Các đề thi vào lớp 10 chuyên Toán - Tin trường phổ thông năng khiếu ĐHQG TP HCM

996 – 1997 Ngày thứ nhất Bài 1 Cho số nguyên k. a) Chứng minh chia hết cho 11 khi và chỉ khi với t là số nguyên 2 5kk + + 5 5 1 11 4k t= + b) Chứng minh không chia hết cho 121. 2 3kk + + Bài 2 Giải phương trình . 4 4( 2) ( 3)x x− + − = Bài 3 Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi C là đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC. a) Chứng minh rằng tâm của C nằm trên đường thẳng AI. b) Chứng minh rằng : Tam giác ABC cân tại A ⇔ C tiếp xúc với các đường thẳng AB, AC. Bài 4 Chứng minh rằng, có thể chia các số 1,2,…,3N (N ≥ 2) thành ba nhóm N số mà tổng các số chứa trong mỗi nhóm đều bằng nhau. Bài 5 Trong giải Euro’96, sau vòng đấu loại, ở một bảng có kết quả như sau : A nhất, B nhì, C ba, D tư. Các nhà quan sát nhận xét rằng nếu tính theo luật cũ là thắng 2 điểm (chứ không phải 3 điểm như hiện nay), hòa 1 điểm, thua 0 điểm thì thứ tự trên sẽ bị đảo lộn thành B nhất, A nhì, D ba , C tư. Hãy cho biết điểm thật sự của mỗi đội, biết rằng trong việc sắp thứ hạng, khi hai đội bằng nhau, đội nào có hiệu số bàn thắng thua lớn hôn sẽ được xếp trên và trên thực tế cả bốn đội bóng đều có hiệu số bàn thắng thua khác nhau. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 11 www.hsmath.net www.hsmath.net Ngày thứ hai Bài 1 Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình 2 1 0x px+ + = ; c,d là hai nghiệm của phương trình . Chứng minh hệ thức : 2 1 0y qy+ + = 2( )( )( )( ) (a c a d b c b d p q− − − − = − ) Bài 2 Cho x, y, z là các số thực thỏa các điều kiện : 2 2 2 5 9 x y z x y z + + =⎧⎨ + + =⎩ Chứng minh : 71 , , 3 x y z≤ ≤ Bài 3 a) Cho tứ giác lồi ABCD. Hãy dựng đường thẳng qua A và chia đôi diện tích tứ giác ABCD. b) Cho tam giác ABC và đường thẳng d // BC và nằm khác phía của A đối với BC. Lấy điểm M lưu động trên d sao cho ABMC là tứ giác lồi. Đưòng thẳng qua A chia đôi diện tích tứ giác ABMC cắt BM hoặc CM tại N. Tìm quĩ tích điểm N. Bài 4 Chứng minh không tồn tại số tự nhiên n sao cho 1n n 1− + + là số hữu tỉ Bài 5 a) Chứng minh với , luôn luôn có N số chính phương đôi một khác nhau sao cho tổng của chúng là một số chính phương. 3N ≥ b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên bao giờ cũng xây dựng được một bảng chữ nhật gồm m x n số chính phương đôi một khác nhau sao cho tổng của mỗi dòng là một số chính phương và tổng của mỗi cột là một số chính phương. 3nm ≥ Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 12 www.hsmath.net www.hsmath.net Năm học 1997 – 1998 Ngày thứ nhất Bài 1 Chứng minh rằng, nếu xyz = 1 thì 1 1 1 1 1 1 1x xy y yz z zx + + =+ + + + + + Bài 2 Cho phương trình . 