. 167 WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 8.7 : Chứng minh rằng với bất kì số phức z, có |z + 1| ≥ 1√ 2 hoặc |z2 + 1| ≥ 1. Bài 8.8 : Chứng minh rằng : r 7 2 ≤ |1 + z| + |1 − z + z 2| ≤ 3 r 7 6 với mọi số phức mà |z| = 1. Bài 8.9 : Xét tập H = {z ∈ C : z = x − 1 + xi, x ∈ R}. Chứng minh rằng có duy nhất số z ∈ H sao cho |z| ≤ |w| với mọi w ∈ H. Bài 8.10 : Giả sử x, y, z là các số phức phân biệt sao cho y = tx + (1 − t)z, t ∈ (0; 1). Chứng minh rằng |z| − |y| |z − y| ≥ |z| − |x| |z − x| ≥ |y| − |x| |y − x| . Bài 8.11 : Giải phương trình trên tập số phức z2 − 8(1 − i)z + 63 − 16i = 0. Bài 8.12 : Giả sử p, q là các số phức với q , 0. Chứng minh rằng nếu các nghiệm của phương trình bậc hai x2 + px + q2 = 0 có cùng môđun, thì p q là một số thực. Bài 8.13 : Giả sử a, b, c là các số phức khác không với |a| = |b| = |c|. 1. Chứng minh rằng nếu các nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 có môđun bằng 1, thì b2 = ac. 2. Nếu mỗi phương trình az2 + bz + c = 0 và bz2 + cz + a = 0 có một nghiệm có môđun bằng 1, thì |a − b| = |b − c| = |c − a|. Bài 8.14 : Giải các phương trình sau trong C : 1. z2 + z + 1 = 0 ; 2. z3 + 1 = 0. Bài 8.15 : Tìm các số thực x, y thỏa mãn mỗi trường hợp sau : 1. (1 − 2i)x + (1 + 2i)y = 1 + i ; 2. x − 3 3 + i + y − 3 3 − i = i ; 3. (4 − 3i)x2 + (3 + 2i)xy = 4y2 − 1 2 x2 + (3xy − 2y2)i. Bài 8.16 : Tính : 1. (2 − i)(−3 + 2i)(5 − 4i) ; 2. (2 − 4i)(5 + 2i) + (3 + 4i)(−6 − i) ; 3. 1 + i 1 − i 16 + 1 − i 1 + i 8 ; 4. −1 + i√3 2 6 + 1 − i√7 2 6 ; 5. 3 + 7i 2 + 3i + 5 − 8i 2 − 3i . Bài 8.17 : Tính : 1. i2000 + i1999 + i201 + i82 + i47 ; 2. En = 1 + i + i2 + · · · + in, với n ≥ 1 ; 3. i1.i2.i3 . . . i2000 ; 4. i−5 + (−i)7 + (−i)13 + i−100 + (−i)94. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 168 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 8.18 : Giải phương trình trong C : 1. z2 = i ; 2. z2 = −i ; 3. z2 = 1 2 − i √ 2 2 . Bài 8.19 : Tìm tất cả các số phức z , 0 sao cho z + 1 z ∈ R. Bài 8.20 : Chứng minh rằng : 1. E1 = (2 + i √ 5)7 + (2 − i√5)7 ∈ R ; 2. E2 = 19 + 7i 9 − i n + 20 + 5i 7 + 6i n ∈ R. Bài 8.21 : Chứng minh các đẳng thức sau : 1. |z1 + z2|2 + |z2 + z3|2 + |z3 + z1|2 = |z1|2 + |z2|2 + |z3|2 + |z1 + z2 + z3|2 ; 2. |1 + z1z2|2 + |z1 − z2|2 = (1 + |z1|2)(1 + |z2|)2 ; 3. |1 − z1z2|2 − |z1 − z2|2 = (1 − |z1|2)(1 − |z2|)2 ; 4. |z1 + z2 + z3|2 + | − z1 + z2 + z3|2 + |z1 − z2 + z3|2 + |z1 + z2 − z3|2 = 4(|z1|2 + |z2|2 + |z3|2). Bài 8.22 : Giả sử z ∈ C∗ sao cho z3 + 1 z3 ≤ 2. Chứng minh rằng z + 1 z ≤ 2. Bài 8.23 : Tìm tất cả các số phức z sao cho : 1. |z| = 1 và |z2 + z2| = 1 ; 2. 