Các chuyên đề về Hình học giải tích

CHUYÊN ĐỀ 3 ĐƯỜNG THẲNG I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, muốn viết phương trình một đường thẳng ta cần phải biết: ( )Δ 1) ( qua điểm M0(x0, y0) và có vectơ chỉ phương a)Δ G = (a1, a2) sẽ có: . Phương trình tham số : (t 0 0 2 x x ta y y ta = +⎧⎨ = +⎩ 1 ∈ R) . Phương trình chính tắc : 0 1 x x a − = 0 2 y y a − (a1, a2 ≠ 0) Từ phương trình chính tắc ta có thể đổi thành dạng phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 (A2 + B2 > 0) 2) ( qua điểm M0(x0, y0) và có 1 pháp véctơ là (a,b) có phương trình : a(x – x0) + b(y – y0) = 0 )Δ 3) i) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng có dạng Ax + By + C = 0 với A2 + B2 > 0 (1) ii) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng có dạng x = x0 hoặc y = kx + m (2). Ta dễ dàng thấy (1) và (2) là tương đương. + (2) ⇔ kx –y + m = 0 ⇒ (2 ) thỏa (1) với A = k, B = - 1 , C = m. + Nếu B = 0 ⇒ = − Cx A , có dạng x = x0 với x0 =− CA . Nếu B≠ 0 ⇒ = − − A Cy x B B , có dạng y = kx + m. 3) ( qua hai điểm A(xA, yA), B(xB, yB) có phương trình : )Δ A B A x x x x − − = A B A y y y y − − nếu 0− − ≠B A B A( x x ) ( y y ) 1 Nếu ( qua A(a, 0) ∈ Ox và B(0, b) )Δ ∈ Oy với a.b ≠ 0; ta nói ( )Δ có đoạn chắn a, b với phương trình: x a + y b = 1 * Ghi chú: Nếu đề bài toán yêu cầu ta viết phương trình của đường thẳng, thông thường ta nên viết phương trình ở dạng tổng quát và lưu ý : ( )Δ : Ax + By + C = 0 thì ( )Δ có : . một pháp vectơ = (A, B) nG G . một vectơ chỉ phương a = (–B, A) . hệ số góc k = tg( , ) = Ox JJJG Δ A B − . ( ) (′Δ // ( )Δ ⇒ )′Δ : Ax + By + C0 = 0 . ( ) (′Δ ⊥ ( )Δ ⇒ )′Δ : Bx – Ay + C0 = 0 Ta tìm được C0 nếu biết thêm một điểm nằm trên ( )′Δ . Ngoài ra khi viết phương trình của một đường thẳng ( )Δ theo hệ số góc k, bài toán có thể bị thiếu nghiệm do trường hợp ( )Δ ⊥ x′x (hệ số góc k không tồn tại), do đó ta phải xét thêm trường hợp có phương trình x = C để xem đường thẳng ( )Δ ( )Δ này có thỏa mãn điều kiện của đầu bài không. Ghi chú - Nếu n = (A, B) là 1 pháp véc tơ của đường thẳng G ( )Δ thì k.n = (kA, kB) cũng là pháp véc tơ của G ( )Δ với mọi số thực k ≠ 0. - Nếu là 1 véc tơ chỉ phương của đường thẳng 1 2=a (a ,a ) JG ( )Δ thì k. cũng là véc tơ chỉ phương của1 2=a (ka ,ka ) JG ( )Δ với mọi số thực k khác 0. II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ta cần nhớ Cho (d1) : A1x + B1y + C1 = 0 và (d2) : A2x + B2y + C2 = 0 Đặt : 2 D = 1 1 2 2 A B A B ; Dx = 1 1 2 2 B C B C ; Dy = 1 2 2 C A C A 1 thì : D ≠ 0 ⇔ (d1) cắt (d2) tại I 1 x I y Dx D D y D ⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩ D = 0 và Dx 0 hoặc Dy ≠ ≠ 0 ⇔ (d1) // (d2) D = Dx = Dy = 0 ⇔ (d1) ≡ (d2) hoặc với A2, B2, C2 0 ta có : ≠ 1 2 A A ≠ 1 2 B B ⇔ (d1) cắt (d2) 1 2 A A = 1 2 B B ≠ 1 2 C C ⇔ (d1) // (d2) 1 2 A A = 1 2 B B = 1 2 C C ⇔ (d1) ≡ (d2) Ghi chú 1 1 2 2 B C B C = 1 1 2 2 − C B C B ; 1 1 2 2 C A C A = 1 1 2 2 − A C A C III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Để tìm góc giữa hai đường thẳng, ta gọi α là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng (d1) : A1x + B1y + C1 = 0 (d2) : A2x + B2y + C2 = 0 thì cosα = 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 A A B B A B . A B + + + IV. