hông thường ta gặp các loại tích phân sau đây:
+) Loại 1: Tích phân của hàm số đa thức phân thức hữu tỷ.
+) Loại 2: Tích phân của hàm số chứa căn thức
+) Loại 3: Tích phân của hàm số lượng giác
+) Loại 4: Tích phân của hàm số mũ và logarit
21 trang |
Chia sẻ: trungkhoi17 | Lượt xem: 463 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Các phương pháp tính tích phân, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
;2/[t;tsinx pipi−∈= ⇒ dx = cost.dt; đổi cận khi x = 2 /2 thì t = 4/pi ; khi x
= 1 thì t = 2/pi . Khi đó
4
4dt.
tsin
tsin1dt.
tsin
tcosdt.tcos
tsin
tsin1A
2/
4/
2
22/
4/
2
22/
4/
2
2 pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
−
=
−
==
−
= ∫∫∫
2. ∫
−
=
1
0
2
2
dx
x4
xB ta viết ∫
−
=
1
0
2
2
dx
)2/x(12
xB .
Đặt ];0[t;tcos)2/x( pi∈= ⇒ tdtsin2dxtcos2x −=⇒=
Đổi cận suy ra ( )
2
3
3
dtt2cos12tdtcos4)tdtsin2(
tcos12
)tcos2(B
2/
3/
2/
3/
2
3/
2/
2
2
−=+==−
−
= ∫∫∫
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
3. ∫ −=
1
0
22 dxx34xC Tr−ớc hết ta viết ∫
−=
1
0
2
2 dx
2
x.31x2C .
Đặt ]2/;2/[t;tsinx
2
3
pipi−∈= đ−a tích phân về dạng:
12
1
27
32dt
2
t4cos1
33
4
tdtcostsin
33
16C
3/
0
3/
0
22 +=
−
== ∫∫
pi
pipi
Chú ý:
www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 4
- Nếu hàm số chứa 0a,xa 2 >− thì ta viết
2
2
a
x1axa
−=− và đặt
∈=
−∈=
];0[t;tcos
a
x
]2/;2/[t;tsin
a
x
pi
pipi
- Nếu hàm số chứa 0b,a,bxa 2 >− thì ta viết
2
2 x
a
b1abxa
−=− và đặt
∈=
−∈=
];0[t;tcosx
a
b
]2/;2/[t;tsinx
a
b
pi
pipi
Ví dụ 2. Tính:
1. ∫
−
=
2
3/2
2
dx
1xx
1E {Viết tích phân về dạng 2X1 − }
ta viết ( )∫ −=
2
3/2
22
dx
x/11x
1E và đặt [ ]2/;2/t;tsin
x
1
pipi−∈= suy ra
12
dtE
3/
4/
pi
pi
pi
== ∫
2. ∫
−
=
3/22
3/2
3
2
dx
x
4x3G {Viết tích phân về dạng 2X1 − }
ta viết
( )
∫
−
=
3/22
3/2
3
2
dx
x
x3/21.x.3
G và đặt [ ]2/;2/t;tsin
x3
2
pipi−∈= suy ra tích phân có dạng
16
)336(3
tdtcos
2
33G
3/
4/
2 −+
== ∫
pi
pi
pi
{Nếu tích phân có dạng bax 2 − thì viết về dạng 2X1− }
Cách đặt 2. Nếu tích phân có chứa 2x1 + hoặc ( )2x1 + thì ta đặt ( )2/;2/t;ttanx pipi−∈= hoặc
( )pi;0t;tcotx ∈=
Ví dụ 3. Tính:
1. ∫ +=
3
3/1
2 dxx1
1M ta đặt ( )2/;2/t;ttanx pipi−∈= suy ra
6
dtM
3/
6/
pi
pi
pi
== ∫
2. ∫
+
=
3
1
22
dx
x1.x
1N ta đặt ( )2/;2/t;ttanx pipi−∈= suy ra
3
3218dt
.tsin
tcosN
3/
4/
2
−
== ∫
pi
pi
3. ∫ ≠+=
a
0
222 0a;dx)xa(
1P
ta viết ∫
+
=
a
0
2
24
dx
)
a
x(1a
1P và đặt ;ttan
a
x
= ⇒ 3
4/
0
2
3 a4
2
tdtcos
a
1P +== ∫
pi
pi
4. ∫ ++=
1
0
2 dx1xx
1Q
ta viết ∫
++
=
1
0
2 dx
)
2
1
x(
3
21
1
3
4Q và đặt ( )2/;2/t;ttan
2
1
x
3
2
pipi−∈=
+ ⇒
9
3dt
2
3
3
4Q
1
0
pi
== ∫
Chú ý: Nếu gặp tích phân chứa 2bxa + hoặc 2bxa + thì ta viết:
+=+
2
2
x
a
b1axba hoặc
2
2 x
a
b1abxa
+=+ và ta đặt ( )2/;2/t;ttanx
a
b
pipi−∈=
www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 5
Cách đặt 3. Nếu tích phân có chứa
xa
xa
+
−
hoặc
xa
xa
−
+
thì ta đặt ta đặt ]2/;0[t;t2cosax pi∈= và l−u ý vận dụng
=+
=−
tcos2t2cos1
tsin2t2cos1
2
2
Ví dụ 4. Tính:
1. ∫
−
>
−
+
=
0
a
0a;dx
xa
xaI ta đặt ]2/;0[t;t2cosax pi∈= suy ra ∫ −
−
+
=
4/
2/
dt)t2sina2(
t2cos1
t2cos1I
pi
pi
4
4
a
pi−
=
2. ∫
−
+
=
2/2
0
dx
x1
x1J ta đặt ]2/;0[t;t2cosx pi∈= suy ra ∫ −
−
+
=
8/
4/
dt)t2sin2(
t2cos1
t2cos1J
pi
pi
=
4
224
tdtcos4J
4/
8/
2 −+
== ∫
pi
pi
pi
{có thể đặt t
x1
x1
=
−
+
suy rra tích phân J về dạng tích phân của hàm số hữu tỷ}
B - Ph−ơng pháp đổi biến số dạng 2:
Giả sử cần tính tích phân ∫=
b
a
dx)x(fI ta thực hiện các b−ớc sau:
- B−ớc 1. Đặt t = v(x)
- B−ớc 2. Lấy vi phân dx = u’(t)dt và biểu thị f(x)dx theo t và dt. Chẳng hạn f(x)dx = g(t)dt
- B−ớc 3. Đổi cận khi x = a thì u(t) = a ứng với t = α ; khi x = b thì u(t) = b ứng với t = β
- B−ớc 4. Biến đổi ∫=
β
α
dt)t(gI (tích phân này dễ tính hơn thì phép đổi biến mới có ý nghĩa)
Cách đặt đổi biến dạng 2.