4z2 + 8|z|2 = 8 ; 3. z3 = z. Bài 8.24 : Xét số phức z ∈ C với ℜ(z) > 1. Chứng minh rằng 1 z − 1 2 < 1 2 . Bài 8.25 : Giả sử a, b, c là các số thực và ω = −1 2 + i √ 3 2 . Tính (a + bω + cω2)(a + bω2 + cω). Bài 8.26 : Giải các phương trình : 1. |z| − 2z = 3 − 4i ; 2. |z| + z = 3 + 4i ; 3. z3 = 2 + 11i, ở đây z = x + yi và x, y ∈ Z ; 4. iz2 + (1 + 2i)z + 1 = 0 ; 5. z4 + 6(1 + i)z2 + 5 + 6i = 0 ; 6. (1 + i)z2 + 2 + 11i = 0. Bài 8.27 : Tìm tất cả các số thực m sao cho phương trình z3 + (3 + i)z2 − 3z − (m + i) = 0 có ít nhất một nghiệm thực. Bài 8.28 : Tìm tất cả các số phức z sao cho z′ = (z − 1)(z + i) là một số thực. Bài 8.29 : Tìm tất cả các số phức z sao cho |z| = 1 z . Bài 8.30 : Giả sử z1, z2 ∈ C là các số phức sao cho |z1 + z2| = √ 3 và |z1| = |z2| = 1. Tính |z1 − z2|. Bài 8.31 : Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho −1 + i√3 2 n + −1 − i√3 2 n = 2. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 169 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 8.32 : Giả sử n > 2 là một số nguyên. Tìm các nghiệm của phương trình zn−1 = iz. Bài 8.33 : Giả sử z1, z2, z3 là các số phức với |z1| = |z2| = |z3| = R > 0. Chứng minh rằng |z1 − z2|.|z2 − z3| + |z3 − z1|.|z1 − z2| + |z2 − z3|.|z3 − z1| ≤ 9R2. Bài 8.34 : Giả sử u, v, w, z là các số phức sao cho |u| < 1, |v| = 1 và w = v(u − z) u.z − 1 . Chứng minh rằng |w| ≤ 1 nếu và chỉ nếu |z| ≤ 1. Bài 8.35 : Giả sử z1, z2, z3 là các số phức sao cho z1 + z2 + z3 = 0 và |z1| = |z2| = |z3| = 1. Chứng minh rằng z21 + z 2 2 + z 2 3 = 0. Bài 8.36 : Xét các số phức z1, z2, . . . , zn với |z1| = |z2| = · · · = |zn| = r > 0. Chứng minh rằng số E = (z1 + z2)(z2 + z3) · · · (zn−1 + zn)(zn + z1) z1.z2 · · · zn là số thực. Bài 8.37 : Giả sử z1, z2, z3 là các số phức khác nhau sao cho |z1| = |z2| = |z3 > 0.| Nếu z1 + z2z3, z2 + z1z3 và z3 + z1z2 là các số thực, chứng minh rằng z1z2z3 = 1. Bài 8.38 : Giả sử x1 và x2 là các nghiệm của phương trình x2 − x + 1 = 0. Tính 1. x20001 + x 2000 2 ; 2. x 1999 1 + x 1999 2 ; 3. x n 1 + x n 2, với n ∈ N. Bài 8.39 : Phân tích thành tích các nhị thức bậc nhất các đa thưc sau : 1. x4 + 16 ; 2. x3 − 27 ; 3. x3 + 8 ; 4. x4 + x2 + 1. Bài 8.40 : Tìm tất cả các phương trình bậc hai với hệ số thực có một nghiệm là : 1. (2 + i)(3 − i) ; 2. 5 + i 2 − i ; 3. i51 + 2i80 + 3i45 + 4i38. Bài 8.41 (Bất đẳng thức Hlawka) : Chứng minh bất đẳng thức sau |z1 + z2| + |z2 + z3| + |z3 + z1| ≤ |z1| + |z2| + |z3| + |z1 + z2 + z3| đúng với mọi số phức z1, z2, z3. Bài 8.42 : Biểu diễn hình học của các số phức sau : z1 = 3 + i ; z2 = −4 + 2i ; z3 = −5 − 4i ; z4 = 5 − i ; z5 = 1 ; z6 = −3i ; z7 = 2i ; z8 = −4. Bài 8.43 : Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn mỗi số phức z thỏa mãn các trường hợp dưới đây : 1. |z − 2| = 3 ; 2. |z + i| < 1 ; 3. |z − 1 + 2i| > 3 ; 4. |z − 2| − |z + 2| < 2 ; TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 170 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 5. 