Chuyên đề Hàm số đa thức bậc ba

Gv: Nguyễn Văn Trình Trường THPT Hậu lộc I 1 HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC BA I.MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM BẬC BA 1. Hàm số có cực đại ,cực tiểu ⇔ ∆ = acb 42 − >0 2. Hàm số đồng biến trên ℜ ⇔    ≤∆ > 0 0a 3. Hàm số nghịch biến trên ℜ ⇔    ≤∆ < 0 0a 4. Để tìm giá trị của điểm cực trị ( Đường thẳng đi hai điểm cực trị) trong trường hợp hoành độ cực trị là những số lẻ ,ta thực hiện phép chia đa thức y cho y’ ta được: y=y’.g(x) +h(x) ta có: +Gọi ( )0; yxo là toạ độ điểm cực trịcủa đồ thi hàm số thì y’( )0x =0 +Do đó: y ( )0x =y’( )0x .g( )0x + h( )0x = h( )0x Khi đó : Đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thịhàm số có dạng: y= h(x) Chú ý: Nếu tìm được hai điểm cực trị lần lượt là A );( 11 yx và B );( 22 yx Thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng: 12 1 12 1 yy yy xx xx − − = − − 5. Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng . Thật vậy, thực hiện phép tinh tiến đồ thị theo véc tơ OI Với I là điểm uốn có toạ độ là:      +++= −= dcxbxaxy a b x 0 2 0 3 00 0 3 Công thức đổi hệ trục toạ độ là    += += 0 0 yYy xXx Thay x,y vào phương trình hàm số ta được: Y+ dxXcxXbxXay ++++++= )()()( 020300 Y=a XxgX ).( 03 + Hàm số này là hàm lẻ nên đồ thị nhận điểm I ( )0; yxo làm điểm uốn. 6.Tiếp tuyến tại điểm uốn: Tếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ nhất nếu a>0 vàlớn nhất nếu a<0 trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số: Thật vậy, ta có y’= a bac a b xacbxax 3 3 3 23 22 00 2 0 − +      +=++ * nếu a>0 thì K a bac NN 3 3 2− = đạt đượckhi x a b 30 −= Gv: Nguyễn Văn Trình Trường THPT Hậu lộc I 2 * nếu a>0 thì K a bac LN 3 3 2− = đạt đượckhi x a b 30 −= Mà y’’=6ax +b=0 x= a b 3 − nên x a b 30 −= chính là hoành độ điểm uốn => ĐPCM 7. Đồ thị hàm số cắt trục hoành.( Giao điểm của đồ thị với trục hoành) *Bài toán1: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại3 điểm phân biệt(hoặc phương trình ax3 + bx2 + cx + d = o có 3 nghiệm pb) , thông thường ta sử dụng các cách sau đây: Cách 1(phương pháp đại số) Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = o do đó: Ta có ax3 + bx2 + cx + d = o (a )0≠ (x-α )( a )2 lexx ++ =0    =++= = 0)( 2 lexaxxg x α (*) ycbt pt (*) có 2 nghiệm pb x α≠    ≠ >∆ 0)( 0 * αg Chú ý: Khi đó điểm A )0;(α là mộtđiểm cố định của đồ thị hàm số. Cách2.Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb    < = 0)().( 0' 21 xyxy y * Bài toán2 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ dương( hoặc phương trình ax3 + bx2 + cx + d = o có 3 nghiệm dương pb) Cách1(phương pháp đại số) Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = o do đó: Ta có ax3 + bx2 + cx + d = o (a )0≠ (x-α )( a )2 lexx ++ =0    =++= >= 0)( 0 2 lexaxxg x α (*) ycbt pt (*) có 2 nghiệm dương pb Có 2 nghiệm pb Gv: Nguyễn Văn Trình Trường THPT Hậu lộc I 3 x α≠        ≠ > > >∆ 0)( 0. 0 0 αg p s g Cách2.Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ dương      < < = 0)(. 0)().( 0' 21 oya xyxy y * Bài toán3 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ âm ( Hoặc phương trình ax3 + bx2 + cx + d = o có ba nghiệm âm pb) Cách1(Phương pháp đại số) Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = o do đó: Ta có ax3 + bx2 + cx + d = o (a )0≠ (x-α )( a )2 lexx ++ =0    =++= <= 0)( 0 2 lexaxxg x α (*) ycbt pt (*) có 2 nghiệm âm pb x α≠        ≠ > < >∆ 0)( 0. 0 0 αg p s g Cách2 .Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ âm      < < = 0)(. 0)().( 0' 21 oya xyxy y Có 2 nghiệm pb Có 2 nghiệm pb y(cđ) y(cđ) y(0) Gv: Nguyễn Văn Trình Trường THPT Hậu lộc I 4 CHÚ Ý: Nếu bài toán yêu cầu: “Tìm giá trị của tham số để phương trình ax3 + bx2 + cx + d = o (*) 1. Có 3 nghiệm phân biệt 2. Có 3 nghiệm dương pb 3. Có 3 nghiệm âm pb Thì ta có thể sử dụng phương pháp hám số : - Đưa phương trình (*) về dạng: f(x)= h(m) - Lập bảng biến thiên của hàm số y=f(x) ( Trên khoảng ( );+∞∞− hoặc trên khoảng );( +∞o hoặc trên khoảng )0;(−∞ ) tuỳ theo yêu cầu của bài toán là 1, 2 hay3. - Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm của tham số. Bài toán4 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tai 3 điểm có hoành độ 321 ,, xxx cách đều nhau.