Các phương pháp giải bài tập về lũy thừa của một số hữu tỉ

(18c +5)6 0 3.1.2 Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa. Phương pháp chung: đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số Bài 1. Tìm n N, biết: a) 2008n = 1 c) 32-n. 16n = 1024 b) 5n + 5n+2 = 650 d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 Phương pháp giải Đọc đề bài học sinh có thể dễ dàng làm được câu a. a) 2008n = 1 ó 2008n = 20080 ó n = 0 Nhưng đến câu b, thì các em vấp ngay phải khó khăn: tổng của hai lũy thừa có cùng cơ số nhưng không cùng số mũ. Lúc này rất cần có gợi ý của giáo viên: b) 5n + 5n+2 = 650 ó 5n + 5n.52 = 650 ó 5n.(1 + 25) = 650 ó 5n = 650 : 26 ó 5n = 25 = 52 ó n = 2 Theo hướng làm câu b) học sinh biết ngay cách làm câu c) và d). c) 32-n. 16n = 1024 ó (25)-n. (24)n = 1024 ó 2-5n. 24n = 210 ó 2-n = 210 ó n = -10 d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 ó 3n-1 + 5 . 3n-1 = 162 ó 6 . 3n - 1 = 162 ó 3n-1 = 27 = 33 ó n – 1 = 3 ó n = 4 Bài 2. Tìm hai số tự nhiên m, n biết: 2m + 2n = 2m+n Phương pháp giải Học sinh thực sự thấy khó khi gặp bài này, không biết phải làm như thế nào để tìm được hai số mũ m và n. Giáo viên gợi ý : 2m + 2n = 2m+n ó 2m+n – 2m – 2n = 0 ó 2m.2n - 2m - 2n + 1 = 1 ó 2m(2n - 1) – (2n - 1) = 1 ó (2m - 1)(2n - 1) = 1 (*) Vì 2m 1, 2n 1, m, n N Nên từ (*) => => => . Vậy: m = n = 1 Bài 3. Tìm các số tự nhiên n sao cho: a) 3 < 3n 234 b) 8.16 2n 4 Phương pháp giải Đây là dạng toán tìm số mũ của lũy thừa trong điều kiện kép. Giáo viên hướng dẫn học sinh đưa các số về các lũy thừa có cùng cơ số. a) 3 n b) 8.16 2n 4 ó 23.24 2n 22 ó 27 2n 22 => n Bài 4. Tìm số tự nhiên n biết rằng: 415 . 915 < 2n . 3n < 1816 . 216 Phương pháp giải Với bài này, giáo viên gợi ý học sinh quan sát, nhận xét về số mũ của các lũy thừa trong một tích thì học sinh sẽ nghĩ ngay ra hướng giải bài toán: 415 . 915 < 2n . 3n < 1816 . 216 ó (4. 9)15 < (2.3)n < (18.2)16 ó 3615 < 6n < 3616 ó 630 n = 31 Bây giờ, học sinh không những biết làm các bài toán tương tự mà còn có thể tự ra các bài toán dạng tương tự. 1) Tìm các số nguyên n sao cho: a) 9 . 27n = 35 b) (23 : 4) . 2n = 4 c) 3-2. 34. 3n = 37 d) 2-1 . 2n + 4. 2n = 9. 25 2) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: a) 125.5 5n 5.25 b) (n54)2 = n c) 243 3n 9.27 d) 2n+3. 2n =144 3) Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng: a) 2x+1 . 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y 4) Tìm số tự nhiên n biết rằng : a) 411 . 2511 2n. 5n 2012.512 b) Phương pháp giải 3) a) 2x+1 . 3y = 12x ó2x+1 . 3y = 22x.3x ó ó3y-x = 2x-1 ó y - x = x - 1 = 0 ó y = x = 1 b) 10x : 5y = 20y ó10x = 20y . 