Chuyên đề Khảo sát hàm số - Luyện thi toán đại học

ng trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y’ ñổi dấu khi x ñi qua hai nghiệm ñó ⇔ 0 0 a ≠ ∆ > C Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc-phÇn i: kh¶o s¸t hµm sè Năm học: 2000- 2011 Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó
,d ( hehe...a ) Sytandt@gmail.com Trang2/10-LTðH-2010 Baøi taäp Dạng 4: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Chứng minh rằng với mọi m ñồ thị hàm số luôn luôn có cực trị? Phương pháp: TXð: D = ℝ Ta có: y’ = ax2 + bx + c Xét phương trình y’ = 0, ta có: ∆ =….>0, ∀m Vậy với mọi m ñồ thị hàm số ñã cho luôn luôn có cực trị. Dạng 5: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. ðịnh m ñể ñồ thị hàm số không có cực trị? Phương pháp: TXð: D = ℝ Ta có: y’ = ax2 + bx + c Hàm số không có cực trị khi y’ không ñổi dấu trên toàn tập xác ñịnh 0 0 a ≠ ⇔ ∆ ≤ Dạng 6: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. ðịnh m ñể ñồ thị hàm số ñạt cực ñại tại x0? Phương pháp: TXð: D = ℝ Ta có: y’ = ax2 + bx + c ðể hàm số ñạt cực ñại tại x0 thì 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 f x f x =  < Dạng 7: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. ðịnh m ñể ñồ thị hàm số ñạt cực tiểu tại x0? Phương pháp: TXð: D = ℝ Ta có: y’ = ax2 + bx + c ðể hàm số ñạt cực tiểu tại x0 thì 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 f x f x =  > Dạng 8: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. ðịnh m ñể ñồ thị hàm số ñạt cực trị bằng h tại x0? Phương pháp: TXð: D = ℝ Ta có: y’ = ax2 + bx + c ðể hàm số ñạt cực trị bằng h tại x0 thì 0 0 '( ) 0 ( ) f x f x h =  = Dạng 9: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. ðịnh m ñể ñồ thị hàm số ñi qua ñiểm cực trị M(x0;y0)? Phương pháp: TXð: D = ℝ Ta có: y’ = ax2 + bx + c ðể hàm số ñi qua ñiểm cực trị M(x0;y0) thì 0 0 0 '( ) 0 ( ) f x f x y =  = Dạng 10: Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị (C) và M(x0;y0)∈(C). Viết PTTT tại ñiểm M(x0;y0) ? Phương pháp: Ta có: y’ = f’(x) ⇒ f’(x0) Phương trình tiếp tuyến tại ñiểm M(x0;y0) là y – y0 = f’(x0).( x – x0 ) Các dạng thường gặp khác : 1/ Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị (C) tại ñiểm có hòanh ñộ x0. Ta tìm: + y0 = f(x0) + f’(x) ⇒ f’(x0) Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là y – y0 = f’(x0).( x – x0 ) 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị (C) tại ñiểm thỏa mãn phương trình f”(x)= 0. Ta tìm: + f’(x) + f”(x) +Giải phương trình f”(x) = 0⇒ x0 + y0 và f’(x0). Suy ra PTTT. Dạng 11: Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) a/ song song với ñường thẳng y = ax + b. b/ vuông góc với ñường thẳng y = ax + b. Phương pháp: a/ Tính: y’ = f’(x) Vì tiếp tuyến (d) song song với ñường thẳng y = ax + b nên (d) có hệ số góc bằng a. Ta có: f’(x) = a (Nghiệm của phương trình này chính là hoành ñộ tiếp ñiểm) Tính y0 tương ứng với mỗi x0 tìm ñược. Suy ra tiếp tuyến cần tìm (d): y – y0 = a. ( x – x0 ) Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc-phÇn i: kh¶o s¸t hµm sè Năm học: 2000- 2011 Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó
