Các phương pháp tính tích phân

;2/[t;tsinx pipi−∈= ⇒ dx = cost.dt; đổi cận khi x = 2 /2 thì t = 4/pi ; khi x = 1 thì t = 2/pi . Khi đó 4 4dt. tsin tsin1dt. tsin tcosdt.tcos tsin tsin1A 2/ 4/ 2 22/ 4/ 2 22/ 4/ 2 2 pi pi pi pi pi pi pi − = − == − = ∫∫∫ 2. ∫ − = 1 0 2 2 dx x4 xB ta viết ∫ − = 1 0 2 2 dx )2/x(12 xB . Đặt ];0[t;tcos)2/x( pi∈= ⇒ tdtsin2dxtcos2x −=⇒= Đổi cận suy ra ( ) 2 3 3 dtt2cos12tdtcos4)tdtsin2( tcos12 )tcos2(B 2/ 3/ 2/ 3/ 2 3/ 2/ 2 2 −=+==− − = ∫∫∫ pi pi pi pi pi pi pi 3. ∫ −= 1 0 22 dxx34xC Tr−ớc hết ta viết ∫        −= 1 0 2 2 dx 2 x.31x2C . Đặt ]2/;2/[t;tsinx 2 3 pipi−∈= đ−a tích phân về dạng: 12 1 27 32dt 2 t4cos1 33 4 tdtcostsin 33 16C 3/ 0 3/ 0 22 += − == ∫∫ pi pipi Chú ý: www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 4 - Nếu hàm số chứa 0a,xa 2 >− thì ta viết 2 2 a x1axa       −=− và đặt       ∈= −∈= ];0[t;tcos a x ]2/;2/[t;tsin a x pi pipi - Nếu hàm số chứa 0b,a,bxa 2 >− thì ta viết 2 2 x a b1abxa         −=− và đặt        ∈= −∈= ];0[t;tcosx a b ]2/;2/[t;tsinx a b pi pipi Ví dụ 2. Tính: 1. ∫ − = 2 3/2 2 dx 1xx 1E {Viết tích phân về dạng 2X1 − } ta viết ( )∫ −= 2 3/2 22 dx x/11x 1E và đặt [ ]2/;2/t;tsin x 1 pipi−∈= suy ra 12 dtE 3/ 4/ pi pi pi == ∫ 2. ∫ − = 3/22 3/2 3 2 dx x 4x3G {Viết tích phân về dạng 2X1 − } ta viết ( ) ∫ − = 3/22 3/2 3 2 dx x x3/21.x.3 G và đặt [ ]2/;2/t;tsin x3 2 pipi−∈= suy ra tích phân có dạng 16 )336(3 tdtcos 2 33G 3/ 4/ 2 −+ == ∫ pi pi pi {Nếu tích phân có dạng bax 2 − thì viết về dạng 2X1− } Cách đặt 2. Nếu tích phân có chứa 2x1 + hoặc ( )2x1 + thì ta đặt ( )2/;2/t;ttanx pipi−∈= hoặc ( )pi;0t;tcotx ∈= Ví dụ 3. Tính: 1. ∫ += 3 3/1 2 dxx1 1M ta đặt ( )2/;2/t;ttanx pipi−∈= suy ra 6 dtM 3/ 6/ pi pi pi == ∫ 2. ∫ + = 3 1 22 dx x1.x 1N ta đặt ( )2/;2/t;ttanx pipi−∈= suy ra 3 3218dt .tsin tcosN 3/ 4/ 2 − == ∫ pi pi 3. ∫ ≠+= a 0 222 0a;dx)xa( 1P ta viết ∫       + = a 0 2 24 dx ) a x(1a 1P và đặt ;ttan a x = ⇒ 3 4/ 0 2 3 a4 2 tdtcos a 1P +== ∫ pi pi 4. ∫ ++= 1 0 2 dx1xx 1Q ta viết ∫       ++ = 1 0 2 dx ) 2 1 x( 3 21 1 3 4Q và đặt ( )2/;2/t;ttan 2 1 x 3 2 pipi−∈=      + ⇒ 9 3dt 2 3 3 4Q 1 0 pi == ∫ Chú ý: Nếu gặp tích phân chứa 2bxa + hoặc 2bxa + thì ta viết:                 +=+ 2 2 x a b1axba hoặc 2 2 x a b1abxa         +=+ và ta đặt ( )2/;2/t;ttanx a b pipi−∈= www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 5 Cách đặt 3. Nếu tích phân có chứa xa xa + − hoặc xa xa − + thì ta đặt ta đặt ]2/;0[t;t2cosax pi∈= và l−u ý vận dụng     =+ =− tcos2t2cos1 tsin2t2cos1 2 2 Ví dụ 4. Tính: 1. ∫ − > − + = 0 a 0a;dx xa xaI ta đặt ]2/;0[t;t2cosax pi∈= suy