0 < ℜ(iz) < 1 ; 6. −1 < ℑ(z) < 1 ; 7. ℜ z − 2 z − 1 = 0 ; 8. 1 + z z ∈ R ; 9. | √ x2 + 4 + i √ y − 4| = √10, với z = x + yi ; 10. z + 1 z = 2. Bài 8.44 : Biểu diễn lượng giác của các số phức sau và xác định argument của chúng : 1. z1 = −1 − i ; 2. z2 = 2 + 2i ; 3. z3 = −1 + i √ 3 ; 4. z4 = 1 − i √ 3. Bài 8.45 : Biểu diễn lượng giác của các số phức sau và xác định argument của chúng : 1. z1 = 2i ; 2. z2 = −1 ; 3. z3 = 2 ; 4. z4 = −3i. Bài 8.46 : Tìm biểu diễn lượng giác của số phức z = 1 + cos a + i sin a, a ∈ (0; 2π). Bài 8.47 : Tìm tất cả các số phức z sao cho |z| = 1 và z z + z z = 1. Bài 8.48 : Tính (1 + i)1000. Bài 8.49 : Chứng minh rằng sin 5t = 16 sin5 t − 20 sin3 t + 5 sin t; cos 5t = 16 cos5 t − 20 cos3 t + 5 cos t. Bài 8.50 : Tính z = (1 − i)10(√3 + i)5 (−1 − i√3)10 . Bài 8.51 : Tính : 1. (1 − cos a + i sin a)n với a ∈ [0; 2π) và n ∈ N ; 2. zn + 1 zn , nếu z + 1 z = √ 3. Bài 8.52 : Giả sử z1, z2, z3 là các số phức sao cho |z1| = |z2| = |z3| = r > 0 và z1 + z2 + z3 , 0. Chứng minh rằng z1z2 + z2z3 + z3z1 z1 + z2 + z3 = r. Bài 8.53 : Giả sử z1, z2 là các số phức sao cho |z1| = |z2| = r > 0. Chứng minh rằng z1 + z2 r2 + z1z2 2 + z1 − z2 r2 − z1z2 2 ≥ 1 r2 . Bài 8.54 : Giả sử z1, z2, z3 là các số phức sao cho |z1| = |z2| = |z3| = 1 và z21 z2z3 + z22 z3z1 + z23 z1z2 + 1 = 0. Chứng minh rằng |z1 + z2 + z3|{1; 2}. Bài 8.55 : Giả sử z1, z2 là các số phức sao cho |z1| = |z2| = 1. Chứng minh rằng |z1 + 1| + |z2 + 1| + |z1z2 + 1| ≥ 2. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 171 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 8.56 : Giả sử n > 0 là một số nguyên và z là số phức sao cho |z| = 1. Chứng minh rằng n|1 + z| + |1 + z2| + |1 + z3| + · · · + |1 + z2n| + |1 + z2n+1| ≥ 2n. Bài 8.57 : Dùng công thức khai triển Newton (1 + i)19 và công thức Moa-vrơ để tính C019 − C219 + C419 − · · · + C1619 − C1819. Bài 8.58 (CĐ10) : Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2 − 3i)z + (4 + i)z = −(1 + 3i)2. Tìm phần thực và phần ảo của z. Bài 8.59 (CĐ10) : Giải phương trình z2 − (1 + i)z + 6 + 3i = 0 trên tập hợp các số phức. Bài 8.60 (A09) : Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức A = |z1|2 + |z2|2. Bài 8.61 (A10) : Tìm phần ảo của số phức z, biết z = (√2 + i)2(1 − √2i). Bài 8.62 (A10) : Cho số phức z thỏa mãn z = (1 − √3i)3 1 − i . Tìm môđun của số phức z + iz. Bài 8.63 (B09) : Tìm số phức z thỏa mãn |z − (2 + i)| = √10 và z.z = 25. Bài 8.64 (B10) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn : |z − i| = |(1 + i)z| . Bài 8.65 (D09) : Trong mặt phẳn

Các file đính kèm theo tài liệu này:

CHUYEN-DE-LUYEN-THI-DH-2012-TRAN-ANH-TUAN (2).pdf