,d ( hehe...a ) Sytandt@gmail.com Trang3/10-LTðH-2010 Baøi taäp b/ Tính: y’ = f’(x) Vì tiếp tuyến (d) vuông góc với ñường thẳng y = ax + b nên (d) có hệ số góc bằng 1 a − . Ta có: f’(x) = 1 a − (Nghiệm của phương trình này chính là hoành ñộ tiếp ñiểm) Tính y0 tương ứng với mỗi x0 tìm ñược. Suy ra tiếp tuyến cần tìm (d): y – y0 = 1 a − . ( x – x0 ) Chú ý: + ðường phân giác của góc phần tư thứ nhất y = x. + ðường phân giác của góc phần tư thứ hai y = - x. Dạng 12: Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị (C) Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên [a;b] Phương pháp: Ta có: y’ = f’(x) Giải phương trình f’(x) = 0, ta ñược các ñiểm cực trị: x1, x2, x3,…∈ [a;b] Tính: f(a), f(b), f(x1), f(x2), f(x3),… Từ ñó suy ra: [ ] [ ]; ;ax ; ina b a bm y m y= = Phương pháp chung ta thường lập BBT Dạng 13: Cho họ ñường cong y = f(m,x) với m là tham số.Tìm ñiểm cố ñịnh mà họ ñường cong trên ñi qua với mọi giá trị của m. Phương pháp: Ta có: y = f(m,x) ⇔ Am + B = 0, ∀m (1) Hoặc Am2 + Bm + C = 0, ∀m (2) ðồ thị hàm số (1) luôn luôn ñi qua ñiểm M(x;y) khi (x;y) là nghiệm của hệ phương trình: 0 0 A B =  = (a) (ñối với (1)) Hoặc 0 0 0 A B C =  =  = (b) (ñối với (2)) Giải (a) hoặc (b) ñể tìm x rồi→ y tương ứng. Từ ñó kết luận các ñiểm cố ñịnh cần tìm. Dạng 14: Giả sử (C1) là ñồ thị của hàm số y = f(x) và (C2) là ñồ thị của hàm số y = g(x). Biện luận số giao ñiểm của hai ñồ thị (C1), (C2). Phương pháp: Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của y = f(x) và y = g(x) là f(x) = g(x) ⇔ f(x) – g(x) = 0 (*) Số giao ñiểm của hai ñồ thị (C1), (C2) chính là số nghiệm của phương trình (*). Dạng 15: Dựa vào ñồ thị hàm số y = f(x), biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x) + g(m) = 0 Phương pháp: Ta có: f(x) + g(m) = 0 ⇔ f(x) = g(m) (*) Số nghiệm của (*) chính là số giao ñiểm của ñồ thị (C): y = f(x) và ñường g(m). Dựa vào ñồ thị (C), ta có:…v.v… Dạng 16: Cho hàm số y = f(x), có ñồ thị (C). CMR ñiểm I(x0;y0) là tâm ñối xứng của (C). Phương pháp: Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục OXY theo vectơ ( )0 0;OI x y=  . Công thức ñổi trục: 0 0 x X x y Y y = +  = + 2 3 xy x + = − Thế vào y = f(x) ta ñược Y = f(X) Ta cần chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số lẻ. Suy ra I(x0;y0) là tâm ñối xứng của (C). Dạng 17: Cho hàm số y = f(x), có ñồ thị (C). CMR ñường thẳng x = x0 là trục ñối xứng của (C). Phương pháp: ðổi trục bằng tịnh tiến theo vectơ ( )0;0OI x=  Công thức ñổi trục 0 x X x y Y = +  = Thế vào y = f(x) ta ñược Y = f(X) Ta cần chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số chẵn. Suy ra ñường thẳng x = x0 là trục ñối xứng của (C). Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc-phÇn i: kh¶o s¸t hµm sè Năm học: 2000- 2011 Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó
,d ( hehe...a ) Sytandt@gmail.com Trang4/10-LTðH-2010 Baøi taäp Dạng 18: Sự tiếp xúc của hai ñường cong có phương trình y = f(x) và y = g(x). Phương pháp: Hai ñường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x =  = Có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành ñộ tiếp ñiểm của hai ñường cong ñó. Dạng 19: Tìm ñiểm A ,từ A kẻ ñc n tiếp tuyến tới ñồ thị )(xfy = (C) Phương pháp +Giả sử ( )00 , yxA + Pt ñthẳng ñi qua ( )00 , yxA có hệ số góc k có dạng : ( ) ( ) 00: yxxkyd +−= +ðthẳng (d) tiếp xúc vớI ñồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm ( ) ( ) ( )  = +−= )2( )1( ' 00 kxf yxxkxf Thay (2) vào (1) ñược : ( ) ( )( ) 00' yxxxfxf +−= (3) +Khi ñó số nghiệm phân biệt của (3) là số tiếp tuyến kẻ từ A tớI ñồ thị (C) Do ñó từ A kẻ ñược k tiếp tuyến tớI ñồ thị (C) ⇔ có k nghiệm phân biệt ⇒ ñiểm A (nếu có) Dạng 20: ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có Cð , CT nằm về 2 phía (D) Phương pháp +ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có các ñiểm cực trị ( ) ),(&, 222111 yxMyxM ( 21 , xx là nghiệm của pt y' = 0) 1)Nếu (D) là trục Oy thì ycbt 21 0 xx <<⇔ 2)Nếu (D) là ñthẳng x = m thì ycbt 21 0 xx <<⇔ 3)Nếu (D) là ñthẳng 0=++ cbyax thì: ycbt ( )( ) 02211 <++++⇔ cbyaxcbyax @ Nếu (D) là ñường tròn thì cũng giống trường hợp 3) Dạng 21: ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm bậc 3 có Cð , CT nằm về cung 1 phía ñốI vớI (D). Phương pháp +ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có các ñiểm cực trị ( ) ),(&, 222111 yxMyxM ( 21 , xx là nghiệm của pt y' = 0) 1)Nếu (D) là trục Oy thì ycbt 2121 00 xxxx <<∨<<⇔ 2)Nếu (D) là ñthẳng x = m thì ycbt 2121 0 xxmxx <<∨<<⇔ 3)Nếu (D) là ñthẳng 0=++ cbyax thì: ycbt ( )( ) 02211 >++++⇔ cbyaxcbyax @ Nếu (D) là ñường tròn thì cũng giống trường hợp 3) Dạng 22: ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số (C) cắt ñthẳng (D) tạI 2 ñiểm phân biệt thoả 1 trong nhưng ñkiện sau: 1)Thuộc cùng 1 nhánh ⇔ (I) có nghiệm phân biệt nằm cùng 1 phía ñốI vớI x = m ( (I) là PTHðGð của (C) và (D) ; x = m là t/cận ñứng của (C) ) 2) Cùng 1 phía Oy )(I⇔ có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu 3)Khác phía Oy )(I⇔ có 2 nghiệm phân biệt trái dấu Dạng 23: Tìm ñiểm trên ñồ thị hàm số (C) sao cho: Tổng các khoảng cách từ ñó ñến 2 t/cận là Min Phương pháp: +Xét ( )000 , yxM thuộc (C) ( )0,0 , yx⇔ thoã y = thương +dư /mẫu +Dùng BðT Côsi 2 số ⇒ kquả Dạng 24:Tìm ñiểm trên ñồ thị hàm số (C) sao cho:khoảng cách từ ñó ñến 2 trục toạ ñộ là Min Phương pháp: +Xét ( )000 , yxM thuộc (C) Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc-phÇn i: kh¶o s¸t hµm sè Năm học: 2000- 2011 Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó
,d ( hehe...a ) Sytandt@gmail.com Trang5/10-LTðH-2010 Baøi taäp +ðặt P = ( ) ( ) 0000 ,, yxPOyMdOxMd +=⇒+ +Nháp :Cho ;0 00 Ayx =⇒= Bxy =⇒= 00 0 GọI L = min ),( BA +Ta xét 2 trường hợp : TH1: LPLx >⇒>0 TH2: Lx ≤0 .Bằng ppháp ñạo hàm suy ra ñc kquả Dạng 25:Tìm ñkiện cần và ñủ ñể 3 ñiểm M,N,P cung thuộc ñthị (C) thẳng hàng? Phương pháp M ,N,P thẳng hàng ⇔ vetơ MN cùng phương vớI vectơ MP a b xxx PNM − =++⇔ Dạng 26: Tìm trên ñồ thị (C) :y = f(x) tất cả các ñiểm cách ñều 2 trục toạ ñộ Phương pháp: +Tập hợp những ñiểm cách ñều 2 trục toạ ñộ trong (Oxy) là ñường thẳng y = x và y = -x .Do ñó : +Toạ ñộ của ñiểm thuộc (C) :y = f(x) ñồng thờI cách ñều 2 trục toạ ñộ là nghiệm của :           −= =    = = xy xfy xy xfy )( )( ⇒ kquả Dạng 27:Lập pt ñ/t ñi qua 2 ñiểm cực trị của hàm số hữu tỉ : '' 2 bxa cbxaxy + ++ = ( )mC Phương pháp : ðặt ( ) ( )x x V U y = + có ( ) ( ) ( )2)( )( ' )()( ' )( ' x xxxx V UVVU y − = +GọI A ( )11 , yx là ñiểm cực trị của ( )mC ' 1 ' 1 1 1 1 ' 11 ' 10' x x x x xxxx V U V UUVVUy =⇔=⇔=⇒ = 1y (1) + GọI B ( )22 , yx là ñiểm cực trị của ( )mC ' 2 ' 2 2...................................... x x V U y =⇔⇔⇒ (2) Từ (1), (2) suy ra pt ñ/t ñi qua 2 ñiểm cực trị là ' ' x x V U y = Dạng 28:Lập pt ñ/t ñi qua 2 ñiểm cực trị của hsố bậc 3 ( )mC , khi ko tìm ñc 2 ñiểm cực trị Phương pháp: +Chia '' y dcxbax y y + ++= (cx+d :là phần dư của phép chia) ( ) dcxybaxy +++=⇒ ' +Goi A( ( ) ( )2211 ,,, yxByx là 2 ñiểm cực trị của hàm số ( )mC 0'' 21 ==⇒ xx yy +Do A ( )mC∈ nên ( ) dcxybaxy +++= 1111 ' dcxy +=⇒ 11 (1) +Do B ( )mC∈ nên ( ) dcxybaxy +++= 2222 ' dcxy +=⇒ 22 (2) Từ (1),(2) suy ra pt ñ/t ñi qua 2 ñiểm cực trị : dcxy += Dạng 29:ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có ñiểm Cð và CT ñốI xứng nhau qua 1 ñ/t y = mx + n ( )0≠m Phương pháp: +ðịnh ñkiện ñể hàm số có Cð, CT (1) +Lập pt ñ/t (D) ñi qua 2 ñiểm cực trị +Gọi I là trung ñiểm ñoạn nốI 2 ñiểm cực trị +ycbt kq nmxyI Dnmxy dk ⇒      +=∈ ⊥+=⇔ )( )1( Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc-phÇn i: kh¶o s¸t hµm sè Năm học: 2000- 2011 Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó
,d ( hehe...a ) Sytandt@gmail.com Trang6/10-LTðH-2010 Baøi taäp Dạng 30:Tìm 2 ñiểm thuộc ñthị (C) y = f(x) ñốI xứng nhau qua ñiểm ( )00 , yxI Phương pháp: +Giả sử ( ) ( ) ( )1111 :, xfyCyxM =∈ (1) +GọI N ( )22 , yx ñốI xứng M qua I suy ra toạ ñộ ñiểm N theo 11 , yx +Do N thuộc (C): ( )22 xfy = (2) (1),(2) :giảI hệ , Tìm 2211 ,, yxyx ⇒ Dạng 31:Vẽ ñồ thị hàm số )( xfy = (C) Phương pháp: + Vẽ ñồ thị ( )xfy = (C ') +Có )( xfy = = ( )( )  <− ≥ )(0, )(0, 2 1 Cxxf Cxxf ⇒ ðồ thị (C) gồm ñồ thị ( )1C và ñồ thị ( )2C VớI : ( ) ( )'1 CC ≡ lấy phần x 0≥ ( )2C là phần ñốI xứng của ( )1C qua Oy Dạng 32 :Vẽ ñồ thị hàm số ( )xfy = (C) Phương pháp: + Vẽ ñồ thị ( )xfy = (C ') +Có ( )xfy = = ( ) ( )( ) ( )  <− ≥ )(0, )(0, 2 1 Cxfxf Cxfxf ⇒ðồ thị (C) gồm ñồ thị ( )1C và ñồ thị ( )2C VớI ( ) ( )'1 CC ≡ lấy phần dương của (C') (nằm trên Ox) ( )2C là phần ñốI xứng của phần âm (nằm dướI Ox ) của (C') qua Ox @:Chú ý :ðồ thi ( )xfy = sẽ nằm trên Ox Dạng 33 :Vẽ ñồ thị hàm số ( )xfy = (C) Phương pháp: + Vẽ ñồ thị ( )xfy = (C ') +Vẽ ñồ thị hàm số )( xfy = (C1) CHUYÊN ðỀ :CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ðẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ LTðH Caâu 1.Tìm m ñể ñường thẳng y=x+4 cắt ñồ thị hàm số 3 22 ( 3) 4y x mx m x= + + + + tại 3 ñiểm phân biệt A, B,C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4. (ðiểm B, C có hoành ñộ khác 0, M(1;3) Caâu 2. Tìm m ñể hàm số 3 2 (2 1) 2y x mx m x m= − + + − − cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ dương Caâu 3. Tìm hai ñiểm A, B thuộc ñồ thị hàm số 3 23 1y x x= − + sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với nhau và 4 2AB = Caâu 4 Cho : 1 x mhs y x + = − Tìm m ñể tiếp tuyến của ñồ thị tại giao ñiểm I của hai tiệm cận cắt trục Ox , Oy tại A, B và diện tích tam giác IAB bằng 1 Caâu 5.Cho hàm số 1 12 − + = x xy viết phương