Chuyên đề Dãy số

hiệm thực bội s thì nghiệm tổng quát là: Nếu phương trình đặc trưng (2) có nghiệm phức đơn thì cũng là nghiệm của (2). Đặt . Để thu được công thức nghiệm tổng quát, trong công thức (3) ta thay bộ phận bởi bộ phận tương ứng Nếu phương trình đặc trưng (2) có nghiệm phức bội s thì (2) cũng có nghiệm phức bội s liên hợp với là mà ta đặt là Trong trường hợp này, để thu được công thức nghiệm tổng quát, trong công thức (3) ta thay bộ phận bởi bộ phận tương ứng Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất. Việc tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp k làm tương tự như tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai và cấp ba. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp k. Ngiệm tổng quát có dạng trong đó là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp k. là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng. là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất PHẦN 05: DÃY SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN GIỚI HẠN I. Các định nghĩa và các định lí cơ bản Định nghĩa 1 Ta nói dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn a nếu với mọi > 0, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số xn và ) sao cho với mọi n > N0 ta có . N0: N0 : . Ta nói dãy số (xn) dần đến nếu với mọi số thực dương M lớn tùy ý, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số xn và M sao cho với mọi n > N0, ta có xn > M. Tương tự, Dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ. Dãy số không có giới hạn hữu hạn hoặc dần đến vô cùng ( hoặc ) gọi là dãy phân kì. Ví dụ 1. a) Chứng minh rằng Giải. Với mọi > 0, xét bất phương trình (*) Có Nếu chọn thì (*) luôn đúng ,. b) Tìm . Giải. Có Mà và nên . Tính chất của dãy có giới hạn vô cực: Nếu thì . Nếu thì , trong đó dấu + hoặc được chọn theo đúng quy tắc nhân dấu thông thường. Nếu thì , trong đó dấu + hoặc được chọn theo đúng quy tắc nhân dấu thông thường. Nếu và (vn) có dấu xác định kể từ một số hạng nào đó trở đi thì trong đó dấu + hoặc được chọn theo đúng quy tắc chia dấu thông thường. Nếu thì . Định lí 1. Mọi dãy hội tự đều có giới hạn duy nhất. Chứng minh. Ta thấy rằng nếu và . Khi đó với mọi dương nhỏ tùy ý cho trước thì . Thật vậy, nếu ta chọn , mâu thuẫn. Giả sử ,. Khi đó và . Đặt có: . Theo nhận xét trên thì . Định nghĩa2. (Dãy con) Cho dãy số thực và dãy số nguyên dương sao cho Dãy được gọi là dãy con của dãy . Ta chú ý rằng , tương tự ta có . Dãy là dãy con của chính nó với . Định lí 2. Mọi dãy con của dãy hội tụ là dãy hội tụ và có cùng giới hạn của dãy. Chứng minh. Giả sử , theo định nghĩa ta có: . Cho là dãy con của . Khi đó , ta có nên . Định lí 3. (Tổng, hiệu, tích, thương các dãy hội tụ) Nếu (xn),(yn) là các dãy hội tụ và có giới hạn tương ứng là a, b thì các dãy số (xn+ yn), (xn-yn), (xn.yn), cũng hội tự và có giới hạn tương ứng là . (Trong trường hợp dãy số thương, ta giả sử và . Chứng minh: - Trường hợp Có limxn= a nên sao cho thì (1) limvn= b nên sao cho thì (2) Đặt thì thỏa. Khi đó : - Trường hợp ta chứng minh tương tự trường hợp