5y ó10x = 100y ó10x = 102y ó x = 2y 4) b) ó ó ó 46 = 2n ó 212 = 2n ó n = 12 3.1.3. Một số trường hợp khác Bài 1. Tìm x biết: (x - 1) x+2 = (x - 1) x+4 (1) Phương pháp giải Thoạt nhìn ta thấy đây là một bài toán rất phức tạp, vì số cần tìm có mặt cả trong số mũ và cơ số. Vì thế, học sinh rất khó xác định cách giải. Nhưng chúng ta có thể đưa về bài toán quen thuộc bằng một phép biến đổi sau: Đặt x - 1 = y ta có: x + 2 = y + 3 ó x + 4 = y + 5 Khi đó (1) trở thành: yy+3 = yy+5 ó yy+5 - yy+3 = 0 ó yy+3(y2 – 1) = 0 ó * Nếu: yy+3 = 0 => y = 0 Khi đó: x – 1 = 0 ó x = 1. * Nếu: y2 – 1 = 0 ó y2 = (±1)2 Với y = 1 ta có: x – 1 = 1 ó x = 2 Với y = -1 ta có: x – 1 = -1 ó x = 0 Vậy: x Bài 2. Tìm x biết: x(6 - x)2003 = (6 - x)2003 Phương pháp giải Với bài này, x xuất hiện cả trong cơ số và cả ở ngoài (không phải ở trong số mũ như bài trên). Học sinh sẽ lúng túng và gặp khó khăn khi tìm lời giải, khi đó giáo viên hướng dẫn. x. (6 - x)2003 = (6 - x)2003 ó x. (6 - x)2003 - (6 - x)2003 = 0 ó (6 - x)2003 (x - 1) = 0 ó Nếu (6 - x)2003 = 0 ó (6 - x) = 0 ó x = 6 Nếu (x - 1) = 0 ó x = 1 Vậy: x Bài 3. Tìm các số tự nhiên a, b biết: a) 2a + 124 = 5b b) 10a + 168 = b2 Phương pháp giải Với bài toán này, nếu học sinh sử dụng các cách làm ở trên sẽ đi vào con đường bế tắc không có lời giải. Vậy phải làm bằng cách nào và làm như thế nào ? Ta cần dựa vào tính chất đặc biệt của lũy thừa và tính chất chia hết của một tổng để giải bài toán này: a) 2a + 124 = 5b (1) Xét a = 0, khi đó (1) trở thành: 20 + 124 = 5b ó 5b = 125 ó 5b = 53 Do đó a = 0 và b = 3 Xét a 1. Ta thấy vế trái của (1) luôn là số chẵn và vế phải của (1) luôn là số lẻ với mọi a 1, a, b N, điều này vô lí. Kết luận: Vậy a = 0 và b = 3. b) 10a + 168 = b2 (2) Tương tự câu a. Xét a = 0: khi đó (2) trở thành: 100 + 168 = b2 ó169 = b2 ó (±13)2 = b2 => b = 13 (vì b N) Do đó a = 0 và b = 13. Xét a 1: Chúng ta đều biết với mọi số tự nhiên a 1 thì 10a có chữ số tận cùng là 0 nên suy ra 10a + 168 có chữ số tận cùng là 8, theo (2) thì b2 có chữ số tận cùng là 8. Điều này vô lý. Vậy: a = 0 và b = 13. Giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập tương tự sau: Tìm các số tự nhiên a, b để: a) 3a + 9b = 183 b) 5a + 323 = b2 c) 2a + 342 = 7b d) 2a + 80 = 3b 3.2. Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừa 3.2.1 Tìm một chữ số tận cùng Phương pháp chung: cần nhớ một số nhận xét sau: Tất cả các số có chữ số tận cùng là: 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng có chữ số tận cùng là chính những số đó. Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thường đưa về dạng các số có chữ số tận cùng là một trong các chữ số đó. Lưu ý: những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4, những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9. Chú ý: 24 = 16; 74 = 2401; 34 = 81; 84 = 4096 CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài 1. Tìm chữ số tận cùng của các số: 20002008; 11112008; 987654321; 204681012 Dựa vào những nhận xét trên học sinh có thể dễ dàng tìm được đáp án: 20002008 có chữ số tận cùng là chữ số 0 11112008 có chữ số tận cùng là chữ số 1 987654321 có chữ số tận cùng là chữ số 5 204681012 có chữ số tận cùng là chữ số 6. Bài 2. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 20072008; 1358 2008; 23456; 5235; 204208; 20032005; ; 4; 996; 81975; 20072007; 10231024. Phương pháp giải Đưa các lũy thừa trên về dạng các lũy thừa của số có chữ số tận cùng là: 0; 1; 5; 6. 