Chuyên đề Bất đẳng thức Jensen

Phần II:Bất đẳng thức Jensen 2.1. Nội dung bất đẳng thức: Định lí 1 (Jensen): Nếu y = f(x) là hàm lồi trong khoảng (a,b) thì với mọi x1,…xn (a,b) và mọi số thực ta có bất đẳng thức: Chứng minh: +) Ta chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp theo n. - Với n=2 bất đẳng thức đúng theo định nghĩa. - Giả sử bất đẳng thức đúng với n ≥ 2. Ta chứng minh bất đẳng thức đúng cho n+1. - Xét x1,…,xn, xn+1 Î (a,b) và các số thực - Từ giả thiết quy nạp ta có bất đẳng thức: - Vì f(x) là hàm lồi nên: Vậy (đpcm) Kết quả 1: Với n=2, f(x) là hàm lồi trong khoảng (a,b), "x,y Î(a,b) ta có: Kết quả 2: Giả sử f(x) là hàm lồi trong khoảng (0: +¥). Khi đó: Chứng minh: Vì f(x) là hàm lồi trong khoảng (0.¥) khi đó áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có: (đpcm) 2.2. Các hệ quả Hệ quả 1: Với mọi x1,…., xn, y1,…yn, Ta có các bất đẳng thức sau: a) b) c) cho mọi xij ≥ 0 và d) (Cauchy) Chứng minh: a) Khảo sát hàm số f(x) = -lnx, x > 0 - Vì nên f(x) là hàm lồi - Sử dụng bất đẳng thức Jensen ta được: (đpcm) b) Bất đẳng thức: - Theo (a) ta có: - Cộng hai bất đẳng thức ta được bất đẳng thức cần chứng minh c) Sử dụng (b) để chứng minh (c) bằng quy nạp theo m. + m=1 bất đẳng thức đúng + m=2 bất đẳng thức đúng theo (b) - Giả sử bất đẳng thức đúng đến m. Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với m+1. - Thậy vậy, ta có: = (đpcm) d) Được suy ra từ câu (a) qua việc chọn Hệ quả 2: Nếu xi, yi ≥ 0 và , thì Chứng minh: - Qua việc thay thế qua xi và qua yi, theo bài tập trên ta có: - Cộng tất cả các bất đẳng thức này ta được: Hệ quả 3: (Cauchy - Holder): Nếu a, b > 0, a+b = 1 và các ai, bi ≥ 0, i=1,…,n thì: Chứng minh: - Nếu thay các và - Từ hệ quả trên ta có: (đpcm) - Nếu a = b = thì ta có bất đẳng thức Bunhiakowski Hệ quả 4 (Minkowski): Nếu 0 0, i = 1,…,n thì: Chứng minh: - Với a+b=1 áp dụng hệ quả (3) ta có: = => Vậy: Định lí 2: Cho . Khi đó bất đẳng thức: f(x1)+…+f(xn) ≥ nf() (I) đúng với mọi n ≥ 2 khi và chỉ khi (I) đúng với n = 2 Chứng minh: * Điều kiện cần: hiển nhiên. * Điều kiện đủ: - Giả sử (I) đúng với n = 2. Khi đó (I) đúng với n = 2k, k = 1, 2,… - Giả sử bất đẳng thức (I) đúng với (n+1) số bất kì x1,… xn, xn+1 tức: f(x1)+…+f(xn)+f(xn+1) ≥ nf () - Lấy xn+1 = x = suy ra: f(x1)+…+f(xn) ≥ nf () 2.3. Ví dụ: Ví dụ 1: Với a1, a2,…, an Î (0,p), a = . Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) b) Giải: a) Xét hàm y =f(x)=lnsinx, x Î (0,p) là hàm lõm. - Sử dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm f(x) với ta có: b) Xét hàm là hàm lõm. - Sử dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm f(x) với ta có: Ví dụ 2: Cho a, b, p, q > 0, . Chứng minh rằng: Giải: Cách 1: Áp dụng hệ quả 1 với: x = ap, y = bq, Ta có: \ Cách 2: +) Xét hàm y=f(x)=ax là một hàm lồi. - Chọn : - Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có: (1) +) Xét hàm y = f(x) = bx là một hàm lồi. - Chọn - Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có: (2) - Từ (1), (2) ta có: - Vì vai trò của p, q là như nhau nên: Ví dụ 3: Cho a > 1, x1,…xn Î (0, 1) với x1+…+ xn = 1. Chứng minh rằng: Giải: - Xét hàm Ta có: là hàm lồi. - Chọn Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có: = Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi dãy số thực x1,x2,…xn ta có: Giải: - Theo định lí 6 bất đẳng thức trên đúng nếu ta chứng minh được với trường hợp 2 số: với mọi a, b ≥ 1 Tuy nhiên: (hiển nhiên đúng) Ví dụ 5: Giả sử các số thực dương có : . Chứng minh rằng: Giải: - Xem hàm: Ta có: là hàm lồi trên (0,1) - Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho ta có: = Ví dụ 6: Chứng minh rằng: Nếu thì: Giải: * Bổ đề: Nếu thì: Thật vậy: - Xét hàm f(x) = xa trên (0,+¥), a > 1 đồng biến trên (0,+¥) là hàm lồi - Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho ta có: * Trở lại bài toán: - Ta sử dụng bổ đề hai lần: +) +) (đpcm) Ví dụ 7 (Bất dẳng thức Sac-vơ): Cho 2n số thực a1,…an,b1,…bn trong đó: bi>0, " i = 1,2,…, n ta có bất đẳng thức: (đpcm) Bài tập đề nghị: Chứng minh các bất đẳng thức tam giác sau: a) sinA + sinB + sinC b) cosA + cosB + cosC c) d) e) f) g) h) (tanA+tanB+tanC)(cotA+cotB+cotC) ≥ (DABC là tam giác nhọn) HD: a) Xét hàm f(x)=sinx, x Î (0, p) b) Xét hàm f(x)=cosx, x Î (0, p) c) Xét hàm f(x)= d) Xét hàm f(x)= e) Xét hàm f(x) = f) Xét hàm f(x)= g) Xét hàm f(x) = h) Xét hàm f(x)=tanx, g(x)=cotx, x Î(0, )