được - Trường hợp Có limxn= a nên , sao cho thì (3) limyn=b nên ,sao cho thì (4) Đặt thì thỏa. Khi đó : đpcm. - Trường hợp ,, ta chứng minh tương tự trường hợp được đpcm. Ví dụ 2. Tìmvới Giải. Ta có: Suy ra: Vì với , ta có:. Do nếu chọn thì bất đẳng thứcđúng hay . Định lí 4. Giả sử . Khi đó: và . Nếu thì và . Định lí 5. (Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức) Cho dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn ; nếu sao cho , ta có. Định lí 6. (Định lí kẹp) Cho ba dãy số (xn), (yn), (zn), trong đó (xn) và (zn) có cùng giới hạn hữu hạn L, và ta có . Khi đó (yn) cũng có giới hạn là L. Chứng minh: Ta chứng minh kết luận của định lí cho trường hợp L=0. Vì nên tồn tại n1 sao cho , tức là . Tương tự, tồn tại n2 sao cho , tức là . Như vậy, ta có . Theo định nghĩa, ta có . Hệ quả. Nếu thì (nếu giới hạn tồn tại). Nếu và thì . Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu thì . Giải. Đặt . Áp dụng bất đẳng thức Bernoilli, ta có: Suy ra Mà và nên theo định lí 4 có hay . Định lí 7. Mọi dãy số hội tụ thì bị chặn. Chứng minh: Giả sử hội tụ và . Theo định nghĩa, với , sao cho thì . Đặt thì ta có: Suy ra bị chặn. Định lí 8. Một dãy tăng không nghiêm ngặt (knn) và bị chặn trên hay một dãy giảm knn và bị chặn dưới thì hội tụ. Ngắn gọn hơn, một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ. Định lí 9. Nếu dãy (xn) tăng knn và có giới hạn là L thì ta có . Nếu dãy (xn) giảm knn và có giới hạn là L thì ta có . Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh a), vì b) hoàn toàn tương tự. Giả sử ngược lại, tồn tại k sao cho. Khi đó, vì (xn) tăng knn nên ta có suy ra (theo định lí 3) mâu thuẫn. Vậy ta được đpcm. Định lí 10. (Nguyên lí Cantor về dãy các đoạn thẳng lồng nhau) Cho hai dãy số thực (an), (bn) sao cho: . . khi . Khi đó tồn tại duy nhất số thực L sao cho . Chứng minh. Theo điều kiện b) thì và nên (an) là dãy tăng knn, (bn) là dãy giảm knn kết hợp điều kiện a) ta được và . Suy ra (an) là dãy tăng knn và bị chặn trên, (bn) là dãy giảm knn và bị chặn dưới. tồn tại và . Do khi (). Mặt khác, (an) và (bn) là 2 dãy đơn điệu và có giới hạn là L nên (định lí 7), suy ra . L là giới hạn của 2 dãy (an), (bn) nên có tính duy nhất đpcm. Định lí 11. (Bolzano-Weierstrass) Từ một dãy bị chặn luôn có thể trích ra một dãy con hội tụ. Chứng minh. Xét bị chặn hay sao cho đoạn chứa tất cả các số hạng của . Ta xây dựng dãy các đoạn thẳng theo quy tắc sau: Đặt . Vì chứa tất cả các số hạng của nên một trong hai đoạn ,phải chứa vô số các số hạng của . Giả sử đoạn chứa vô số các số hạng của thì ta đặt (trường hợp đoạn chứa vô số các số hạng của ta làm tương tự). Tiếp tục thực hiện như vậy, nếu ta đã xây dựng được đoạn chứa vô số các số hạng của thì ta sẽ xây dựng được đoạn là 1 trong 2 nửa của và cũng chứa vô số các số hạng của . suy ra ta xây dựng được dãy các đoạn thẳng lồng nhau và và mỗi đoạn chứa vô số các số hạng của . Ta chọn dãy con của như sau: . Giả sử đã được chọn thì ta sẽ chọn chỉ số sao cho: ; . Việc chọn này luôn thực hiện được vì chứa vô số các số hạng của . Từ cách chọn