20072008 = (20074)502 = ()502 = nên 20072008 chữ số tận cùng là 1. 135725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 = . 1357 = =>13 5725 có chữ số tận cùng là 7. 20072007 = 20072004. 20073 = (20074)501. = ()501. = . => 20072007 có chữ số tận cùng là 3. 23456 = (24)864 = 16864 = => 23456 có chữ số tận cùng là 6 . 5235 = 5232. 523 = (524)8. = ()8 . = . = => 5235 có chữ số tận cùng là 8. 10231024 = (10234)256 = ()256 = =>10231024 có chữ số tận cùng là 1. 20032005 = 20032004. 2003 = (20034)501. 2003 = ( )501. 2003 = . 2003 => 20032005 có chữ số tận cùng là 3. 204208 = (2042)104 = ()104 = => 204208 có chữ số tận cùng là 6. Ta thấy là một số lẻ nên có chữ số tận cùng là 4. 1358 2008 = (13584)502 = ()502 = => 1358 2008 có chữ số tận cùng là 6. 81975 = 81972. 83 = (84)493. = . => 81975 có chữ số tận cùng là 2. 996 = (94)24 =()24 = => 996 có chữ số tận cùng là 1. Ta thấy 99 là một số lẻ nên có chữ số tận cùng là 9. Bài 3. Cho A = 172008 – 112008 – 32008. Tìm chữ số hàng đơn vị của A. Phương pháp giải Đây là dạng toán tìm chữ số tận cùng của một tổng, ta phải tìm chữ số tận cùng của tong số hạng, rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại. Tìm chữ số tận cùng của 172008; 112008; 32008 ta có: A = 172008 – 112008 – 32008 = - - = - = Vậy A có chữ số tận cùng là 9. Bài 4 : Cho M = 1725 + 244 – 1321. Chứng tỏ rằng: M 10 Phương pháp giải Ta thấy một số chia hết cho 10 khi có chữ số tận cùng là 0 nên để chứng tỏ M 10 ta chứng tỏ M có chữ số tận cùng là 0. 1725 = 1724.17 = (174)6. 17 = ()6.17 = .17 = 244 = (242)2 = 5762 = 1321 = (134)5.13 = ()5.13 = . 13 = Vậy M = + - = => M 10 Đến đây, sau khi làm bài 2) bài 3) giáo viên có thể cho học sinh làm các bài toán tổng quát sau: Bài 5. Tìm chữ số tận cùng của các số có dạng: a) A = 24n – 5 (n N, n ≥ 1) b) B = 24n + 2+ 1 (n N) c) C = 74n – 1 (n N) Hướng dẫn: a) Ta có: 24n = (24)n = 16n có chữ số tận cùng bằng 6. => 24n – 5 có chữ số tận cùng bằng 1. b) B = 24n + 2 + 1 (n N) Ta có 24n + 2 = 22 . 24n = 4. 16n có chữ số tận cùng là 4. => B = 24n + 2 + 1 có chữ số tận cùng là 5. c) C = 74n – 1 Ta có 74n = (74)n = (2401)n có chữ số tận cùng là 1. Vậy 74n – 1 có chữ số tận cùng bằng 0. Bài 6. Chứng tỏ rằng, các số có dạng: a) A = chia hết cho 5 (n N, n ≥ 2) b) B = chia hết cho 10 (n N, n ≥ 1) c) H = chia hết cho 2 (n N, n ≥ 1) Phương pháp giải Với dạng bài này, học sinh phải dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho cả 2 và 5. Đọc đầu bài, học sinh sẽ định hướng được phải tìm chữ số tận cùng như bài 5, nhưng khi bắt tay vào làm thì gặp khó khăn lớn với các lũy thừa , , học sinh không biết phải tính như thế nào, rất có thể học sinh sẽ nhầm: ; ; Khi đó giáo viên hướng dẫn như sau: a) Với n N, n ≥ 2, ta có : = có chữ số tận cùng là 6. => A = có chữ số tận cùng là 5. Vậy A 5 b) Với n N, n ≥ 1, ta có : = có chữ số tận cùng là 6. => B = có chữ số tận cùng là 0. Vậy B 10 c) Với n N, n ≥ 1, ta có : = có chữ số tận cùng là 1 => H = có tận cùng là 4. Vậy H 2 Bài tập luyện tập : 1) Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 22222003; 20082004; 20052005; 20062006 ; 9992003; 20042004; 77772005; 1112006; 20002000; 20032005. 