ra ∫ − − + = 4/ 2/ dt)t2sina2( t2cos1 t2cos1I pi pi 4 4 a pi− = 2. ∫ − + = 2/2 0 dx x1 x1J ta đặt ]2/;0[t;t2cosx pi∈= suy ra ∫ − − + = 8/ 4/ dt)t2sin2( t2cos1 t2cos1J pi pi = 4 224 tdtcos4J 4/ 8/ 2 −+ == ∫ pi pi pi {có thể đặt t x1 x1 = − + suy rra tích phân J về dạng tích phân của hàm số hữu tỷ} B - Ph−ơng pháp đổi biến số dạng 2: Giả sử cần tính tích phân ∫= b a dx)x(fI ta thực hiện các b−ớc sau: - B−ớc 1. Đặt t = v(x) - B−ớc 2. Lấy vi phân dx = u’(t)dt và biểu thị f(x)dx theo t và dt. Chẳng hạn f(x)dx = g(t)dt - B−ớc 3. Đổi cận khi x = a thì u(t) = a ứng với t = α ; khi x = b thì u(t) = b ứng với t = β - B−ớc 4. Biến đổi ∫= β α dt)t(gI (tích phân này dễ tính hơn thì phép đổi biến mới có ý nghĩa) Cách đặt đổi biến dạng 2. Cách đặt 1. Nếu hàm số chứa ẩn ở mẫu thì đặt t = mẫu số. Ví dụ 1. Tính: 1. ∫ − = 2/ 0 2 dxxcos4 x2sinI pi ta có thể đặt t = 4 - cos2x suy ra 3 4ln t dtI 4 3 == ∫ 2. ∫ += 4/ 0 22 dxxcos2xsin x2sinJ pi đặt xcos1xcos2xsint 222 +=+= suy ra ∫ == 2 2/3 4 3ln t dtJ {có thể hạ bậc để biến đổi tiếp mẫu số về cos2x sau đó đ−a sin2x vào trong vi phân} Đề xuất: ∫ += 2/ 0 22221 dxxcosbxsina xcosxsinJ pi với 0ba 22 >+ 3. ∫ += 2ln 0 x dx 5e 1K ta đặt 5et x += ⇒ 5tex −= ⇒ dtdxex = sau đó làm xuất hiện trong tích phân biểu thức dxex ⇒ 7 12ln 5 1 t 5tln 5 1 )5t(t dt )5e(e dxeK 7 6 7 6 2ln 0 xx x = − = − = + = ∫∫ {Có thể biến đổi trực tiếp 7 12ln 5 1dx 5e e 5 1dx 5e 5e 5 1dx 5e e5e 5 1K 2ln 0 x x2ln 0 x x2ln 0 x xx = + − + + = + −+ = ∫∫∫ } 4. ∫ +− + = 2/ 0 2 dx)4x2cosxsin2( xcosx2sinH pi ta đặt 4x2cosxsin2t +−= ⇒ 21 2dt t 1 2 1H 7 3 2 == ∫ {đôI khi không đặt cả MS} 5. ∫ += 2/ 0 2 3 dx xcos1 xcosxsinG pi chú ý rằng tách mũ 3 = 2 +1 đặt xcos1t 2+= ⇒ 1txcos2 −= ⇒ dtxdxcosxsin2 −= khi đó: 2 2ln1)tlnt( 2 1dt t )1t( 2 1G 2 1 2 1 − =      −= − = ∫ www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 6 6. ∫ ++= 4/ 0 dx 2xcosxsin x2cosM pi ta đặt 2xcosxsint ++= ⇒ dx)xsinx(cosdt −= l−u ý cos2x = (cosx+sinx)(cosx-sinx) ( ) 3 22ln12tln2t t dt)2t(dx 2xcosxsin )xsinx)(cosxsinx(cosM 22 3 22 3 4/ 0 + +−=−= − = ++ −+ = ∫∫ + + pi 7. ∫ ++= 4/ 0 3 dx)2xcosx(sin x2cosN pi đặt 2xcosxsint ++= suy ra )21(2 1 9 2 3 1 9 1 22 1 )22( 1 t 1 t 1 t dt)2t(N 2 22 3 22 3 23 + −=+− + − + =      −= − = ∫ + + Đề xuất: ∫ +−= 4/ 0 1 dx2xcosxsin x2cosM pi và ∫ +−= 4/ 0 31 dx)2xcosx(sin x2cosN pi 8. Cách đặt 2. Nếu hàm số chứa căn thức n )x(ϕ thì đặt n )x(t ϕ= sau đó luỹ thừa 2 vế và lấy vi phân 2 vế. Ví dụ 1. Tính: 1. ∫ ++ − = 1 0 dx 1x32 3x4I ta đặt 1x3t += ⇒ ( )1t 3 1 x 2 −= ⇒ tdt 3 2dx = khi đó đ−a tích phân về dạng: ( ) 3 4ln 