Chuyên đề Hình học Lớp 12 (Ban cơ bản) - Quan hệ vuông góc

tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ . Giải Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của lăng trụ. Khi đó, A’H là hình chiếu của AA’ trên mp(A’B’C’) Xét tam giác AA’H vuông tại H có: Sin A’ = 'AA AH AH = AA’. Sin A’ = AA’. Sin 60⇒ 0 = 2 3b Do tam giác A’B’C’ là tam giác đều nên chiều cao của tam giác là: A A’ C B B’ C’ H 600 h = 2 3a Diện tích tam giác A’B’C’: SA’B’C’ = 4 a3h.a 2 1 2= Thể tích ABC.A’B’C’: V = 3 1 .AH. SA’B’C’ = ba 8 3 2 BÀI TẬP Bài 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A1BB1C1, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC= a, góc C bằng 60 , 0 đường chéo BC1 của mặt bên (CC1BB1) hợp với mặt bên (ACC1A1) một góc 30 . 0 a. Tính độ dài đoạc AC1. b. Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: a. AC1 = 3a, b. V = 6 a3. Bài 2. Cho hình hộp đứng ABCD.A1BB1C1D1 , đáy là hình thoi. Biết diện tích 2 mặt chéo ACC1A1 và BĐ1BB1 là s1 và s2. Biết góc BA1D là góc vuông. Tính thể tích khối hộp. ĐS: V = 4 2 1 2 2 21 )ss(4 ss − Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản GV: Phạm Sơn Hà Trang 7 Bài 3. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1BB1C1, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A1 lên mp(ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Cạnh bên AA1 tạo với mặt đáy một góc 60 . 0 a. Tính thể tích lăng trụ. b. Chứng minh: BCC1BB1 là hình chữ nhật c. Tính diện tích xung quanh của lăng trụ ĐS: a. V = 4 3a 3 , c. Sxq= 3 )213(3a 2 + Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A1BB1C1D1 , đáy là hình thoi cạnh a, góc A bằng 60 . Chân đường vuông góc hạ từ B 0 1 xuống mặt đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy. Cho BB1= a a. Tính góc giữa cạnh bên và đáy b. Tính thể tích khối hộp ĐS: a. 600, b. V= 4 a3 3 Bài 5. Cho lăng trụ đều ABCD.A1BB1C1D1 cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường chéo AC1 và đáy là 60 . Tính thể tích của khối lăng trụ. 0 Bài 6. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1BB1C1D1 có đường cao bằng h. Mp (A1BD) hợp với mặt bên (ABB1B A1) một góc α. Tính thể tích của khối lăng trụ. Bài 7. (đề thi ĐH khối D-2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C. ĐS: V = 3a 2 2 , d(AM, B’C) = 7 7a Bài 8. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1BB1C1D1 có AB = a, AB hợp với mặt phẳng (A’B’CB) một góc α và góc BAC’ = β. Tính thể tích hình hộp. Bai 9. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A1BB1C1 , cạnh đáy a. Mặt phẳng (ABC1) hợp với mặt phẳng (BCC1B1B ) một góc α. Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC1. a. CM: góc AJI bằng α. b. Tính thể tích khối lăng trụ Bài 10. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A1BB1C1 , cạnh đáy bằng a, đường chéo BC1 của mặt bên (BCC1B1B ) hợp với mặt bên (ABB1A1) một góc α. a. Xác định góc α b. Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 11. Cho lăng tru đứng ABC.A1BB1C1 , đáy ABC là tam giác cân tại A. Góc giữa AA1 và BC1 là 300 và khoảng cách giữa chúng là a. Góc giữa hai mặt bên qua AA1 là 600. Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 12. Cho lăng trụ đều ABC.A1BB1C1. Mặt phẳng (A1BC) cách A một khoảng 4 3a và hợp với BC’ một góc α biết sin α = 10 15 . Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 13. Cho lăng tru đứng ABC.A1BB1C1 , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC= b, góc C bằng α. Đường chéo BC1 tạo với mặt bên (ACC1A1) một góc β. a. Tính thể tích khối lăng trụ b. Tìm một điểm cách đều các đỉnh của lăng trụ và tính khoảng cách ấy. Bài 14. Cho lăng trụ ABC.A1BB1C1 đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A1 lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn (ABC). Góc BAA1 bằng 450. Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 15. Cho lăng trụ xiên ABC.A1BB1C1 đáy là tam giác vuông cân tại A. Mặt bên (ABB1A1) là hình thoi cạnh a, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên (ACC1A1) hợp với đáy một góc α. Tính thể tích khối lăng trụ Bài 16. Cho lăng trụ xiên ABC.A1BB1C1 đáy ABC là tam giác vuông tại A. AB = a, BC = 2a. Mặt bên Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản GV: Phạm Sơn Hà Trang 8 ABB1A1 là hình thoi, mặt bên (BCC1BB1) nằm trong mặt phẳng vuông với đáy, hai mặt này hợp với nhau một góc α. a. Tính khoảng cách từ A đến mp (BCC1BB1). Xác định góc α b . Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 17. Tính thể tích của khối lăng trụ có chiều cao h, đáy là ngũ giác đều nội tiếp trong một đường tròn bán kính bằng r. B. Bài toán 2: Tính thể tích khối chóp. Ví dụ: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp đó. A B C S I H Giải Kẻ SH ⊥ (ABC) Gọi I là giao điểm của AH và BC Do S.ABC là hình chóp đều nên H là trọng tâm của tam giác ABC. ⇒ AI = 2 3a ⇒ AH = 3 2 AI = 3 2 a 3 3 2 3a = Do AH là hình chiếu của SA trên mp(ABC) nên SAH = 600. Xét tam giác SAH vuông tại H ta có: tan 600 = 060tan.AHSH AH SH =⇒ = a Diện tích tam giác ABC: SABC = BC.AI 2 1 = 2a 4 3a 2 3a 2 1 = Thể tích khối chóp: V = 3 1 SH. SABC = 3 1 32 a 12 3a 4 3a =⋅ BÀI TẬP Bài 1. Cho khối chóp tam giác đều SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên hợp với đáy một góc 300. Tính thể tích của khối chóp đó. Bài 2. Cho khối chóp SABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp đó. Bài 3. Cho khối chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại B. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết rằng AB= a, BC= b, SA= c. a) Tính thể tích của khối chóp đó. b) Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB). Bài 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB =a, BC= 2a, AA’ = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD. a) Tính thể tích của khối chóp M.AB’C. b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C). Bai 5. Cho hai đoạn thẳng AB và CD chéo nhau, AC là đường vuông góc của chúng. Biết AC = h, AB = a, CD = b và góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 600. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản GV: Phạm Sơn Hà Trang 9 Bai 6. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Dựng đường cao SH. a. CMR: SA ⊥ BC b. Tính thể tích khối chóp ABCD c. Gọi O là trung điểm SH. CMR: OA, OB, OC đôi một vuông góc. ĐS: b. V = 12 2a 3 Bài 7. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a và góc ASB = α. ĐS: V = 1 2 cot 6 a 23 −α Bài 8. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy một góc α và hợp với mặt bên (SAB) một góc β. a. Tính SC b. Tính thể tích khối chóp ĐS: a. SC = β−α 22 2 sincos a , b. V = )sin(cos3 sinsina 22 3 β−α βα Bài 9. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông có cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB và M là điểm di động trên đường thẳng BC. a. CMR: SH ⊥ (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD. b. Tìm tập hợp các hình chiếu vuông góc của S lên DM c. Tính khoảng cách từ S đến DM theo a và CM = x với ax0 ≤≤ ĐS: a. V= 6 3a 3 , b. Quĩ tích là đường tròn đk DH trong (ABCD) c. )xa(4 xa4xa4a7 22 2234 + +− Bài 10. Một hình chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Hãy tính thể tích và diện tích mặt chéo của hình chóp. Bài 11. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 600 và cạnh đáy bằng a. a. Tính thể tích khối chóp SABCD b. Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp. Bài 12. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc giữa mặt đáy và mặt bên là α. Tính thể tích khối chóp SABCD theo h và α. Bài 13. Cho hình chóp SABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy. Đáy ABC là tam giác cân đỉnh A. Trung tuyến AD bằng a. Cạnh SB tạo với đáy một góc α và tạo với mp(SAD) một góc β. a. Xác định góc α và β b. CMR: 2222 BDADSASB ++= c. Tính thể tích khối chóp Bài 14. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác cân AB=AC = a. Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA= SB = a. a. CMR: tam giác SBC là tam giác vuông b. Cho SC = x. Tính thể tích khối chóp theo a và x. Bài 15. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a và đường cao bằng h. Gọi (P) là mp qua A và vuông góc với SC và (P) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’ a. h phải thỏa đk gì để C’ là điểm thuộc cạnh SC b. Tính thể tích khối chóp SAB’C’D’ c. CM: tam giác B’C’D’ luôn có một góc tù. Bài 16. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a người ta lấy điểm M với AM = x ( ax0 ≤≤ ) và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mp(ABCD) tại A lấy điểm S sao cho SA = y với y >0 Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản GV: Phạm Sơn Hà Trang 10 a. CMR: (SAB) ⊥ (SBC) b. Tính khoảng cách từ M đến mp(SAC) c. Tính thể tích khối chóp SABCM d. Với giả thiết x2 + y2 = a2. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích SABCM. Bài 17. (đề thi ĐH khối B - 2008) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy. Gọi M, N là trung điểm của AB, BC. Tính thể tích của khối chóp SBMDN và tính cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng SM, DN. Bài 18. (đề thi ĐH khối A – 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Bài 19. (đề thi TNTHPT hệ BT – 2009) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a và AC = a 3 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a 2 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. ĐS: 5 a153 3 Bài 20. (đề thi TNTHPT – 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc BAC = 1200 , tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. Bài 21. (đề thi ĐH khối B – 2009) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mp(ABC) bằng 600, tam giác ABC vuông tại C và góc BAC = 600. Hình chiếu của B’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích tứ diện A’.ABC theo a. ĐS: 208 a9 3 Bài 22. (đề thi ĐH khối D – 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’= 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm đoạn A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mp(IBC). ĐS: V= 9 a4 3 ; k/c = 5 5a2 Bài toán 3: Tính tỉ số thể tích. Phương pháp: Để tính tỉ số thể tích hai phần của 1 khối đa diện (H) được phân chia thành (H1) , (H2) bởi mặt phẳng (α) ta lựa chọn một trong hai cách sau đây: ¾ Cách 1: Thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α). Bước 2: Tính thể tích V1 và V2 của (H1) , (H2) Bước 3: Tính k = 2 1 V V ¾ Cách 2: Sử dụng kết quả : “Cho hình chóp SABC , trên ba đường thẳng SA, B, SC lấy ba điểm A’, B’, C’ khác S. Gọi V và V’ là thể tích của SABC và SA’B’C’. Khi đó: 'SC SC 'SB SB 'SA SA 'SC'.SB'.SA SC.SB.SA 'V V == S A’ C’ A B’ C B Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản GV: Phạm Sơn Hà Trang 11 Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. Biết rằng AB = a, 3 2 SB 'SB = a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD S A B D D’ C’ B’ H’ H b) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’. Giải a) Gọi SH là đường cao của hình chóp S.ABCD C Gọi H’ là giao điểm của SH và mp (P). Do S.ABCD là hình chóp đều nên H là giao điểm E của AC và BD. ⎩⎨ ⎧ ⊥⇒⊥ ⊥ )SAC(BD ACBD SHBD ⇒ BD ⊥ SC. Do mp (P) ⊥ SC ⇒ BD // mp (P) Do ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⇒ =∩ ⊂ 'D'B//BD 'D'B)SBD()P( )SBD(BD )P//(BD ⇒ 3 2 SB 'SB SH 'SH SD 'SD === , H’D’ = H’B’ va B’D’ ⊥ AC’ Qua H kẻ đường thẳng song song với AC’ cắt SC tại E. Khi đó: EC’ = EC, 3 2 SE 'SC = ⇒ SE 'EC 3 1 SE 'SCSE ==− ⇒ SC’ = 2EC’ = CC’ Ta có: 9 4 3 2 3 2 V V ABD.S 'D'AB.S =⋅= , 9 2 2 1 3 2 3 2 V V BCD.S 'D'C'B.S =⋅⋅= Ta có: VS.ABD = VS.BCD = 2 V ABCD.S ⇒ VS.AB’C’D’ = VS.AB’D’ + VS.B’C’D’ = ABCD.SABCD.S V3 1 2 V 9 2 9 4 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + b) Theo cm trên : AC’ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác SAC nên SA = AC ⇒ tam giác SAC đều ⇒ SH = a 2 62a 2 3AC 2 3 == VS.ABCD = 3 1 33 a 6 6a 2 6 = ⇒ VS.AB’C’D’ = 3a 18 6 BÀI TẬP Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản GV: Phạm Sơn Hà Trang 12 Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD và SC a. Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) và hình chóp b. Tính tỉ số thể tích của hai phần hình chóp được phân chia bởi hai mặt phẳng. ĐS: b. 1 Bài 2. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi (H) là hình bát diện đều có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tứ diện đều đó. Tính tỉ số ABCD )H( V V Bài 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC= b, AA’ = c. Gọi M, N là trung điểm của A’B’ và B’C’. Tính thể tỉ số tích khối chóp D’.DMN và thể tích khối hộp chứ nhật ABCD.A’B’C’D’ Bài 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC= b, AA’ = c. Gọi E và F là những điểm thuộc các cạnh BB’ và DD’ sao cho BE= 2 1 B’E, DF = 2 1 D’F. Mặt phẳng (AEF) chia khối hộp chữ nhật thành 2 khối đa diện (H) và (H’). Gọi (H’) là khối đa diện chứa đỉnh A’. Tính thể tích của (H) và tỉ số thể tích của (H) và (H’). Bài 5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của C’D’. Tính thể tỉ số tích hai phần của hình lập phương do mặt mặt (A’MO) cắt ra. Bài 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N là trung điểm các cạnh AD, CD và gọi P lfa điểm trên cạnh BB’ sao cho BP = 3 PB’. a) Tính diện tích thiết diện do mặt phẳng (MNP) cắt hình lập phương. b) Tính thể tỉ số tích hai phần của hình lập phương do thiết diện cắt ra. CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU. I) MẶT NÓN, HÌNH NÓN, KHỐI NÓN: 1) Mặt nón: Cho hai đường thẳng Δ và d cắt nhau tại O và tạo thành góc α (0 < α < 900). Mặt tròn xoay sinh ra bởi đường thẳng d khi quay quanh đường thẳng Δ gọi là mặt nón. * d: đường sinh * Δ: trục * O đỉnh * 2α: góc ở đỉnh 2) Hình nón: Hình nón tròn xoay là hình sinh ra bởi một tam giác vuông khi quay quanh một cạnh góc vuông. * Diện tích xung quanh: Sxq = rl π l: độ dài đường sinh r: bán kính đường tròn đáy. 3) Khối nón: Hình nón cùng với phần trong của nó được gọi là khối nón. * Thể tích khối nón: V= π 3 1 r2h . Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản GV: Phạm S 13 ơn Hà Trang h: độ dài đường cao r: bán kính đường tròn đáy II) MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ: 1) Mặt trụ: Cho hai đường thẳng Δ và d song song nhau và cách nhau một khoảng bằng r. Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng d khi quay quanh Δ gọi là mặt trụ. * d: đường sinh * Δ: trục 2) Hình trụ: Hình trụ tròn xoay là hình sinh ra bởi một hình chữ nhật khi quay quanh một cạnh. * Diện tích xung quanh: Sxq = 2 π rl l: độ dài đường sinh r: bán kính đường tròn đáy. 3) Khối trụ: Hình trụ cùng với phần trong của nó được gọi là khối trụ. * Thể tích khối nón: V= r2 h . h: độ dài đường cao r: bán kính đường tròn đáy ™ Chú ý: đối với khối trụ h = l. III) MẶT CẦU, HÌNH CẦU, KHỐI CẦU: 1) Mặt cầu: Cho điểm O cố định và số thực r. Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O một khoảng bằng r được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r. Kí hiệu: S(O,r) = { }rOMM = Chú ý: * OA > r A nằm ngoài (S) ⇔ * OA < r A nằm trong (S) ⇔ * OA = r A nằm trên (S) ⇔ 2) Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu: Cho mặt cầu S(O,r) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của O trên mp(P) và d= OH là khoảng cách từ O đến mp(P). * d > r ⇔ (P) không cắt (S) hay (P) ∩ (S) = φ * d = r ⇔ (P) tiếp xúc (S) tại H Khi đó: (S): tiếp diện, (H): tiếp điểm * d < r ⇔ (P) cắt (S) theo đường tròn (C) có tâm H, bán kính 22 dr − Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản GV: Phạm Sơn Hà Trang 14 ™ Chú ý: nếu d = 0 hay O ≡ H thì (P) cắt (S) theo đường tròn C(O, r) 3) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu: Cho mặt cầu S(O,r) và đường thẳng Δ. Gọi H là hình chiếu của O trên Δ và d= OH là khoảng cách từ O đến Δ. * d > r ⇔ Δ không cắt (S) hay Δ ∩ (S) = φ * d = r ⇔ Δ tiếp xúc (S) tại H Khi đó: Δ: tiếp tuyến, (H): tiếp điểm * d < r ⇔ (P) cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B 4) Diện tích xung quanh hình cầu, thể tích khối cầu: * Diện tích xung quanh hình cầu: Sxq = 4 π r2. * Thể tích khối cầu: V = 3 4 π r3. BÀI TẬP I) MẶT NÓN, HÌNH NÓN, KHỐI NÓN: ™ DẠNG 1: Chứng minh một đường thẳng d thuộc mặt nón: + B1: Chứng minh đường thẳng d đi qua điểm O cố định thuộc đường thẳng Δ cố định. + B2: Chứng minh góc giữa d và Δ là giá trị không đổi + B3: Kết luận. Ví dụ: Cho hai điểm A, B cố định. Một đường thẳng d di động luôn đi qua A và cách B một đoạn không đổi a = 2 AB . Chứng minh rằng d luôn nằm trên một mặt nón. Giải A B H d Xét tùy ý đường thẳng d đi qua điểm A. Theo gt: A cố định ⇒ d đi qua điểm A cố định thuộc đường thẳng AB cố định (1) Trong mp (d, AB) kẻ BH ⊥ d tại H Gọi α = HAB Xét tam giác vuông ABCH ta có: Sin α = 2 1 AB a AB BH == ⇒ α = 300 . Vậy α không đổi (2) Từ (1) và (2) suy ra d luôn nằm trên một mặt nón đỉnh A, nhận AB làm trục và có góc ở đỉnh 2α = 600. BÀI TẬP Bài 1. Cho hai điểm A, B cố định AB= a. một đường thẳng l thay đổi luôn đi qua A, không vuông góc với AB và cách B một khoảng không đổi d. Chứng tỏ l luôn nằm trên một mặt nón. Bài 2. Trong mp (P) cho một góc xOy = 2ϕ. Một mặt phẳng (Q) thay đổi luôn vuông góc với đường phân giác của góc xOy cắt Ox, Oy tại A và B Trong mp (Q) lấy điểm M nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Chứng tỏ các điểm M luôn nằm trên một mặt nón. Bài 3. Trong mp (α) cho điểm O cố định. Xét một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua O và hợp với mp (α) một góc ϕ không đổi. Chứng minh d luôn nằm trên một mặt nón. ™ DẠNG 2: Diện tích xung quanh của hình nón, thể tích khối nón. Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản GV: Phạm Sơn Hà Trang 15 Sxq = rl, V = π hr 3 1 2π Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’. Giải A B C D A’ Khối nón có chiều cao a và có bán kính đáy r = 2 a B’ C’ D’ O O’ Độ dài đường sinh: l = 2 5a 2 aa 2 2 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ Diện tích xung quanh của khối nón: Sxq = π rl 4 5a 2 5a 2 a 2π=π Thể tích khối nón: V = hr 3 1 2π = 12 aa 2 ar 3 1 322 π=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛π BÀI TẬP Bài 1. Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm. Một mp (P) đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy là 12 cm. Xác định thiết diện của (P) với khối nón và tính diện tích thiết diện đó. ĐS: S = 500 cm2 . Bài 2. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần b) Tính thể tích khối chóp đó. c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện này. ĐS: a. Sxq = 2 2a 2π , Stp = ( ) 2 a12 2π+ b. V = 12 2a3π c. 3 2a 2 Bài 3. Tính thể tích của khối nón trong các trường hợp sau: a) Bán kính đáy r, góc giữa đường sinh và trục của hình nón là β b) Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có diện tích S. Bài 4. Cho hình nón có đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O bán kính r, chiều cao của hình nón bằng 2r. Gọi I là một điểm nằm trên mặt đáy và cách O một đoạn bằng 2r. Trong hình tròn tâm O kẻ bán kính OA vuông góc với OI. IA cắt đường tròn tại B. Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón. Bài 5. Cho hình nón có đỉnh D, O là tâm đường tròn đáy, đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng α. Tính diện tích của hình nón và thể tích của khối nón được tạo nên. Bài 6. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h và góc SAB = α (α > 450). Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD của hình chóp. Bài 7. Cho khối nón có bán kính đáy bằng 12 cm và có góc ở đỉnh là 1200. Hãy tính diện tích thiết diện đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau. Bài 8. Một mặt phẳng (P) qua đỉnh của hình nón cắt đường tròn đáy theo một cung có số đo là α (α< ). Biết rằng (P) hợp với mặt đáy một góc β và khoảng cách từ tâm của đáy tới (P) bằng a. π Tính thể tích khối nón theo a, α, β. II) MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ: Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản GV: Phạm Sơn Hà Trang 16 ™ DẠNG 1: Chứng minh một điểm hoặc một đường thẳng thuộc mặt trụ: + Chứng minh một điểm M thuộc mặt trụ: Chứng minh khoảng cách từ M đến đường thẳng cố định Δ bằng một số không đổi. + Chứng minh một đường thẳng d thuộc mặt trụ: Chứng minh d // Δ cố định và khoảng cách từ M bất kỳ trên d đến đường thẳng Δ bằng một số không đổi. Ví dụ: Cho đường tròn (C) trong mp (P). Từ một điểm M trên (C) kẻ đường thẳng d vuông góc với mp (P). Chứng minh đường thẳng d nằm trên một mặt trụ. O M P d Δ Giải Gọi Δ là đường thẳng vuông góc với mp (P) tại O Gọi r là bán kính của (C). Do Δ⇒⎩⎨ ⎧ ⊥Δ ⊥ //d )P( )P(d Khoảng cách giữa d và Δ là: d(d, Δ) = OM = r: không đổi Vậy d nằm trên mặt trụ trụ Δ bán kính r Bài tập tương tự: Cho mp (P). Gọi A là một điểm nằm trên (P) và B là điểm nằm ngoài (P) sao cho hình chiếu H của B trên (P) không trùng với A. Một điểm M chạy trên mp(P) sao cho góc ABM = BMH. CMR: điểm M luôn nằm trên một mặt trụ tròn xoay có trục AB. HD: Gọi I là hình chiếu M trên AB. CM: MI có độ dài không đổi. ™ DẠNG 2: Tính diện tích xung quanh mặt trụ và thể tích khối trụ. Ví dụ: Cho khối trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là một hình vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho (hình lăng trụ này có đáy là hình vuông nội tiếp trong đường tròn đáy của hình trụ) c) Gọi V là thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp trong khối trụ và V’ là thể tích khối trụ. Tính tỉ số của V và V’. Giải a) Vì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên đường sinh l bằng đường cao h l = h = 2r. Diện tích xung quanh của hình trụ: A B C D O A’ B’ C’ D’ O’ Sxq = 2π r l = 4π r2. Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp = Sxq + 2B = 6π r2. b) Gọi ABCD.A’B’C’D’ là trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho. Ta có: ABCD nội tiếp trong đường tròn đáy nên: AB = r 2 Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều: V = AA’.SABCD = 4r3. c) Thể tích khối trụ: V’ = B.h = 2π r3 Vậy: π= 2 'V V BÀI TẬP Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản GV: Phạm Sơn Hà Trang 17 Bài 1. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao h = 50 cm. a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối trụ được tạo nên. b) Một đoạn thẳng có chiều dài 100 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục của hình trụ. Bài 2. Một khối trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao r 3 . Gọi A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc được tạo thành giữa đường thẳng AB và trục của khối trụ bằng 300. Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của khối trụ. a) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và trục của khối trụ. Bai 3. Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính r và có đường cao h = r 2 . Gọi A là điểm trên đường tròn tâm O và B là điểm trên đường tròn O sao cho AO ⊥ O’B a) CMR: các mặt bên của tứ diện OABO’ là các tam giác vuông. Tính thể tích tứ diện này b) Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và song song vơi OO’. Tính khoảng cách giữa OO’ và mp(P) Bài 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA= SB= SC = a và có góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng α. Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác đáy của hình chóp và có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp. Bài 5. Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính r và có đường cao h = r 2 . A và B là hai điểm di động trên hai đường tròn O và O’ sao cho góc (OA, O’B) không đổi. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Thể tích khối trụ tương ứng. Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và đường cao SA = 2a. MNPQ là thiết diện song song với đáy M ∈ SA và AM = x