2) Chứng tỏ rằng, với mọi số tự nhiên n a) 34n + 1 + 2 chia hết cho 5 b) 24n + 1 + 3 chia hết cho 5 c) 92n + 1 + 1 chia hết cho 10 3) Chứng tỏ rằng các số có dạng: a)+ 1 có chữ số tận cùng bằng 7 (n N, n ≥ 2) b) có chữ số tận cùng bằng 7 (n N, n ≥ 1) c) + 4 chia hết cho 5 (n N, n ≥ 2) d) - 1 chia hết cho 10 (n N, n ≥ 1) 4) Tìm chữ số hàng đơn vị của: a) A = 66661111 + 11111111 - 665555 b) B = 10n + 555n + 666n c) H = 99992n + 9992n+1 + 10n (n N*) d) E = 20084n + 20094n + 20074n (n N*) 5) Trong các số sau số nào chia hết cho 2, cho 5, cho 10? a) 34n+1 + 1 (n N) b) 24n+1 - 2 (n N) c) + 4 (n N, n ≥ 2) d) - 6 (n N, n ≥ 1) 6) Tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên a để a2 + 1 5 7) Tìm số tự nhiên n để n10 + 1 10 8) Chứng tỏ rằng, với mọi số tự nhiên n thì: a) 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n 10 (n > 1) b) 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2 6 Phương pháp giải 6) a2 + 1 5 => a2 + 1 phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. => a2 phải có chữ số tận cùng là 9 hoặc 4. => a phải có chữ số tận cùng là 3 hoặc 7 hoặc 2 hoặc 8. 7) n10 + 1 10 => n10 + 1 phải có chữ số tận cùng là 0. => n10 = (n2)5 phải có chữ số tận cùng là 9. => n2 phải có chữ số tận cùng là 9. => n phải có chữ số tận cùng là 3 hoặc 7. 8) a) 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n = 3n. (32 + 1) – 2n-1.( 23 + 2) = 3n. 10 – 2n-1. 10 = 10 . (3n – 2n-1) 10, nN b) 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2 = 3n. (33 + 3) + 2n+1.( 22 + 2) = 3n. 30 + 2n+1. 6 = 6. (5.3n + 2n+1) 6,nN 3.2.2 Tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa. Phương pháp: Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta cần chú ý những số đặc biệt sau: Các số có tận cùng là 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng chính nó. Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa ta thường đưa về dạng các số có hai chữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76. Các số 210 ; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận cùng bằng 76. Các số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận cùng là 01. Số 26n (n N, n >1). Bài 1: Tìm hai chữ số tận cùng của: 2100 ; 3100 Dựa vào nhận xét ở trên học sinh có thể dễ dàng làm được bài này : 2100 = (220)5 = ()5 = 3100 = (320)5= ()5 = Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của: a) 5151 b) 9999 c) 6666 d) 14101.16101 Phương pháp giải Đưa về dạng các số có hai chữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76. a) 5151 = (512)25.51 = ()25.51 = .51 = => 5151 có 2 chữ số tận cùng là 51. Tương tự: b) 9999 = (992)49.99 = ()49.99 = .99 = c) 6666 = (65)133.6 = ()133.6 = .6 = d) 14101.16101 = (14.16)101 = 224101 = (2242)50.224 = ()50.224 = .224 = Từ bài toán 2, cho học sinh làm bài toán tổng quát: Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của: a) 512k; 512k+1 (k N*) b) 992n; 992n+1; (n N*) c) 65n; 65n+1; (n N*) Phương pháp giải a) 512k = (512)k = ()k => 512k+1 = 51. (512)k = 51.