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG Để tìm khoảng cách từ điểm M(xM, yM) đến đường thẳng ( )Δ : Ax + By + C = 0 ta áp dụng công thức : 3 d(M,Δ ) = 2 2 M MAx By C A B + + + Khoảng cách đại số từ đường thẳng ( )Δ đến điểm M(xM, yM) là : t = 2 2 M MAx By A B + + + C G Đặt pháp vectơ = (A, B) có gốc lên n ( )Δ thì : . t > 0 nếu điểm M và n nằm cùng một bên đối với G ( )Δ . t < 0 nếu điểm M và n nằm khác bên đối với G ( )Δ Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi 2 đường thẳng (d1) : A1x + B1y + C1 = 0 và (d2) : A2x + B2y + C2 = 0 là : 1 1 2 2 1 1 1A x B y C A B + + + = ± 2 2 2 2 2 2 2 A x B y C A B + + + Ví dụ 1: Cho tam giác ABC với A(–2, 1), B(4, 3), C(2,–3) a) Tìm phương trình tham số và tổng quát cạnh BC. b) Tìm phương trình đường cao AH. c) Tìm phương trình đường thẳng qua A(–2, 1) và song song với BC. Giải a) Đường thẳng qua cạnh BC nhận BC JJJG = (–2, –6) hay (1,3) làm vectơ chỉ phương và qua B(4, 3) nên có phương trình tham số : (t 4 3 3 = +⎧⎨ = +⎩ x t y t ∈ R) ⇔ 4 1 −x = 3 3 −y (phương trình chính tắc) ⇔ 3x – y – 9 = 0 là phương trình tổng quát của BC. b) ΔABC có đường cao AH ⊥ BC : 3x – y – 9 = 0 ⇒ pt AH : x + 3y + C1 = 0 4 A(–2, 1) ∈ AH –2 + 3(1) + C1 = 0 ⇔ ⇔ C1 = –1 Vậy pt AH : x + 3y – 1 = 0 c) Đường thẳng Au // BC ⇒pt Au : 3x – y + C2 = 0 A(–2, 1) ∈ Au ⇔ 3(–2) – 1 + C2 = 0 ⇔ C2 = 7 Vậy pt Au : 3x – y + 7 = 0 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với A(1, –1), B(–2, 1), C(3, 5). a) Viết phương trình đường vuông góc AH kẻ từ A đến trung tuyến BK của tam giác ABC. b) Tính diện tích tam giác ABK. Giải a) K là trung điểm của AC ⇔ 2 2 2 2 A C K A C K x xx y yy +⎧ = =⎪⎪⎨ +⎪ = =⎪⎩ hay K(2, 2) Phương trình cạnh BK : 2 2 2 x − − − = 2 1 2 y − − ⇔ x – 4y + 6 = 0 AH ⊥ BK pt AH : 4x + y + C0 = 0 ⇒ A(1, - 1) ∈ AH 4(1) + (–1) + C0 = 0 ⇔ ⇔ C0 = –3 hay AH : 4x + y – 3 = 0 b) Diện tích tam giác ABK là S = 1 2 AH.BK với AH = A (BK)d = 1 4 6 17 + + S = ⇒ 1 2 . 11 17 . 2 24 1+ = 11 2 ( đvdt ). Ví dụ 3: ( Đề dự trữ khối A năm 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có trọng tâm G 4 1( ; ) 3 3 , phương trình đường thẳng BC là và phương trình đường thẳng BG là 2 4x y− − = 0 07 4 8x y− − = .Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. 5 Bài giải Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ pt ( )− − =⎧ ⇒ −⎨ − − =⎩ x 2y 4 0 B 0, 2 7x 4y 8 0 Vì cân tại A nên AG là đường cao của ABCΔ ABCΔ Vì ⇒ pt GA: GA BC⊥ − + − = ⇔ + − =4 12(x ) 1(y ) 0 2x y 3 0 3 3 2x y 3 0⇔ + − = ⇒ = H GA BC∩ ( )+ − =⎧ ⇒ −⎨ − − =⎩ 2x y 3 0 H 2, 1 x 2y 4 0 Ta có H là trung điểm BC ⇒ + = = − = − =⎧ ⎧⇒⎨ ⎨+ = = − = − − − =⎩ ⎩ B C H C H B B C H C H B x x 2x x 2x x 2(2) 0 4 y y 2y y 2y y 2( 1) ( 2) 0 ) ⇒ . Ta có : (C 4,0 + + + += =A B C A B CG Gx x x y y yx và y3 3 ⇒ ( )A 0,3 Vậy ( ) ( ) (A 0,3 ,C 4,0 ,B 0, 2− ) Ví dụ 4 ( ĐH KHỐI A -2002) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I 1 ;0 2 ⎞⎟⎝ ⎠ ⎛⎜ ,phương trình đường thẳng AB là x – 2y + 2 = 0 và AB = 2AD .Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm . BÀI GIẢI: A ∈ đường thẳng x – 2y + 2 = 0 ⇒ A (2a – 2, a) (a < 1) I là trung điểm AC ⇒ C (3 – 2a, −a) BC qua C và BC ⊥ AB ⇒ pt BC : 2x + y + 5a – 6 = 0 AB ∩ BC = B ⇒ B (2 – 2a, 2 – a) Ta có : AB = 2AD ⇔ (1 – a)2 = 1 ⇔ a = 0 hay a = 2 (loại) Vậy A (−2, 0). B (2, 2), C (3, 0), D (−1, −2) Ví dụ 5 ( ĐH KHỐI D -2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh A (−1; 0); B (4; 0); C (0; m) với m ≠ 0. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G. BÀI GIẢI: G m1; 3 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ; mGA ( 2; ) 3 = − −JJJG ; mGB (3; ) 3 = −JJJG Tam giác GAB vuông tại G ⇔ GA.GB 0=JJJG JJJG ⇔ 2m6 9 − + = 0 ⇔ m = 3 6± . Ví dụ6 ( ĐH KHỐI B -2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng 2 1 0x y− − = sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6. BÀI GIẢI: A (1; 1); B (4; −3) ⇒ phương trình AB: x 1 y 1 3 4 − −=− ⇔ 4x + 3y – 7 = 0 C ∈ đt : x – 2y – 1 = 0 ⇒ C (2t + 1; t) 6 Ta có: d (C, AB) = 6 ⇔ 8t 4 3t 7 6 5 + + − = ⇔ 11t 3 30− = ⇔ ⇔ 11t 3 30 11t 3 30 − =⎡⎢ − = −⎣ t 3 27t 11 =⎡⎢⎢ = −⎢⎣ Vậy C (7; 3) hay C 43 27; 11 11 ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠ Ví dụ7 ( Đề DỰ TRỮ KHỐI D -2003) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A (1; 0) và hai đường thẳng lần lượt chứa các đường cao vẽ từ B và C có phương trình tương ứng là : x – 2y + 1 = 0 và 3x + y – 1 = 0.Tính diện tích của tam giác ABC. BÀI GIẢI: Vì AC ⊥ BB' ⇒ phương trình AC : 2x + y + m = 0 A(1; 0) ∈ AC ⇒ 2 + m = 0 ⇒ m = −2 Phương trình AC : 2x + y – 2 = 0 Vậy t đ C là nghiệm của + − =⎧⎨ + − =⎩ 2x y 2 0 3x y 1 0 ⇒ C(−1; 4) Vì AB ⊥ CC' ⇒ phương trình AB : x – 3y + n = 0 A(1; 0) ∈ AB ⇒ 1 + n = 0 ⇒ n = −1 Phương trình AB : x – 3y – 1 = 0 Vậy ⇒ B(−5; −2).⇒ x 3y 1 0B x 2y 1 0 − − =⎧⎨ − + =⎩ AB ⎯→ = (−6; −2); AC⎯→ = (−2; 4) SΔABC = − −⎡⎢−⎣ ⎦ 6 21 2 42 ⎤⎥ = 14 (đvdt). Ví dụ8 ( ĐỀDỰ TRỮ KHỐI B -2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm I (–2; 0) và hai đường thẳng d1 : 2x – y + 5 = 0, d2 : x + y – 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại A, B sao cho : 2 → →=IA IB BÀI GIẢI: P.trình đường thẳng d qua I (–2, 0), hệ số góc k : y = k(x + 2) ⎩⎨ ⎧ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − − − −⇒=+− =+− k k, k kA kykx yx A 22 52 02 052 ⎩⎨ ⎧ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++ −⇒=+− =−+ k k, k kB kykx yx B 1 5 1 23 02 03 1 kIA ; 2 k 2 k − −⎛ ⎞= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ JJG ; ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++= k k; k IB 1 5 1 5 ⇒ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++= k k; k IB 1 10 1 102 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ==⇒+=− − =⇒+=− − ⇔= 3 70 1 10 2 3 7 1 10 2 1 2 k,k k k k k k kkIBIA Do đó phương trình đường thẳng d là y = 3 7 (x + 2) 7 ⇔ 7x – 3y + 14 = 0 * * * 8