Cách đặt 1. Nếu hàm số chứa ẩn ở mẫu thì đặt t = mẫu số.
Ví dụ 1. Tính:
1. ∫
−
=
2/
0
2 dxxcos4
x2sinI
pi
ta có thể đặt t = 4 - cos2x suy ra
3
4ln
t
dtI
4
3
== ∫
2. ∫ +=
4/
0
22 dxxcos2xsin
x2sinJ
pi
đặt xcos1xcos2xsint 222 +=+= suy ra ∫ ==
2
2/3
4
3ln
t
dtJ
{có thể hạ bậc để biến đổi tiếp mẫu số về cos2x sau đó đ−a sin2x vào trong vi phân}
Đề xuất: ∫ +=
2/
0
22221 dxxcosbxsina
xcosxsinJ
pi
với 0ba 22 >+
3. ∫ +=
2ln
0
x
dx
5e
1K ta đặt 5et x += ⇒ 5tex −= ⇒ dtdxex = sau đó làm xuất hiện trong tích phân biểu
thức dxex ⇒
7
12ln
5
1
t
5tln
5
1
)5t(t
dt
)5e(e
dxeK
7
6
7
6
2ln
0
xx
x
=
−
=
−
=
+
= ∫∫
{Có thể biến đổi trực tiếp
7
12ln
5
1dx
5e
e
5
1dx
5e
5e
5
1dx
5e
e5e
5
1K
2ln
0
x
x2ln
0
x
x2ln
0
x
xx
=
+
−
+
+
=
+
−+
= ∫∫∫ }
4. ∫ +−
+
=
2/
0
2 dx)4x2cosxsin2(
xcosx2sinH
pi
ta đặt 4x2cosxsin2t +−= ⇒
21
2dt
t
1
2
1H
7
3
2 == ∫
{đôI khi không đặt cả MS}
5. ∫ +=
2/
0
2
3
dx
xcos1
xcosxsinG
pi
chú ý rằng tách mũ 3 = 2 +1 đặt
xcos1t 2+= ⇒ 1txcos2 −= ⇒ dtxdxcosxsin2 −= khi đó:
2
2ln1)tlnt(
2
1dt
t
)1t(
2
1G
2
1
2
1
−
=
−=
−
= ∫
www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 6
6. ∫ ++=
4/
0
dx
2xcosxsin
x2cosM
pi
ta đặt 2xcosxsint ++= ⇒ dx)xsinx(cosdt −= l−u ý cos2x = (cosx+sinx)(cosx-sinx)
( )
3
22ln12tln2t
t
dt)2t(dx
2xcosxsin
)xsinx)(cosxsinx(cosM
22
3
22
3
4/
0
+
+−=−=
−
=
++
−+
= ∫∫
+
+
pi
7. ∫ ++=
4/
0
3 dx)2xcosx(sin
x2cosN
pi
đặt 2xcosxsint ++= suy ra
)21(2
1
9
2
3
1
9
1
22
1
)22(
1
t
1
t
1
t
dt)2t(N
2
22
3
22
3
23
+
−=+−
+
−
+
=
−=
−
= ∫
+ +
Đề xuất: ∫ +−=
4/
0
1 dx2xcosxsin
x2cosM
pi
và ∫ +−=
4/
0
31 dx)2xcosx(sin
x2cosN
pi
8.
Cách đặt 2. Nếu hàm số chứa căn thức n )x(ϕ thì đặt n )x(t ϕ= sau đó luỹ thừa 2 vế và lấy vi phân 2 vế.
