Chuyên đề Hình học lớp 10 - Vectơ

1Mục lục I Chuyên đề hình học lớp 10 2 1 Chuyên đề vectơ 3 1.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Các dạng bài tập cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Dạng 1: Chứng minh một đẳng thức vectơ . . . . . . . 4 1.2.2 Dạng 2: Độ dài vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Dạng 3: Biểu diễn vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4 Dạng 4: Xác định một điểm thỏa mãn đẳng thức vecto 10 2Part I Chuyên đề hình học lớp 10 3Chương 1 Chuyên đề vectơ 1.1 Kiến thức cơ bản Quy tắc 3 điểm, quy tắc trừ: −→ AB + −−→ BC = −→ AC −→ AB −−→AC = −−→CB Quy tắc này có thể tổng quát cho n điểm. Quy tắc trung điểm: Cho I là trung điểm của AB, M là một điểm bất kì. Ta có −→ IA + −→ IB = −→ 0 −−→ MA + −−→ MB = 2 −−→ MI Quy tắc trọng tâm: Cho G là trọng tâm của M ABC, N là một điểm bất kì. Ta có −→ GA + −−→ GB + −→ GC = −→ 0 −−→ MA + −−→ MB + −−→ MC = 3 −−→ MG Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD là hình bình hành khi đó ta có: −→ AC = −→ AB + −−→ AD GV: Lê Ngọc Sơn - THPT Phan Chu Trinh Bài tập chuyên đề Hình học 10 1.2 Các dạng bài tập cơ bản 1.2.1 Dạng 1: Chứng minh một đẳng thức vectơ Thông thường để chứng minh một đẳng thức vectơ ta thường sử dụng một trong 3 phương pháp sau đây: biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tương đương đẳng thức cần chứng minh thành một đẳng thức mà ta biết là đúng, biến đổi một đẳng thức đúng có sẵn thành đẳng thức cần chứng minh. Lưu ý: nên áp dụng các quy tắc: ba điểm, trung điểm, hình bình hành, trọng tâm trong quá trình biến đổi. Ví dụ 1.1. Cho M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: 2 −−→ MN = −→ AC + −−→ BD = −−→ AD + −−→ BC Lời giải. Ta có: −→ AC = −−→ AM + −−→ MN + −−→ NC (1) −−→ BD = −−→ BM + −−→ MN + −−→ ND (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế và chú ý rằng −−→ AM + −−→ BM = −→ 0 , −−→ NC + −−→ ND = −→ 0 Ta có: 2 −−→ MN = −→ AC + −−→ BD Sonspt07@gmail.com 4 Typeset by L A T E X GV: Lê Ngọc Sơn - THPT Phan Chu Trinh Bài tập chuyên đề Hình học 10 Tương tự ta chứng minh được: 2 −−→ MN = −−→ AD + −−→ BC Ví dụ 1.2. Cho sáu điểm A,B,C,D,E, F . Chứng minh rằng: −−→ AD + −−→ BE + −→ CF = −→ AE + −−→ BF + −−→ CD (1) Lời giải. Cách 1: Ta có: (1)⇔ −−→AD −−→AE +−→CF −−−→CD = −−→BF −−−→BE ⇔ −−→ED +−−→DF = −→EF ⇔ −→EF = −→EF (đúng) Cách 2: Biến đổi vế trái ta có: −−→ AD + −−→ BE + −→ CF = −→ AE + −−→ ED + −−→ BF + −→ FE + −−→ CD + −−→ DF = −→ AE + −−→ BF + −−→ CD + ( −−→ ED + −−→ DF + −→ FE) = −→ AE + −−→ BF + −−→ CD + ( −→ EF + −→ FE) = −→ AE + −−→ BF + −−→ CD Cách 3: Ta có −−→ AD + −−→ DC + −→ CF + −−→ FB + −−→ BE + −→ EA = −→ 0 nên: −−→ AD + −−→ BE + −→ CF = −−−→DC −−−→FB −−→EA = −→AE +−−→BF +−−→CD Bài