Chuyên đề Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm

Chuyên đề 8: ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐẠO HÀM Tóm tắt giáo khoa: I. Đạo hàm của hàm số tại một điểm: 1. Số gia: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và 0x (a;b)∈ Gọi là số sao cho x xxΔ 0 (a;b)+ Δ ∈ 0 • gọi là số gia tại điểm xxΔ 0 • Hiệu , ký hiệu 0f(x x) f(x )+ Δ − yΔ , gọi là số gia của hàm số tại điểm x0 ứng với số gia xΔ 0 0y f(x x) f(x )Δ = + Δ − 2. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và 0x (a;b∈ ) Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0, ký hiệu là f'(x0) hay y'(x0) là giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỷ số giữa số gia của hàm số yΔ và số gia của biến số xΔ tại điểm x0 khi số gia của biến số dần tới 0 0 0 0 x 0 x 0 f(x x) f(x )yf '(x ) lim lim x xΔ → Δ → + Δ −Δ= =Δ Δ 38 Ghi nhớ: Để tìm đạo hàm của hàm số f tại điểm x0 theo định nghĩa, ta cần thực hiện hai bước sau • Bước 1: Tính theo công thức yΔ 0 0y f(x x) f(x )Δ = + Δ − • Bước 2: Tìm giới hạn x 0 ylim xΔ → Δ Δ Chú ý: • Nếu đặt x x thì và khi 0 x= + Δ 00y f(x) f(x )Δ = − xΔ → thì 0x x→ Khi đó ta có: 0 0 x x0 0 f(x) f(x )f '(x ) lim x x→ −= − • Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó Ví dụ: Tìm đạo hàm của các hàm số sau bằng định nghĩa tại điểm x0 2 0 0 0 a) f(x) x 3x ; x 2 1b) f(x) ; x 1 2x 1 c) f(x) x 3 ; x 6 = − = = =− = − = 3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: • Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x0 là f'(x0) . (C) là đồ thị của hàm số và là tiếp tuyến của (C) tại M 0 0 0M (x ;f(x )) (C)∈ Δ (C): y=f(x) 0x x 0f(x ) y 0M Δ a) Ý nghĩa hình học của đạo hàm: • Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0 là hệ số góc k của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm 0 0 0M (x ;f(x )) 0k f '(x )= 39 b) Phương trình tiếp tuyến: • Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x0 thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M0(x0;f(x0)) là: 0 0 0y f '(x )(x x ) f(x )= − + 4) Ý nghĩa vật lý của đạo hàm: a) Vận tốc tức thời: Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 (hay vận tốc tại thời điểm t0) của một chất điểm chuyển động với phương trình là s s(t)= 0 0v(t ) s '(t )= b) Cường độ tức thời: Cường độ tức thời tại thời điểm t0 (hay cường độ tại thời điểm t0) của một dòng điện với điện lượng q q là (t)= 0 0i(t ) q '(t )= II. Đạo hàm một bên: Định nghĩa: 1) Đạo hàm bên trái của hàm số ( )xfy = tại điểm , kí hiệu 0x ( )−′ 0xf ( )−′ 0xf = xylimx ΔΔ−→Δ 0 = ( ) ( )0 00 xx xfxflim xx − − −→ 2) Đạo hàm bên phải của hàm số ( )xfy = tại điểm , kí hiệu 0x ( )+′ 0xf ( )+′ 0xf = xylimx ΔΔ+→Δ 0 = ( ) ( )0 00 xx xfxflim xx − − +→ Định lý: Nếu hàm số tồn tại ( )xfy = ( )−′ 0xf = ( )+′ 0xf = M ( ) Mxf =′⇒ 0 III. Đạo hàm trên một khoảng: Định nghĩa: Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng J nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x0 bất kỳ thuộc J. II. Các quy tắc tính đạo hàm: 1. Đạo hàm của tổng hiệu tích thương các hàm số: 1. Đạo hàm của tổng ( hiệu ): ( ) vuvu ′±′=′± 2. Đạo hàm của tích: Đặc biệt ( ) v.uv.uv.u ′+′=′ ( )C.u C.u′ ′= Với C là hằng số. 3. Đạo hàm của thương: 2v v.uv.u v u ′−′= ′ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Đặc biệt 21 1v v ′ −⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 4. Đạo hàm của hàm số hợp: Cho hai hàm số và ( )ufy = ( )xgu = khi đó ( )[ ]xgfy = được gọi là hàm hợp của hai hàm số trên, khi đó: xux u.yy ′′=′ 2. Đạo hàm của các hàm số cơ bản: ( ) 0=′C ( C là hằng số ) Hàm số hợp ( )xfu = ( ) 1−αα α=′ xx ( ) u.uu ′α=′ −αα 1 2 11 xx −= ′ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 21 u u u ′−= ′ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ( ) x x 2 1=′ ( ) u uu 2 ′=′ ( ) xx ee =′ ( ) u.ee