Ví dụ 1. Tính:
1. ∫ ++
−
=
1
0
dx
1x32
3x4I ta đặt 1x3t += ⇒ ( )1t
3
1
x
2
−= ⇒ tdt
3
2dx = khi đó đ−a tích phân về dạng:
( )
3
4ln
3
4
27
2dt
t2
6
9
2dt3t8t4
9
2dt
t2
t13t4
9
2I
2
1
2
1
2
2
1
3
−=
+
−+−=
+
−
= ∫∫∫
2. ∫
+
=
7
0
3 2
3
dx
x1
xJ ta đặt 3 2x1t += ⇒ 1tx 32 −= ⇒ dtt3xdx2 2= ⇒
20
141dt)tt(
2
3J
2
1
4
=−= ∫
3. ∫
+
=
2
1
2
dx
x1x
1K ta đặt 2x1t += ⇒ 1tx 22 −= ⇒ tdtxdx = ⇒
5
2
5
2
2 1t
1tln
2
1
t)1t(
tdtJ
+
−
=
−
= ∫
4. ∫
+
=
2
1
3
dx
x1x
1H ta đặt 3x1t += ⇒ 1tx 23 −= ⇒ tdt2dxx3 2 = nhân cả tử và mẫu số với x2 ta đ−ợc:
2
12ln
3
2
1t
1tln
3
1
1t
dt
3
2
x1x
xdxH
3
2
3
2
2
2
1
32
+
=
+
−
=
−
=
+
= ∫∫
5. ∫
+
+
=
3
0
2
35
dx
1x
x2xG ta đặt 2x1t += ⇒ 1tx 22 −= ⇒ tdtxdx = nhóm x2.x.(x2 +2) ta đ−ợc:
5
26
t
5
t
t
tdt)1t)(1t(dx
1x
x.x)2x(G
2
1
52
1
223
0
2
22
=
−=
−+
=
+
+
= ∫∫
6. ∫
−
+++
=
6
1
3
dx
1x91x9
1M ta đặt 6 1x9t += ⇒ ( )1t
9
1
x
6
−= ⇒ dtt
3
2dx 5= luỹ thừa bậc hai và bậc ba
ta có:
+=
+
−+−=
+
=
+
= ∫∫∫ 3
2ln
6
11
3
2dt)
1t
11tt(
3
2
1t
dtt
3
2
tt
dtt
3
2M
2
1
2
2
1
32
1
23
5
Ví dụ 2. Tính:
1. [ĐH.2005.A] ∫ +
+
=
2/
0
dx
xcos31
xsinx2sinP
pi
ta đặt xcos31t += ⇒ )1t(
3
1
xcos 2 −= ⇒ tdt
3
2
xdxsin −= nhóm
nhân tử sinx ta có: ∫ +
+
=
2/
0 xcos31
xdxsin)1xcos2(P
pi ( )
27
34
t
3
t2
9
2dx1t2
9
2
2
1
32
1
2
=
+=+= ∫
www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 7
2. dx.
xsin31
x2sinx3cosQ
2
0
∫ +
+
=
pi
ta đặt xsin31t += ⇒ )1t(
3
1
xsin 2 −= ⇒ tdt
3
2
xdxcos = áp dụng công thức
nhân đôi và nhân 3 ta viết: dx.
xsin31
xcosxsin2xcos3xcos4Q
2
0
3
∫ +
+−
=
pi
xdxcos.
xsin31
xsin23xsin442
0
2
∫ +
+−−
=
pi
Vậy ∫ −+−=
2
1
24 dt)1t14t4(
27
2Q
405
206
tt
3
14
t
5
4
27
2
2
1
35
=
−+−=
3. [ĐH.2006.A] ∫
+
=
2
0
22
dx
xsin4xcos
x2sinR
pi
ta đặt xsin31t 2+= ⇒ )1t(
3
1
xsin 22 −= ⇒
tdt
3
2
xdx2sin = . khi đó:
3
2
t
3
2
t
tdt
3
2R
2
1
2
1
=== ∫
4.
Ví dụ 3. Tính:
1. ∫
+
=
e
1
dx
x
xln31xlnP
Ta đặt xln31t += ⇒ )1t(
3
1
xln 2 −= ⇒ tdt
3
2
x
dx
= khi đó: ( )
135
116dxtt
9
2P
2
1
4
=−= ∫
2. ∫ +
−
=
e
1
dx
xln21x
xln23Q
Ta đặt xln21t += ⇒ )1t(
2
1
xln 2 −= ⇒ tdt
x
dx
= . Khi đó:
3
1139
3
t
t4dt)t4(
t
tdt)1t(3Q
3
1
32
1
2
2
1
2
−
=
−=−=
−−
= ∫∫
3. ∫
+
=
2ln2
2ln
x 1e
dxR . Ta đặt 1et x += suy ra tdt2dxe x = ⇒ ∫
−
+
+
−
=
−
=
5
3
2 13
13
.
15
15ln
1t
dt2R
4. ∫
+
=
3
0
3 xe1
dxS . Ta đặt 3 xet = suy ra
1e
e2ln3)1t(t
dx3S
e
1
+
=
+
= ∫
5. ∫ +
−
=
5ln
0
x
xx
3e
dx1eeX
Cách đặt 3. Nếu hàm số chứa các đại l−ợng xsin , xcos và
2
xtan thì ta đặt
2
xtant = khi đó
2t1
t2
xsin
+
= , 2
2
t1
t1
xcos
+
−
=
Ví dụ 4. Tính:
1. dx.