(Lập thành cấp số cộng) Cách1. (PP đại số) *ĐK cần: Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình ax3 + bx2 + cx + d = o (*) Giả sử pt(*) có 3 nghiêm 321 ,, xxx cách đều nhau ,khi đó ta có     −=++ =+ a b xxx xxx 321 231 2 a b x 32 −= Thay a b x 32 −= vào phương trình (*) ta tìm được tham số? *ĐK đủ: Thay giá trị của tham số vừa tìm được vào phương trình (*) , giải pt(*) tìm ra nghiểmồi kết luận. Cách2: Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm cáchđều nhau khi và chỉ khi điểm uốn thuộc trục hoành( Vì điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị) ta có x a b 30 −= là hoành độ điểm uốn =>y(- a b 3 )=0 => Giá trị của tham số 8. Với Đường thẳng (d) đi qua điểm I( ); 11 yx và có hệ số góc m tiếp xúc với đồ thị hàm số y=f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (C) - lập pt đường thẳng (d): y=m(x- 11 ) yx + - Đường thẳng (d) tiếp xúc với ( C ) hệ pt sau có nghiệm     =++ +−=+++ mcbxax yxxmdcxbxax 23 )( 2 11 23 Gv: Nguyễn Văn Trình Trường THPT Hậu lộc I 5 - Sử dụng pp thế để tìm ra hệ số góc m rồi thay vào phương trình đường thẳng(d) ta được đường thẳng cần tìm. Chú ý : Đường thẳng (d) trong trường hợp này cũng chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Do đó có thể sử dụng pp trên để giải bài toán “viết pt tiếp tuyến với ( C) đi qua điểm I( ); 11 yx cho trước. 9. Đồ thị hàm số y=f(x)= ax3 + bx2 + cx + d (C) tiếp xúc với đường thẳng y=kx+m Khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:     =++ +=+++ kcbxax mkxdcxbxax 23 2 23 10. Đặc biệt, Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành có thể sử dụng một trong 2 cách sau Cách1. Đồ thị ( C ) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm :    = = 0' 0 y y ( Vì phương trình của trục hoành là y=0) Cách2.( PP đại số) Hoành độ giao điểm là nghiệm của pt: ax3 + bx2 + cx + d =0 (x-    =++= = ⇔=++ (*)0)(0))( 2 2 lexaxxg x lexax α α Ycbt pt(*)có một nghiêm α=x hoặc có nghiệm kép x α≠         ≠ =∆ = 0)( 0 0)( α α g g g 11. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất ( phương trình ax3 + bx2 + cx + d =0) Khi và chỉ khi hàm số đồng biến( Nghịch biến) trênℜ hoặc đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về một phía đối với trục hoành         > = ∀≤≥ 0)().( 0' )0'(0' 21 xyxy y xyy có hai nghiệm 21 , xx phân biệt 12. Đồ thị hàm số có cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành khi và chỉ khi y’=0 có hai nghiệm 21 , xx trái dấu P<0 Gv: Nguyễn Văn Trình Trường THPT Hậu lộc I 6 13. Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành khi và chỉ khi có hai nghiệm 21 , xx phân biệt II. CÁC BÀI TẬP THƯỜNG GẶP. Bài 1.Cho hàm số: y = x3 – mx + 4 – m 1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 3 2.Tìm m để đồ thị có tiếp tuyến có hệ số góc bằng 8 tại điểm có hoành độ x = 2. Viết pt tiếp tuyến tại điểm đó 3.CMR: với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm đó Bài 2.Cho hàm số: y = (x + a)3 + (x + b)3 – x 1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi a = 1, b = 2 2.Tìm a, b để hàm số có cực đại và cực tiểu 3.CMR: đồ thị hàm số cắt Ox tại đúng một điểm Bài 3.Cho hàm số: y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – 1 (Cm) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 2 2.Viết pt tiếp tuyến của (Cm) qua điểm A(0, -1) 3.Tìm m để (Cm) có CĐ, CT và đường thẳng đi qua hai điểm đó song song với đường thẳng y = kx Bài 4.Cho hàm số: y = x3 - 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x – 4m(m + 1) (Cm) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 1 2.CMR: (Cm) luôn đi qua một điểm cố định 3.Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương Bài 5.Cho hàm số: y = x3 - (m + 1)x2 - (2m2 - 3m + 2)x + 2m(2m - 1) (Cm) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 0 2.Tìm điểm cố định của (Cm). Tìm m để (Cm) tiếp xúc với Ox 3.Tìm m để (Cm) đồng biến trên [ )∞+;2 4.Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = - 49x + 98 Bài 6. 