trình tiếp tuyến cuả HS biết tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa ñộ tam giác có diện tích bằng 8 Caâu 6. Cho hàm số y = 1 2 −x x (H) .Tìm các giá trị của m ñể ñường thẳng (d): y = mx – m + 2 cắt ñồ thị ( H ) tại hai ñiểm phân biệt A,B và ñoạn AB có ñộ dài nhỏ nhất. Caâu 7. Cho hàm số 1( ) 1 xy H x − = + . Tìm ñiểm M thuộc (H) ñể tổng khoảng cách từ M ñến 2 trục toạ ñộ là nhỏ nhất. Caâu 8. Cho hàm số 3 1( ) 1 xy H x + = − và ñường thẳng ( 1) 2y m x m= + + − (d) Tìm m ñể ñường thẳng (d) cắt (H) tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 2 Caâu 9. Cho hàm số 3 23 3(1 ) 1 3y x x m x m= − + − + + (Cm). Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu ñồng thời các ñiểm cực trị cùng với gốc toạ ñộ tạo thành tam giác có diện tích bằng 4 Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc-phÇn i: kh¶o s¸t hµm sè Năm học: 2000- 2011 Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó
,d ( hehe...a ) Sytandt@gmail.com Trang7/10-LTðH-2010 Baøi taäp Caâu 10. Cho hàm số 2 1 1 xy x + = + Tìm m ñể ñường thẳng y=-2x+m cắt ñồ thị tại hai ñiểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 • Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) • Viết phương trình ñường thẳng ñi qua M(1;3) cắt ñồ thị hàm số (1) tại hai ñiểm phân biệt A, B sao cho 32=AB . Caâu 11. Cho hàm số y = 3 22 (1 )y x x m x m= − + − + (1), m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số khi m = 1. 2. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ 1 2 3; ;x x x thoả mãn ñiều kiện 2 2 2 1 2 3 4x x x+ + < Caâu 12. Cho hàm số 2 2 2 xy x + = − (H) 1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (H). 2) Tìm m ñể ñường thẳng (d): y=x+m cắt ñồ thị hàm số (H) tại hai ñiểm phân biệt A, B sao cho 2 2 37 2 OA OB+ = Caâu 13. Cho hàm số 4 22y x x= − (C) 1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 2) Lấy trên ñồ thị hai ñiểm A, B có hoành ñộ lần lươt là a, b.Tìm ñiều kiện a và b ñể tiếp tuyến tại A và B song song với nhau Caâu 14. Cho hàm số 2 ( )m xy H x m − = + và A(0;1) 1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1 2) Gọi I là giao ñiểm của 2 ñường tiệm cận . Tìm m ñể trên ñồ thị tồn tại ñiểm B sao cho tam giác IAB vuông cân tại A. Caâu 15. Cho hàm số 4 22 1y x mx m= + − − (1) , với m là tham số thực. 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi 1m = − . 2)Xác ñịnh m ñể hàm số (1) có ba ñiểm cực trị, ñồng thời các ñiểm cực trị của ñồ thị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 2 . Caâu 16 . Cho hàm số 4 22 1y x mx m= − + − (1) , với m là tham số thực. 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi 1m = . 2)Xác ñịnh m ñể hàm số (1) có ba ñiểm cực trị, ñồng thời các ñiểm cực trị của ñồ thị tạo thành một tam giác có bán kính ñường tròn ngoại tiếp bằng 1. Caâu 17. Cho hàm số 4 2 22y x mx m m= + + + (1) , với m là tham số thực. 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi 2m = − . 2) Xác ñịnh m ñể hàm số (1) có ba ñiểm cực trị, ñồng thời các ñiểm cực trị của ñồ thị tạo thành một tam giác có góc bằng 120 . Caâu 18 . Cho hàm số 4 22y x mx= − (1), với m là tham số thực. 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi 1m = − . 