dãy các đoạn thẳng , theo định lí 8 sao chohay (1). Mặt khác theo cách chọn thì với mọi j (định lí kẹp). Vậy ta đã trích ra được một dãy con hội tụ từ (đpcm). Định nghĩa 3. Dãy được gọi là dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu (N0 phụ thuộc ) thì . Ví dụ 4. Chứng minh rằng nếu là dãy Cauchy thì bị chặn. Chứng minh. Ta cố định , khi đó với , bị chặn (đpcm). Định lí 12. (Tiêu chuẩn Cauchy) Dãy số có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy. Chứng minh. Nếu hội tụ về giới hạn hữu hạn L thì sao cho ta có . Khi đó , ta có: Suy ra là dãy Cauchy. Ngược lại, giả sử là dãy Cauchy. Khi đó bị chặn. Theo định lí Bolzano-Weierstrass, tồn tại dãy con của có giới hạn hữu hạn L.Ta chứng minh L cũng là giới hạn của . tồn tại k sao cho , ta có . Mặt khác là dãy Cauchy nên tồn tại N0 sao cho , ta có: . Do sao cho . Xét bất kì, ta có: Suy ra . Ví dụ 5. Chứng minh rằng dãy số xác định bởi hội tụ. Giải. Ta có với m > n thì: Nên , ta chọn N0 = thì , ta có: Suy ra là dãy Cauchy nên hội tụ (đpcm). Định nghĩa 4 (Số e) Cho dãy xác định: . Theo Euler tồn tại và kí hiệu là e, số e là một số vô tỷ và 15 số đầu trong khai triển thập phân của nó là e =2,718281828459045 Ta chứng minh là dãy hội tụ. Chứng minh. Ta xét dãy với , ta chứng minh dãy là dãy tăng và là dãy giảm. Có: (*) Mà (A-G) (*) đúng (do ), suy ra là dãy tăng. Mà , nên là dãy giảm. Mặt khác, ta lại có là dãy hội tụ (đpcm). e là hằng số đặc biệt trong toán học. Hàm số có những tính chất đặc biệt và người ta thường dùng làm cơ số cho các hàm số mũ dùng trong giải tích. Hàm ngược của hàm (hay exp(x)) là hay (đọc là logarit tự nhiên của x hay logarit Neper của x). II. MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ ĐẶC BIỆT LIÊN QUAN ĐẾN GIỚI HẠN: 1. Dãy số dạng Định lí 1. Cho là một khoảng đóng của và hàm số . Xét dãy số xác định bởi: với mọi n = 1,2,3,... Nếu f là hàm số tăng knn trên thì sẽ là dãy đơn điệu. Dãy số này tăng knn hay giảm knn tùy theo vị trí của x0 so với x1. Nếu f là hàm số giảm knn trên thì các dãy con , là các dãy đơn điệu và ngược chiều nhau. Giả sử f liên tục trên . Nếu thì , chuyển qua giới hạn trong biểu thức , ta suy ra . Chứng minh. a. Giả sử f là hàm số tăng knn trên I. Khi đó nếu thì ta có hay . Tiếp tục như thế, bằng quy nạp ta được tăng knn hay là dãy đơn điệu. Trường hợp ta chứng minh tương tự được giảm knn hay là dãy đơn điệu. Vậy ta được đpcm. b. Nếu f là hàm số giảm knn trên I thì ff là hàm số tăng knn trên I. Giả sử thì . Thực hiện tương tự, suy ra: tăng knn, giảm knn nên , ngược chiều nhau. Trường hợp chứng minh tương tự ta cũng được đpcm. c. Do f là hàm liên tục trên I nên đpcm. suy ra (hiển nhiên). Ví dụ 1. Cho dãy xác định bởi và với n = 0,1,2,... Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Giải. Đặt thì dãy số có dạng và . Ta thấy f(x) là hàm số tăng knn và . Do f(x) là hàm số tăng knn nên Suy ra là dãy tăng knn. Ta chứng minh bằng quy nạp . Với n = 0, đúng. Giả sử đúng với hay ta có , khi đó đpcm. Dãy tăng knn và bị chặn trên bởi 2 nên có hội tụ. Đặt , ta có nên và (định lí 1c). Giải phương trình ta được a = 2 thỏa điều kiện Vậy . Định nghĩa Cho I là một khoảng đóng. Hàm số được gọi là một hàm số co trên I nếu tồn tại số thực q, sao cho . Định lí 2. Cho I là một khoảng đóng bị chặn. Nếu là một hàm số co trên I thì dãy số xác định bởi , hội tụ. Giới hạn của dãy số là nghiệm duy nhất trên I của phương trình . Chứng minh. Với mọi n > m thì áp dụng định nghĩa hàm số co, ta có: (*) Mặt khác: với .Suy ra bị chặn. Xét , từ (*), do q < 1 và bị chặn nên tồn tại N0 saco cho . Suy ra là dãy Cauchy nên hội tụ. Ví dụ 2. Cho số thực a và dãy xác định bởi: Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn. Giải. Đặt , có: . (do ,). Áp dụng định lí Lagrange cho có đạo hàm trên , do liên tục trên nên tồn tại sao cho là một hàm số co trên nên dãy hội tụ. Ví dụ 3. Cho dãy xác định như sau: Tìm tất cả các giá trị của c để với mọi giá trị , xn xác định với mọi n và tồn tại giới hạn hữu hạn . Giải. Để tồn tại thì . Với . Nếu thì (do ), suy ra tồn tại và .Ngược lại, nếu hay thì không tồn tại. Đặt thì . Với mọi ta có . Suy ra với mọi (theo định lí Lagrange thì với ) hay là hàm số co trên , suy ra là dãy hội tụ. Vậy tất cả các giá trị c cần tìm là . 2. Dãy số dạng và định lí trung bình Cesaro Đây là trường hợp đặc biệt của dãy số dạng . Tuy nhiên, với dãy số dạng này, vấn đề hội tụ của thường không được đặt ra (vì quá đơn giản và giới hạn chỉ có thể là 0 hoặc ). Ở đây, ta có một yêu cầu cao hơn là tìm bậc tiệm cận của , cụ thể là tìm sao cho tức là bị chặn. Với các dãy số có dạng này, định lí trung bình Cesaro tỏ ra rấ hữu hiệu. Định lí 3. (Định lí trung bình Cesaro) Nếu dãy có giới hạn hữu hạn là a thì dãy số các trung bình cộng cũng có giới hạn a. Ta có thể phát biểu như sau: Nếu thì . Chứng minh. Xét trường hợp . Khi đó, nên , sao cho , có . Khi đó, . Giữ cố định N0, ta có thể tìm đc sao cho . Khi đó với mọi , ta có . Vậy . Nhận xét: Từ cách phát biểu 2 của định lí, ta áp dụng vào dãy có dạng để tìm số sao cho có giới hạn hữu hạn, theo định lí trung bình Cesaro ta chỉ cần tìm sao cho có giới hạn hữu hạn a. Khi đó, , suy ra , tức là . Ví dụ 4. Cho dãy được xác định bởi . Chứng minh rằng . Giải. Ta thấy nên ta thử với . Dễ dàng chứng minh được . Ta có: Từ đó áp dụng định lí trung bình Cesaro, suy ra nên (đpcm). Ví dụ 5. Dãy được xác định bởi và . Hãy tìm tất cả các số thực để dãy số có giới hạn hữu hạn khác 0. Giải. Ta chứng minh khi . Thật vậy, ta có (do với mọi n). Từ đó đpcm. Ta xét biểu thức: Đặt thì khi . Do đó . Mặt khác, với thì nên áp dụng quy tắc L’Hopital ta có . Suy ra . Với thì giới hạn bằng , với thì giới hạn bằng 0. Vậy là giá trị duy nhất thỏa yêu cầu bài toán. Định lí4. (Trung bình nhân) Nếu dãy số dương có giói hạn hữu hạn là a thì dãy số các trung bình nhân cũng có giới hạn là a. Chứng minh. Vì và hàm số liên tục trên nên ta có . Mà theo định lí Cesaro, ta được: Ví dụ 6. Chứng minh rằng . Ta xét dãy có . Áp dụng định lí 4, ta có . Mặt khác, ta có: (đpcm). 