()k b) 992n = (992)n = ()n => 992n+1 = 99. (992)n = 99.()n => , ta có 9999 là một số lẻ => có dạng 992n+1 (Với n N, n > 1) => = 99.(992)n = 99 . ()n (Với n N, n > 1) c) 65n = ( 65)n = ()n => 65n+1 = 6 . ( 65)n = 6. ()n Xét , ta có 6666 là một số có tận cùng là 6, => có dạng 65n+1 (n N, n > 1) => = 6.()n Bài tập luyện tập: 1) Tìm hai chữ số tận cùng của: a) 72003 b) c) 742003 d) 182004 e) 682005 f) 742004 2) Tìm hai chữ số tận cùng của: a) 492n ; 492n+1 (n N) b) 24n . 38n (n N) c) 23n . 3n; 23n+3. 3n+1 (n N) d) 742n ; 742n+1 (n N) 3) Chứng tỏ rằng: a) A = 262n - 26 5 và 10 (n N, n > 1) b) B = 242n+1 + 76 100 (Với n N) c) M = 512000.742000.992000 có 2 chữ số tận cùng là 76. 3.2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên. Phương pháp: Chú ý một số điểm sau: Các số có tận cùng 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng chính số đó. Số có tận cùng 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng 0625. Bài 1. Tìm 3 chữ số tận cùng, 4 chữ số tận cùng của 52000. Học sinh có thể làm phần này không mấy khó khăn nhờ kĩ năng đã có từ các phần trước. 52000 = (54)500 = 625500 = (0625)500 Vậy: 52000 có ba chữ số tận cùng là 625 có bốn chữ số tận cùng là 0625. Bài 2. Tìm ba chữ số tận cùng của: a) 23n . 47n (n N*) b) 23n+3 . 47n+2 (n N) Phương pháp giải Để tìm được ba chữ số cuối của một lũy thừa đã là khó với học sinh, bài này lại yêu cầu tìm ba chữ số cuối của một tích các lũy thừa thì quả thật là rất khó. Đối với học sinh khá, giỏi cũng cần tới sự gợi ý của giáo viên. a) 23n . 47n = (23)n . 47n = (8 . 47)n = 376n 376n có tận cùng là 376 => 23n . 47n có tận cùng là 376. b) 23n+3. 47n+2. Dù đã làm được câu a, đến câu b học sinh cũng không tránh khỏi lúng túng ở số mũ. Giáo viên có thể hướng dẫn: 23n+3 . 47n+2 = 23(n+1) . 47n+1 . 47 = (23)(n+1) . 47n+1 . 47 = (8.47)n+1 . 47 = 47. 376n+1 Ta có: 376n+1 có các chữ số tận cùng là 376 => 47 . 376n+1 có chữ số tận cùng là 672. Bài 3. Chứng tỏ rằng: a) + 375 1000 (n N, n ≥ 1) b) - 25 100 (n N, n ≥ 2) c) 2001n + 23n . 47n + 252n có tận cùng bằng 002. Phương pháp giải Nếu học sinh làm tốt các phần trước thì khi gặp bài này sẽ không gặp nhiều khó khăn, tuy nhiên, rất cần đến sự tư duy logic, liên hệ đến kiến thức liên quan và kĩ năng biến đổi. a) Ta có: = = tận cùng là 625 ( n N, n ≥ 1) => + 375 có tận cùng 000. Vậy: + 375 1000 b) Ta có = = = (n N, n ≥ 2) Vậy - 25 có 2 chữ số tận cùng là 00. Do đó : - 25 100 c) 2001n + 23n . 47n + 252n Ta thấy: 2001n có tận cùng là 001. 23n . 47n = (8 . 47 )n = 376n có tận cùng là 376 252n = (252)n = 625n có tận cùng là 625 Vậy: 2001n + 23n . 47n + 252n có tận cùng là 002. 