uu ′=′ ( ) alnaa xx =′ với ( )10 ≠< a ( ) alnu.aa uu ′=′ với ( )10 ≠< a ( ) alnx xloga 1=′ với ( )10 ≠< a ( ) alnu uuloga ′=′ với ( )10 ≠< a ( ) x xln 1=′ (x > 0) ( ) u uuln ′=′ ( ) 1ln x x ′ = (x 0)≠ ( ) uln u u ′ ′= ( ) xcosxsin =′ ( ) ucosuusin ′=′ ( ) xsinxcos −=′ ( ) usinuucos ′−=′ ( ) xtg xcos tgx 22 1 1 +==′ ( ) u).utg( ucos utgu ′+=′=′ 22 1 ( ) ( )xgcot xsin gxcot 22 1 1 +−=−=′ ( ) ( )u.ugcot usin ugucot ′+−=′−=′ 22 1 ( )2dcx b.cd.a dcx bax + −= ′ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + + ( )211 111 2 1 11 2 2 bxa cabbxbaxaa bxa cbxax + −++= ′ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ++ .... Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau 40 ( )33 2 2 4 2 11) y x 4x 5x 11 2) y 2x 5x 1 3 2x 13) y= 4) y x 3x 7 3x 2 = − + − − = − + − = − ++ Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 4 3 2 2 2 3 2 1) y 3x 6x 2x 5x 2) y 3cosx 2sin x 3x 2x 63) y=(2x 5x)(x 2x ) 4) y x 2 = − + + = + + ++ + = − Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 1 x x1) y 2) y 2 cos 4 21 x cosx sin x3) y= 4) y ln(cosx) sinx cosx + π⎛ ⎞= = ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ + =− − Ví dụ 4: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 1) xxy −= 4 2) 12 3 + += x xy 3) 12 2 − = x xy 4) 5) xxey +−= 2 x xey = 6) xxy ln2 2 1 −= 7) x xy ln = 8) xxy −+−= 42 9) 22 xxy −+= 41 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Tóm tắt giáo khoa: 42 Định nghĩa: Cho hàm số )(xfy = xác định trên khoảng (a;b) [ ] [ ])2()1(21:);(2,1 f xfxfxxbaxx <⇒<∈∀⇔đnb)(a; trên (tăng) biếnđồng • • [ ] [ ])2()1(21:);(2,1 f xfxfxxbaxx >⇒<∈∀⇔đnb)(a; trên (giảm) biếnnghịch x y ĐỊNH LÝ LAGRANGE: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [ ]a;b và có đạo hàm trong khoảng ( )a;b thì tồn tại điểm ( )c a;b∈ sao cho : f(b) f(a)f '(c) b a −= − Ví dụ:Tìm số c trong định lí Lagrange áp dụng cho hàm số 2y f(x) 2x 5x 3= = − + trên đoạn [ ]0;4 1. Điều kiện cần của tính đơn điệu: Định lý 1: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b) • [ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀≥⇒ b)(a;x 'f b)(a; khoảngtrên (tăng) biếnđồng f 0)(x • [ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀≤⇒ b)(a;x 0)('f xb)(a; khoảngtrên (giảm) biếnnghịch f 2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu: Định lý 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b) • [ ]b)(a; trên (tăng) biếnđồngb)(a;x 0(x)'f f ⇒∈∀> ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ • [ ]b)(a; trên (giảm) biếnnghịchb)(a;x 0(x)'f f ⇒∈∀< ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ • [ ]b)(a; trên đổi khôngb)(a;x 0(x)'f f ⇒∈∀= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ x a b )(' xf )(xf + x a b)(' xf )(xf − )(f (f 2x )1x a b1x 2x )(:)( xfyC = x y 1x 2x )( 1xf )( 2xf a bO Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b) [ ]b)(a; trên (tăng) biếnđồng b)(a; của điểm hạnhữu sốmột tại raxảy chỉ thức đẳng b)(a;x 0(x)'f f ⇒ ∈∀≥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ [ ]b)(a; trên (giảm) biếnnghịch b)(a; của điểm hạnhữu sốmột tại raxảy chỉ thức đẳng b)(a;x 0(x)'f f ⇒ ∈∀≤ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Minh họa định lý: Định lý 4 43 : Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b) • [ ] f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀≥⇔ b)(a;x 0(x)'fb)(a; trên (tăng) biếnđồng • [ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀≤⇔ b)(a;x 0(x)'fb)(a; trên (giảm) biếnnghịch f • [ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀=⇔ b)(a;x 0(x)'fb)(a; trên đổi không f x a b )(' xf )(xf + 0x 0 + x a b )(' xf )(xf − 0x 0 − 3. Phương pháp xét chiều biến thiên của hàm số: y f )(x= ta có thể thực hiện như sau: Muốn xét chiều biến thiên của hàm số Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số : D=? Bước 2: Tính và xét dấu )(' xf )(' xf Bước 3: Dựa vào định lý điều kiện đủ để kết luận. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số: 1) xxy −= 4 2) 12 3 + += x xy 3) 12 2 − = x xy 4) 5) xxey +−= 2 x xey = 6) xxy ln2 2 1 −= 7) x xy ln = 8) xxy −+−= 42 9) 22 xxy −+= Bài 2: Cho hàm số 23)12(223 3 1)( +−+++−== axaxxxfy (1). Tìm a để hàm số nghịch biến trên R Bài 3: Tìm m để hàm số 4)3(2)1(3 3 1 −++−+−= xmxmxy đồng biến trên khoảng (0;3) Bài 4: Cho hàm số 3 2 )32(2)1(3 3 1 )( −−+−+== xmxmxxfy (1) Với giá trị nào của m, hàm số (1) đồng biến trên R Bài 5: Cho hàm số 1 2)( − ++== x m xxfy (1) Tìm a để hàm số (1) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó Bài 6: Cho hàm số 1 13)2(22 )( − +−++−== x mxmx xfy (1) Tìm a để hàm số (1) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó Bài 7: Cho hàm số 3 21 (2 1) 2 3 y x ax a x a= − + − − + Tìm a để hàm số nghịch biến trong khoảng (-2;0) Bài 8: Cho hàm số (1) 123 ++−= xmxxy Tìm các giá trị của m để hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (1;2) Bài 9: Cho hàm số 2 1 1 x mxy x + −= − Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (-∞ ;1) và (1;+∞ ). 44 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Tóm tắt giáo khoa I. Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0∈(a;b) 45 x y ( )a b0xO )( 0xf )(xf )(:)( xfyC = x ( ) x y O a b0xx )(xf )( 0xf )(:)( xfyC = • ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∈∀<⇔ 0x\Vx )0f(xf(x) 0x đn f số hàmcủa ĐẠICỰC điểmlà • ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∈∀>⇔ 0x\Vx )0f(xf(x) n 0x đ f số hàmcủa TIỂU CỰC điểmlà II.Điều kiện cần của cực trị: Định lý Fermat : Giả sử y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và );(0 bax ∈ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =⇒ 0)0('f x 0x tại trị cựcđạt f 0x tại hàmđạo có f Ý nghĩa hình học của định lý: Nếu hàm số ( )y f x= có đạo hàm tại điểm x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì tiếp tuyến của đường cong (C): ( )y f x= tại điểm M(x0,f(x0)) phải cùng phương với Ox III. Điều kiện đủ để hàm số có cưcï trị: 1) Định lý 1: Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x0 ( có thể trừ tại điểm x0) • ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⇒ + 0 x tại ĐẠICỰCđạt f - sang từ dấu đổi'f mà0x qua đi x khiNếu )( x • ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⇒ +− 0 x tại TIỂU CỰCđạt f sang từ dấu đổi'f mà0x qua đi x khiNếu )( x Bảng tóm tắt: x a b )(' xf )(xf + 0x 0− CT x a b )(' xf )(xf + 0x 0 − CD 2) Định lý 2: Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp hai tại x0 và f'(x0)=0, f''(x0)≠0 • ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⇒< 0x tại ĐẠICỰCđạt f''f Nếu 0)0( x • ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⇒> 0x tại TIỂU CỰCđạt f''f Nếu 0)0( x BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số: 1) xxy −= 4 2) 12 3 + += x xy 3) 12 2 − = x xy 4) 5) xxey +−= 2 x xey = 6) xxy ln22 1 −= 7) x xy ln= 8) xxy −+−= 42 9) 22 xxy −+= Bài 2: Cho hàm số . Tìm m để y đạt )12(2)142(2)1(23 +−+−+−+= mxmmxmxy cực đại, cực tiểu tại hai điểm x1, x2 thỏa mãn điều kiện )21(2 1 2 1 1 1 xxxx +=+ Bài 3: Cho hàm số 1 22 − −+= mx mxxy . Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn 21421 xxxx =+ Bài 4: Tìm m để hàm số mx mxxy + ++= 12 đạt cực đại tại x = 2 Bài 5: Giả sử hàm số )( )()( xv xuxf = đạt cực trị tại x0. Chứng minh rằng nếu thì 0)0( ' ≠xv )0( ' )0( ' )0( xv xu xf = Áp dụng : Tìm giá trị cực trị của hàm số: 2 532 + ++= x xxy Bài 6: Cho hàm số . Chia f(x) cho fdcxbxaxxf +++= 23)( '(x), ta được: βα +++= xBAxxfxf )).