3 4 27 2dt t2 6 9 2dt3t8t4 9 2dt t2 t13t4 9 2I 2 1 2 1 2 2 1 3 −= + −+−= + − = ∫∫∫ 2. ∫ + = 7 0 3 2 3 dx x1 xJ ta đặt 3 2x1t += ⇒ 1tx 32 −= ⇒ dtt3xdx2 2= ⇒ 20 141dt)tt( 2 3J 2 1 4 =−= ∫ 3. ∫ + = 2 1 2 dx x1x 1K ta đặt 2x1t += ⇒ 1tx 22 −= ⇒ tdtxdx = ⇒ 5 2 5 2 2 1t 1tln 2 1 t)1t( tdtJ + − = − = ∫ 4. ∫ + = 2 1 3 dx x1x 1H ta đặt 3x1t += ⇒ 1tx 23 −= ⇒ tdt2dxx3 2 = nhân cả tử và mẫu số với x2 ta đ−ợc: 2 12ln 3 2 1t 1tln 3 1 1t dt 3 2 x1x xdxH 3 2 3 2 2 2 1 32 + = + − = − = + = ∫∫ 5. ∫ + + = 3 0 2 35 dx 1x x2xG ta đặt 2x1t += ⇒ 1tx 22 −= ⇒ tdtxdx = nhóm x2.x.(x2 +2) ta đ−ợc: 5 26 t 5 t t tdt)1t)(1t(dx 1x x.x)2x(G 2 1 52 1 223 0 2 22 =      −= −+ = + + = ∫∫ 6. ∫ − +++ = 6 1 3 dx 1x91x9 1M ta đặt 6 1x9t += ⇒ ( )1t 9 1 x 6 −= ⇒ dtt 3 2dx 5= luỹ thừa bậc hai và bậc ba ta có:       += + −+−= + = + = ∫∫∫ 3 2ln 6 11 3 2dt) 1t 11tt( 3 2 1t dtt 3 2 tt dtt 3 2M 2 1 2 2 1 32 1 23 5 Ví dụ 2. Tính: 1. [ĐH.2005.A] ∫ + + = 2/ 0 dx xcos31 xsinx2sinP pi ta đặt xcos31t += ⇒ )1t( 3 1 xcos 2 −= ⇒ tdt 3 2 xdxsin −= nhóm nhân tử sinx ta có: ∫ + + = 2/ 0 xcos31 xdxsin)1xcos2(P pi ( ) 27 34 t 3 t2 9 2dx1t2 9 2 2 1 32 1 2 =      +=+= ∫ www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 7 2. dx. xsin31 x2sinx3cosQ 2 0 ∫ + + = pi ta đặt xsin31t += ⇒ )1t( 3 1 xsin 2 −= ⇒ tdt 3 2 xdxcos = áp dụng công thức nhân đôi và nhân 3 ta viết: dx. xsin31 xcosxsin2xcos3xcos4Q 2 0 3 ∫ + +− = pi xdxcos. xsin31 xsin23xsin442 0 2 ∫ + +−− = pi Vậy ∫ −+−= 2 1 24 dt)1t14t4( 27 2Q 405 206 tt 3 14 t 5 4 27 2 2 1 35 =      −+−= 3. [ĐH.2006.A] ∫ + = 2 0 22 dx xsin4xcos x2sinR pi ta đặt xsin31t 2+= ⇒ )1t( 3 1 xsin 22 −= ⇒ tdt 3 2 xdx2sin = . khi đó: 3 2 t 3 2 t tdt 3 2R 2 1 2 1 === ∫ 4. Ví dụ 3. Tính: 1. ∫ + = e 1 dx x xln31xlnP Ta đặt xln31t += ⇒ )1t( 3 1 xln 2 −= ⇒ tdt 3 2 x dx = khi đó: ( ) 135 116dxtt 9 2P 2 1 4 =−= ∫ 2. ∫ + − = e 1 dx xln21x xln23Q Ta đặt xln21t += ⇒ )1t( 2 1 xln 2 −= ⇒ tdt x dx = . Khi đó: 3 1139 3 t t4dt)t4( t tdt)1t(3Q 3 1 32 1 2 2 1 2 − =      −=−= −− = ∫∫ 3. ∫ + = 2ln2 2ln x 1e dxR . Ta đặt 1et x += suy ra tdt2dxe x = ⇒ ∫ − + + − = − = 5 3 2 13 13 . 15 15ln 1t dt2R 4. ∫ + = 3 0 3 xe1 dxS . Ta đặt 3 xet = suy ra 1e e2ln3)1t(t dx3S e 1 + = + = ∫ 5. ∫ + − = 5ln 0 x xx 3e dx1eeX Cách đặt 3. Nếu hàm số chứa các đại l−ợng xsin , xcos và 2 xtan thì ta đặt 2 xtant = khi đó 2t1 t2 xsin + = , 2 2 t1 t1 xcos + − = Ví dụ 4. Tính: 1. dx. 5xcos3xsin5 1Q 2/ 0 ∫ ++= pi Ta đặt 2 x tant = ⇒ 2t1 dt2dx + = và 5 8ln 3 1 4t 1tln 3 1dt 4t5t 1Q 1 0 1 0 2 =+ + = ++ = ∫ 2. dx. 2xcos 2 x tan L 3/ 0 ∫ += pi ta đặt 2 x tant = ⇒ 2t1 dt2dx + = và 9 