2( 2) (2 1) 3m x m x m+ − − − + = 0 a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m. b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2. Khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia. Bài 3 Hai thị trấn A và B cùng nằm trên một dòng sông, cách nhau D km. Thị trấn B có địa thế cao hơn nên dòng nước luôn chảy từ B đến A với vận tốc d (km/h) không đổi. Nếu nước không chảy, tàu Hi vọng có vận tốc x (km/h) không đổi, tàu Tương lai có vận tốc y (km/h) không đổi. Vào lúc 8 giờ sáng, tàu Hi vọng xuất phát từ A đi về hướng B và tàu Tương lai xuất phát từ B đi về hướng A. Vào lúc 12 giờ trưa hai tàu gặp nhau lần đầu tiên tại một điểm cách A một khoảng cách là 1 3 D . Khi đến A tàu Tương lai nghỉ nửa giờ rồi quay về B; tương tự khi đến B tàu Hi vọng cũng nghỉ nửa giờ rồi quay về A. Hai tàu gặp nhau lần thứ hai tại một điểm cách B một khoảng cách là 5 27 D . Hãy tìm vận tốc của các tàu Hi vọng và Tương lai biết rằng nếu ngay từ đầu, mỗi tàu tăng vận tốc thêm 7,5 km/h thì hai tàu sẽ gặp nhau lần đầu vào lúc 11 giờ trưa. Bài 4 Hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm D. Từ một điểm A bất kỳ nằm trên đường tròn thứ nhất kẻ tiếp tuyến của đường tròn thứ nhất cắt đường Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 13 www.hsmath.net www.hsmath.net tròn thứ hai tại hai điểm B và C. Chứng minh rằng điểm A cách đều các đường thẳng BD và CD. Bài 5 Số nguyên A được tạo thành bằng các chữ viết liền nhau các số nguyên dương từ 1 đến 60 theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : 12345...585960A = . a) Hãy chỉ ra cách xóa 100 chữ số của A sao cho số A1 tạo bởi các chữ số còn lại là nhỏ nhất; b) Hãy chỉ ra cách xóa 100 chữ số của A sao cho số A2 tạo bởi các chữ số còn lại là lớn nhất. Ngày thứ hai Bài 1 a) Tìm tất cả các số dương x, y thỏa : 1 4 3 3 x y x y ⎧ + ≤⎪⎨⎪ + =⎩ b) Tìm tất cả các số dương x, y, z thỏa : 1 4 9 3 12 x y z x y z ⎧ + + =⎪⎨⎪ + + ≤⎩ Bài 2 a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2n + 3n chia hết cho 5. b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2n + 3n chia hết cho 25. Bài 3 Một nhóm 21 người đã đi du lịch đến các nước Anh, Pháp và Ý, trong đó mỗi người đã đi ít nhất một nước và không có người nào đã đi cả ba nước. Biết rằng : i) Số người đã đi được cả hai nước Ý và Anh gâp đôi số người đã đi được cả hai nước Pháp và Ý. Còn số người đã đi được cả hai nước Pháp và Ý lại gấp đôi số người đã đi được cả hai nước Anh và Pháp. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 14 www.hsmath.net www.hsmath.net ii) Số người đi Ý (mà không đi Anh, Pháp) hơn số người chỉ đi Anh (mà không đi Pháp, Ý) là một người và bằng với số người đã đi Pháp. a) Hãy tìm số người chỉ đi đúng một nước. b) Hãy tìm số người đi ít nhất một trong hai nước Anh, Pháp. Bài 4 a) Chứng minh rằng trong hình thang cân ABCD với hai đáy AB//CD , ta có : AC2 + BD2 = AD2 + BC2 + 2AB.CD b) Chứng minh rằng với mọi tứ giác lồi ABCD với hai đáy ta có: AC2 + BD2 ≤ AD2 + BC2 + 2AB.CD Tìm điều kiện cần và đủ để dấu đẳng thức xảy ra. Bài 5 Cho dãy n số a1, a2, …, an (trong đó các số ai chỉ có thể nhận các giá trị 0 hoặc 1) thỏa : (*) Bất kỳ hai bộ 5 số liên tiếp nào lấy từ dãy đã cho đều không trùng nhau. a) Chứng minh n ≤ 36 b) Biết rằng nếu thêm vào cuối dãy một số an+1 tùy ý (0 hay 1) thì tính chất (*) sẽ không còn đúng nữa. Chứng minh rằng 2 bộ 4 số liên tiếp a1, a2, a3, a4 và an-3, an-2, an-1, an trùng nhau. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 15 www.hsmath.net www.hsmath.net Năm học 1998 – 1999 Ngày thứ nhất Bài 1 a) Giải phương trình 5 2x x 7− = − . b) Giải hệ phương trình 2 3 1 3 2 7 x y x y 5+ − =⎧⎨ + =⎩ Bài 2 a) Chứng minh hằng đẳng thức : 2 2 2 2( 1) 4 4 (m m m m m m+ − + + = + + 21) 0 . b) Cho phương trình 2 2( 1) 1mx m m x m− + − + + = (1). Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác – 1. Bài 3 a) Giải và biện luận theo m bất phương trình ( 2)( 3 ) ( 3)( 1)x x m x x m+ − > − + − b) Cho 3 3 2 1 1: a b a bA ab a ba b 2− − − − ⎛ ⎞− −= −⎜ ⎟⎜ ⎟ −−⎝ ⎠ . Tìm điều kiện của a, b để A có nghĩa; rút gọn A. Bài 4 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3. Lấy điểm M trên cạnh BC. Đường thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài tại P. Đường thẳng DM cắt cạnh AB kéo dài tại Q. BP cắt CQ tại I. a) Cho CM = 1, hãy tính BI, CI. b) Khi M di động trên đoạn BC, hãy tìm qũy tích điểm I. Bài 5 Một giải bóng đá có n đội tham dự. Các đội thi đấu vòng tròn một lượt. Trong mỗi trận, đội thắng được 2 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua được 0 điểm. Các đội có cùng số điểm sẽ được xếp hạng theo các chỉ số phụ nào đó. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 16 www.hsmath.net www.hsmath.net Khi kết thúc giải, đội vô địch được 8 điểm, đội xếp thứ nhì được 6 điểm và đội xếp thứ 3 được 5 điểm. Các đội còn lại có số điểm khác nhau. Hãy cho biết số đội đã tham dự giải và số điểm của các đội còn lại (có giải thích rõ). Ngày thứ hai Bài 1 a) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho 2n-1 chia hết cho 7. b) Cho số nguyên tố p ≥ 5. Đặt A = 3p – 2p – 1. Chứng minh A chia hết cho 42p. Bài 2 Cho hai số nguyên dương a và b. Biết rằng trong bốn mệnh đề P, Q, R, S dưới đây chỉ có duy nhất một mệnh đề sai : P = “a = 2b + 5” Q = “(a + 1) chia hết cho b” R = “(a + b) chia hết cho 3” S = “(a + 7b) là số nguyên tố” a) Hãy chỉ ra mệnh đề nào sai trong bốn mệnh đề trên (có giải thích). b) Hãy tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b thỏa ba mệnh đề đúng còn lại. Bài 3 a) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 5 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng, trong các điểm đã cho có thể tìm được 2 điểm sao cho khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 2 2 . b) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 33 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong các điểm đã cho có thể tìm được 3 điểm lập thành tam giác có diện tích không lớn hơn 1 32 . Bài 4 Cho x, y, z, p, q, r là các số thực dương thỏa mãn điều kiện : x + y + z = p + q + r = 1 và pqr ≤ 1 2 . Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 17 www.hsmath.net www.hsmath.net a) Chứng minh rằng nếu : x ≤ y ≤ z thì px + qy + rz ≥ 2 x y+ b) Chứng minh rằng : px + qy + rz ≥ 8xyz Bài 5 a) Hãy chỉ ra cách sắp 8 số nguyên dương đầu tiên 1, 2,…, 8 thành 1 dãy a1, a2,…, a8 sao cho với 2 số ai, aj bất kỳ (i < j) thì mọi số trong dãy nằm giữa ai và aj đều khác 2 i ja a+ . b) Hãy chứng minh rằng với N số nguyên dương đầu tiên 1 luôn tìm được cách sắp thành dãy a ,2,..., N 1, a2,…, aN sao cho dãy thỏa mãn điều kiện như câu a). Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 18 www.hsmath.net www.hsmath.net Năm học 1999 – 2000 Ngày thứ nhất Bài 1 Cho . 2( ) 2( 2) 6 1f x x m x m= − + + + a) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m. b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2. Bài 2 a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện 2 21 1x y y x− + − =1 (1) Chứng minh rằng (2) 2 2 1x y+ = b) Từ đẳng thức (2) có suy ra đẳng thức (1) được hay không ? Giải thích rõ câu trả lời. Bài 3 a) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện 3x y z+ + = , 1 1 1 1 3x y z + + = . Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số x, y, z bằng 3. b) Áp dụng câu a), giải hệ phương trình : 2 3 1 1 1 1 3 2 1 x y z x y z y z ⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪⎪ + =⎩ Bài 4 Cho hai đường tròn có bán kính lần lượt là 1 và 4 tiếp xúc ngoài với nhau. Một tiếp tuyến chung ngoài của tiếp xúc với lần lượt tại A, B. Tìm bán kính của đường tròn (C) tiếp xúc đồng thời và AB. 1 2( ),( )C C 1 2( ),( )C C 1 2( ),( )C C 1 2( ),( )C C Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 19 www.hsmath.net www.hsmath.net Bài 5 a) Có n đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt (n ≥ 3). Chứng minh rằng dù lịch thi đấu thế nào sắp xếp ra sao thì tại bất kỳ thời điểm nào ta cũng tìm ra được hai đội bóng có số trận đã đấu là bằng nhau. b) Giả sử n = 3 và ba đội bóng thi đấu vòng tròn hai lượt. Điều khẳng định của câu a) còn đúng khônng ? Giải thích rõ câu trả lời. Ngày thứ hai Bài 1 a) Biết rằng x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0. Viết phương trình bậc hai nhận 3 31 2,x x làm hai nghiệm. b) Giải bất phương trình : 2 2 2( 4 10) 7( 4 11) 7x x x x+ + − + + + < 0 4 Bài 2 a) Khai triển biểu thức 4 ( 1)n n+ + thành dạng 2k + 1 và phân tích k thành các thừa số. b) Cho số nguyên A là tổng bình phương của hai số nguyên dương liên tiếp. Hãy chứng minh rằng A không thể là tổng lũy thừa bậc 4 của hai số nguyên dương liên tiếp. Bài 3 Cho tam giác ABC có diện tích S và một điểm P nằm trong tam giác. a) Gọi S1, S2, S3 lần lượt là diện tích của tam giác PBC, PCA và PAB. Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của 2 21 2S S S 2 3+ + . b) Gọi P1, P2, P3 lần lượt là các điểm đối xứng của P qua BC, CA và AB. Đường thẳng đi qua P1 và song song BC cắt AB và AC tại BB1 và C1. Đường thẳng đi qua P2 và song song CA cắt BC và BA tại C2 và A2. Đường thẳng đi qua P3 và song song AB cắt CA và BC tại A3 và B3B . Hãy xác định vị trí điểm P để tổng diện tích ba hình thang BCC1BB1, CAA2C2 và ABB3A3 đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 20 www.hsmath.net www.hsmath.net Bài 4 Người ta lát nền nhà hình vuông kích thước n x n ô bằng các viên gạch dạng như hình vẽ bên dưới sao cho còn chừa lại một ô không lát. a) Hãy chỉ ra một cách lát như trên với nền nhà kích thước 4 x 4 và 8 x 8 và ô trống nằm tại một góc nhà. b) Hãy chứng minh rằng,. luôn luôn tồn tại cách lát nền nhà có kích thước 2k x 2k (k nguyên dương) với ô trống còn lại nằm ở vị trí (i, j) bất kỳ. Bài 5 a) Chứng minh đẳng thức | | 2max{ , } ,x y x y x y x y+ + − = ∀ ∈\ b) Chứng minh đẳng thức 2 2 1 1 14max , , , , 0a b a b a b a b a b c ab ab c ab ab c a b c + − + − ⎧ ⎫+ − + + + = ∀⎨ ⎬⎩ ⎭ ≠ trong đó max là kí hiệu số lớn nhất trong các số đi kèm. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 21 www.hsmath.net www.hsmath.net Năm học 2000 – 2001 Ngày thứ nhất Bài 1 Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – 7x + 3 =0 a) Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1 – x2 và 2x2 – x1. b) Hãy tính giá trị của biểu thức : 1 2 2 1| 2 | | 2 |A x x x x= − + − . Bài 2 a) Giải hệ phương trình : 2 6 8 x y xy − =⎧⎨ =⎩ b) Giải hệ phương trình : 2 2( ) 2( 1) x y z x y z xy z ⎧ + =⎪ = +⎨⎪ = +⎩ Bài 3 a) Giải phương trình 11x x x + + = . b) Gọi ,α β là số đo mỗi góc trong của hai đa giác đều có số cạnh lần lượt là m và n. Tìm m và n nếu 5 7 α β = . Bài 4 Cho tam giác ABC có đường cao BD. Giả sử (C) là một đường tròn có tâm O nằm trên đoạn AC và lần lượt tiếp xúc với BA, BC tại M, N. a) Chứng minh rằng 4 điểm B, M, D, N nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh rằng ADM CDN∠ =∠ . Bài 5 Trong một giải bóng đá có 10 đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt. Trong mỗi trận, đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua không có điểm. Các đội có cùng số điểm sẽ được xếp hạng theo các chỉ số phụ nào đó. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 22 www.hsmath.net www.hsmath.net a) Gọi A là đội bóng tham dự giải, hỏi đội bóng A có thể đạt được những điểm số nào. b) Giả sử đội bóng A được xếp thứ nhì khi kết thúc giải. Tìm số điểm tối đa, số điểm tối thiểu mà đội bóng A có thể đạt được. Ngày thứ hai Bài 1 a) Cho số nguyên không âm A. Hãy xác định A biết rằng trong 3 mệnh đề P, Q, R dưới đây có 2 mệnh đề đúng và 1 mệnh đề sai : P : “A + 51 là số chíng phương” Q : “Chữ số tận cùng của A là 1” R : “A – 38 là số chính phương” b) Có thể xếp hay không các số 0, 1, 2,…, 9 lên các đỉnh của một đa giác đều 10 đỉnh sao cho hiệu số trên 2 đỉnh kề nhau bất kỳ nhận một trong các giá trị hoặc 5. 3, 4, 5,3,4− − − Bài 2 Giải các hệ phương trình : a) b) 3 2( ) 3(3 2 ) xy x y yz y z zx z x = +⎧⎪ = +⎨⎪ = +⎩ 3 3 3 3 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 12 2 2 12 x y z t y z t x z t x y t x y z ⎧ + + =⎪ + + =⎪⎨ + + =⎪⎪ + + =⎩ Bài 3 a) Cho bốn số nguyên dương a1, a2, a3, a4 sao cho 1 với mọi và tổng S = a ka k≤ ≤ 1,2,3,4k = 1 + a2 + a3 + a4 là một số chẵn. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các số dạng ± a1, ± a2, ± a3, a± 4 có giá trị bằng 0. b) Cho 1000 số nguyên dương a1, a2,…, a1000 sao cho 1 với mọi và tổng S = a ka k≤ ≤ 1,2,...,1000k = 1 + a2 +…+ a1000 là một số chẵn. Hỏi trong các số dạng a± 1, ± a2, …, ± a1000 có số nào bằng 0 hay không ? Giải thích vì sao. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 23 www.hsmath.net www.hsmath.net Bài 4 a) Cho góc vuông xAy và đường tròn C tâm O tiếp xúc với Ax và Ay lần lượt tại P và Q. d là một tiếp tuyến thay đổi của C. Gọi a, p, q lần lượt là các khoảng cách từ A, P, Q đến đường thẳng d. Chứng minh rằng khi d thay đổi thì tỷ số 2a pq không đổi. b) Khẳng định trên còn đúng không nếu xAy không phải là góc vuông ? Vì sao ? Bài 5 a) Cho a, b, c là 3 số không âm thỏa điều kiện : 2 2 2 2( )a b c ab bc ca+ + ≤ + + (1) Chứng minh bất đẳng thức 2( )a b c ab bc ca+ + ≤ + + (2) Hỏi từ (2) có thể suy ra (1) hay không ? Vì sao ? b) Cho a, b, c là 3 số không âm thỏa điều kiện (1) và p, q, r là các số thực thỏa điều kiện p + q + r = 0. Chứng minh apq + bqr + crp ≤ 0. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 24 www.hsmath.net www.hsmath.net Năm học 2001 – 2002 Ngày thứ nhất Bài 1 a) Giải bất phương trình 1 2 1x x+ > − . b) Giải hệ phương trình 1 7 2 1 7 3 x y y x ⎧ + =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩ Bài 2 Cho a, b, c là các số thực phân biệt sao cho các phương trình 2 1 0x ax+ + = và 2 0x bx c+ + = có nghiệm chung, đồng thời các phương trình 2 0x x a+ + = và 2 0x cx b+ + = cũng có nghiệm chung. Hãy tìm tổng a + b + c. Bài 3 a) Trên các cạnh AB và CD của hình vuông ABCD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho 3 ABAM CN= = . Gọi K là giao điểm của AN và DM. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ADK nằm trên cạnh BC. b) Cho hình vuông ABCD với giao điểm hai đường chéo là O. Một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O. Lấy một điểm S trên d. Chứng minh rằng ( ) ( )AC SBD⊥ và ( ) ( )SAC SBD⊥ . Bài 4 Cho tứ giác lồi ABCD có AB vuông góc với CD và 2, 13, 8, 5AB BC CD DA= = = = . a) Đường (BA) cắt đường (DC) tại E. Hãy tính AE. b) Tính diện tích của tứ giác ABCD. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 25 www.hsmath.net www.hsmath.net Bài 5 Trong một giải cờ vua có 8 kỳ thủ tham gia, thi đấu vòng tròn một lượt, thắng được 1 điểm, hòa được 1 2 điểm, thua được 0 điểm. Biết rằng sau khi tất cả các trận đấu kết thúc thì cả 8 kỳ thủ nhận được các số điểm khác nhau và kỳ thủ xếp thứ hai có số điểm bằng tổng điểm của 4 kỳ thủ xếp cuối cùng. Hỏi ván đấu giữa kỳ thủ xếp thứ tư và kỳ thủ xếp thứ năm đã kết thúc với kết quả như thế nào ? Ngày thứ hai Bài 1 a) Tìm số nguyên dương a nhỏ nhất sao cho a chia hết cho 6 và 2000a là số chính phương. b) Tìm số nguyên dương b nhỏ nhất sao cho (b – 1) không là bội của 9, b là bội của bốn số nguyên tố liên tiếp và 2002b là số chính phương. Bài 2 Cho x, y là các số thực sao cho 1x y + và 1y x + đều là các số nguyên. a) Chứng minh 2 2 2 2 1x y x y + là số nguyên. b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 1n n n nx y x y + là số nguyên. Bài 3 a) Cho a, b là các số dương thỏa ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 4( 1)( )A a b a b a b = + + + + + b) Cho m, n là các số nguyên thỏa 1 1 2 3m n 1+ = . Tìm giá trị lớn nhất của B = mn. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 26 www.hsmath.net www.hsmath.net www.hsmath.net Bài 4 Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A. Hai điểm B, C lần lượt di động trên C 1 1 1( , )C O R 2 2 2( , )C O R 1, C2 sao cho 90BAC∠ = D . a) Chứng minh trung điểm M của BC luôn thuộc một đường tròn cố định. b) Hạ AH vuông góc với BC, tìm tập hợp điểm H. Chứng minh rằng độ dài đoạn AH không lớn hơn 1 2 1 2 2R R R R+ . c) Phát biểu và chứng minh các kết quả tương tự như câu a) và câu b) trong trường hợp C1, C2 tiếp xúc trong với nhau tại điểm A. Bài 5 Giải hệ phương trình 2 2 1 3 5 1 3 80 x x x y y y x y x y ⎧ + + + + + = − + − + −⎪⎨ + + + =⎪⎩ 5 Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 27 www.hsmath.net Năm học 2002 – 2003 Ngày thứ nhất Bài 1 Cho phương trình 22 1 6 11x x m m+ − − + − = 0 . a) Giải phương trình khi m = 2. b) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m. Bài 2 Cho hệ phương trình : 3 2 2 3| | ( 2 | | 2 | | ) 1 | | 6 x y m x x y xy y m x y ⎧ + + + + + = −⎨ = −⎩ a) Giải hệ phương trình khi m = 0. b) Giải hệ phương trình khi m = 1. Bài 3 Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD của hình chữ nhật ABCD. Biết rằng đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có đường kính bằng 8 2 3+ và tồn tại điểm I thuộc đoạn MN sao cho và 45DAI∠ = D 30IDA∠ = D . a) Tính diện tích hình chữ nhật ABCD. b) Gọi K, H lần lượt là trọng tâm của các tam giác AID và BIC. Tính diện tích tam giác NKH. Bài 4 Tam giác ABC có 30ABC∠ = D và 15ACB∠ = D . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M, N, P, I lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB, OC. a) Tính . Chứng minh A, M, I thẳng hàng. PON∠ b) Chứng minh P là trực tâm của tam giác OMN. Bài 5 Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 28 www.hsmath.net www.hsmath.net a) Tìm tất cả các số thực a và b sao cho |2x + a| = |bx + 5| với mọi số thực x. b) Cho a, b, c, d, e, f là các số thực thỏa điều kiện : |ax + b| + |cx + d| = |ex + f| với mọi số thực x. Biết a, c và e khác 0, chứng minh rằng ad = bc. Ngày thứ hai Bài 1 Cho phương trình 1x x− + = m 2 (1) trong đó m là tham số. a) Giải phương trình (1) khi m = 1. b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Bài 2 Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn phương trình 2 2x y z+ = . a) Chứng minh rằng trong hai số x, y có ít nhất một số chia hết cho 3. b) Chứng minh rằng tích xy chia hết cho 12. Bài 3 Cho đường tròn (C) đường kính BC = 2R và điểm A thay đổi trên (C) (A không trùng với B, C). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC của đường tròn (C) tại điểm K (K ≠ A). Hạ AH vuông góc với BC. a) Đặt AH = x. Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x. Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất. b) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng 2 2AH HK+ luôn luôn là một đại lượng không đổi. Tính góc B của tam giác ABC biết rằng 3 5 AH HK = . Bài 4 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện 1 1a b c b c 1 a + = + = + a) Cho a = 1, tìm b, c. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 29 www.hsmath.net www.hsmath.net b) Chứng minh rằng nếu a, b, c đôi một khác nhau thì . 