2)Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có hai ñiểm cực tiểu và hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số và ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực tiểu ấy có diện tích bằng 1. Caâu 19. Cho hàm số ( ) ( )4 2 22 2 5 5y f x x m x m m= = + − + − + 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C ) hàm số với m = 1 2/ Tìm các giá trị của m ñể ®å thÞ hµm sè có các ñiểm cực ñại, cực tiểu tạo thành một tam giác vuông cân. Caâu 20. Cho hàm số 3 21 2 3 3 y x x x= − + (1) 1).Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) . 2)Gọi ,A B lần lượt là các ñiểm cực ñại, cực tiểu của ñồ thị hàm số (1). Tìm ñiểm M thuộc trục hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2. Caâu 21. Cho hàm số 3 26 9 4y x x x= − + − (1) 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) 2)Xác ñịnh k sao cho tồn tại hai tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (1) có cùng hệ số góc k . Gọi hai tiếp ñiểm là 1 2,M M . Viết phương trình ñường thẳng qua 1M và 2M theo k . Caâu 22. Cho hàm số 3 23 4y x x= − + − (1) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1) 2. Giả sử , ,A B C là ba ñiểm thẳng hàng thuộc ñồ thị (C), tiếp tuyến với (C) tại , ,A B C tương ứng cắt lại (C) tại ' ' ' , ,A B C . Chứng minh rằng ba ñiểm ' ' ', ,A B C thẳng hàng. Caâu 23. Cho hàm số 3 3 1y x x= − + (1) 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1). 2)ðường thẳng ( ∆ ): 1y mx= + cắt (C) tại ba ñiểm. Gọi A và B là hai ñiểm có hoành ñộ khác 0 trong ba ñiểm nói ở trên; gọi D là ñiểm cực tiểu của (C). Tìm m ñể góc ADB là góc vuông. Caâu 24. Cho hàm số ( )3 2 2 23 3 1 3 1y x x m x m= − + + − − − (1), với m là tham số thực. 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi 1m = . Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc-phÇn i: kh¶o s¸t hµm sè Năm học: 2000- 2011 Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó
,d ( hehe...a ) Sytandt@gmail.com Trang8/10-LTðH-2010 Baøi taäp 2. Tìm m ñể hàm số (1) có cực ñại và cực tiểu, ñồng thời các ñiểm cực trị của ñồ thị cùng với gốc toạ ñộ O tạo thành một tam giác vuông tại O . Caâu 25. Cho hàm số ( ) ( )22 2 1y x x= − − (1) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1). 2.Tìm m ñể ñồ thị (C) có hai tiếp tuyến song song với ñường thẳng y mx= . Giả sử ,M N là các tiếp ñiểm. Hãy chứng minh rằng trung ñiểm của ñoạn thẳng MN là một ñiểm cố ñịnh (khi m biến thiên) Caâu 26. Cho hàm số 3 23 4y x x= − + (1) 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1). 2)Gọi kd là ñường thẳng ñi qua ñiểm ( )1;0A − với hệ số góc k ( )k R∈ . Tìm k ñể ñường thẳng kd cắt ñồ thị (C) tại ba ñiểm phân biệt và hai giao ñiểm ,B C ( B và C khác A ) cùng với gốc toạ ñộ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1. Caâu 27. Cho hàm số 3 23 4y x x= − + (1) 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1). 2)Cho ñiểm ( )1;0I − . Xác ñịnh giá trị của tham số thực m ñể ñường thẳng :d y mx m= + cắt ñồ thị (C) tại ba ñiểm phân biệt , ,I A B sao cho 2 2AB < . Caâu 28. Cho hàm số y = 2x3 + 9mx2 + 12m2x + 1, trong ñó m là tham số. 