10ln3tln 3t tdt2L 3/1 0 2 3/1 0 2 =+=+ = ∫ www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 8 3. ∫ ++= 4 0 dx 1x2sinx2cos x2cosV pi ta đặt xtant = ⇒ 2t1 dtdx + = và ∫∫∫ +++=+ + = 1 0 2 1 0 2 1 0 2 )t1(2 tdt )t1(2 dt )t1(2 dt)t1(V 1 0 2 1 1tln4 1V ++= ta tính 8)t1(2 dtV ytant1 0 21 pi= = + = ∫ suy ra 8 2ln2dx 1x2sinx2cos x2cosV 4 0 + = ++ = ∫ pi pi 4. ∫ +−+ + = 4 0 22 2 dx 1xsinx2sinxcos xtan1N pi ta viết ∫ ++ + = 4 0 2 dx 1x2sinx2cos xtan1N pi và đặt xtant = ⇒ 2t1 dtdx + = suy ra 4 2ln231tlnt 2 t 2 1dt 1t t1 2 1N 1 0 21 0 2 + =      +++= + + = ∫ 5. [ĐH.2008.B] ∫ +++       − = 4 0 dx)xcosxsin1(2x2sin 4 xsin F pi pi ta viết ( ) ∫ +++ − = 4 0 dx)xcosxsin1(2xcosxsin2 xcosxsin 2 1F pi dựa vào mối quan hệ giữa xcosxsin + và xcosxsin ta đặt xcosxsint += ⇒ dx)xsinx(cosdt −= và 2 1t xcosxsin 2 − = khi đó ∫∫ −+ = + = ++ −= ++− − = 2 1 2 1 2 2 1 2 22 1 22 1 1t 1 2 1 1t2t dt 2 1 )t1(21t dt 2 1F Cách đặt 4. Dựa vào đặc điểm hai cận của tích phân. Nếu tích phân có dạng ∫ − = a a dx)x(fI thì ta có thể viết ∫∫ += − a 0 0 a dx)x(fdx)x(fI đặt t = - x để biến đổi ∫ − = 0 a 1 dx)x(fI Nếu tích phân có dạng ∫= pi 0 dx)x(fI thì ta có thể đặt t = pi - x Nếu tích phân có dạng ∫= pi2 0 dx)x(fI thì ta có thể đặt t = 2 pi - x Nếu tích phân có dạng ∫= 2/ 0 dx)x(fI pi thì ta có thể đặt t = 2 pi - x Nếu tích phân có dạng ∫= b a dx)x(fI thì ta có thể đặt t = (a + b) - x Ví dụ 4. Tính: 1. ∫ − = 1 1 2008 xdxsinxI ta viết += ∫ − 0 1 2008 xdxsinxI BAxdxsinx 1 0 2008 +=∫ . Ta đặt t = -x thì A = - B. vậy I = 0. 2. ∫ += pi 0 2 dx xcos1 xsinxJ ta đặt xt −= pi khi đó ∫∫ +−+= pipi pi 0 2 0 2 dttcos1 tsintdt tcos1 tsinJ ta đổi biến tiếp: 2 dt tcos1 tsinJ 2utantcos 0 21 pipi pi = ==== + = ∫ và Jdttcos1 tsintJ xt 0 22 −= === + = ∫ pi .Vậy 4 JJ 2 J 22 pipi =⇒−= Cách đặt 4. Nếu tích phân có chứa 0a;cbxax 2 >++ thì ta có thể đặt cbxaxxat 2 ++=− sau đó tính x theo t và tính dx theo t và dt.{Phép thế ơle} Ví dụ 5. Tính: 1. ∫ +− = 1 0 2 1xx dxI ta đặt 1xxxt 2 +−=− ⇒ 1t2 t1 x 2 + − = ⇒ 3ln 1t2 dt2I 2 1 = − = ∫ 2. ∫ +− = 1 0 2 1x2x9 dxJ ta đặt 1x2x9x3t 2 +−=− ⇒ )1t3(2 1t x 2 − − = ⇒ 2 126ln 3 1 1t3 dtJ 22 1 − = − = ∫ III)Ph−ơng pháp tích phân từng phần www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 9 -Giả sử cần tính tích phân ∫= b a dx)x(fI . Khi đó ta thực hiện các b−ớc tình: B−ớc 1. Viết tích phân d−ới dạng: ∫∫ == b a b a dx)x(h).x(gdx)x(fI B−ớc 2. Đặt    = = dx).x(hdv )x(gu ⇒     = = ∫ dx).x(hv dx)x('gdu B−ớc 3. áp dụng công thức: hay ∫∫ −= b a b a b a du.vv.udv.u Các cách đặt để tích phân từng phần: +Cách đặt 1. Nếu tích phân có