5xcos3xsin5
1Q
2/
0
∫ ++=
pi
Ta đặt
2
x
tant = ⇒ 2t1
dt2dx
+
= và
5
8ln
3
1
4t
1tln
3
1dt
4t5t
1Q
1
0
1
0
2 =+
+
=
++
= ∫
2. dx.
2xcos
2
x
tan
L
3/
0
∫ +=
pi
ta đặt
2
x
tant = ⇒ 2t1
dt2dx
+
= và
9
10ln3tln
3t
tdt2L
3/1
0
2
3/1
0
2 =+=+
= ∫
www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 8
3. ∫ ++=
4
0
dx
1x2sinx2cos
x2cosV
pi
ta đặt xtant = ⇒ 2t1
dtdx
+
= và ∫∫∫ +++=+
+
=
1
0
2
1
0
2
1
0
2 )t1(2
tdt
)t1(2
dt
)t1(2
dt)t1(V
1
0
2
1 1tln4
1V ++= ta tính
8)t1(2
dtV
ytant1
0
21
pi=
=
+
= ∫ suy ra 8
2ln2dx
1x2sinx2cos
x2cosV
4
0
+
=
++
= ∫
pi
pi
4. ∫ +−+
+
=
4
0
22
2
dx
1xsinx2sinxcos
xtan1N
pi
ta viết ∫ ++
+
=
4
0
2
dx
1x2sinx2cos
xtan1N
pi
và đặt
xtant = ⇒ 2t1
dtdx
+
= suy ra
4
2ln231tlnt
2
t
2
1dt
1t
t1
2
1N
1
0
21
0
2 +
=
+++=
+
+
= ∫
5. [ĐH.2008.B] ∫ +++
−
=
4
0
dx)xcosxsin1(2x2sin
4
xsin
F
pi
pi
ta viết
( )
∫ +++
−
=
4
0
dx)xcosxsin1(2xcosxsin2
xcosxsin
2
1F
pi
dựa
vào mối quan hệ giữa xcosxsin + và xcosxsin ta đặt xcosxsint += ⇒ dx)xsinx(cosdt −= và
2
1t
xcosxsin
2
−
= khi đó ∫∫ −+
=
+
=
++
−=
++−
−
=
2
1
2
1
2
2
1
2 22
1
22
1
1t
1
2
1
1t2t
dt
2
1
)t1(21t
dt
2
1F
Cách đặt 4. Dựa vào đặc điểm hai cận của tích phân.
Nếu tích phân có dạng ∫
−
=
a
a
dx)x(fI thì ta có thể viết ∫∫ +=
−
a
0
0
a
dx)x(fdx)x(fI đặt t = - x để biến đổi ∫
−
=
0
a
1 dx)x(fI
Nếu tích phân có dạng ∫=
pi
0
dx)x(fI thì ta có thể đặt t = pi - x
Nếu tích phân có dạng ∫=
pi2
0
dx)x(fI thì ta có thể đặt t = 2 pi - x
Nếu tích phân có dạng ∫=
2/
0
dx)x(fI
pi
thì ta có thể đặt t =
2
pi
- x
Nếu tích phân có dạng ∫=
b
a
dx)x(fI thì ta có thể đặt t = (a + b) - x
Ví dụ 4. Tính:
1. ∫
−
=
1
1
2008 xdxsinxI ta viết += ∫
−
0
1
2008 xdxsinxI BAxdxsinx
1
0
2008 +=∫ . Ta đặt t = -x thì A = - B. vậy I = 0.
2. ∫ +=
pi
0
2 dx
xcos1
xsinxJ ta đặt xt −= pi khi đó ∫∫ +−+=
pipi
pi
0
2
0
2 dttcos1
tsintdt
tcos1
tsinJ ta đổi biến tiếp:
2
dt
tcos1
tsinJ
2utantcos
0
21
pipi
pi
=
====
+
= ∫ và Jdttcos1
tsintJ
xt
0
22
−=
===
+
= ∫
pi
.Vậy
4
JJ
2
J
22 pipi
=⇒−=
Cách đặt 4. Nếu tích phân có chứa 0a;cbxax 2 >++ thì ta có thể đặt cbxaxxat 2 ++=− sau đó tính x theo t
và tính dx theo t và dt.{Phép thế ơle}
Ví dụ 5. Tính:
1. ∫
+−
=
1
0
2 1xx
dxI ta đặt 1xxxt 2 +−=− ⇒
1t2
t1
x
2
+
−
= ⇒ 3ln
1t2
dt2I
2
1
=
−
= ∫
2. ∫
+−
=
1
0
2 1x2x9
dxJ ta đặt 1x2x9x3t 2 +−=− ⇒ )1t3(2
1t
x
2
−
−
= ⇒
2
126ln
3
1
1t3
dtJ
22
1
−
=
−
= ∫
III)Ph−ơng pháp tích phân từng phần
www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 9
-Giả sử cần tính tích phân ∫=