3.3 Dạng 3: So sánh hai lũy thừa Phương pháp chung: để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh). Lưu ý một số tính chất sau: Với a, b, m, n N, ta có: a > b ó an > bn, n N* m > n ó am > an, (a > 1) a = 0 hoặc a = 1 thì am = an (m.n 0) Với A, B là các biểu thức ta có: An > Bn ó A > B > 0 Am > An ó m > n và A > 1, hay m < n và 0 < A < 1 Bài 1. So sánh a) 33317 và 33323 b) 200710 và 200810 c) (2008 - 2007)2009 và (1998 - 1997)1999 Phương pháp giải Với bài này học sinh có thể nhìn ngay ra cách giải vì các lũy thừa đã có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ. a) Vì 1 < 17 < 23 nên 33317 < 33323 b) Vì 2007 < 2008 nên 200710 < 200810 c) Ta có: (2008 - 2007)2009 = 12009 = 1 và (1998 - 1997)1999 = 11999 = 1 Vậy (2008 - 2007)2009 = (1998 - 1997)1999 Bài 2. So sánh a) 2300 và 3200 e) 9920 và 999910 b) 3500 và 7300 f) 111979 và 371320 c) 85 và 3.47 g) 1010 và 48.505 d) 202303 và 303202 h) 199010 + 1990 9 và 199110 Phương pháp giải Để làm được bài này học sinh cần sử dụng linh hoạt các tính chất của lũy thừa để đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ. Hướng dẫn: a) Ta có: 2300 = (23)100 = 8100 3200 = (32)100 = 9100 Vì 8100 < 9100 nên 2300 < 3200 b) Tương tự câu a, ta có: 3500 = (35)100 = 243100 7300 = (73)100 = 343100 Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7300 c) Ta có: 85 = 215 = 2.214 85 < 3.47 d) Ta có: 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.101)101 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202 e) Ta thấy: 992 (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910 f) Ta có: 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 (1) 371320 = 372)660 = 1369660 (2) Từ (1) và (2) suy ra: 111979 < 371320 g) Ta có: 1010 = 210. 510 = 2. 29. 510 (*) 48. 505 = (3. 24). (25. 510) = 3. 29. 510 (**) Từ (*) và (**) => 1010 < 48. 505 h) Có: 199010 + 19909 = 19909. (1990+1) = 1991. 19909 199110 = 1991. 19919 Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 9 < 199110 Bài 3. Chứng tỏ rằng: 527 < 263 < 528 Phương pháp giải Với bài này, học sinh lớp 7 sẽ không định hướng được cách làm, giáo viên có thể gợi ý: hãy chứng tỏ 263 > 527 và 263 < 528 Ta có: 263 = (27)9 = 1289 và 527 = (53)9 = 1259 => 263 > 527 (1) Lại có: 263 = (29)7 = 5127 và 528 = (54)7 = 6257 => 263 < 528 (2) Từ (1) và (2) => 527 < 263 < 52 Bài 4. So sánh: a) 10750 và 7375 b) 291 và 535 Phương pháp giải Nếu ở bài trước có thể so sánh trực tiếp các lũy thừa cần so sánh hoặc chỉ sử dụng một lũy thừa trung gian thì bài này nếu chỉ áp dụng cách đó thì khó tìm ra lời giải cho bài toán. Với bài này ta cần so sánh qua hai lũy thừa trung gian: a) Ta thấy: 10750 < 10850 = (4. 27)50 = 2100. 3150 (1) 7375 > 7275 = (8. 9)75 = 2225. 3150 (2) Từ (1) và (2) => 10750 < 2100. 3150 < 2225. 3150 < 7375. Vậy 10750 < 7375. b) 291 > 290 = (25)18 = 3218 và 535 291 > 3218 > 2518 > 535. Vậy 291 > 535. Bài 5. So sánh a) (-32)9 và (-16)13 b) (-5)30 và (-3)50 c) (-32)9 và (-18)13 d) ()100 và ()500 Phương pháp giải Đưa về so sánh hai lũy thừa tự nhiên. a) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 (-16)13 = - 1613 = - (24)13 = - 2 52 Vì 245 - 252. Vậy (-32)9 > (-16)13. b) (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510 (-3)50 = 350 = (35)10 = 243 10. Vì 12510 < 24310 nên (-5)30 < (-3)50. c) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 Mà 245 - 245 > -1813 = (-18)13. Vậy (-32)9 > (-18)13. d) Ta có: ()100 = = = và ()500 = = Vì 2400 Vậy ()100 > ()500. Bài 6. So sánh A và B biết: A = ; B = Phương pháp giải Trước khi tìm lời giải bài này giáo viên có thể cung cấp cho học sinh tính chất sau: Với mọi số tự nhiên a, b, c khác 0, ta chứng minh được: Nếu thì Nếu thì Áp dụng tính chất trên vào bài 6, ta có: Vì A = < 1 nên: A = < == ==B Vậy A < B. Giáo viên cũng có thể hướng dẫn học sinh giảỉ bài toán theo những cách sau: Cách 1: Ta có: 2008.A = =1+ 2008.B = =1+ Vì 20082009+1 > 20082008+1 nên < Nên 2008.A A < B Cách 2: = == = 2008 - = == = 2008 - Vì 20082008+1 > 20082007 +1 nên < => 2008 - > 2008 - Vậy > => A 0) Bài 7. So sánh M và N biết: M = ; N = Phương pháp giải Cách 1: N = > 1 => N =>=== = M Vậy M < N. Cách 2: M = = == 100 - N = = == 100 - Vì 10099 + 1 => 100 - < 100 - Vậy M < N. Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập tương tự sau: 1. So sánh: a) 528 và 2614 b) 521 và 12410 c) 3111 và 1714 d) 421 và 647 e) 291 và 535 g) 544 và 2112 2. So sánh: a) và b) và c) và d) và 3. So sánh: a) A = và B = b) A = và B = c) A = và B = Phương pháp giải c) A = và B = Bài này không giống bài 7 và bài 8. Học sinh sẽ lúng túng khi bắt tay làm bài, giáo viên cần hướng dẫn: quy đồng mẫu A và B, ta có: A = và B = Để so sánh A và B lúc này ta có thể so sánh tử số của A và tử số của B. Xét hiệu tử số của A trừ tử số của B: (100100 + 1). (10068 + 1) - (10069 + 1). (10099 + 1) = 100168 + 100100 + 10068 + 1 - 100168 – 10099 – 10069 – 1 = 100100 – 10099 – 10069 + 10068 = 100 . 10099 – 10099 – 100.10068 + 10068 = 99.10099 - 99.10068 = 99 . (10099 - 10068) > 0 (vì 10099 > 10068). Vậy A > B. 3.4. Dạng 4: Tính toán trên các lũy thừa. Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các công thức, phép tính về lũy thừa để tính cho hợp lí và nhanh. Biết kết hợp hài hòa một số phương pháp trong tính toán khi biến đổi. Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = b) M = , với x = 7 Phương pháp giải Với bài này, học sinh không nên tính giá trị của từng lũy thừa rồi thực hiện các phép tính khác theo thứ tự thực hiện phép tính, mà nếu làm như vậy thì rất khó có thể đưa ra đáp án đúng. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tìm thừa số chung và đưa ra ngoài ngoặc ở cả tử và mẫu số, sau đó thực hiện việc rút gọn thì việc tìm kết quả của bài toán nhanh đến bất ngờ. a) A = = = 23 = 8 b) M = Học sinh dễ phát hoảng khi nhìn thấy câu b vì số mũ của lũy thừa cứ cao dần mà số lại chưa cụ thể. Nhưng khi thay giá trị của x vào thì M lại tìm được một cách dễ dàng. M = = M = = = 32 = 9 Bài 2. Chứng tỏ rằng: a) A = 102008 + 12545 b) B = 52008 + 52007 + 52006 31 c) M = 88 + 22017 d) H = 3135. 299 – 3136. 367 Phương pháp giải Với bài toán này, học sinh phải huy động kiến thức về dấu hiệu chia hết, kĩ năng và phương pháp biến đổi, lưu ý rằng: nếu am, an, (m; n) = 1 thì am.n (a, m, n N*) a) A = 102008 + 125 Ta có: 102008 + 125 = + 125 = 2008 số 0 2005 số 0 A có tận cùng là 5 => A5 Tổng các chữ số của A là: 1+1+2+5 = 9 => A9. Mà (5;9) = 1 => A5.9 hay A45 b) B = 52008 + 52007 + 52006 Ta không thể tính giá trị cụ thể của từng lũy thừa rồi thực hiện phép cộng. Giáo viên có thể gợi ý đặt thừa số chung. B = 52008 + 52007 + 52006 B = 52006. (52 + 51 + 1) B = 52006. 