dạng ∫= b a dx.axsin).x(PI thì ta sẽ đặt    = = dx.axsindv )x(Pu ⇒     −= = a axcos v dx)x('Pdu Nếu tích phân có dạng ∫ b a dx.axcos).x(P thì ta đặt    = = dx.axcosdv )x(Pu ⇒     = = a axsin v dx)x('Pdu Nếu tích phân có dạng ∫ b a ax dx.e).x(P thì ta đặt    = = dx.edv )x(Pu ax ⇒      = = a e v dx)x('Pdu ax Ví dụ 5. Tính: 1. ∫ −= pi 0 dx.x2sin).1x3(I ta đặt    = −= dx.x2sindv 1x3u ⇒     −= = 2 x2cos v dx3du ⇒ 2 3dx.x2cos 2 3 2 x2cos)1x3(I 00 pi pipi −=+−−= ∫ 2. ∫ += 2/ 0 2 dx.xcos).1x(J pi ta đặt    = += dx.xcosdv 1xu 2 ⇒    = = xsinv xdx2du ⇒ 1 2 0 2/ 0 2 J2 4 4dx.xsin..x2xsin)1x(J −+=−+= ∫ pi pi pi ta tính ∫= 2/ 0 1 dx.xsin.xJ pi bằng cách đặt    = = dx.xsindv xu sau đó suy ra 1xdxcosxcosxJ 2/ 0 2/ 01 =+−= ∫ pi pi .Vậy 4 42 4 4J 22 − =− + = pipi 3. ∫ +−= 1 0 x32 dx.e).1xx(L ta đặt     = +−= dx.edv 1xxu x3 2 ⇒ 1 31 0 x3 1 0 x32 L 3 1 3 1edx.e).1x2( 3 1 e)1xx( 3 1L −−=−−+−= ∫ Tính tiếp ∫ −= 1 0 x3 1 dx.e).1x2(L đặt    = −= dx.edv 1x2u x3 ⇒ 9 4e4L 3 1 − = suy ra 27 5e5L 3 − = 4. ∫= pi 0 2 dx.)xsinx(M ta viết ∫∫∫ −= − == pipipipi 00 2 00 2 xdx2cosx 2 1 4 xdx. 2 x2cos1 xdx.xsinxM xét 0dx.x2cosxM xu xdx2cosdv0 1 ===∫ = = = pi . vậy ta có 4 M 2pi = 5. ∫= 4/ 0 2 dx.xsinM pi ta đổi biến xt = để đ−a ∫= 2/ 0 tdtsint2M pi bằng cách đặt    = = dt.tsindv t2u ⇒ 2M = www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 10 +Cách đặt 2. Nếu tích phân có dạng ∫= b a ax dx.bxsineI thì ta đặt    = = dx.edv bxsinu ax ⇒      = = a e v bxdxcosbdu ax Nếu tích phân có dạng ∫= b a ax dx.bxcoseI thì ta đặt    = = dx.edv bxcosu ax ⇒      = −= a e v bxdxsinbdu ax Ví dụ 6. Tính: 1. ∫= 2/ 0 x2 dx.x3sin.eI pi ta đặt    = = dxedv x3sinu x2 ⇒      = = 2 e v xdx3cos3du x2 ⇒ 1 0 x2 2/ 0 x2 I 2 3 2 edx.x3cose 2 3 2 e x3sinI −−=−= ∫ pipipi (*). Ta xét ∫= pi 0 x2 1 dx.x3coseI và đặt    = = dxedv x3cosu x2 ⇒ I 2 3 2 1dx.x3sine 2 3 2 e x3cosI 0 x2 2/ 0 x2 1 +=+−= ∫ pipi thay vào (*) ta có: ⇒      +−−= I 2 3 2 1 2 3 2 eI pi 13 3e2I +−= pi 2. ∫= pi 0 2x dx.)xsin.e(F ta viết ∫∫∫ −= − = pipipi 0 x2 0 x2 0 x2 dx.x2cose 2 1dx.e 2 1dx. 2 x2cos1 eF Ta xét 2 1edx.e 2 1F 2 0 x2 1 − == ∫ pipi . Sau hai lần tích phân từng phần ta tính đ−ợc 4 1edx.x2cose 2 1F 2 0 x2 2 − == ∫ pipi . Vậy ta có: 8 1edx.)xsin.e(F 2 0 2x − == ∫ pipi +Cách đặt 3. Nếu tích phân có dạng [ ]∫= b a dx)x(Q.)x(PlnI thì ta đặt [ ]    = = dx).x(Qdv )x(Plnu ⇒       = = ∫ dx)x(Qv dx)x(P )x('Pdu Ví dụ 7. Tính: 1. ∫ −= 5 2 dx)1xln(.xI ta đặt [ ]    = −= dx.xdv 1xlnu ⇒       = − = 2 x v dx 1x 1du 2 ⇒ ∫ − −−= 5 2 25 2 2 dx 2x2 x)1xln( 2 xI 4 272ln48 + = 2. ∫ ++= 3 0 2 dx)x1xln(J ta đặt     =     ++= dxdv x1xlnu 2 ⇒      = + = xv dx x1 1du 2 ⇒ 1)23ln(3J −+= 3. ∫= e 1 2 xdxln.xK ta đặt    = = xdxdv xlnu 2 suy ra ∫−= e 1 e 1 2 2 xdxln.xxln 2 xK . Xét ∫= e 1 1 xdxln.xK và đặt    = = xdxdv xlnu thì 4 1eK 4 1eK 22 1 − =⇒ + = . 