3. Dãy dạng tổng và phương pháp sai phân Để tính tổng n số hạng đầu tiên của một dãy số, một trong nhưng phương pháp hiệu quả nhất là phương pháp sai phân: Để tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy số , ta tìm hàm số sao cho . Khi đó, . Một ví dụ kinh điển là phương pháp mà Bernoulli và các nhà toán học khác của thế kỉ XVIII đã đưa ra để tìm công thức tính tổng các lũy thừa mũ k bất kì . Dùng phương pháp hệ số bất định, tìm đa thức sao cho và từ đó tìm được . Phương pháp này hiệu quả hơn phương pháp xây dựng công thức truy hồi, vì để tính ta không cần dùng đến các công thức tính ,,... Ví dụ 7. Lập công thức tính tổng Giải. Ta tìm hàm số có dạng sao cho với mọi n (áp dụng tích phân cho đa thức bậc k, có có bậc k+1). Suy ra ,. , . Đồng nhất hệ số 2 vế ta được tùy ý, ta có thể chọn . Khi đó: Ví dụ 8. Cho là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: Giải. Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có: Mặt khác ta có: (đpcm). III. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ 1. Phương pháp dãy số phụ Phương pháp dãy số phụ để khảo sát sự hội tụ của các dãy số không đơn điệu mà tăng giảm bất thường. Trong một số trường hợp, ta có thế xây dựng 1 hay 2 dãy số phụ đơn điệu (từ dãy số chính), chứng minh sự hội tụ của các dãy phụ đó, sau đó chứng minh dãy số ban đầu có cùng giới hạn. Ví dụ 1. Dãy số là dãy bị chặn thỏa: . Chứng minh rằng dãy này hội tụ. Giải. Đặt . Ta thấy . Do dãy bị chặn nên dãy cũng bị chặn và giảm knn nên nó hội tụ. Đặt . Với mọi , tồn tại sao cho thì:. Nếu thì ,. Nếu , khi đó do mà ,. Vậy có giới hạn hữu hạn (đpcm). 2. Xây dựng dãy hội tụ bằng phương trình. Có thể xây dựng dãy hội tụ về một số xuất phát từ phương trình có nghiệm là theo cách sau: Giả sử xét , là nghiệm của phương trình . Ta viết lại dưới dạng và ta thiết lập dãy thỏa ,. Nếu dãy này hội tụ thì . Tương tự như vậy, ta có thể xây dựng được dãy số như sau: . Cũng với giới hạn là , ta có thể xây dựng một dãy số khác như sau: Khi đó ta có dãy xác định bởi . Trong ví dụ trên, ta chỉ có được phương trình với nghiệm theo ý muốn khi đã chứng minh được sự hội tụ của dãy số. Vì vậy, cần cẩn thận với các thiết lậ bài toán theo kiểu này. Ví dụ, dãy thì không phải với nào dãy cũng hội tụ, và không phải lúc nào giới hạn cũng là . Một cách tổng quát, ta có thể dùng phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ Newton để xây dựng các dãy số. Để tìm nghiệm của phương trình , phương pháp Newton đề nghị chọn tương đối gần nghiệm đó và xây dựng dãy truy hồi: Khi đó dãy sẽ dần đến nghiệm của phương trình . Ví dụ 2. Xét hàm số thì và ta được dãy số . Xét hàm số thì và ta được dãy số . 3. Dãy số là nghiệm của một họ phương trình phụ thuộc biến n Xét một họ phương trình . Nếu với mỗi n, phương trình có nghiệm duy nhất trên một miền xác định D nào đó thì dãy số đã được xác định. Từ mối liên hệ giữa các hàm , dãy số này có thể có những tính chất thú vị. Ví dụ 3. Cho số thực và . Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình luôn có đúng 1 nghiệm dương duy nhất. Gọi nghiệm đó là , chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng. Giải. a. Ta thấy hàm liên tục trên mà ta thấy với mọi thì nên có ít nhất 1 nghiệm. Ta chứng minh có duy nhất một nghiệm duy nhất. Giả sử phương trình trên có 2 nghiệm dương , khi đó áp dụng định lí Rolle: tồn tại sao cho (1). Mặt khác, hàm liên tục trên nên ta luôn có kết hợp với (1), suy ra mâu thuẫn với tính chât hàm liên tục đpcm. b. Dễ thấy . Ta chứng minh tăng. Ta thấy: . Và nên ta chỉ cần chứng minh thì , vậy cần chứng minh . Thật vậy, nếu thì: (do a > 2) vô lí vì . Vậy dãy tăng và bị chặn nên hội tụ. IV. LÍ THUYẾT DÃY SỐ DƯỚI CON MẮT TOÁN CAO CẤP 1. Rời rạc hóa các khái niệm và định lí của lí thuyết hàm biến số thực Dãy số là hàm số nên nó có đầy đủ các tính chất chung của hàm số. Tuy nhiên, do tính chất đặc biệt của tập , một số khái niệm như đạo hàm, tích phân không được định nghĩa cho các dãy số. Nhung thực ra dãy số cũng có các khái niệm tương tự. Bằng cách so sánh và phép tương tự, có thể tìm được những định lí thú vị của lí thuyết dãy số. Đó là quá trình rời rạc. Ví dụ 1. (Định lí Stolz - so sánh với quy tắc L’Hopital) Xét 2 dãy và , trong đó là dãy dương tăng và dần đến vô cùng. Khi đó ta có Với điều kiện tồn tại giới hạn ở vế phải. Chứng minh. Đặt . Theo định nghĩa giới hạn, , suy ra: . Mà là dãy tăng nên ta có: ... . Cộng các đẳng thức trên, ta được: Chia 2 vế cho , ta được: Vì dần đến vô cùng nên tồn tại sao cho với mọi : và . 2. Sử dụng xấp xỉ trong dự đoán kết quả Trong nhiều trường hợp, dự đoán được kết quả đã là một nửa, thậm chí là 2/3 lời giải. Chúng ta đã gặp nhiều tình huống là lời giải đầu tiên thu được một cách rất khó khăn, nhưng sau đó thì hàng loạt lời giải đẹp hơn, gọn hơn xuất hiện. Sao chúng ta không nghĩ ngay được những lời giải đẹp? Vì chúng ta chưa biết đáp số. Khi biết rồi thì có thể định hướng dễ dàng hơn rất nhiều. Dưới đây, ta xem xét một số ứng dụng của xấp xỉ trong việc dự đoán kết quả. Ta xét ví dụ 5 phần II, ta có Vì khi nên với mọi , ta có Do đó để hiệu số này xấp xỉ là hằng số, ta chọn . Ví dụ 5. Cho dãy số xác định bởi: Chứng minh rằng dãy có giới hạn. Giải. Có với mọi nên tăng knn. Ta cần chứng minh dãy bị chặn trên. Ta có Suy ra Ta thấy với mọi thì , ta chứng minh . Với mọi n tùy ý thì mà theo tính toán trực tiếp thì với , n nhỏ thì tích nên . Vậy dãy có giới hạn. Định lí. Cho dãy số thực . Khi đó nếu tổng có giới hạn hữu hạn khi thì tích cũng có giới hạn hữu hạn khi . V. BÀI TẬP 1) Tìm giới hạn sau a. Giải. Ta có b. Giải. Ta có Mà nên . 2) Cho dãy số với . Chứng minh rằng tồn tại và tính giới hạn đó. Giải. Ta có Tương tự, ta có (1). Ta thấy . Mặt khác, dãy tồn tại , khi đó từ công thức (1) và thực hiện tương tự thì . Ta thấy Suy ra thì hay dãy là dãy giảm mà , nên có giới hạn. Ta đặt , khi đó: (do ). . Vậy hội tụ về 1. 3) Cho dãy số xác định như sau:. Tìm . Giải. Ta có (1) với mọi (do ) (2) Từ (1), (2) suy ra với . (3) Mặt khác, ta có: , (4) (C.S) (5) Từ, (2), (3), (4), (5) ta được Mà nên (định lí kẹp). 4) Cho 2 dãy số và thóa: Tìm . Giải. Ta có (A-G) (A-G). Ta chứng minh với mọi . Giả sử , ta chứng minh . Có (1) (2) (3) Cộng theo vế các đẳng thức (1), (2), (3), ta được . . Theo nguyên lí quy nạp suy ra với mọi . Khi đó , mà (định lí kẹp). 