3131 c) M = 88 + 220 Cách làm tương tự như câu b, nhưng trước tiên phải đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số: M = 88 + 220 = (23)8 + 220 = 224 + 220 M = 220 (24 + 1) = 220 (16 + 1) = 220.1717 d) H = 3135. 299 – 3136. 36 Với câu này, học sinh cũng phải nhận ra cần đặt thừa số chung, nhưng đặt thừa số chung nào lại là một vấn đề. Nếu đặt 3135 làm thừa số chung thì buộc phải tính kết quả trong ngoặc, và như vậy thì rất lâu và dễ nhầm. Khi đó, giáo viên có thể hướng dẫn. H = 3135 . 299 – 3136 . 36 H = 3135 . 299 – 3136 - 35. 3136 H = 3135 . (299 – 313) - 35. 3136 H = 3135 . 14 - 35. 3136 H = 7. (3135 . 2 – 5. 3136 )7 Bài 3. Cho A = 2 + 22 + 23 + + 260. Chứng tỏ rằng: A3, A7, A5 Phương pháp giải Với bài này, giáo viên hãy hướng dẫn các em đi nhóm các lũy thừa thành từng nhóm 2; 3; 4... lũy thừa sao cho sau khi đặt thừa số chung ở mỗi nhóm thì xuất hiện số cần chứng tỏ A chia hết cho nó. Ví dụ: A = 2 + 22 + 23 + + 260 = (2 + 22) + (23 + 24) + (25 + 26) + + (257 + 258) + (259 + 260) = 2.(1 + 2) + 23.(1 + 2) + 25.(1 + 2) + + 257.(1 + 2) + 259.(1 + 2) = (1 + 2).(2 + 23 + 25 + + 257 + 259) = 3.(2+23+25++257+259) => A3 Tương tự, ta có: A = (2 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + + (258 + 259 + 260 ) = 2.(1 + 2 + 22) + 24.(1 + 2 + 22) + + 258.(1 + 2 + 22) = (1 + 2 + 22).(2 + 24 + 27 + + 258) = 7.(2 + 24 + 27 + + 258) => A7 A = (2 + 23) + (22 + 24) + + (257 + 259) + (258 + 260) A = 2(1 + 22) +22(1 + 22) + + 257(1 + 22) + 258(1 + 22) = (1 + 22).(2 + 22 + 25 + 26 + + 257 + 258) = 5. (2 + 22 + 25 + 26 + + 257 + 258 => A5 Bài 4. Chứng tỏ rằng: a) D = 3 + 32 + 33 + 34 + + 3200713 b) E = 71 + 72 + 73 + 74 + + 74n-1 + 74n 400 Phương pháp giải a) Ta thấy: 13 = 1 + 3 + 32 nên ta sẽ nhóm 3 số hạng liên tiếp của tổng thành một nhóm như sau: D = (3 + 32 + 33) + (34 +35 + 36) + + (32005 + 32006.+ 32007) = 3.(1 + 3 + 32) +34.(1 + 3 + 32) + + 32005.(1 + 3 + 32) = 3.13 + 34.13 + + 32005.13 = (3 + 34 + + 32005). 13 => D13 b) Tương tự câu a, có : 400 = 1 + 7 + 72 + 73 nên: E = (71 + 72 + 73 + 74) + 74. (71 + 72 + 73 + 74) + + 74n-4. (71 + 72 + 73 + 74) = (71 + 72 + 73 + 74).(1+74 + 78 + + 74n-4) = 7.(1 + 71 + 72 + 73).(1+74 + 78 + + 74n-4) = 7.(1 + 7 + 49 + 343).(1+74 + 78 + + 74n-4) = 7.400.(1+74 + 78 + +74n-4)400 => E400 Bài 5. a) Tính tổng: Sn = 1 + a + a2 + + an b) Áp dụng tính các tổng sau: A = 1 + 3 + 32+ + 32008 B = 1 + 2 + 22 + 23 + + 21982 C = 71 + 72 + 73 + 74 + + 7n-1 + 7n Phương pháp giải a) Đây là một bài toán tổng quát, giáo viên có thể gợi ý trực tiếp cho học sinh cách làm để thu gọn các tổng lũy thừa này, ta nhân cả hai vế của biểu thức với cơ số của các lũy thừa. * Xét a = 1, ta có: Sn = 1 + 1 + 12 +...+ 1n =(n +1).1 = n +1 * Xét a ≠ 1, ta có: Sn = 1 + a + a2 + ... + an => a. Sn = a + a2 + + an+1 => a. Sn - Sn = an+1 – 1 =&