4. ∫= 2 1 5 dx x xlnH ta đặt    = = − dxxdv xlnu 5 suy ra 256 2ln415dxx 4 1 xln x4 1H e 1 5 2 1 4 − =+−= ∫ − . 5. ∫= 3/ 6/ 2 dx xcos )xln(sinG pi pi đặt      = = dx xcos 1dv )xln(sinu 2 ⇒    = = xtanv xdxcotdu ⇒ ∫−= 3/ 6/ 3/ 6/ dx)xln(sinxtanI pi pi pi pi 6 2ln343ln33 pi−− = www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 11 6. dx)x(lnoscF e 1 ∫= pi đặt    = = dxdv )xcos(lnu ⇒     = −= xv dx x )xsin(lndu ⇒ ∫+= pi pi e 1 e 1 dx)xsin(ln)xcos(lnxI (*). Ta xét ∫= pie 1 1 dx)xsin(lnF đặt    = = dxdv )xsin(lnu ⇒     = = xv dx x )xcos(lndu ⇒ Fdx)xcos(ln)xsin(lnxF e 1 e 11 −=−= ∫ pi pi thay vào (*) ta có: 2 1eFF1eF +−=⇒−−−= pi pi . III)Ph−ơng pháp tìm hệ số bất định A- Khi gặp tích phân: ∫= dx)x(Q )x(PI với P(x), Q(x) là các đa thức của x. B−ớc 1: Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của Q(x) thì ta lấy P(x) chia cho Q(x) đ−ợc th−ơng A(x) và d− R(x), tức là P(x) = Q(x).A(x) + R(x), với bậc R(x) < bậc Q(x). Suy ra : )x(Q )x(R)x(A)x(Q )x(P += ⇒ ∫∫∫ += dx)x(Q )x(Rdx)x(Adx)x(Q )x(P B−ớc 2: Ta đi tính : ∫= dx)x(Q )x(RI , với bậc R(x) < bậc Q(x). Có thể xảy ra các khả năng sau : +Khả năng 1: Với cbxax)x(Q 2 ++= ,( 0a ≠ ) thì bậc R(x) < 2 ⇒ R(x) = M.x+N và cbxax Nx.M )x(Q )x(R 2 ++ + = TH1 : Q(x) có 2 nghiệm x1, x2, tức là: Q(x) = a(x – x1)(x – x2). Chọn hằng số A, B sao cho: 2121 xx B xx A )xx)(xx(a Nx.M )x(Q )x(R − + − = −− + = TH2 : Q(x) có nghiệm kép x0, tức là: 2 0 )xx(a)x(Q −= . Chọn hằng số A, B sao cho: 2 00 2 0 )xx( B xx A )xx(a Nx.M )x(Q )x(R − + − = − + = TH3 : Q(x) vô nghiệm. Chọn hằng số A, B sao cho: B)x('Q.A)x(R += và )x(Q B )x(Q )x('Q.A )x(Q )x(R += +Khả năng 2: Với dcxbxax)x(Q 23 +++= ,( 0≠a ) thì bậc R(x) < 3 TH1: Q(x) có 3 nghiệm .x,x,x 321 tức là: )xx)(xx)(xx(a)x(Q 321 −−−= Chọn hằng số A, B, C sao cho: 321321 xx C xx B xx A )xx)(xx)(xx(a )x(R )x(Q )x(R − + − + − = −−− = TH2: Q(x) có 1 n0 đơn 1x , 1 n0 kép 0x , tức là: 2 01 )xx)(xx(a)x(Q −−= Chọn hằng số A, B, C sao cho: 2 001 2 01 )xx( C xx B xx A )xx)(xx(a )x(R )x(Q )x(R − + − + − = −− = TH3: Q(x) có một nghiệm 0x (bội 3), tức là: 3 0 )xx(a)x(Q −= Chọn hằng số A, B, C sao cho: 3 0 2 00 3 0 )xx( C )xx( B xx A )xx(a )x(R )x(Q )x(R − + − + − = − = TH4: Q(x) có đúng một nghiệm đơn 1x , tức là: )xax)(xx()x(Q 21 γβ ++−= (trong đó 0a42 <−= γβ∆ ). Chọn hằng số A, B, C sao cho: γβγβ ++ + + − = ++− = xax CBx xx A )xax)(xx( )x(R )x(Q )x(R 2 1 2 1 +Khả năng 3: Với bậc )x(Q >3 thì thông th−ờng ta gặp Q(x) là các biểu thức đơn giản nh−: 1x4 + ; 1xx 24 +± ; 1x6 + Ví dụ 1. Tính các tích phân: www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 12 1. ∫ − +− ++ = 0 1 2 2 dx 2x3x 1xxI ta viết ∫ −       +− − += 0 1 2 dx2x3x 1x41I và viết 2x B 1x A 2x3x 1x4 2 − + − = +− − Sau đó chọn đ−ợc A = -3; B = 7. Khi đó: ( ) 3ln72ln102xln71xln3xI 0 1 −=−+−−= − . 2. ∫ ++= 1 0 2 dx1xx xJ ta viết x = A(x2 + x + 1)’ + B suy ra A = 1/2; B = - 1/2. Vậy 21 JJJ += với 3ln 2 1 1xx )1xx(d 2 1J 1 0 2 2 1 = ++ ++ = ∫ và ∫∫ +            + −= ++ −= 1 0 2 1 0 22 1 2 1 x 3 2 dx 3 4 . 2 1 1xx dx 2 1J Ta đặt utan 2 1 x 3 2 =      + suy ra 9 3du 3 32J 3/ 6/ 2 pi pi pi =−= ∫ . 3. ∫ += 3 1 3 dx x3x 1K ta viết 3x cBx x A x3x 1 23 + + += + sau đó chọn đ−ợc A = 1/3, B = - 1/3, C = 0. Vì thế viết đ−ợc 3ln 6 1dx)3x(3 xdx x3 1K 3 1 2 3 1 = + −= ∫∫ {Vì đ−a đ−ợc x vào trong vi phân}. 4. B – Khi gặp tích phân ∫ + + = β α dx xcosdxsinc xcosbxsinaI (c, d ≠ 0) thì ta viết TS = A.(MS) + B.(MS)’ tức là chọn A, B sao cho: dcosx)'B(csinxdcosx)A(csinx bcosx asinx +++=+ hoặc đặt 2 x tant = ⇒ 2t1 t2 xsin + = 2 2 t1 t1 xcos + − = Ví dụ 1. Tính: 1. ∫ + + = 2/ 0 dx xcosxsin xcos5xsin3I pi ta viết sinx)-B(cosxcosx)A(sinx cosx 53sinx ++=+ suy ra A = 4; B = 1. Khi đó: ( ) pipipipi 2xcosxsinlnx4 xcosxsin )xcosx(sinddx4I 2/ 0 2/ 0 2/ 0 =++= + + += ∫∫ 2. ∫ + + = 2/ 0 3 dx)xcosx(sin xcosxsin3J pi ta viết sinx)-B(cosxcosx)A(sinx cosx 3sinx ++=+ suy ra A = 2; B = -1. Khi đó: 2)xcosx(sin2 1) 4 xcot()xcosx(sin )xcosx(sinddx)xcosx(sin 2I 2/ 0 2 2/ 0 3 2/ 0 2 =        + ++−= + + − + = ∫∫ pipipi pi C – Khi gặp tích phân ∫ ++ ++ = β α dx nxcosdxsinc mxcosbxsinaI (c, d ≠ 0) thì ta viết TS = A.(MS) + B.(MS)’ + C. Chọn A, B,C sao cho: Cn)'dcosxB(csinxn)dcosxA(csinx mbcosx asinx ++++++=++ hoặc có thể đặt 2 x tant = ⇒ 2t1 t2 xsin + = 2 2 t1 t1 xcos + − = Ví dụ 1. Tính: 1. ∫ ++ +− = 2/ 0 dx 5xcos3xsin4 7xcosxsin7I pi ta viết C3sinx)-B(4cosx)5cosx3A(4sinx 7cosx7sinx ++++=+− Khi đó A = 1; B = -1; C = 2 và ∫∫∫ +++++ ++ −= 2/ 0 2/ 0 2/ 0 dx 5xcos3xsin4 2dx 5xcos3xsin4 )5xcos3xsin4(ddxI pipipi www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 13 Xét ∫ ++= 2/ 0 1 dx5xcos3xsin4 2I pi đặt 2 x tant = ⇒ 2t1 t2 xsin + = 2 2 t1 t1 xcos + − = suy ra 3 1dt)2t( 12I 1 0 21 =+ = ∫ . Vậy ( ) 8 9ln 3 1 2 I5xcos3xsin4lnxI 1 2/ 0 −+=+++−= pipi V)Ph−ơng pháp dùng tích phân liên kết Ví dụ 1. Tính: 1. ∫ += 2 0 xcosxsin xdxsinI pi ta xét thêm tích phân thứ hai: ∫ += 2 0 xcosxsin xdxcosJ pi Khi đó: 2 JI pi=+ (*). Mặt khác 0 xcosxsin )xcosx(sind xcosxsin dx)xcosx(sinJI 2 0 2 0 = + + −= + − =− ∫∫ pipi (**). GiảI hệ (*) và (**) suy ra I = J = 4 pi . 