5) Cho dãy số xác định bởi . Tính . Giải. Ta có (*). Mặt khác: . Khi đó: (*). Có . Đặt , khi đó Mà nên . Suy ra . 6) Chứng minh rằng không tồn tại . Giải. Gọi dãy số xác định bởi ; giả sử có giới hạn. Khi đó (1) (2) Từ (1), (2), suy ra:. Mà , mâu thuẫn. Vậy không tồn tại . 7) Cho dãy số dương và 2 dãy số và xác định bởi: Chứng minh rằng nếu thì . Giải. Áp dụng A-G, ta được và với mọi n. Suy ra (chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức). 8) Cho dãy số thỏa mãn điều kiện sau với mọi Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Giải. Cách 1. Vì và nên . Mà ta có nên là dãy tăng và bị chặn, do đó nó có giới hạn hữu hạn: . Vì với mọi n nên qua giới hạn, có . Từ bất đẳng thức và và Suy ra (do ). Vậy . Cách 2. Với , áp dụng bất đẳng thức A-G: Suy ra (un) là dãy tăng và bị chặn trên bởi 1 tồn tại giới hạn hữu hạn L =, . Do . Chuyển qua giới hạn, ta có: (thỏa điều kiện) Vậy limun =. 9) Cho dãy số với mọi n=1,2,... xác định như sau: với mọi n=1,2,... Đặt . Tìm . Giải. Ta có và , suy ra: . () . Mà nên ; hay tăng nên . . . 10) Xét tính hội tụ của dãy sau tùy ý theo giá trị của a: Giải. Giải phương trình với : . Đặt , khi đó ta có hệ: . Cộng theo vế 2 phương trình của hệ: (do nghiệm loại) . Xét dấu của trên từng khoảng , ta có: và . Xét phương trình chỉ có nghiệm nên không đổi dấu trên từng khoảng và , ta có: Tương tự, trường hợp thì . Suy ra: - Nếu thì dãy giảm knn và bị chặn dưới nên nó hội tụ với . - Nếu thì dãy tăng knn và bị chặn trên nên nó hội tụ với . VD1: Cho dãy số(n=1,2,) được xác định bởi =2 và =−+1.Tìm lim Để giải bài toán trên, ta làm theo các bước sau đây: Bước 1: Chứng minh: lim= +∞ Bước 2: Tính Bước 3: Tìm lim. Bài làm: Bằng quy nạp, dễ dàng chứng ninh được là dãy tăng. Ta chứng minh dãy trên không bị chặn trên. Giả sử bị chặn trên thì hội tụ, khi đó lim= a (a1)a=a +(a−1)a=1 (mâu thuẫn).Từ đó lim= +∞ . Ta có −1=(−1) ==1−1 khi n+∞ Vậy lim=1 VD2: Cho dãy (n=1,2,) được xác định bởi =1 và =2008 +.Tìm lim. Bài làm Ta có :0 nên là dãy tăng và dương. Ta chứng minh lim=+∞. Giả sử lim=a (a0 ) a=2008+ aa=0 ( vô lý) lim=+∞ Ta có: =2008 + = lim=. VD3 : Cho dãy (n=1,2,) được xác định bởi =1 và Tìm lim =. Bài làm: Ta có: =0 nên là dãy tăng .Ta chứng minh lim.Giả sử lim(vô lý)lim. Biến đổi: Do đó: khi . Vậy lim ==. Bài tập: 1) Cho dãy số (n=1,2,) được xác định bởi =3 và ,Tìm lim 2) Cho dãy số (n=1,2,) được xác định bởi = và . Tìm lim 3) Cho dãy số (n=1,2,) được xác định bởi Tìm lim 4) Cho dãy số() thỏa: Tìm lim 5) Cho dãy số thực (n=1,2,) được xác định bởi =1 và.Chứng minh rằng: 6) Cho dãy số: được xác định bởi: và. Đặt . Tính và lim 7) Tìm giới hạn của dãy số được xác định bởi: 8) Cho hai dãy số: thỏa: Chứng minh rằng: 9) Cho dãy số được xác định bởi: Đặt , tìm 10) Xét dãy số thực xác định bởi: Tìm tất cả các giá trị của để dãy số có giới hạn hữu hạn.Hãy tìm giới hạn của dãy số trong các trường hợp đó. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình Định nghĩa 1. Ta gọi trung bình cộng bậc r của n số dương là biểu thức xác định bởi: Nếu Chú ý 1. Đặc biệt khi r=1 ta có trung bình cộng, khi r = -1 ta có trung bình điều hòa, khi r = 2 ta có trung bình bình phương ( hay còn gọi là trung bình toàn phương). Nhận xét 1. Ta chứng minh được nếu là những số dương khác 1 thì Do đó khi r = 0, ta có trung bình nhân. Còn (*) được chứng minh như sau: Ta có Do đó Nhận xét 2. Theo nhận xét 1 ta có ngay: Với a>0, b>0 thì Tuy nhiên ta có thể chứng minh sơ cấp hơn như sau ( không sử dụng quy tắc Lopitan): Ta có Vậy Từ đây, cho ta được Nhận xét 3. Ta chứng minh được két quả: Dãy Là sắp được theo r như là một hàm đồng biến của hàm số biến . Kết quả này rát quan trọng, nó định hướng cho ta trong quá trình so sánh các dãu số được thành lập từ các lượng trung bình. Nhận xét 4. Đối với các dãy số được thành lập từ các đại lượng trung bình thì giới hạn của các dãu số thường là bằng nhau và thường thì ta tìm được số hạng tổng quát của các dãy số đó. 1.1. Trường hợp cùng chỉ số Bài toán 1 (Cộng cùng-nhân cùng). Cho dãy số và được xác định như sau Chứng minh rằng hai dãy số đã cho có giới hạn và . Giải. Từ giả thuyết suy ra với mọi n = 1,2,... thì . Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: Suy ra Vậy Tương tự ta có Vậy nên Suy ra dãy số giảm, bị chặn dưới bởi, còn dãy tăng và bị chặn trên bởi. Do đó chúng hội tụ. Đặt Khi đó từ giả thiết cho ta được Vậy hai dãy số đã cho có giới hạn và . Bài toán 2 (Cộng cùng-điều hòa cùng). Cho hai số dương a, b. Xét các dãy số và như sau Tìm và . Giải. Cách 1. Dễ thấy với mọi n = 1,2,, ta có Vì vậy Suy ra Ta có Do đó, phép quy nạp theo n chứng tỏ rằng: Vậy Theo trên suy ra Đặt Khi đó Vậy Cách 2. Theo bất đẳng thức Cauchy ta có Với mọi n = 2,3, ta có Hay ta viết lại Vậy kể từ số hạng thứ hai trở đi dãy số giảm và bị chặn dưới bởi nên có giới hạn, dãy số tăng và bị chặn trên bởi nên có giới hạn. Đặt Khi đó từ giả thuyết cho ta được Vậy hai dãy số đã cho có giới hạn và Từ ta có . Do đó, mà nên suy ra . Vậy Bài toán 3 ( Nhân cùng -điều hòa cùng ). Cho các dãy sốvà xác định như sau Chứng minh hai dãu số đã cho có giới hạn hữu hạn và hai giới hạn đó bằng nhau. Hướng dẫn. Theo giả thuyết ta có Đặt . Khi đó và Vậy theo bài toán 1 suy ra hai dãy hội tụ và . Do đó hai dãy và hội tụ và Bài toán 4 ( Trung bình bậc r cùng – nhân cùng ). Cho trước ba số dương a, b và r. Xét hai dãy số và như sau Chứng minh rằng hai dãy số đã cho hội tụ và . Giải. Từ giả thuyết suy ra với mọi n= 1,2,.. thì . Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: Suy ra Vậy Tương tự ta có Suy ra Vậy nên Suy ra dãy số giảm, bị chặn dưới bởi còn dãy tăng và bị chặn trên bởi. Do đó chúng hội tụ. Đặt Khi đó từ giả thuyết cho ta được: Vậy hai dãy số đã cho có giới hạn và . 1.2 Trường hợp lệch chỉ số Bài toán 5 ( Cộng cùng – cộng lệch ). Cho trước . Xét hai dãy và như sau: Tìm. Giải. Ta có Suy ra với mọi n = 1,2,, ta có Ta chọn sao cho Vậy với , ta có: Đặt +, suy ra Vậy dãy số tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu , công bội . Do đó Lần lượt lấy =1, =2 ta được: Suy ra . Bài toán 6 ( Nhận cùng – nhân l