b
a
dx)x(fI . Khi đó ta thực hiện các b−ớc tình:
B−ớc 1. Viết tích phân d−ới dạng: ∫∫ ==
b
a
b
a
dx)x(h).x(gdx)x(fI
B−ớc 2. Đặt
=
=
dx).x(hdv
)x(gu
⇒
=
=
∫ dx).x(hv
dx)x('gdu
B−ớc 3. áp dụng công thức: hay ∫∫ −=
b
a
b
a
b
a
du.vv.udv.u
Các cách đặt để tích phân từng phần:
+Cách đặt 1. Nếu tích phân có dạng ∫=
b
a
dx.axsin).x(PI thì ta sẽ đặt
=
=
dx.axsindv
)x(Pu
⇒
−=
=
a
axcos
v
dx)x('Pdu
Nếu tích phân có dạng ∫
b
a
dx.axcos).x(P thì ta đặt
=
=
dx.axcosdv
)x(Pu
⇒
=
=
a
axsin
v
dx)x('Pdu
Nếu tích phân có dạng ∫
b
a
ax dx.e).x(P thì ta đặt
=
=
dx.edv
)x(Pu
ax
⇒
=
=
a
e
v
dx)x('Pdu
ax
Ví dụ 5. Tính:
1. ∫ −=
pi
0
dx.x2sin).1x3(I ta đặt
=
−=
dx.x2sindv
1x3u
⇒
−=
=
2
x2cos
v
dx3du
⇒
2
3dx.x2cos
2
3
2
x2cos)1x3(I
00
pi
pipi
−=+−−= ∫
2. ∫ +=
2/
0
2 dx.xcos).1x(J
pi
ta đặt
=
+=
dx.xcosdv
1xu 2
⇒
=
=
xsinv
xdx2du
⇒ 1
2
0
2/
0
2 J2
4
4dx.xsin..x2xsin)1x(J −+=−+= ∫
pi
pi
pi
ta tính ∫=
2/
0
1 dx.xsin.xJ
pi
bằng cách đặt
=
=
dx.xsindv
xu
sau đó suy ra 1xdxcosxcosxJ
2/
0
2/
01
=+−= ∫
pi
pi
.Vậy
4
42
4
4J
22
−
=−
+
=
pipi
3. ∫ +−=
1
0
x32 dx.e).1xx(L ta đặt
=
+−=
dx.edv
1xxu
x3
2
⇒ 1
31
0
x3
1
0
x32 L
3
1
3
1edx.e).1x2(
3
1
e)1xx(
3
1L −−=−−+−= ∫
Tính tiếp ∫ −=
1
0
x3
1 dx.e).1x2(L đặt
=
−=
dx.edv
1x2u
x3 ⇒ 9
4e4L
3
1
−
= suy ra
27
5e5L
3
−
=
4. ∫=
pi
0
2 dx.)xsinx(M ta viết ∫∫∫ −=
−
==
pipipipi
00
2
00
2 xdx2cosx
2
1
4
xdx.
2
x2cos1
xdx.xsinxM
xét 0dx.x2cosxM
xu
xdx2cosdv0
1 ===∫
=
=
=
pi
. vậy ta có
4
M
2pi
=
5. ∫=
4/
0
2
dx.xsinM
pi
ta đổi biến xt = để đ−a ∫=
2/
0
tdtsint2M
pi
bằng cách đặt
=
=
dt.tsindv
t2u
⇒ 2M =
www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 10
+Cách đặt 2. Nếu tích phân có dạng ∫=
b
a
ax dx.bxsineI thì ta đặt
=
=
dx.edv
bxsinu
ax
⇒
=
=
a
e
v
bxdxcosbdu
ax
Nếu tích phân có dạng ∫=
b
a
ax dx.bxcoseI thì ta đặt
=
=
dx.edv
bxcosu
ax
⇒
=
−=
a
e
v
bxdxsinbdu
ax
Ví dụ 6. Tính:
1. ∫=
2/
0
x2 dx.x3sin.eI
pi
ta đặt
=
=
dxedv
x3sinu
x2 ⇒
=
=
2
e
v
xdx3cos3du
x2
⇒ 1
0
x2
2/
0
x2
I
2
3
2
edx.x3cose
2
3
2
e
x3sinI −−=−= ∫
pipipi
(*). Ta xét ∫=
pi
0
x2
1 dx.x3coseI và đặt
=
=
dxedv
x3cosu
x2 ⇒
I
2
3
2
1dx.x3sine
2
3
2
e
x3cosI
0
x2
2/
0
x2
1 +=+−= ∫
pipi
thay vào (*) ta có: ⇒
+−−= I
2
3
2
1
2
3
2
eI
pi
13
3e2I +−=
pi
2. ∫=
pi
0
2x dx.)xsin.e(F ta viết ∫∫∫ −=
−
=
pipipi
0
x2
0
x2
0
x2 dx.x2cose
2
1dx.e
2
1dx.
2
x2cos1
eF
Ta xét
2
1edx.e
2
1F
2
0
x2
1
−
== ∫
pipi
. Sau hai lần tích phân từng phần ta tính đ−ợc
4
1edx.x2cose
2
1F
2
0
x2
2
−
== ∫
pipi
.