1.Khảo sát và vẽ đồ thị y = x3 + 3x2 + 3x + 5 2.CMR: không tồn tại hai điểm nào đó trên đồ thị mà tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau 3.Tìm k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến của đồ thị tại đó vuông góc với y = kx Bài 7.Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 (Cm) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 3    > = 0)().( 0' 21 xyxy y Gv: Nguyễn Văn Trình Trường THPT Hậu lộc I 7 2.CMR: (Cm) cắt y = x3 + 2x2 + 7 tại hai điểm A, B phân biệt. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB 3.Tìm m để (Cm) cắt y = 1 tại C(0; 1), D, E phân biệt và tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau Bài 8.Cho hàm số: y = x3 - 3x2 + 2 (C) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị 2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A(1, -1) 3.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x (x – 3)2 = m Bài 9.Cho hàm số: y = x3 + (m - 1)x2 – (2m + 1)x - 2 (Cm) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 1 2.Tìm m để (Cm) tiếp xúc với Ox 3.Tìm m để (Cm) đạt cực trị tại các điểm có hoành độ x1, x2 thoả mãn 222 2 1 =+ xx Bài 10.Cho hàm số: y = mx3 - 3mx2 + (2m + 1)x + 3 - m (Cm) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 4 2.Tìm m để (Cm) có cực đại và cực tiểu. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị (Cm) luôn đi qua một điểm cố định Bài 11.Cho hàm số: y = 3 1 x 3 - 2x2 + 3x + 1 (C) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị 2.Chứng minh A(2; 3 5 ) là tâm đối xứng của đồ thị 3.Tìm điểm trên (C) có hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó nhỏ nhất 4.Lập phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 3x – 1 Bài 12.Cho hàm số: y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x - 1 (Cm) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 2 2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) biết chúng đi qua A(0, - 1) 3.Tìm m để (Cm) có 2 cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm đó vuông góc với đường thẳng y = x Bài 13.Cho hàm số: y = x3 - 3x2 – 9x + m (Cm) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 0 2.Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Bài 14.Cho hàm số: y = 3 1 x 3 - 2x2 + 3x (C) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị 2.Qua A( 3 4 ; 9 4 ) kể được mấy tiếp tuyến với đồ thị hàm số. Viết các phương trình tiếp tuyến đó Gv: Nguyễn Văn Trình Trường THPT Hậu lộc I 8 3.CMR: không có tiếp tuyến nào khác của đồ thị hàm số song song với tiếp tuyến đi qua B(2; 3 2 ) của đồ thị hàm số Bài 15.Cho hàm số: y = 3 1−m x 3 + mx2 + (3m – 2)x (C) 1.Tìm m để hàm số: a.Đồng biến b.Cắt Ox tại 3 điểm phân biệt 2..Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 2 3 và suy ra đồ thị y = 6 1 x 3 + 2 3 x 2 + 2 5 x Bài 16.Cho hàm số: y = x3 + mx2 + 7x + 3 (Cm) 1.Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm CĐ, CT 2..Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 5 3.Tìm m để đồ thị hàm số có một cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ Bài 17.Cho hàm số: y = f(x) = x3 + x - 1 (C) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị 2..Giả sử f(x0) = 0. Chứng minh 20x - x0 < 0 3.Từ đồ thị (C) hãy vẽ đồ thị y = 13 −+ xx Bài 18.Cho hàm số: y = x3 - mx2 + mx + 2m - 3 (Cm) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 1 2..Tìm m để hàm số có hai cực trị và hai điểm đó nằm về 2 phía của đường thẳng x – 3 = 0 3.CMR: đồ thị hàm số luôn đi qua hai điểm cố định. Viết pt đường thẳng (d) đi qua hai điểm cố định đó và tìm m để (Cm) tiếp xúc với (d) Bài 19.Cho hàm số: y = x3 - 3mx2 + (m – 1)x + 2 (Cm) 1.Chứng minh hàm số luôn có cực trị 2..Tìm m để hàm số có hai cực tiểu tại x = 2. Khảo sát và vẽ đồ thị với m tìm được 3.Biện luân theo k số nghiệm của phương trình: x 2 – 2x – 2 = 1−x k Bài 20.Cho hàm số: y = mx3 – (m – 1)x2 – (2 + m)x + m - 1 (Cm) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C1) khi m = 1 2..Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C1) 3.Tìm các điểm mà đồ thị (Cm) đi qua với mọi m