((')( Giả sử f(x) đạt cực trị tại x0 Chứng minh rằng : βα += 0)0( xxf Áp dụng : Tìm giá trị cực trị của hàm số: 23233 +−−= xxxy 46 Bài 7: Gọi (Cm) là đồ thị hàm số xmxy 1+= (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng 2 1 Bài 8: Cho hàm số mx mxxy + ++= 1 2 . Tìm m sao cho hàm số đạt cực đại tại x = -1 Bài 9: Cho hàm số 2)12( 3 1 23 +−−+−= mxmmxxy Tìm m sao cho hàm số có hai cực trị có hoành độ dương Bài 10: Cho hàm số (1) 4)32(3 223 +−++−= xmmmxxy Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu ở về hai phía của trục tung Bài 11: Cho hàm số : 3( ) 3y x m x= − − Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0. Bài 12: Cho hàm số : 4 2 2( 9) 1y mx m x= + − + 0 Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị. Bài 14: Cho hàm số 2 1 x mxy x += − Tìm m để hàm số có cực đại ,cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 10. 47 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ Tóm tắt giáo khoa 1. Định nghĩa: Cho hàm số )(xfy = xác định trên D • Số M được gọi là GTLN của hàm số nếu: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =∈ ∈∀≤ MD Mxf ) Dx )( 0f(x cho sao0x tại Tồn Ký hiệu: y Dx MaxM ∈= • Số m được gọi là GTNN của hàm số nếu: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =∈ ∈∀≥ mD xf ) Dx m)( 0f(x cho sao0x tại Tồn Ký hiệu: y Dx m ∈= min 0x O M )(xf x x y 0x )(:)( xfyC = m D Minh họa: 2. Các phương pháp tìm GTLN & GTNN của hàm số )(xfy = trên D a) Phương pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức Ví dụ 1: Tìm GTLN và nhỏ nhất của hàm số : x xy 2+= với x > 0 Ví dụ 2: Tìm GTNN của hàm số : xxy −+−= 42 b) Phương pháp 2: Sử dụng điều kiện có nghiệm của pt hoặc hệ phương trình Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 22 32 ++ += xx xy b) Phương pháp 2: Sử dụng đạo hàm, lập BBT của hàm số f trên D rồi suy ra kết qua Ví dụ 1: Tìm GTLN của hàm số : 4334 xxy −= Ví dụ 2: Tìm GTNN của hàm số : x xy 22 += với x > 0 48 Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : xxy −+−= 42 Ví dụ 4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : x-2xsin=y trên ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡− 2;2 ππ Ví dụ 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : cosx2 sinx +=y trên [ ]π;0 Ví dụ 6: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : 22 xxy −+= Ví dụ 7: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : 2 12cossin +−= xxy Ví dụ 8: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : )8cos4(cos 2 1)4cos.2sin1(2 xxxxy −−+= BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: với xxxxy 922334 +−−= ]2;2[−∈x Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : xxy −= 2sin trên ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡− 2;2 ππ Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : xexy .2= trên ]2;3[− Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : = −y 5cosx cos5x trên π π−[ ;4 4] Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 22 32 ++ += xx xy Bài 6: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 2312 xxy −+= Bài 7: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 24)2( xxy −+= Bài 8: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 12)3( +−= xxy với ]2;0[∈x Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : + += + 22cos cos 1 cos 1 x xy x Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số π⎡ ⎤⎣ ⎦= − 4 32sin sin trên đoạn 0;3y x x Bài 11: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : xxxxxf 2sin32)cos(sin222cos)( −++= Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số sau : 49 = + +2 2y 4cos x 3 3sinx 7sin x Bài 13: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : 1sin2sin 1sin ++ += xx xy Bài 14: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: = + − −12(1 sin2 cos4 ) (cos4 cos8 )2y x x x x Bài 15: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: = + +3 32(sin cos ) 8sin .cosy x x x x --------------------------------Hết---------------------------------- 50