Vậy ta có:
8
1edx.)xsin.e(F
2
0
2x −
== ∫
pipi
+Cách đặt 3. Nếu tích phân có dạng [ ]∫=
b
a
dx)x(Q.)x(PlnI thì ta đặt [ ]
=
=
dx).x(Qdv
)x(Plnu
⇒
=
=
∫ dx)x(Qv
dx)x(P
)x('Pdu
Ví dụ 7. Tính:
1. ∫ −=
5
2
dx)1xln(.xI ta đặt [ ]
=
−=
dx.xdv
1xlnu
⇒
=
−
=
2
x
v
dx
1x
1du
2
⇒ ∫
−
−−=
5
2
25
2
2
dx
2x2
x)1xln(
2
xI
4
272ln48 +
=
2. ∫ ++=
3
0
2 dx)x1xln(J ta đặt
=
++=
dxdv
x1xlnu 2
⇒
=
+
=
xv
dx
x1
1du
2 ⇒ 1)23ln(3J −+=
3. ∫=
e
1
2
xdxln.xK ta đặt
=
=
xdxdv
xlnu 2
suy ra ∫−=
e
1
e
1
2
2
xdxln.xxln
2
xK . Xét ∫=
e
1
1 xdxln.xK và đặt
=
=
xdxdv
xlnu
thì
4
1eK
4
1eK
22
1
−
=⇒
+
= .
4. ∫=
2
1
5 dx
x
xlnH ta đặt
=
=
− dxxdv
xlnu
5 suy ra 256
2ln415dxx
4
1
xln
x4
1H
e
1
5
2
1
4
−
=+−= ∫ − .
5. ∫=
3/
6/
2 dx
xcos
)xln(sinG
pi
pi
đặt
=
=
dx
xcos
1dv
)xln(sinu
2
⇒
=
=
xtanv
xdxcotdu
⇒ ∫−=
3/
6/
3/
6/
dx)xln(sinxtanI
pi
pi
pi
pi 6
2ln343ln33 pi−−
=
www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 11
6. dx)x(lnoscF
e
1
∫=
pi
đặt
=
=
dxdv
)xcos(lnu
⇒
=
−=
xv
dx
x
)xsin(lndu
⇒ ∫+=
pi
pi
e
1
e
1
dx)xsin(ln)xcos(lnxI (*). Ta xét
∫=
pie
1
1 dx)xsin(lnF đặt
=
=
dxdv
)xsin(lnu
⇒
=
=
xv
dx
x
)xcos(lndu
⇒ Fdx)xcos(ln)xsin(lnxF
e
1
e
11
−=−= ∫
pi
pi
thay
vào (*) ta có:
2
1eFF1eF +−=⇒−−−=
pi
pi .
III)Ph−ơng pháp tìm hệ số bất định
A- Khi gặp tích phân: ∫= dx)x(Q
)x(PI với P(x), Q(x) là các đa thức của x.
B−ớc 1: Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của Q(x) thì ta lấy P(x) chia cho Q(x) đ−ợc th−ơng A(x) và d− R(x),
tức là P(x) = Q(x).A(x) + R(x), với bậc R(x) < bậc Q(x).
Suy ra : )x(Q
)x(R)x(A)x(Q
)x(P
+= ⇒ ∫∫∫ += dx)x(Q
)x(Rdx)x(Adx)x(Q
)x(P
B−ớc 2: Ta đi tính : ∫= dx)x(Q
)x(RI , với bậc R(x) < bậc Q(x).
Có thể xảy ra các khả năng sau :
+Khả năng 1: Với cbxax)x(Q 2 ++= ,( 0a ≠ ) thì bậc R(x) < 2 ⇒ R(x) = M.x+N và
cbxax
Nx.M
)x(Q
)x(R
2 ++
+
=
TH1 : Q(x) có 2 nghiệm x1, x2, tức là: Q(x) = a(x – x1)(x – x2).
Chọn hằng số A, B sao cho:
2121 xx
B
xx
A
)xx)(xx(a
Nx.M
)x(Q
)x(R
−
+
−
=
−−
+
=
TH2 : Q(x) có nghiệm kép x0, tức là:
2
0 )xx(a)x(Q −= .
Chọn hằng số A, B sao cho: 2
00
2
0 )xx(
B
xx
A
)xx(a
Nx.M
)x(Q
)x(R
−
+
−
=
−
+
=
TH3 : Q(x) vô nghiệm. Chọn hằng số A, B sao cho: B)x('Q.A)x(R += và )x(Q
B
)x(Q
)x('Q.A
)x(Q
)x(R
+=
+Khả năng 2: Với dcxbxax)x(Q 23 +++= ,( 0≠a ) thì bậc R(x) < 3
TH1: Q(x) có 3 nghiệm .x,x,x 321 tức là: )xx)(xx)(xx(a)x(Q 321 −−−=
Chọn hằng số A, B, C sao cho:
321321 xx
C
xx
B
xx
A
)xx)(xx)(xx(a
)x(R
)x(Q
)x(R
−
+
−
+
−
=
−−−
=
TH2: Q(x) có 1 n0 đơn 1x , 1 n0 kép 0x , tức là:
2
01 )xx)(xx(a)x(Q −−=
Chọn hằng số A, B, C sao cho: 2
001
2
01 )xx(
C
xx
B
xx
A
)xx)(xx(a
)x(R
)x(Q
)x(R
−
+
−
+
−
=
−−
=
TH3: Q(x) có một nghiệm 0x (bội 3), tức là:
3
0 )xx(a)x(Q −=
Chọn hằng số A, B, C sao cho: 3
0
2
00
3
0 )xx(
C
)xx(
B
xx
A
)xx(a
)x(R
)x(Q
)x(R
−
+
−
+
−
=
−
=
TH4: Q(x) có đúng một nghiệm đơn 1x , tức là: )xax)(xx()x(Q 21 γβ ++−= (trong đó 0a42 <−= γβ∆ ).