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ñã cho khi m = - 1. 2)Tìm tất cả các giá trị của m ñể hàm số có cực ñại tại xCð, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2Cð= xCT. Caâu 29. Cho hàm số 3 2y (m 2)x 3x mx 5= + + + − , m là tham số 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C ) của hàm số khi m = 0 2)Tìm các giá trị của m ñể các ñiểm cực ñại, cực tiểu của ñồ thị hàm số ñã cho có hoành ñộ là các số dương. Caâu 30. Cho hàm số 2 m xy x − = + (Hm). Tìm m ñể ñường thẳng d:2x+2y-1=0 cắt (Hm) tại 2 ñiểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 8 Caâu 31. Tìm m ñể hàm số 3 2y x mx= − + cắt Ox tại một ñiểm duy nhất Caâu 32. Cho hàm số 2 4 1 xy x + = − (H). Gọi d là ñường thẳng có hệ số góc k ñi qua M(1;1). Tìm k ñể d cắt (H) tại A, B mà 3 10AB = Caâu 33. Tìm m ñể ñồ thị hàm số 3 2 2y x mx m= − + cắt trục Ox tại một ñiểm duy nhất Caâu 34. Cho hàm số: 2 1 xy x + = − (C) 1) Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) hàm số 2) Cho ñiểm A( 0; a) Tìm a ñể từ A kẻ ñược 2 tiếp tuyến tới ñồ thị (C) sao cho 2 tiếp ñiểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành Caâu 35. Cho hàm số 3 3 2y x x= − + (C) 1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) 2) Tìm ñiểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt (C) ở N mà 2 6MN = Caâu 36. Tìm m ñể ñường thẳng y=x+4 cắt ñồ thị hàm số 3 22 ( 3) 4y x mx m x= + + + + tại 3 ñiểm phân biệt A, B,C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4. (ðiểm B, C có hoành ñộ khác 0, M(1;3) Caâu 37. Tìm m ñể hàm số 3 2 (2 1) 2y x mx m x m= − + + − − cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ dương Caâu 38. Tìm hai ñiểm A, B thuộc ñồ thị hàm số 3 23 1y x x= − + sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với nhau và 4 2AB = Caâu 39. Cho : 1 x mhs y x + = − Tìm m ñể tiếp tuyến của ñồ thị tại giao ñiểm I của hai tiệm cận cắt trục Ox , Oy tại A, B và diện tích tam giác IAB bằng 1 Caâu 40. Cho hàm số 1 12 − + = x xy viết phương trình tiếp tuyến cuả HS biết tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa ñộ tam giác có diện tích bằng 8 Phần một: CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ðIỂM CỰC ðẠI VÀ CỰC TIỂU HÀM SỐ Câu 1) Cho hàm số 1 3 1 23 ++−−= mxmxxy a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1 b) Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu và khoảng cách giữa ñiểm cực ñại và cực tiểu là nhỏ nhất Câu 2) Cho hàm số 1 3 1 23 −+−= mxmxxy a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 1 b) Tìm m ñể hàm số ñạt cực trị tại 21; xx thoả mãn 821 ≥− xx Câu 3) Cho hàm số 3723 +++= xmxxy a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= -8 b) Tìm m ñể hàm số có ñường thẳng ñi qua ñiểm cực ñại cực tiểu vuông góc với ñường thẳng y=3x-7 Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc-phÇn i: kh¶o s¸t hµm sè Năm học: 2000- 2011 Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó
,d ( hehe...a ) Sytandt@gmail.com Trang9/10-LTðH-2010 Baøi taäp Câu 4) Cho hàm số mxmxxy ++−= 223 3 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 0 b) Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu ñối xứng qua ñường thẳng 2 5 2 1 −= xy Câu 5) Cho hàm số 13)1(33 2223 −−−++−= mxmxxy a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 1 b) Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu cách ñều gốc toạ ñộ O. Phần hai: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN TIẾP TUYẾN VÀ ðƯỜNG TIỆM CẬN Câu 1) Cho hàm số 13 +−−= mmxxy (Cm) a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 3 b) Tìm m ñể tiếp tuyến tại giao ñiểm cuả (Cm) với trục Oy chắn trên hai trục toạ ñộ một tam giác có diện tích bằng 8 Câu 2) Cho hàm số 13 23 +++= mxxxy (Cm) a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 0 b) Tìm m ñể ñường thẳng y=1 cắt (Cm) tại 3 ñiểm phân biệt C(0;1), D,E và các tiếp tuyến tại D và E của (Cm) vuông góc với nhau. Câu 3) Cho hàm số )( 2 Hm x mxy − + = a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 3 b) Tìm m ñể từ A(1;2) kẻ ñược 2 tiếp tuyến AB,AC ñến (Hm) sao cho ABC là tam giác ñều (A,B là các tiếp ñiểm) Câu 4) Cho hàm số )(32 Hm mx mxy − + = * 1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1 2) Tìm m ñể tiếp tuyến bất kỳ của hàm số (Hm) cắt 2 ñường tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích bằng 8 Câu 5) Cho hàm số )( 1 2 H x xy + = * a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho b) Tìm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến tại M của (H) cắt 2 trục Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 1 Câu 6) Cho hàm số )( 1 12 H x xy − − = * a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số b) Gọi I là giao ñiểm 2 ñường tiệm cận của (H). Tìm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H) tại M vuông góc với ñường thẳng IM. Câu 7) Cho hàm số )( 2 2 H x xy + = * a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (H) b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết khoảng cách từ tâm ñối xứng của ñồ thị hàm số (H) ñến tiếp tuyến là lớn nhất. Câu 8) Viết các phương trình tiếp tuyến kẻ từ ñiểm       4; 12 19A ñến ñồ thị hàm số 532 23 +−= xxy Câu 9) Tìm ñiểm M thuộc ñồ thị hàm số 23 23 −+−= xxy mà qua ñó chỉ kẻ ñược một tiếp tuyến ñến ñồ thị Câu 10) Tìm những ñiểm thuộc ñường thẳng y=2 mà từ ñó có thể kẻ ñược 3 tiếp tuyến ñến ñồ thị hs 3 3y x x= − Câu 11) Tìm những ñiểm thuộc trục tung qua ñó có thể kẻ ñược 3 tiếp tuyến ñến ñồ thị hs 12 24 +−= xxy Câu 12) Tìm những ñiểm thuộc ñường thẳng x=2 từ ñó kẻ ñược 3 tiếp tuyến ñến ñồ thị hs xxy 33 −= Câu 113) Tìm những ñiểm thuộc trục Oy qua ñó chỉ kẻ ñược một tiếp tuyến ñến ñồ thị hs 1 1 − + = x xy Câu 14) Cho hàm số 1− + = x mxy a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1 b) Với giá trị nào của m ñồ thị hàm số cắt ñường thẳng y=2x+1 tại 2 ñiểm phân biệt sao cho các tiếp tuyến với ñồ thị tại 2 ñiểm ñó song song với nhau. Phần ba: CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO 2 ðỒ THỊ Câu 1) Cho hàm số 2223 4)14(2 mxmmxy −+−= a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1 b) Tìm m ñể ñồ thị hs tiếp xúc với trục Ox Câu 2) Cho hàm số 2324 2 mmmxxy −+−= a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1 Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc-phÇn i: kh¶o s¸t hµm sè Năm học: 2000- 2011 Cách học tốt môn Toá