tập áp dụng Bài tập 1. Cho tam giác ABC. Các điểm M,N,P lần lượt là trung điểm của AB,AC và BC. Chứng minh rằng với O bất kì ta có: −→ OA + −−→ OB + −→ OC = −−→ OM + −−→ ON + −→ OP Sonspt07@gmail.com 5 Typeset by L A T E X GV: Lê Ngọc Sơn - THPT Phan Chu Trinh Bài tập chuyên đề Hình học 10 Bài tập 2. Cho O là tâm hình bình hành ABCD. Chứng minh −→ OA + −−→ OB + −−→ OD = −→ CO. Bài tập 3. Cho 6 điểm A,B,C,D,E, F . Chứng minh: −−→ AD + −−→ BE −−→FC = −→AE −−−→FB +−−→CD = −−→FA +−−→BD +−−→CE Bài tập 4. Cho tam giác ABC. Về phía ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ,BCPQ,CARS. Chứng minh −→ RJ + −→ IQ + −→ PS = −→ 0 . Bài tập 5. Cho lục giác đều ABCDEF . Chứng minh rằng với điểm M bất kì ta có: −−→ MA + −−→ MC + −−→ ME −−−→MB = −−→MD +−−→MF Bài tập 6. Cho O là tâm hình bình hành ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh: −−→ MO = 1 4 ( −−→ MA + −−→ MB + −−→ MC + −−→ MD) Bài tập 7. Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB. Chứng minh rằng: −−→ AM + −−→ BN + −→ CP = −→ 0 Bài tập 8. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, N là một điểm trên AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của MN . a) Chứng minh rằng −−→ AK = 1 4 −→ AB + 1 6 −→ AC. b) Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh −−→ KD = 1 4 −→ AB + 1 3 −→ AC. Bài tập 9. Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm AM . Chứng minh rằng: a) 2 −−→ DA + −−→ DB + −−→ DC = −→ 0 b) 2 −→ OA + −−→ OB + −→ OC = 4 −−→ OD, O là điểm tùy ý. Sonspt07@gmail.com 6 Typeset by L A T E X GV: Lê Ngọc Sơn - THPT Phan Chu Trinh Bài tập chuyên đề Hình học 10 Bài tập 10. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB,CD và O là trung điểm của EF . Chứng minh: a) −→ EF = 1 2 (−→ AC + −−→ BD ) b) −→ OA + −−→ OB + −→ OC + −−→ OD = 0 c) −−→ MA + −−→ MB + −−→ MC + −−→ MD = 4 −−→ MO (M bất kì) 1.2.2 Dạng 2: Độ dài vectơ Trước tiên để tính được độ dài của một vectơ ta cần chú ý tính chất sau đây: | −→AB |=| −→BA |= AB. Vậy việc tính độ dài của 1 vectơ thực chất là tính độ dài của một đoạn thẳng, do vậy mà ta thường sử dụng các phương pháp đã biết như: định lí pitago, tỉ số lượng giác,. . . Ví dụ 1.3. Cho tam giác đềuABC cạnh a. Tính | −→AB+−→AC | và | −→AB−−→AC | Lời giải. Gọi M là trung điểm BC. Ta có: −→ AB + −→ AC = 2 −−→ AM Do đó: | −→AB +−→AC |=| 2−−→AM |= 2 | −−→AM |= 2AM = 2. √ 3 2 = √ 3 Ta có: | −→AB −−→AC |=| −−→CB |= CB = a Sonspt07@gmail.com 7 Typeset by L A T E X GV: Lê Ngọc Sơn - THPT Phan Chu Trinh Bài tập chuyên đề Hình học 10 Ví dụ 1.4. Cho hình vuông ABCD cạnh b. Tính | −−→DA−−→AB |, | −−→DA+−−→DC | và | −−→DB +−−→DC | Lời giải. Gọi E là trung điểm của BC. Ta có: | −−→DB +−−→DC |=| 2−−→DE |= 2DE Mặt khác ta có: DE = √ DC2 + CE2 = √ b2 + ( b 2 )2 = b √ 5 ⇒| −−→DB +−−→DC |= 2b √ 5 • | −−→DA−−→AB |=| −−→DA−−−→DC |=| −→CA |= CA = b√2 • | −−→DA +−−→DC |=| −−→DB |= DB = b√2 Bài tập áp dụng Bài tập 11. Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH . Tính | −−→AH |, | −→AB +−−→AH |, | −→AB −−−→AH | Bài tập 12. Cho tam giác đều ABC cạnh a, G là trọng tâm. Tính | −−→GB |, | −→GA +−−→GB |, | −→GA +−−→GB +−→GC | Bài tập 13. Cho ngũ giác đều ABCDE nội tiếp đường tròn tâm G bán kính R. Tính: | −→GA +−−→GB +−→GC +−−→GD | Bài tập 14. Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a và góc B̂ = 600. Tính độ dài các vectơ −→ AB + −→ AC và −→ AB −−→AC Sonspt07@gmail.com 8 Typeset by L A T E X GV: Lê Ngọc Sơn - THPT Phan Chu Trinh Bài tập chuyên đề Hình học 10 1.2.3 Dạng 3: Biểu diễn vectơ Ví dụ 1.5. Cho tam giác ABC . Điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC . Hãy phân tích vectơ −−→ AM theo hai vectơ −→ AB và −→ AC . Lời giải. Ta có −−→ AM = −→ AB + −−→ BM = −→ AB + 2 3 −−→ BC = −→ AB + 2 3 ( −→ AC −−→AB) = 1 3 −→ AB + 2 3 −→ AC Ví dụ 1.6. Cho tam giác ABC . M là trung điểm của AB và N là một điểm trên AC sao cho NA = 2NC . Gọi K là trung điểm của MN . Hãy phân tích vectơ −−→ AK theo −→ AB và −→ AC Sonspt07@gmail.com 9 Typeset by L A T E X GV: Lê Ngọc Sơn - THPT Phan Chu Trinh Bài tập chuyên đề Hình học 10 Lời giải. Ta có: −−→ AK = 1 2 ( −−→ AM + −−→ AN) = 1 2 ( 1 2 −→ AB + 2 3 −→ AC) = 1 4 −→ AB + 1 3 −→ AC Bài tập áp dụng Bài tập 15. Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho BI = 2IC. Hãy tính −→ AI theo −→ AB và −→ AC Bài tập 16. Cho hình bình hành ABCD. Đặt −→ AB = −→a ,−−→AD = −→b . Các biểu diễn các vectơ sau theo −→a ,−→b a) −→ DI với I là trung điểm của BC. b) −→ AG với G là trọng tâm của tam giác CDI Bài tập 17. Cho tam giác ABC có trọng tâm G, H là điểm đối xứng của B qua G. M là trung điểm của BC. a) Tính −−→ AH và −−→ CH theo −→ AB và −→ AC. b) Chứng minh rằng: −−→ MH = 1 6 −→ AC − 5 6 −→ AB. Bài tập 18. Cho lục giác đều ABCDEF . Phân tích các vecto −−→ BC và −−→ BD theo các vecto −→ AB và −→ AF . Bài tập 19. Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích vecto −−→ AM theo các vecto −→ OA, −−→ OB, −→ OC. 1.2.4 Dạng 4: Xác định một điểm thỏa mãn đẳng thức vecto Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đó đối với hình vẽ. Thông thường ta biến đổi đẳng thức vecto đã cho về dạng −−→ OM = ~a, trong đó O và ~a đã được xác định. Ta thường sử dụng các tính chất về: Sonspt07@gmail.com 10 Typeset by L A T E X GV: Lê Ngọc Sơn - THPT Phan Chu Trinh Bài tập chuyên đề Hình học 10 • Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k. • Hình bình hành. • Trung điểm của đoạn thẳng. • Trọng tâm tam giác, . . . Ví dụ 1.7. Sonspt07@gmail.com 11 Typeset by L A T E X