Chọn hằng số A, B, C sao cho:
γβγβ ++
+
+
−
=
++−
=
xax
CBx
xx
A
)xax)(xx(
)x(R
)x(Q
)x(R
2
1
2
1
+Khả năng 3: Với bậc )x(Q >3 thì thông th−ờng ta gặp Q(x) là các biểu thức đơn giản nh−: 1x4 + ; 1xx 24 +± ; 1x6 +
Ví dụ 1. Tính các tích phân:
www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 12
1. ∫
−
+−
++
=
0
1
2
2
dx
2x3x
1xxI ta viết ∫
−
+−
−
+=
0
1
2 dx2x3x
1x41I và viết
2x
B
1x
A
2x3x
1x4
2
−
+
−
=
+−
−
Sau đó chọn đ−ợc
A = -3; B = 7. Khi đó: ( ) 3ln72ln102xln71xln3xI 0
1
−=−+−−=
−
.
2. ∫ ++=
1
0
2 dx1xx
xJ ta viết x = A(x2 + x + 1)’ + B suy ra A = 1/2; B = - 1/2. Vậy 21 JJJ += với
3ln
2
1
1xx
)1xx(d
2
1J
1
0
2
2
1 =
++
++
= ∫ và ∫∫
+
+
−=
++
−=
1
0
2
1
0
22
1
2
1
x
3
2
dx
3
4
.
2
1
1xx
dx
2
1J
Ta đặt utan
2
1
x
3
2
=
+ suy ra
9
3du
3
32J
3/
6/
2
pi
pi
pi
=−= ∫ .
3. ∫ +=
3
1
3 dx
x3x
1K ta viết
3x
cBx
x
A
x3x
1
23 +
+
+=
+
sau đó chọn đ−ợc A = 1/3, B = - 1/3, C = 0. Vì thế viết đ−ợc
3ln
6
1dx)3x(3
xdx
x3
1K
3
1
2
3
1
=
+
−= ∫∫ {Vì đ−a đ−ợc x vào trong vi phân}.
4.
B – Khi gặp tích phân ∫ +
+
=
β
α
dx
xcosdxsinc
xcosbxsinaI (c, d ≠ 0) thì ta viết TS = A.(MS) + B.(MS)’ tức là chọn A, B sao cho:
dcosx)'B(csinxdcosx)A(csinx bcosx asinx +++=+ hoặc đặt
2
x
tant = ⇒ 2t1
t2
xsin
+
= 2
2
t1
t1
xcos
+
−
=
Ví dụ 1. Tính:
1. ∫ +
+
=
2/
0
dx
xcosxsin
xcos5xsin3I
pi
ta viết sinx)-B(cosxcosx)A(sinx cosx 53sinx ++=+ suy ra A = 4; B = 1.
Khi đó: ( ) pipipipi 2xcosxsinlnx4
xcosxsin
)xcosx(sinddx4I 2/
0
2/
0
2/
0
=++=
+
+
+= ∫∫
2. ∫ +
+
=
2/
0
3 dx)xcosx(sin
xcosxsin3J
pi
ta viết sinx)-B(cosxcosx)A(sinx cosx 3sinx ++=+ suy ra A = 2; B = -1.
Khi đó: 2)xcosx(sin2
1)
4
xcot()xcosx(sin
)xcosx(sinddx)xcosx(sin
2I
2/
0
2
2/
0
3
2/
0
2 =
+
++−=
+
+
−
+
= ∫∫
pipipi
pi
C – Khi gặp tích phân ∫ ++
++
=
β
α
dx
nxcosdxsinc
mxcosbxsinaI (c, d ≠ 0) thì ta viết TS = A.(MS) + B.(MS)’ + C. Chọn A, B,C sao cho:
Cn)'dcosxB(csinxn)dcosxA(csinx mbcosx asinx ++++++=++ hoặc có thể đặt
2
x
tant = ⇒ 2t1
t2
xsin
+
= 2
2
t1
t1
xcos
+
−
=
Ví dụ 1. Tính:
1. ∫ ++
+−
=
2/
0
dx
5xcos3xsin4
7xcosxsin7I
pi
ta viết C3sinx)-B(4cosx)5cosx3A(4sinx 7cosx7sinx ++++=+−
Khi đó A = 1; B = -1; C = 2 và ∫∫∫ +++++
++
−=
2/
0
2/
0
2/
0
dx
5xcos3xsin4
2dx
5xcos3xsin4
)5xcos3xsin4(ddxI
pipipi
www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 13
Xét ∫ ++=
2/
0
1 dx5xcos3xsin4
2I
pi
đặt
2
x
tant = ⇒ 2t1
t2
xsin
+
= 2
2
t1
t1
xcos
+
−
= suy ra
3
1dt)2t(
12I
1
0
21 =+
= ∫ . Vậy ( ) 8
9ln
3
1
2
I5xcos3xsin4lnxI 1
2/
0
−+=+++−=
pipi
V)Ph−ơng pháp dùng tích phân liên kết
Ví dụ 1. Tính:
1. ∫ +=
2
0
xcosxsin
xdxsinI
pi
ta xét thêm tích phân thứ hai: ∫ +=
2
0
xcosxsin
xdxcosJ
pi
Khi đó:
2
JI pi=+ (*).
Mặt khác 0
xcosxsin
)xcosx(sind
xcosxsin
dx)xcosx(sinJI
2
0
2
0
=
+
+
−=
+
−
=− ∫∫
pipi
(**). GiảI hệ (*) và (**) suy ra I = J =
4
pi
.