2. dx xcosxsin xsinI 2 0 nn n n ∫ += pi ta xét dx xcosxsin xcosJ 2 0 nn n n ∫ += pi . Khi đó: 2 JI nn pi =+ (*) Mặt khác nếu đặt x = 2 pi - t thì n 2 0 nn n2 0 nn n n Jdx xcosxsin xcosdt tcostsin tcosI = + = + = ∫∫ pipi (**). Từ (*), (**) ta có 4 In pi = 3. dx xcosxsin xsinI 2 0 nn n n ∫ + = pi t−ơng tự xét dx xcosxsin xcosJ 2 0 nn n n ∫ + = pi và suy ra 4 JI nn pi == 4. dx xcos3xsin xsinE 6 0 2 ∫ + = pi và dx xcos3xsin xcosF 6 0 2 ∫ + = pi ta có 3ln 4 1dx xcos3xsin 1FE 6 0 = + =+ ∫ pi (*) Lại có 31dx)xcos3x(sinF3E 6 0 −=−=− ∫ pi (**). GiảI hệ (*), (**) ta đ−ợc: 4 313ln 16 1E −−= và 4 313ln 16 3F −+= . Mở rộng tính =−= + = ∫ EFdx xcos3xsin x2cosE 6 0 pi 2 313ln 8 1 − + Đề xuất dx xcos3xsin x2cosL 6 0 ∫ − = pi Các bài toán t−ơng tự. A – Ph−ơng pháp biến đổi trực tiếp 1. [ĐHNNI.98.A] ∫ + + = 1 0 x2 2x e1 dx)e1(M + Bình ph−ơng và phân tích thành 2 phân số đơn giản. + Biết đổi biến. Giải: ∫∫ +++ + = 1 0 x2 x1 0 x2 x2 e1 dxe2 e1 dxe1M ta tính ∫ += 1 0 x2 x 1 e1 dxe2M đặt ( )2/;2/t,ttane x pipi−∈= khi đó với tan α =e và ∫ += α pi 4/ 221 tcos)ttan1( tdttan2M = 2 e1ln ttan1 1ln2tcosln2tdttan2 2 4/ 24/ 4/ + = + −=−=∫ α pi α pi α pi 2. [ĐHTCKT.97] ∫ + 2 0 3 xcos1 xdxsin3 pi + Giải: 2. [ĐHTCKT.97] ∫ + 2 0 3 xcos1 xdxsin3 pi + Giải: www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 14 2. [ĐHTCKT.97] ∫ + 2 0 3 xcos1 xdxsin3 pi + Giải: 2. [ĐHTCKT.97] ∫ + 2 0 3 xcos1 xdxsin3 pi + Giải: 1. [ĐHNNI.98.A] ∫ + + 1 0 x2 2x e1 dx)e1( 2. [ĐHTCKT.97] ∫ + 2 0 3 xcos1 xdxsin3 pi 3. [ĐHBK.98] ∫ + 2 0 44 dx)xcosx(sinx2cos pi 4. [ĐHDLĐ.98] ∫ −++ 2 1 1x1x dx 5. ∫ + 6 0 dx ) 6 xcos(.xcos 1 pi pi 6. ∫ + 2e e dx x )xln(lnxln 7. [ĐHMỏ.00] ∫ + 3 6 dx ) 6 xsin(xsin 1 pi pi pi 8. ∫ 3 0 4 xdx2sinxcos pi 9. [ĐHNN.01] ∫ + 4 0 66 dxxcosxsin x4sinpi 10. [ĐHNNI.01] ∫ 2 4 4 6 dx xsin xcos pi pi 11. ∫ 3 4 4xdxtg pi pi 12. [CĐGTVT.01] ∫ − + 3 2 2 dx.x3x 13. [CĐSPBN.00] ∫ +− 3 0 2 dx4x4x 14. ∫ pi 0 dxxsinxcos 15. ∫ −+ 3 6 22 dx2xgcotxtg pi pi www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 15 16. ∫ +− 3 0 23 dxxx2x 17. ∫ − − 1 1 dxx4 Đáp: )35(2 − 18. ∫ − − 1 1 dxxx 3 22 19. ( )∫ − −−+ 5 3 dx2x2x 8 20. ∫ −+ −+3 0 2 2 dx. 2xx 1xx 21. ∫ + pi 0 dxx2cos22 4 22. ∫ − pi 0 dxx2sin1 22 23. ∫ + 2/ 0 dxxsin1 pi 24 24. ∫ ∈− 1 0 Ra;dxax    ≤<+− ≤+− 1m0~2/1mm 0m~2/1m 2 25. ∫ ∈++− 2 1 2 Ra;dxax)1a(x 2a ≥ thì đs: (3a – 5)/6; 1 < a < 2 thì đs: (a-1)3/3 – (3a - 5)/6 a ≤ 1 th