2 2 2 1a b b = c) Chứng minh rằng nếu a, b, c đều dương thì a = b = c. Bài 5 Trong một giải bóng đá có N đội tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ đều gặp nhau đúng một lần). Sau mỗi trận đấu, đội thắng được 3 điểm, đội thua không được điểm nào, còn nếu trận đấu có kết quả hòa thì mỗi đội cùng được 1 điểm. Các đội xếp hạng dựa theo tổng điểm. Trong trường hợp một số đội có tổng điểm bằng nhau thì các đội này được xếp hạng theo chỉ sồ phụ. Két thúc giải người ta nhận thấy rằng không có trận đấu nào kết thúc với tỉ số hòa; các đội xếp nhất, nhì, ba có tổng điểm lần lượt là 15, 12, 12 và tất cả các đội xếp tiếp theo có tổng điểm đôi một khác nhau. a) Chứng minh rằng . 7N ≥ b) Tìm N và tổng điểm của mỗi đội tham gia giải. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 30 www.hsmath.net www.hsmath.net Năm học 2003 – 2004 Ngày thứ nhất Bài 1 Cho phương trình 2 22 3mx mx m m+ + + − =3 0 1 (1) a) Định m để phương trình (1) vô nghiệm. b) Định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa . 1 2| |x x− = Bài 2 a) Giải phương trình ( 2) ( 5) ( 3x x x x x x )− + − = + b) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) 144x y x y x y x y ⎧ + − =⎪⎨ y+ − − =⎪⎩ Bài 3 Cho tam giác ABC có 45A∠ = D . Gọi M và N lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC. a) Tính tỉ số MN BC . b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng . OA MN⊥ Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; mặt bên SAB là tam giác đều; mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Tính diện tích tam giác SIJ theo a. b) Gọi H là chân đường cao kẻ từ S của ∆SIJ. Chứng minh rằng SH AC⊥ . Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 31 www.hsmath.net www.hsmath.net Bài 5 Lớp 9A có 28 học sinh đăng ký dự thi vào các lớp chuyên Toán, Lý, Hóa của trường Phổ thông Năng khiếu. Trong đó: Không có học sinh nào chỉ chọn thi vào lớp Lý hoặc chỉ chọn thi vào lớp Hóa; có ít nhất 3 học sinh chọn thi vào cả ba lớp Toán, Lý và Hóa; số học sinh chọn thi vào lớp Toán và Lý bằng số học sinh chỉ chọn thi vào lớp Toán; có 6 học sinh chọn thi vào lớp Toán và Hóa; số học sinh chọn thi vào lớp Lý và Hóa gấp 5 lần số học sinh chọn thi vào cả ba lớp Toán, Lý và Hóa. Hỏi số học sinh chọn thi vào từng lớp là bao nhiêu? Ngày thứ hai Bài 1 a) Chứng minh rằng phương trình 2 2 2 3 3 4 4( ) 2( )a b x a b x a b− + − + − = 0 5 luôn có nghiệm với mọi a, b. b) Giải hệ phương trình 3 3 5 ( 1) ( 1) 3 x y xy x y + + =⎧⎨ + + + =⎩ Bài 2 a) Với mỗi số nguyên dương n, đặt , . Chứng minh rằng với mọi n, chia hết cho 5 và không chia hết cho 5. 2 1 12 2n nna + += − +1 1 n 2 1 12 2n nnb + += + + n na b na b+ b) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích của chúng bằng tổng của chúng. Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AA1. Hạ A1H vuông góc AB, A1K vuông góc AC. Đặt A1B = x, A1C = y. a) Gọi r và r’ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC và tam giác AHK tương ứng. Hãy tính tỷ số 'r r theo x, y, suy ra giá trị lớn nhất của tỷ số đó. Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 32 www.hsmath.net b) Chứng minh rằng tứ giác BHKC nội tiếp trong đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó theo x, y. Bài 4 a) Cho đườn