2. dx
xcosxsin
xsinI
2
0
nn
n
n ∫ +=
pi
ta xét dx
xcosxsin
xcosJ
2
0
nn
n
n ∫ +=
pi
. Khi đó:
2
JI nn
pi
=+ (*)
Mặt khác nếu đặt x =
2
pi
- t thì n
2
0
nn
n2
0
nn
n
n Jdx
xcosxsin
xcosdt
tcostsin
tcosI =
+
=
+
= ∫∫
pipi
(**). Từ (*), (**) ta có
4
In
pi
=
3. dx
xcosxsin
xsinI
2
0
nn
n
n ∫ +
=
pi
t−ơng tự xét dx
xcosxsin
xcosJ
2
0
nn
n
n ∫ +
=
pi
và suy ra
4
JI nn
pi
==
4. dx
xcos3xsin
xsinE
6
0
2
∫ +
=
pi
và dx
xcos3xsin
xcosF
6
0
2
∫ +
=
pi
ta có 3ln
4
1dx
xcos3xsin
1FE
6
0
=
+
=+ ∫
pi
(*)
Lại có 31dx)xcos3x(sinF3E
6
0
−=−=− ∫
pi
(**). GiảI hệ (*), (**) ta đ−ợc:
4
313ln
16
1E −−= và
4
313ln
16
3F −+= . Mở rộng tính =−=
+
= ∫ EFdx
xcos3xsin
x2cosE
6
0
pi
2
313ln
8
1 −
+
Đề xuất dx
xcos3xsin
x2cosL
6
0
∫
−
=
pi
Các bài toán t−ơng tự.
A – Ph−ơng pháp biến đổi trực tiếp
1. [ĐHNNI.98.A] ∫ +
+
=
1
0
x2
2x
e1
dx)e1(M
+ Bình ph−ơng và phân tích thành 2 phân số đơn giản.
+ Biết đổi biến.
Giải: ∫∫ +++
+
=
1
0
x2
x1
0
x2
x2
e1
dxe2
e1
dxe1M ta tính ∫ +=
1
0
x2
x
1
e1
dxe2M đặt ( )2/;2/t,ttane x pipi−∈= khi đó với tan α =e và
∫ +=
α
pi 4/
221 tcos)ttan1(
tdttan2M =
2
e1ln
ttan1
1ln2tcosln2tdttan2
2
4/
24/
4/
+
=
+
−=−=∫
α
pi
α
pi
α
pi
2. [ĐHTCKT.97] ∫ +
2
0
3
xcos1
xdxsin3
pi
+
Giải:
2. [ĐHTCKT.97] ∫ +
2
0
3
xcos1
xdxsin3
pi
+
Giải:
www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 14
2. [ĐHTCKT.97] ∫ +
2
0
3
xcos1
xdxsin3
pi
+
Giải:
2. [ĐHTCKT.97] ∫ +
2
0
3
xcos1
xdxsin3
pi
+
Giải:
1. [ĐHNNI.98.A] ∫ +
+
1
0
x2
2x
e1
dx)e1(
2. [ĐHTCKT.97] ∫ +
2
0
3
xcos1
xdxsin3
pi
3. [ĐHBK.98] ∫ +
2
0
44 dx)xcosx(sinx2cos
pi
4. [ĐHDLĐ.98] ∫
−++
2
1 1x1x
dx
5. ∫
+
6
0
dx
)
6
xcos(.xcos
1
pi
pi
6. ∫
+
2e
e
dx
x
)xln(lnxln
7. [ĐHMỏ.00] ∫
+
3
6
dx
)
6
xsin(xsin
1
pi
pi
pi
8. ∫
3
0
4 xdx2sinxcos
pi
9. [ĐHNN.01] ∫ +
4
0
66 dxxcosxsin
x4sinpi
10. [ĐHNNI.01] ∫
2
4
4
6
dx
xsin
xcos
pi
pi
11. ∫
3
4
4xdxtg
pi
pi
12. [CĐGTVT.01] ∫
−
+
3
2
2 dx.x3x
13. [CĐSPBN.00] ∫ +−
3
0
2 dx4x4x
14. ∫
pi
0
dxxsinxcos
15. ∫ −+
3
6
22 dx2xgcotxtg
pi
pi
www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 15
16. ∫ +−
3
0
23 dxxx2x
17. ∫
−
−
1
1
dxx4 Đáp: )35(2 −
18. ∫
−
−
1
1
dxxx
3
22
19. ( )∫
−
−−+
5
3
dx2x2x 8
20. ∫
−+
−+3
0
2
2
dx.
2xx
1xx
21. ∫ +
pi
0
dxx2cos22 4
22. ∫ −
pi
0
dxx2sin1 22
23. ∫ +
2/
0
dxxsin1
pi
24
24. ∫ ∈−
1
0
Ra;dxax
≤<+−
≤+−
1m0~2/1mm
0m~2/1m
2
25. ∫ ∈++−
2
1
2 Ra;dxax)1a(x
2a ≥ thì đs: (3a – 5)/6;
1 < a < 2 thì đs: (a-1)3/3 – (3a - 5)/6
a ≤ 1 th
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- cac_phuong_phap_tinh_tich_phan.pdf